1                  Risco de mortalidade e longevidade no                           contexto português                     ...
2             a mover-se para idades muito avançadas, aspecto                              A evolução de uma população ao ...
3                           ,                                          Onde é uma variável aleatória com distribuição norm...
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5definitivas quanto às leis que regem a evolução da mortalidade                   1956           2.424e quais os factores ...
6    1943    3.707    3.100    4.368               2004       -5.010      -4.864    -4.349    1944    3.559    2.905    4....
7   Coelho, E. (n.d.). The Lee - Carter Method for ForecastingMortality. The Portuguese experience.   Girosi, F., & King, ...
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Risco Mortalidade E Longevidade Pt

  1. 1. 1 Risco de mortalidade e longevidade no contexto português Matos, Cristóvão cristovao.matos@gmail.com Fevereiro de 2008 de variação para cada idade quando o grau geral da Abstract — faz-se o enquadramento ao tema da mortalidade e mortalidade varia.longevidade, descrevendo-se as principais tendências actuais. O modelo de Lee-Carter, como ficou conhecido, é umDescreve-se e aplica-se o método de Lee-Carter a dados modelo previsional, no sentido em que permite extrapolardemográficos portugueses verificando-se as conclusões gerais tendências de mortalidade, e a consequente construção deobservadas nas aplicações a outras populações por diversos tábuas de mortalidade. Como todos os modelos extrapolativos,autores. padece de algumas das fragilidades dos mesmos: os padrões históricos podem não se manter no futuro, e alterações Index Terms—mortalidade, longevidade, modelo de Lee-Carter, Portugal estruturais podem escapar (Lee, The Lee-Carter Method for Forecasting Mortality, With Various Extensions and Applications, 2000). A análise experimental num conjunto I. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO alargado de países, permitiu concluir, no entanto, que o modelo de Lee-Carter revela um desempenho bastante aceitável enquanto modelo previsional. A esperança de vida nos países industrializados tem Neste trabalho, aplica-se o modelo de Lee-Carter a dadosaumentado progressivamente desde que há registos demográficos de Portugal, para o período entre 1940 e 2006, edemográficos, para todos os grupos etários. Benjamim & extrapolação até 2050.Soliman (1993), McDonald (1997) e McDonald et al. (1998)demonstraram um decréscimo na probabilidade de morte naidade adulta e na velhice. Em Portugal a esperança de vida ànascença (total) passou de 51,43 anos em 1940 para 78,92 em2006, um aumento de 53,5%, registando-se um crescimentoprogressivo ao longo desse período (v. Figura 1). Esta evolução representa uma conquista importante dahumanidade mas simultaneamente coloca desafios complexosàs entidades responsáveis pelo planeamento e gestão deprodutos cujo principal risco associado é a mortalidade, ou,indirectamente a longevidade, como é o caso das Seguradorasde Vida e a Segurança Social. Por risco de mortalidadeentende-se o risco de desvio das taxas de mortalidadeagregadas relativamente às antecipadas para diversas idades ehorizontes temporais. O risco de longevidade é o risco de que Figura 1 – Esperança de vida à nascença no período entre 1940 e 2006 (dados de Portugal)no longo prazo as taxas de sobrevivência para os diversoscoortes sejam superiores às antecipadas (Cairns, Blake, & II. TENDÊNCIAS ACTUAIS DA MORTALIDADE EDowd, 2004). LONGEVIDADE Lee & Carter (1992) desenvolveram um método simplesde descrição da tendência secular da mortalidade. Neste Pitacco (2002) descreve as tendências gerais observadasmodelo o logaritmo da força da mortalidade é descrito como nos dados demográficos das populações, a saber:uma série temporal, com uma componente específica da idadee uma outra que é o produto de um parâmetro dependente do i) Rectangularização - crescente concentração dastempo, que reflecte o grau geral da mortalidade, e uma mortes em torno da moda (para idades avançadas),componente dependente da idade que representa a velocidade o que resulta em que a função de sobrevivência tenda para um rectângulo, conforme a Figura 2; ii) Expansão - A moda da curva de mortalidade tende
