Funções compostas e inversa

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Funções compostas e inversa

  1. 1. Módulo 2 - Aula 7: Funções Composta e Inversa1. Função Composta:Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B e seja g uma função de B em um conjunto C; chamamosfunção composta de g e f à função h de A em C definida por: h(x) = g(f(x)) ∀ x ∊AIndicaremos esta aplicação h por g o f ( lê-se: g composta com f ou g de f ); portanto: (g o f) (x) = g(f(x)) ∀ x ∊ APodemos também representar a composta g o f pelo diagrama.Ex: Seja A = { 1, 2, 3}, B = {1, 4, 9} e C = {3, 6, 11} e as funções:f, de A em B, definida por f(x) = x2g, de B em C, definida por g(x) = x + 2Observe que: f(2) = 4 e g(4) = 6, então h(2) = g(f(2)) = g(4) = 6Para acharmos a lei de formação da função composta h, faremos o seguinte:h (x) = g (f(x))g(x) = x + 2g(f(x)) = f(x) + 2 substituindo f(x) por x2h(x) = x2 + 2De uma forma geral, os exercícios de função composta se dividem em 3 tipos:TIPO 1 - Dá f(x) e g(x). Pede-se f(g(x)) ou g(f(x)).Ex: Sendo f(x) = 2x e g(x) = x + 3, calcule g(f(x)).Resolução:g(x) = x + 3g(f(x)) = f(x) + 3g(f(x)) = 2x +3TIPO 2 - Dá g(x) e g(f(x)). Pede-se f(x).Ex: Sendo g(x) = x + 1 e g (f(x)) = 3x + 5, calcule f (x).Resolução:g(x) = x + 1g(f(x)) = f(x) + 1substituindo g(f(x)) por 3x + 53x + 5 = f(x) + 1f(x) = 3x + 4TIPO 3 - Dá f(x) e g(f(x)). Pede g(x).Ex: Sendo f(x) = x + 1 e g(f(x)) = 2x + 3, calcule g(x).Resolução:g(f(x)) = 2x + 3g(x + 1) = 2x + 3igualar x + 1 a u ⇒ u = x + 1x=u-1substituir x por g(u) = 2 (u - 1) + 3g(u) = 2u - 2 + 3 = 2u + 1g(x) = 2x + 11 André Luiz Arruda Marques
  2. 2. Módulo 2 - Aula 7: Funções Composta e Inversa2. Função inversa:Consideremos uma função f de A em B: f(x) = x + 2A função inversa é a que faz o caminho INVERSO da função original: g(x) = x - 2OBSERVE OS DIAGRAMAS:A relação inversa não é função.A relação inversa não é função.Para que uma função admita função inversa ela precisa ser BIJETORA.Sendo f uma função de A em B a inversa de f é a função f-1 de B em A D(f -1) = I(f) = B e I(f -1) = D(f) = ARegra para calcular a função inversa⇒ trocar x e y⇒ isolar yEx: Qual é a função inversa de f(x) = 3x + 2?Resolução: x−2 x−2y = 3x + 2 ∴ Trocar x e y ∴ x = 3y + 2 ∴ Isolar y ∴ y = ∴ f -1 (x) = 3 32.1. Propriedade Gráfica O gráfico da função inversa é simétrico ao gráfico da função em relação à reta y = x .2 André Luiz Arruda Marques
  3. 3. Módulo 2 - Aula 7: Funções Composta e InversaEXERCÍCIOS:1. Se a função f: IR IR é determinada por f(x) = 2x, então f ( f (x)) é igual a:a) 4x² b) 4x c) x d) 2x e) 2x²2. (CESGRANRIO) Sejam f e g funções definidas em IR por f(x) = 4x + 1 e g(x) = x-3. Qual é o valor de g(f (x))?3. Dadas as funções reais f(x) = 1-2 x e g(x) = 2 x + k, o valor de k, de modo que f [g(x)] = g(f (x)] ⎛ 2x + 5 ⎞4. (UnB) Sejam as funções reais, g(x) = 2x + 3 definida para todo x real e g(f(x) = ⎜ ⎜ ⎟ definida para todo x real e ⎟ ⎝ x +1 ⎠ ⎛ 12 ⎞x ≠ -1, calcule f ⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 15 ⎠5. Se f: Z Z é tal que f(n + 1) = n – 1, então o valor de f(n – 1) é:a) n + 1 b) n c) n – 1 d) n – 2 e) n – 36. Se é uma função de IR em IR, definida por f(x) = 2x –1, então F1 (-1) é igual a:a) –3 b) –1 c) 0 d) 1 e) 3 3x + 2 1 ⎛ x+2 ⎞7. Sejam f a função definida por f(x) = , onde x ≠ . Os vazios de a e b, tais que f1 (x) = ⎜ ⎜ ax + b ⎟ , são: ⎟ 4x − 1 2 ⎝ ⎠a) a = 3 e b = 4 b) a = 4 e b = 3c) a = -4 e b = -3 d) a = 4 e b = -3e) a = -3 e b = -4 x −18. Seja F : IR – {0 ; 1} a função definida por f(x) = . Definido f(x) = Fn(x) = f(f(...f(f(x))...)), onde f comparece n xvezes (n > 1), calcular o valor de f1 (x). f2 (x). f3 (x) ... f30 (x). −x29. (PUC 96) Calcule (f o f) (0) para f(x) = e :a) e b) 1 c) 0 d) e −1 e) e −2 110. (UFC 91) Seja f : R - { 0 } R a função dada por f(x) = . O valor de f(2) + f(3) + f(5) é igual a: xa) 1/30 b) 3/10 c) 3/30 d) 31/10 e) 31/30 211. (UA 2002) Dado que f é definida por f ( x ) = x e g é definida por g( x ) = x − 1 , então o domínio da funçãocomposta f (g ( x )) é:a) (− ∞, − 1] U [1, + ∞) b) (− ∞,+∞)c) [0,+∞) d) (− 1,1)e) (− ∞,0)3 André Luiz Arruda Marques

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