1. Influences électrostatiques
Condensateurs
I- Introduction
1) Présentation
On considère un conducteur K en l’équilibre électrostatique, isolé et initialement neutre. On le
r
met dans une région où règne un champ électrique E1 crée par une charge ponctuelle
immobile.
Les charges du conducteur K vont se trouver soumise à des forces telles que :
des charges négatives de K vont migrer du côté de q.
et des charges positives de K vont se trouver du côté opposé.
− +
q Eint = 0 +
−
− +
+ K
− E2 E1 +
− +
− +
On dit dans ce cas que l’apparition des charges dans le conducteur K est faite par influence de
la charge q sur ce conducteur.
2) Etude de l’équilibre électrostatique
La séparation des charges positives et négatives à l’intérieur du conducteur K va créer un
r r
champ E 2 (cf.fig.ci-dessus). Ce dernier va se superposer au champ E1 . A l’équilibre le champ
total à l’intérieur du conducteur K est nul :
r r r r
E int = E 1 + E 2 = 0

2. 3) Remarques
i/ Les lignes de champ de la charge q se trouve déformées par la présence du conducteur K.
ii/ Toutes les lignes de champ de la charge q n’arrivent pas au conducteur K.
iii/ Sur le conducteur K, les lignes de champ sont rentrant dans la zone à charges négatives et
sont sortant dans la zone à charges positives.
II- Théorème des éléments correspondants
Soient K1 et K2 deux conducteurs sous influence mutuelle l’un par rapport à l’autre(cf.fig. ci-
dessous).
Supposons que K1 porte des charges positives, et considérons un tube de champ s’appuyant
sur une surface élémentaire dS1 partant de K1. Ce tube de champ arrive sur K2 et découpe sur
celui-ci une surface élémentaire dS2.
1) Définition
Les surfaces élémentaires dS1 et dS2 sont appelées éléments correspondants des conducteurs
considérés.
2) Théorème
Deux éléments correspondants portent des charges égales en valeur absolue et de signes
opposés.
Considérons une surface fermée, formée par les parois du tube de champ T et deux surfaces
Σ1 et Σ2 prises à l’intérieur des conducteurs K1 et K2.
+ −
+ −
K1 + T − K2
+ −
dq2 −
dS1 + dq1 dS2
Σ1 Σ2
+ −
+ −
E
+ −
+ −
dq1 + dq 2
Le flux à travers cette surface fermée est : Φ = Φ + Φ + Φ =
Σ1 Σ2 T ε O

3. Φ : le flux à travers Σ1,2 est nul puisque le champ en tout point intérieur à K1,2 est nul.
Σ1,2
Φ : le flux à travers les parois du tube de champ est nul, puisque le champ est tangent en
T
chaque point de cette surface latérale.
Φ=0 ⇒ dq 2 = − dq1
Les quantités d’électricité portées par deux éléments correspondants sont égales en valeurs
absolues mais de signes contraires.
III- Influence partielle et influence totale
1) Influence partielle
a) Définition
Soit K2 un conducteur chargé positivement. On dit qu’il y a influence partielle du conducteur
K2 sur le conducteur K1 initialement neutre, lorsque les lignes de champ issues de K2
n’arrivent pas toutes sur K1.
+ Q2
+ q q2
+ −1 +
− +
+ K2 +
K1
+ − +
+ + − +
+
+
b) Conséquences
Q 2 〉 0 , Q1 = q1 + q 2 = 0 (le conducteur K1 est initialement neutre)
⇒ q 2 = −q1 avec q1 〈 0 et q 2 〉 0.
Q 2 〉 q 2 et Q 2 〉 q1

4. b) Remarque
Si on relie le conducteur (K1) au sol, c'est-à-dire V1 = 0 alors :
Q2 +
+ + q1
+ −
+
−
+ K2 + K1
+ −
+
+
−
+ +
+ +
Q 2 〉 0 , q 2 = 0 et q1 〈 0 avec Q 2 〉 q1 .
2) Influence totale
a) Définition
Soient K1 et K2 deux conducteurs. On dit qu’il y a influence totale de K2 supposé être chargé
positivement sur K1 initialement neutre lorsque K1 enveloppe complètement K2, autrement dit
si toutes les lignes de champ issues de K2 arrivent à K1.
+
+
q1− −
+
q2 −
− K1
+ + +++ Q −
− K2 + 2
+
+
+ ++
+ −
− − −
+ +
+
b) Conséquences
Q 2 〉 0 , Q1 = q1 + q 2 = 0 (le conducteur K1 est initialement neutre) ⇒ q 2 = − q1

