1. La criptografia, un
món desconegut
 Alumne: Luis Crespo Jiménez
 Matèria: Matemàtiques
 Curs: 2n de Batxillerat A
 Nom del centre: INS Comte de Rius
 Nom del tutor: Luis Javier Elipe Cabrera

2. Introducció
 Esbrinar el rol de la criptografia en l’actualitat.
 Analitzar la seva evolució històrica.
 Realitzar una aplicació basada en l’RSA.
 Explicar de manera entenedora la criptografia i la
criptoanàlisi.
 Adquirir coneixements sobre aquest camp.

3. Què és la criptografia?
 La criptografia és l’estudi de formes de convertir
informació des de la seva forma original a un codi
incomprensible. Del grec kryptos, "amagat, secret";
gràphin, "escriptura", té l’objectiu d’amagar un
missatge dins d’un altre per tal que només l’emissor i
el receptor el puguin desxifrar.

4. Criptografia
Criptografia clàssica Criptografia moderna Criptografia quàntica

5. Criptografia clàssica
 Esteganografia
 Xifratges de transposició, l’escitala
 Xifratges de substitució monoalfabètics*
 Xifratges de substitució polialfabètics*
 El xifratge de Hill

6. *Xifratges de substitució monoalfabètics
 Atbash
 Xifratge de Juli Cèsar
 Anàlisi de freqüències
 Xifra de Polibi
 Xifra Pigpen*
 Xifra de Bacon
 Xifra ADFGVX

7. *Xifra Pigpen
El xifratge Pigpen va ser utilitzat pels francmaçons al segle
XVIII per mantenir els seus documents en secret. En aquest
tipus de xifratge no es substitueix una lletra per una altra, sinó
que consisteix en substituir cada lletra per un símbol. L'alfabet
està representat a les xarxes que mostraré posteriorment, i cada
lletra es xifra reemplaçant-la amb el símbol que correspon a la
porció de la xarxa que conté la lletra.
A continuació mostraré un exemple d’aquest tipus de xifratge
amb la codificació de la següent paraula: televisió.

8. Les lletres les substituirem pels següents símbols:
La paraula per a codificar abans esmentada quedarà de
la següent manera:

9. *Xifratges de substitució polialfabètics
 Xifra de Vigènere. “Le chiffre indéchiffrable”.
 Atac de Kasiski
 Xifra de Playfair
 La màquina ENIGMA

10. Criptografia moderna
 Principi de Kerckhoffs*
 Diffie-Hellman-Merkle: transmissió de claus
 La criptografia de clau pública: l’RSA*
 Els “altres” codis: Les targetes de crèdit i l’algorisme
de Luhn

11. *Principis de Kerckhoffs
 1) El sistema ha de ser indescifrable, si bé no en la teoria, però
si a la pràctica.
 2) No cal que el funcionament del sistema sigui secret, ha de
poder caure en mans de l’enemic sense córrer cap tipus de
perill.
 3) La clau ha de ser fàcil de memoritzar, sense cap d’ajut, i a
més ha de ser intercanviable.
 4) El criptograma s’ha de poder transmetre pels canals
habituals de comunicació ( en aquella època pel telégraf ).

12.  5) El sistema o els documents han de ser fàcils de transportar i
el seu funcionament no ha d’implicar un nombre elevat de
persones.
 6) Per finalitzar, el sistema ha de ser fàcil d’utilitzar. No ha de
requerir un gran nombre de normes que provoqui un esforç
mental elevat.

13. *La criptografia de clau pública: l’RSA
Els matemàtics i informàtics Ronald Rivest, Adi Shamir i
Leonard Adleman van crear l’any 1977 el sistema RSA, on les
claus utilitzades per xifrar i desxifrar són diferents. Va ser un
dels primers mètodes de clau pública i el primer algorisme
conegut útil per signar i també per a encriptar. Aquest
algorisme es fonamenta en certes propietats dels nombres
primers.
Es parteix de la base que els missatges es transmetran traduïts a
números, ja sigui per mitjà del codi ASCII o de qualsevol altre
mètode.

14.  Escollim dos números primers elevats, p i q, que seran secrets.
Quan ja els tenim els multipliquem i obtenim un valor “n”.
 Calculem la funció (phi)d’Euler: φ(n). φ(n)= (p-1)·(q-1).
 Escollim un número “e” que no tingui divisors comuns amb
φ(n), tal que mcd (e, φ(n))=1
 Obtenim la clau pública del sistema RSA, que serà e i n.
Aquests valors es fan públics.
 Per a desxifrar calculem la clau privada “d”, és a dir, l’únic
valor que verifica que d·e=1 (mod φ(n)). Per a calcular “d” és
necessari trobar la phi d’Euler.

15. Dos números enters “a” i “b” es troben en la mateixa "classe de
congruència" (classe d’equivalència entre números enters) en
mòdul p, si els dos deixen el mateix residu quan els dividim
per “p”. Si dividim qualsevol número en mòdul “p” serà el
residu d’aquesta divisió:
Llavors 8593 en mòdul 23 és 14 ( el valor resultant ha de ser
un valor comprès entre el 0 i el 22, en aquest cas).

16. p=71 i q=23  n=1633
φ(n)= (p-1)·(q-1) φ(n)=(71-1)·(23-1)= 1540
Calculem el nombre “e”, que serà 3, ja que no comparteix cap divisor comú
amb la phi d’Euler, per tant es compleix que mcd (e, φ(n))=1
Obtenim la clau pública (e,n) (3,1633)
Mitjançant el codi ASCII encriptarem la paraula “secret”. A cada lletra de la
paraula li assignarem el seu valor corresponent en ASCII.
A1115 A2101 A399 A4114 A5101 A6116
Calculem el missatge xifrat fent servir la clau pública (e,n):
 C1= A1e (mod n) 552
 C2= A2e (mod n) 1511
 C3= A3e (mod n) 297
 C4= A4e (mod n) 413
 C5= A5e (mod n) 1511
 C6= A6e (mod n) 1381

17. Per a desxifrar el missatge rebut (552,1511,297,413,1511,1381) hem de
calcular la clau privada “d” fent servir la fòrmula d·e=1 (mod φ(n)), és a dir un
número comprès entre 0 i 1539 que multiplicat per 3 i fent la divisió entre
1540 el residu ens doni 1. En aquest cas d = 1027
Per tan si rebem C1=552 (lletra del missatge xifrat) hem de fer:
A1 (lletra del missatge original)=(C1)d (mod n) i ens dóna com a resultat 115.
Si fem tot això amb la resta de lletres del missatge xifrat obtenim la seqüència
de lletres del missatge original en codi ASCII, per tant només caldrà fer la
correspondència entre els valors obtinguts i la taula ASCII i obtindrem el
missatge “secret”.

18. Conclusions
 Un dels objectius que hem vaig plantejar al començament d’aquest treball
era si existia un criptosistema totalment segur. Avui dia encara no hi ha un
criptosistema totalment segur i indesxifrable, ja que sempre tard o d’hora
s’acaba descobrint una nova manera de trencar-lo, com és el cas de la Xifra
de Vigènere, la qual la van catalogar com la xifra indesxifrable.
 Hi ha mètodes d’encriptació, com l’RSA, el qual si s’utilitza un nombre
compost per dos nombres primers molt grans, de centenars de
xifres, ordinadors com la WIRIS no ho poden calcular.
 Aquest treball m’ha ajudat a descobrir i comprendre un món el qual
desconeixia fins ara, el de la criptografia.