  2. 2. 2 a mover-se para idades muito avançadas, aspecto A evolução de uma população ao longo do tempo pode ser que se denomina de expansão da função de caracterizada pelo número de vivos com idade , sendo sobrevivência; que geralmente o número inicial na idade , fixa- iii) As mortes acidentais em idades mais jovens se em 100,000. O elemento casuístico que influencia a tendem a apresentar níveis e dispersão mais dimensão de uma população é a morte, a qual provoca uma elevada, conforme recentemente observado. redução do número de elementos da mesma. A idade da morte de um indivíduo pode ser modelada por uma variável aleatória , sendo o número de sobreviventes para uma idade (e ano ) dados pela função de sobrevivência Geralmente as tábuas actuárias são apresentadas em coortes (bandas ou intervalos com as mesmas grandezas estatísticas) de intervalos de idade e de ano , representando-se por um rectângulo Assim sendo uma grandeza dependenteFigura 2 – Rectangularização (lado esquerdo) e expansão (lado direito) da da idade e do ano , esta será constante no intervalos função sobrevivência. Adaptado de Pitacco (2002). . As combinações mais frequentes envolvem o produto . Por exemplo, uma tábua de A rectangularização é observada também em Portugal, mortalidade é aquela em que os grupos de idades variamconforme mostra o gráfico apresentado na Figura 3. Note-se aprogressiva tendência para que o número de sobreviventes unidade a unidade, ou seja, , sendo adecaia mais lentamente ao longo da idade, com a progressiva idade limite, e o ano varia em intervalos de 5 unidades,convergência do gráfico para a idade limite. Verifica-se uma .redução da taxa de mortalidade ao longo dos grupos etários, Denomina-se o número de mortos registados para amas a idade limite não parece expandir-se significativamente. idade e ano , para uma determinada exposição ao risco . A exposição ao risco consiste no número de indivíduos de um coorte para os quais ocorreu ou seja, engloba o número de 100000 indivíduos total para esse coorte. 80000 1940 A força da mortalidade é a taxa instantânea de redução de 60000 uma população. Resulta (entre outras expressões) do quociente 1970 lx entre o número de mortos e a exposição ao risco, 40000 1990 20000 2000 0 O modelo de Lee-Carter propõe uma representação linear 0 5 10 15 20 Idade do logaritmo da força de mortalidade, Figura 3 – Efeito observável da rectangularização para dados (2.1)demográficos da população portuguesa, para o número de sobreviventes. Sendo um termo de erro com distribuição normal, ou seja ruído branco. Os coeficientes estão sujeitos às condições Na Figura 3 apresentam-se cortes transversais no tempo e . Relativamente aos coeficientes e(ano) para a probabilidade de morte, e de facto verifica-se que , os primeiros descrevem a média da forma do perfil detem havido uma progressiva redução da mortalidade ao longo idade, e os segundos os desvios que ocorrem com a variaçãodos diversos grupos etários, para se concentrar em idades mais de . Segundo este modelo, para uma idade , as variações daavançadas e progressivamente a convergir para a idade limite. força da mortalidade ao longo do tempo são inteiramente explicadas pelo parâmetro , ou seja, a diferença entre a força 10000 da mortalidade para um indivíduo de 30 anos em 1950 e em 8000 1940 2000 será justificada inteiramente por . Por outro lado, note- 1950 6000 1960 se que a variação de entre anos sucessivos depende dx 4000 1970 também de , 1980 2000 1990 2000 0 0 20 40 60 80 100 A determinação dos coeficientes e não se trata de um Idade problema simples de regressão linear, já que os parâmetros Figura 4 – Probabilidade de morte em função da idade, para os anos de também são desconhecidos. O problema proposto consiste em1940, 1950, 1960, 1970, 1980, 1990 e 2000. Note-se o desvio progressivo da determinar , e tais que minimizem a expressão moda para a direita do gráfico. III. O MÉTODO DE LEE-CARTER Note-se que a parametrização (2.1) não é única, uma vez que é invariante às transformações (Girosi & King, 2007)