5. L'influence totale ⇒ q1 = − Q 2 et q 2 = Q 2 .
c) Remarque
Si on relie le conducteur K1 au sol, c'est-à-dire −
q1−
V = 0 alors : −
1
− K1
Q 2 〉 0 , q 2 = 0 et q1 〈 0 avec q1 = − Q 2 . +
+ ++ Q −
+ K2 +
2
−
++ + +
− −
− −
IV- Coefficients d’influence d’un système de conducteurs.
1) Système d’équations en Vi
* Considérons un système de n conducteurs fixes et indéformables
K , K , ............... K , ............, K .
n
1 2 i
* Supposons que tous les conducteurs sont au potentiel zéro, sauf le premier que nous
porterons au potentiel unité.
Il se produit un état d’équilibre dans lequel le conducteur K1 prend une charge notée C11 et il
apparaît par influence sur les n−1 autres conducteurs des charges notées :
C , C , ............... C , ............, C . Le premier indice ce rapporte au conducteur influencé, et le
21 31 i1 n1
second indice indique le conducteur influençant.
i/ Supposons un premier équilibre dans lequel, le premier conducteur est porté au potentiel V1
et tous les autres conducteurs étant au potentiel zéro. Toutes les charges sont multipliées par
V1 et deviennent alors :
C V , C V , ............... C V , ............, C V .
11 1 21 1 i1 1 n1 1
ii/ Dans un deuxième équilibre, c’est le conducteur K2 qui et porté au potentiel V2, tous les
autres sont au potentiel zéro. Les charges seront alors :
C V , C V , ............... C V , ............, C V .
12 2 22 2 i22 n2 2
iii/ Et ainsi de suite jusqu’au nième équilibre où tous les conducteurs sont au potentiel nul sauf
le conducteur Kn qui est porté au potentiel Vn. Les charges des différents conducteurs sont :
C Vn , C Vn , ............... C Vn , ............, C nn Vn .
1n 2n in
iiii/ En superposant les n états d’équilibres la charge accumulée par chacun des conducteurs
est donnée par :

6. Q = C V + C V + C V + ............... C V + ............ C Vn
1 11 1 12 2 13 3 1i i 1n
Q = C V + C V + C V + ............... C V + ............ C Vn
2 21 1 22 2 23 3 2i i 2n
………………………………………………………
………………………………………………………
Q = C V + C V + C V + ............... C V + ............ C Vn
i i1 1 i2 2 i3 3 ii i in
………………………………………………………
………………………………………………………
Q n = C V + C V + C V + ............... C V + ............ C nn Vn
n1 1 n2 2 n3 3 ni i
2) Définitions
Le coefficient Cii est appelé coefficient de capacité du conducteur Ki dans sa position relative
qu’il occupe dans le système considéré.
Le coefficient Cij (i≠j) est appelé coefficient d’influence du conducteur Ki sur le conducteur Kj
ou coefficient d’influence du conducteur Kj sur le conducteur Ki. C’est le coefficient
d’influence mutuelle.
3) Propriétés
Les coefficients de capacité Cii sont positifs, les coefficients d’influences sont négatifs avec :
Cij = Cji ( i ≠ j ).
4) Capacité d’un conducteur isolé
a) Définition
La capacité d’un conducteur isolé dans l’espace est le coefficient de proportionnalité entre sa
Q
charge Q et son potentiel V : C=
V
La capacité C dépend de la forme géométrique du conducteur; elle est proportionnelle à la
constante diélectrique du milieu dans lequel est placé le conducteur. Les coefficients de
capacité et les coefficients d’influence s’expriment en farads (symbole :F).

7. V- Energie d’un système de charges
Les lois de Newton contiennent toute la mécanique et la loi de Coulomb contient toute
l’électrostatique. En effet, connaître des charges et leurs positions permet de trouver toutes les
forces électriques. De plus, avoir des charges pouvant circuler librement sous l’action d’autres
types de forces permet de trouver l’état d’équilibre pour lequel les charges resteront statiques.
De même qu’en mécanique, il est intéressant d’introduire le concept d’énergie. Pour
l’électrostatique, l’énergie est un concept très utile car les forces électrostatiques sont
conservatifs (le travail est indépendant du chemin suivi).
2) Cas de deux charges
Considérons deux particules de charges q 1 et 2
q 2 qui sont très éloignées l’une de l’autre. q2
Rapprochons lentement la charge q 2 de q 1 r12
placée en 1 jusqu’à ce que leur distance soit 1
r12 = r21 (cf.fig.ci-contre).
q1
Combien avons-nous dû fournir de travail ?
r
Au cours de ce déplacement, l’opérateur, exerçant sur la charge q2 une force Fop , doit lutter
r u
r
contre la force électrostatique F élec = q 2 E1 exercée par la charge q1 sur q2.
La charge q2 immobile à l’infini est amenée en 2 où sa vitesse est nulle : d’après le théorème
de l’énergie cinétique, on peut écrire :
2 r r uu
r
∫ ( F op + F élec ) dl = ∆E c = 0
∞
Il vient :
2 r uu r 2 r uu
r
∫ F op dl = − ∫ F élec dl
∞ ∞
Le travail de l’opérateur est égal et opposé au travail de la force électrique, soit :
2 u uu
r r 2 uuuur uur 2
Wop 1 = − ∫ q 2 E 1 dl = q 2 ∫ gradV1 dl = q 2 ∫ dV1
∞ ∞ ∞
Wop 1 = q 2 V1 (2)
où V1 (2) est le potentiel créé au point 2 par la charge q1 .
q1 q 2
soit : Wop 1 =
4πε o r12

8. Ce travail est intégralement converti en énergie emmagasinée par la charge q 2 et constitue par
définition son énergie électrostatique.
3) Cas de trois charges
Reprenons les deux charges q 1 et q 2 distant de r12 . 2q
2
Soit une troisième charge q 3 située en un point très r12
r23
éloigné et amenons là en un point 3 dont la distance
1
à la charge q 1 est r13 et celle à la charge q 2 est r23 .
q1 r13 q2 3
Le travail que l’on doit fournir pour effectuer ceci est :
3 u uu
r r 3 uuuur uu
r 3
Wop 2 = − ∫ q 3 E 12 dl = q 3 ∫ gradV12 dl = q 3 ∫ dV12 = q 3 V12 (3)
∞ ∞ ∞
où V12 (3) est le potentiel créé au point 3 par les charges q1 et q 2 .
 q q2 
soit : Wop 2 = q 3  1
+ 
 4πε o r 4πε o r23 
 13 
Ce travail est intégralement converti en énergie emmagasinée par la charge q3 et constitue par
définition son énergie électrostatique.
L’énergie totale W nécessaire pour obtenir ce système de trois charges est donc :
W = Wop 1 + Wop 2
 qq qq q q 
W = 1 2 + 1 3 + 2 3 
 4πε r 4πε o r13 4πε o r23 
 o 12 
1  q1 q 2 qq qq qq q q q q 
W=  + 1 2 + 1 3 + 1 3 + 2 3 + 2 3 
2  4πε o r12 4πε o r12 4πε o r13 4πε o r13 4πε o r23 4πε o r23 
 
1  q2 q3  1  q1 q3  1  q1 q2 
W= q1  +  + q2  +  + q3  + 
2  4πε o r12 4πε o r13 
  2  4πε o r12 4πε o r23 
  2  4πε o r13 4πε o r23 
 
L’énergie du système à trois charges peut s’écrire :