  3. 3. 3 , Onde é uma variável aleatória com distribuição normal e é o factor de deriva e o seu estimador de maior , , probabilidade é obtido a partir do declive entre o primeiro e último ponto da série, Os passos envolvidos para a aplicação do modelo de Lee-Carter a uma série de dados demográficos da força damortalidade são: A previsão de dois períodos futuros, segue naturalmente i) Determinação dos coeficientes . Estes coeficientes obtêm-se a partir da média dos logaritmos da força de mortalidade observada De igual forma, para o intervalo infinitesimal temos, ii) Construção da matriz . Onde a última passagem é possível uma vez que as variáveis aleatórias são assumidamente independentes com iii) Os coeficientes e os parâmetros são a mesma variância. Assume-se para uma distribuição determinados através de uma decomposição de normal , com média valor singular (SVD - Single Value Decomposition) nde a componente representa a componente da idade, a componente do ano e os majorantes e minorantes de são dados por (tempo) e o vector são os valores singulares + (Wang, 2007). - Os coeficiente obtêm-se a partir de e Onde corresponde a um intervalo de confiança de 95% . para (obtido a partir da distribuição normal). iv) Segunda estimativa de . Fixam-se os coeficientes e determinados no passo IV. APLICAÇÃO A DADOS DEMOGRÁFICOS DE PORTUGAL anterior e procura-se determinar o valor de que reproduz, para cada ano t, o número exacto O modelo de Lee-Carter foi aplicado a dados de Portugal, de mortes observadas , ou seja, procura-se obtidos a partir do site www.mortality.org, para o período tal que entre 1940 e 2006, usando-se dados de coortes , ou seja, anuais com intervalos de 5 anos de idade. Usou-se a tábua de vida * , os dados de exposição ao risco † e taxa de mortalidade ‡. Segundo Lee (2000) as vantagens da segunda estimativa Na Figura 5 apresentam-se os coeficientessão, em primeiro lugar, a garantia de que as tábuas de determinados a partir do modelo. Recorde-se que estesmortalidade ajustadas a partir das estimativas dos anos de correspondem à média dos valores do logaritmo da força daamostragem reproduzem o número de mortes e a distribuição mortalidade para o período em análise.de população observáveis. Uma vez que a primeira estimativaé efectuada recorrendo a logaritmos da força da mortalidade, épossível ocorrerem discrepâncias consideráveis. Em segundolugar, esta estimativa permite completar dados inexistentespara uma idade em particular num determinado ano,fornecendo assim uma estimativa indirecta. A. Estimativas da força da mortalidade De forma a produzir previsões da mortalidade, Lee & Carter(1992) assumem que os coeficientes permanecem *constantes ao longo do tempo e usam um modelo de série Disponível no endereço http://www.mortality.org/PrivRegistered/PRT/STATS/fltper_5x1.txt apóstemporal univariada. Após vários testes, concluíram que o registo do utilizador.modelo de caminho aleatório com deriva é o mais apropriado, † Idem emou seja, uma série ARIMA (0,1,0), http://www.mortality.org/PrivRegistered/PRT/STATS/Exposures_5x1.txt ‡ Idem em http://www.mortality.org/PrivRegistered/PRT/STATS/Mx_5x1.txt