9. 1 j=3 j = 3 qk  1 1 1
W=
2
∑
j=1
q j ∑
k ≠ j 4πε o r jk
 =
 2
q 1 V1 +
2
q 2 V2 + q V
2 3 3
 
où
q2 q3 est le potentiel électrostatique au point où se trouve q 1 . Il est
V1 = +
4πε o r12 4πε o r13 créé par les charges q 2 et q 3 .
q1 q3 est le potentiel électrostatique au point où se trouve q 2 . Il est
V2 = +
4πε o r12 4πε o r23 créé par les charges q 1 et q 3 .
q1 q2 est le potentiel électrostatique au point où se trouve q 3 . Il est
V3 = +
4πε o r13 4πε o r23 créé par les charges q 2 et q 1 .
En généralisant les résultats obtenus pour trois charges, on peut affirmer que l’énergie
nécessaire pour établir un système de n charges ponctuelles discrètes q 1 , ..................... q i , ............, q n
s’exprime par :
1 j =n q q
W= ∑ k∑j 4πε r
j k
2 j =1 ≠ o jk
Cette équation peut s’écrire de la façon suivante :
1 j =n  qk 
W=
2
∑
j=1
qj ∑
k ≠ j 4πε o r jk


 
Chaque terme de la somme entre crochets est la contribution d’une des charges au potentiel
électrique Vj au point où se trouve la charge q j .
De cette façon, nous pouvons exprimer W sous la forme :
j=N
1
W=
2
∑
j=1
q j Vj
5) Cas d’une distribution continue de charges
Si nous avons une distribution continue de charges au lieu d’avoir des charges discrètes, nous
1 j=N
remplaçons simplement la somme de l’équation W = ∑ q j Vj par l’intégrale
2 j=1
correspondante.

10. a) Distribution surfacique σ :
1
W=
2
(S)
∫
σVdS : l’intégration (ici double) porte sur la surface chargée
b) Distribution volumique ρ :
1
W=
2
ρVdτ
(τ)
∫ : l’intégration (ici triple) porte sur le volume chargé
V est le potentiel électrostatique au point où se trouve la charge élémentaire σdS ou encore
ρdτ (cf.figs et tableaux.pages14→19).
VI- Energie d’un système de conducteurs
1) Définition
Considérons un système de n conducteurs de charges respectives Q 1 , ..................... Q i , ............, Q n et
de potentiels respectifs V1 , ..................... Vi , ............, Vn . L’énergie électrostatique de ce système de
n conducteurs est l’énergie qu’il faut dépenser pour le ramener à un état d’équilibre donné à
partir de l’état d’équilibre où Q 1 = Q 2 = ..................... = Q i = ............ = Q n = 0, et
V = V = ..................... = V = ............ = Vn = 0 .
1 2 i
2) Expression de l’énergie électrostatique
a) Energie d’un condensateur isolé
L’énergie d’un conducteur isolé à l’équilibre électrique est donnée par l’expression suivante :
1
W=
2 ∫
(S)
dq V l’intégration (ici double) porte sur la surface du conducteur
A l’équilibre le potentiel est constant. Il a la même valeur V en tout point du conducteur.
Q étant la charge du conducteur considéré.
1 1
W= V
2 (S)
dq = VQ
2∫
Sachant que Q = CV, l’énergie du conducteur peut s’écrire en fonction de C, Q et V :

11. 2
1 1 1 Q
W= VQ = CV =
2
2 2 2 C
b) Energie d’un système de conducteurs à l’équilibre
L’énergie d’un système de n conducteurs de charges respectifs Q 1 , ..................... Q i , ............, Q n et
de potentiels respectifs V1 , ..................... Vi , ............, Vn est donnée par l’expression :
n
1
W =
2
∑ QV
i=1
i i
VII- Condensateurs
1) Définition
Q2
On appelle condensateur, un ensemble de deux K2
conducteurs K1 et K2 placés en influence totale l’un K1
par rapport à l’autre. Les conducteurs formant un
condensateur s’appellent armatures. On dit armature Q1
interne pour le conducteur K1 et armature externe − Q1
pour le conducteur K2.
.
Q1 = C11V1 + C12V2
Q2 = C21V1 + C22V2
Q2 = − Q1 + q (q est la charge initiale du conducteur K2)
2) Etude du condensateur
* Si on relie les deux armatures par un fil conducteur de capacité nulle (V 1 = V2), la charge Q1
de l’armature interne est neutralisée par la charge – Q1 de l’armature externe. Donc pour le
conducteur K2 l’armature interne aura la charge 0 et l’armature externe aura la charge q sur
sa surface externe.
soit : 0 = (C11 + C12) V1 = (C11 + C12) V2 c'est-à-dire C12 = − C11= − C
* Si on relie K2 à la terre ou à la masse (V2 = 0), on aura :
q = 0 , Q2 = − Q1 , Q1 = C11V1 et Q2 = C21V1
c'est-à-dire : C21 = − C11 = − C