  4. 4. 4 Tabela 1 – Parâmetros resultantes do ajuste à série temporal ARIMA(0,1,0) 0.3279619 0.1455222 0.56737 -0.140742699 5 0 -5 tFigura 5- Coeficientes determinados a partir do Modelo de Lee-Carterpara dados demográficos da população portuguesa no período entre 1940 -10 e 2006. -15 A Figura 6 apresenta os coeficientes . Recorde-se queestes coeficientes medem a variação para cada idade quando o 1940 1960 1980 2000 2020 2040 tgrau geral da mortalidade varia. Figura 8 – Parâmetros determinados a partir do Modelo de Lee- Carter para dados demográficos da população portuguesa no período entre 1940 e 2006. V. CONCLUSÕES O modelo de Lee-Carter é simples e permite descrever com bastante precisão a tendência secular da evolução da mortalidade. No caso português, a sua aplicação apresenta o mesmo tipo de resultados de outros estudos anteriores (ver Lee & Carter, 1992 para dados dos EUA, Lee e Rofman, 1994 para Figura 6 - Coeficientes determinados a partir do Modelo de Lee- dados do Chile, Lee e Nault, 1993 para dados do Canadá, Carter para dados demográficos da população portuguesa no período Brouhns, Denuit e Vermunt para dados da Bélgica e Evides, entre 1940 e 2006. 2001 para dados portugueses). Na Figura 7 apresenta-se o gráfico com os valores As principais tendências descritas por outros autores foramestimados através de SVD para , após a segunda estimativa também observadas nos dados demográficos portugueses,destes parâmetros. nomeadamente a tendência para a rectangularização e expansão. A série da Figura 7 parece revelar uma dependência linear no tempo, o que de facto se verifica, aplicando-se por exemplo um ajustamento através de regressão linear. Nota-se também que em diversos períodos o declive parece oscilar segundo padrões aparentemente cíclicos, nomeadamente até cerca de 1955, depois até cerca de 1970 a redução é mais lenta. Até cerca de 2000 volta a registar-se nova aceleração e a partir desse ano o declive ainda é mais acentuado. O modelo de Lee- Carter não permite acomodar estas variações. O Método de Lee-Carter não permite acomodar informação extra que altere as tendências futuras. Como adopta umaFigura 7 - Parâmetros determinados a partir do Método de Lee-Carter extrapolação linear não tem em conta efeitos de ordempara dados demográficos da população portuguesa no período entre 1940 superior que possam tornar-se importante à medida que se e 2006. aproximam os limites, nomeadamente por efeito da rectangularização e expansão, conforme identificado anteriormente. Ora, não parece credível que a tendência Na Figura 8 apresenta-se o gráfico com a previsão para a secular linear possa manter-se indefinidamente.evolução de para o período de 2007 a 2050. Os modelos previsionais de mortalidade (e longevidade) têm sofrido avanços muito significativos ao longo da última década, mas estão ainda longe de fornecer respostas
  5. 5. 5definitivas quanto às leis que regem a evolução da mortalidade 1956 2.424e quais os factores que afectam a mesma. 1957 2.147 1958 1.517 VI. APÊNDICES 1959 1.770 1960 1.566 Nesta secção são apresentados o detalhe dos dados 1961 1.737 obtidos na aplicação do Modelo de Lee-Carter a dados 1962 1.474 demográficos da população portuguesa. 1963 1.478 1964 1.358 A. Apêndice A – Coeficientes e 1965 1.181 1966 1.427 Tabela 2 – Coeficientes e obtidos a partir de 1967 1.134 uma SVD 1968 1.018 1969 1.422 0 -3.4309392 0.4650671 1970 0.925 1-4 -5.9374227 0.5691183 1971 1.189 5-9 -7.1996828 0.34747 1972 0.415 10-14 -7.4302364 0.2670042 1973 0.667 15-19 -6.7905809 0.1892648 1974 0.648 20-24 -6.4850697 0.1874117 1975 0.555 25-29 -6.3731046 0.1801331 1976 0.663 30-34 -6.1996242 0.1606991 1977 0.078 35-39 -5.9481303 0.1513241 1978 -0.079 40-44 -5.6485142 0.1335703 1979 -0.543 45-49 -5.3118661 0.1186189 1980 -0.568 50-54 -4.9524505 0.1122048 1981 -0.669 55-59 -4.5776189 0.1077072 1982 -1.177 60-64 -4.1421409 0.1132281 1983 -1.018 65-69 -3.6765146 0.1109816 1984 -1.119 70-74 -3.140467 0.1122768 1985 -1.287 75-79 -2.5921039 0.1018729 1986 -1.634 80-84 -2.1437367 0.0738919 1987 -1.906 85-89 -1.6740997 0.0546709 1988 -1.857 90-94 -1.284846 0.0342388 1989 -2.285 95-99 -0.9572549 0.0004056 1990 -1.787 100-104 -0.675996 -0.0159818 1991 -1.877 105-109 -0.4587576 -0.0258281 1992 -2.435 110+ -0.3211423 -0.0301166 1993 -2.153 1994 -3.051 B. Parâmetros 1995 -2.881 1996 -2.786 1997 -3.220 Tabela 3 – Coeficientes obtidos a partir de uma SVD 1998 -3.303 1999 -3.301 1940 3.741 2000 -3.774 2001 -4.045 1941 4.167 1942 3.902 2002 -4.119 2003 -4.062 1943 3.707 1944 3.559 2004 -5.010 1945 3.347 2005 -4.659 2006 -5.548 1946 3.454 1947 3.060 C. Extrapolação de 1948 2.851 1949 3.157 Tabela 4 – Extrapolação de usando 1950 2.591 um modelo ARIMA (0,1,0). Os valores 1951 2.652 entre 1940 e 2006 são reais. 1952 2.330 t 1953 2.134 1940 3.741 1954 1.980 1941 4.167 2.938 4.828 1955 2.125 1942 3.902 3.365 4.564
  6. 6. 6 1943 3.707 3.100 4.368 2004 -5.010 -4.864 -4.349 1944 3.559 2.905 4.221 2005 -4.659 -5.812 -3.998 1945 3.347 2.757 4.008 2006 -5.548 -5.461 -4.887 1946 3.454 2.545 4.115 2007 -5.689 -6.257 -5.122 1947 3.060 2.652 3.721 2008 -5.830 -6.632 -5.028 1948 2.851 2.257 3.512 2009 -5.971 -6.953 -4.988 1949 3.157 2.049 3.818 2010 -6.111 -7.246 -4.977 1950 2.591 2.354 3.252 2011 -6.252 -7.521 -4.984 1951 2.652 1.789 3.313 2012 -6.393 -7.783 -5.003 1952 2.330 1.849 2.991 2013 -6.534 -8.035 -5.033 1953 2.134 1.528 2.795 2014 -6.674 -8.279 -5.070 1954 1.980 1.332 2.641 2015 -6.815 -8.517 -5.113 1955 2.125 1.177 2.786 2016 -6.956 -8.750 -5.162 1956 2.424 1.322 3.086 2017 -7.097 -8.978 -5.215 1957 2.147 1.622 2.808 2018 -7.237 -9.203 -5.272 1958 1.517 1.345 2.178 2019 -7.378 -9.424 -5.332 1959 1.770 0.715 2.431 2020 -7.519 -9.642 -5.396 1960 1.566 0.968 2.227 2021 -7.660 -9.857 -5.462 1961 1.737 0.764 2.398 2022 -7.800 -10.070 -5.531 1962 1.474 0.934 2.135 2023 -7.941 -10.280 -5.602 1963 1.478 0.672 2.139 2024 -8.082 -10.489 -5.675 1964 1.358 0.676 2.020 2025 -8.223 -10.696 -5.749 1965 1.181 0.556 1.843 2026 -8.363 -10.901 -5.826 1966 1.427 0.379 2.088 2027 -8.504 -11.104 -5.904 1967 1.134 0.624 1.795 2028 -8.645 -11.306 -5.984 1968 1.018 0.332 1.679 2029 -8.786 -11.507 -6.065 1969 1.422 0.216 2.083 2030 -8.926 -11.706 -6.147 1970 0.925 0.619 1.586 2031 -9.067 -11.904 -6.230 1971 1.189 0.123 1.851 2032 -9.208 -12.101 -6.315 1972 0.415 0.387 1.076 2033 -9.349 -12.297 -6.400 1973 0.667 -0.388 1.328 2034 -9.489 -12.492 -6.487 1974 0.648 -0.135 1.310 2035 -9.630 -12.685 -6.575 1975 0.555 -0.154 1.217 2036 -9.771 -12.878 -6.663 1976 0.663 -0.247 1.324 2037 -9.911 -13.070 -6.753 1977 0.078 -0.139 0.739 2038 -10.052 -13.262 -6.843 1978 -0.079 -0.725 0.582 2039 -10.193 -13.452 -6.934 1979 -0.543 -0.881 0.118 2040 -10.334 -13.642 -7.025 1980 -0.568 -1.345 0.093 2041 -10.474 -13.831 -7.118 1981 -0.669 -1.370 -0.007 2042 -10.615 -14.019 -7.211 1982 -1.177 -1.471 -0.516 2043 -10.756 -14.207 -7.305 1983 -1.018 -1.979 -0.356 2044 -10.897 -14.394 -7.399 1984 -1.119 -1.820 -0.458 2045 -11.037 -14.581 -7.494 1985 -1.287 -1.922 -0.625 2046 -11.178 -14.767 -7.590 1986 -1.634 -2.089 -0.973 2047 -11.319 -14.952 -7.686 1987 -1.906 -2.436 -1.245 2048 -11.460 -15.137 -7.783 1988 -1.857 -2.709 -1.195 2049 -11.600 -15.321 -7.880 1989 -2.285 -2.659 -1.623 2050 -11.741 -15.505 -7.978 1990 -1.787 -3.087 -1.126 1991 -1.877 -2.589 -1.216 1992 -2.435 -2.679 -1.773 VII. REFERÊNCIAS 1993 -2.153 -3.237 -1.492 1994 -3.051 -2.955 -2.390 1995 -2.881 -3.853 -2.220 1996 -2.786 -3.683 -2.125 Brouhns, N., Denuit, M., & Vermunt, J. (2002). A Poisson 1997 -3.220 -3.588 -2.559 log-bilinear regression approach to the construction of 1998 -3.303 -4.022 -2.641 projected lifetables. 1999 -3.301 -4.105 -2.640 Brouhns, N., Denuit, M., & Vermunt, J. (2002). Measuring 2000 -3.774 -4.103 -3.113 the Longevity Risk in Mortality Projections. 2001 -4.045 -4.576 -3.384 Cairns, A., Blake, D., & Dowd, K. (2004). Pricing Death: 2002 -4.119 -4.848 -3.458 Frameworks for the Valuation and Securitization of Mortality 2003 -4.062 -4.921 -3.401 Risk.
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