12. * Si on reporte ces résultats dans les équations de la définition, on obtient :
Q1 = C11V1+C12V2 = C (V1 – V2)
Q2 = − C11V1 + C22 V2 = − C11 V1 + C22 V2 + C11V2 – C11V2
Q2 = − C11 (V1 – V2) + (C22 – C11) V2
Q2 = − C (V1 – V2) + (C22 – C11) V2
Q2 = − Q1 + q
soient : Q1 = C (V1 – V2) et q = (C22 – C11) V2
3) Charge d’un condensateur
La charge d’un condensateur est la charge de l’armature interne. Elle est proportionnelle à la
différence de potentiel, ou la tension entre les deux armatures.
Q1 = C (V1 – V2)
4) Capacité d’un condensateur
Q1
C=
V1 − V2
c’est un cœfficient qui ne dépend que de la forme et de la position relative des armatures,
ainsi que de la nature du milieu placé entre les armatures. L’unité de capacité est le Farad
(symbole : F). Dans la pratique le Farad est une unité très grande d’où l’utilisation des sous
multiples : µF (microfarad :10−6F), nF (nanofarad :10−9F) et pF (picofarad :10−12F).
6) Lois d’association de condensateurs
a) Représentations schématiques
− + − +
Capacité non polarisée Capacité polarisée

13. b) Associations de condensateurs en série
C1 C2 Ci Cn
A B
Q −Q Q −Q Q −Q Q −Q
C
A B
Q −Q
La capacité équivalente C de n condensateurs C 1 , ..................... C i , ............, C n , mis en série se
calcule comme suit. On écrit VA−VB de deux manières :
n
Q Q Q Q Q
VA − VB = + ⋅⋅ ⋅ + + ⋅⋅⋅ + =∑ et VA − VB =
C1 Ci Cn i=1 Ci C
n
1 1
d’où : =∑
C i=1 Ci
c) Association de condensateurs en parallèle
C1
Q1 −Q 1
C2
A Q2 −Q 2 B
Ci
Qi −Q i
Cn
Qn −Q n
C
A B
Q −Q

14. La capacité équivalente C de n condensateurs C1 , ..................... C i , ............, C n , montés en parallèle
se calcule comme suit. On exprime Q de deux façons :
n
Q = Q1 + ⋅ ⋅ ⋅ + Q i + ⋅ ⋅ ⋅ + Q n = ∑ i=1
Ci (VA − VB ) et Q = C (VA − VB )
n
d’où : C = ∑i=1
Ci
6) Energie d’un condensateur
a) Expression d’énergie
L’énergie électrostatique emmagasinée dans un condensateur de capacité C, de charge Q et
dont la différence de potentiel entre ses bornes est V, s’écrit :
1 1 1
W=
2
∑ Qi Vi =
2
(QVA − QVB ) =
2
Q (VA − VB )
b) Densité d’énergie : cas du condensateur plan
On considère un condensateur plan, de surface S et d’épaisseur e. Dans le vide la capacité C
S
de ce condensateur est : C ε= o .
e
VB
L’énergie électrostatique emmagasinée dans ce −
condensateur est :
1 S
W=
2
C (VA − VB )
2 e E
1 Q2
= VA +
2 C
Le module du champ électrostatique entre les armatures d’un condensateur plan vaut:
(VA − VB )
E = . Sachant que τ = S e (τ est le volume compris entre les deux
e
armatures), l’énergie du condensateur peut s’écrire :
1 1
W ε=S e E o = E τo
2 2
ε
2 2
W 1
L’énergie par unité de volume (densité d’énergie) est donnée par : ϖ = = εo E2
τ 2

15. r
L’énergie emmagasinée dans le volume τ où règne le champ électrostatique E est :
1 1
W= ∫ ϖ dε = E o d ∫
2
τ τ
2 2
(τ) (τ)
l’intégration (ici triple) porte sur tout l’espace où règne le champ électrostatique
″ Ce résultat est tout à fait général quelque soit la forme du système étudié ″
Exemple
Une sphère conductrice isolée en équilibre électrostatique, de rayon R, porte une charge Q.
1) Calculer la capacité de ce conducteur.
2) Déduire son énergie électrostatique W.
3) Retrouver l’expression de W à partir de la densité d’énergie ϖ .
r
1) A l’intérieur de la sphère conductrice le champ E(M) est nul.
Son potentiel est constant = Vo
r Q r
A l’extérieur le champ a pour expression : E(M) = 2
er
4πε o r
où r est la distance du point O, centre de sphère, au point M .Le champ électrostatique est à
symétrie sphérique (il ne dépend que de r) et radial (porté par la droite (OM)).
u
r uuuur
La relation E = − grad V se réduit ici à : dV(r) = − E(r) dr et par intégration, on obtient :
Q
V(M) = + C te
4πε o r
Lorsque r → ∞ , V = 0 (origine des potentiels) ⇒ C
te
=0
D’autre part pour r = R, on a : V(R) = Vo : potentiel de tout le conducteur.
Q Q
= =
4πε o R C
d’où : C = 4πε o R .
Ainsi, la capacité est une valeur positive. Elle dépend de la géométrie du conducteur (R) et de
la nature du milieu ( ε o ) dans lequel il se trouve.
2) L’énergie d’un conducteur isolé à l’équilibre électrique est :

16. 1
W=
2 ∫
(S)
dq Vo : l’intégration (ici double) porte sur la surface du conducteur
1 1
W=
2
Vo
(S)
∫ dq = 2 V Q o
r
3) L’énergie emmagasinée dans l’espace extérieur où règne le champ électrostatique E
(expression générale) est :
1 1
W= ∫ ϖ dε =
τ ∫ τ
2
o
E d
2 2
espace extérieur espace extérieur
2
1 Q
= ∫
2
εo r sinθ dr dθ dφ
2 4
2 espace extérieur (4πε o ) r
2 ∞ π 2π
1 Q dr
=
2
εo
(4πε o )
2 ∫
R r
2 ∫ 0
sinθ dθ ∫ 0
dφ
1 Q
2
1 1 Q
2
= εo 2
( ) (2) (2π) =
2 (4πε o ) R 2 4πε o R
1
= Q Vo
2
On retrouve le même résultat que précédemment.
IIX- Forces électrostatiques sur les conducteurs
1) Introduction
Chaque conducteur faisant partie d’un système de n conducteurs en équilibre est soumis à une
r r
force dont la résultante est F ou un couple dont la résultante est Γ .
Nous pouvons déterminer la force ou le couple par l’intermédiaire de l’énergie potentiel en
utilisant le principe des déplacements virtuels. Ces déplacements fictifs sont supposés être
faits soit à potentiels constants, soit à charges constantes.
Dans le cas d’un mouvement de translation, nous allons utiliser les coordonnées cartésiennes
et dans le cas d’un mouvement de rotation autour d’un axe, nous utiliserons les coordonnées
polaires r et θ , sachant que θ est l’angle de rotation.
2) Déplacement à charges constantes

17. A charge constante : le système est isolé et l’énergie WQ est de nature potentielle (le travail
r uuur
des forces électrostatiques est indépendant du chemin suivi) ⇒ F = − grad WQ
n n
1 1
WQ =
2
∑
i =1
Vi Q i ⇒ dWQ =
2
∑Q
i =1
i
dVi
∂WQ ∂WQ ∂WQ
a) Mouvement de translation : Fx = − , Fy = − , Fz = −
∂x ∂y ∂z
dWQ
b) Mouvement de rotation : Γθ = − .
dθ
3) Déplacement à potentiels constants
A potentiel constant : le système n’est plus isolé ; en effet, la source qui maintient le potentiel
constant fait partie du système électrostatique.
n n
1 1
WV =
2
∑V
i =1
i
Q i ⇒ dWV =
2
∑ V dQ
i =1
i i
∂WV ∂WV ∂WV
a) Mouvement de translation : Fx = , Fy = , Fz =
∂x ∂y ∂z
dWV
b) Mouvement de rotation : Γθ = .
dθ