1. Dott.ssa Donatella Cocca
Introduzione al Piano Cartesiano
IL RIFERIMENTO CARTESIANO
Un sistema di riferimento cartesiano (del piano) è costituito da una
coppia di rette orientate, dette asse x (o asse delle ascisse) e asse y (o
asse delle ordinate), perpendicolari tra loro. Il punto 0 di intersezione
di tali rette è chiamato origine. Fissiamo su di esse oltre ad un verso
anche un’unità di misura. Adesso possiamo introdurre il concetto di
coordinate cartesiane:
Consideriamo un arbitrario punto P del
piano al quale associamo un coppia di
numeri reali (x1,y1) ove x1 indica la
proiezione di P sull’asse delle ascisse e y1
la proiezione di P sull’asse delle ordinate.
Le coordinate x1 e y1 individuano il punto
P in modo unico e sono dette coordinate
cartesiane del punto P

2. Distanza di due punti
Per determinare la distanza tra i punti
A(xA; yA) B(xB ; yB) applichiamo il
teorema di Pitagora e otteniamo:
AB = ( x B − x A )2 + ( y B − y A
)2
Per determinare il punto medio di un
segmento M(x ; y ), consideriamo le
segmento M(xM; yM), consideriamo le
proiezioni A1, M1, B1 di A, M e B
sull’asse x. Osserviamo che:
x M
= O M 1
= O A 1
+ AM
1 1
=
− +
= xA + xB xA = xA xB
2 2
y +y
E in modo analogo si ha: y = A
. Quindi:
B
 + y+ 
yB 
M
2 M  x A xB ; A
 2 2 
 
La Retta
La retta è un ente geometrico fondamentale, come il punto e il piano.
In geometria analitica, la retta è rappresentata da un’equazione lineare
(di primo grado) nelle due variabili x e y; facendo riferimento al piano
cartesiano, un’equazione del tipo ax+by+c=0 individua l’equazione
di una retta. Viceversa, ogni equazione lineare in due variabili è
rappresentata sul piano cartesiano da una retta.
Equazione di una retta passante per due punti
Equazione di una retta passante per due punti
Siano A(xA; yA) B(xB ; yB) due punti
generici del piano cartesiano. Vogliamo
calcolare l’equazione della retta
passante per tali punti.
Per il teorema di Talete possiamo
scrivere: MN:LM = BP:AB ed anche:
SR:TS = BP:AB. E, uguagliando i primi
membri possiamo scrivere:

3. Equazione di una retta
y −y
x −x x −x y −y
= ⇒ B B B
= B
x −x
By −y A x −x B A A B y −yA B
Equazione della retta passante per due
punti. Da questa eq. (eq.=equazione) se
poniamo yA −yB =a e xB −xA =b
otteniamo: ax+by−ax −by = 0. Infine, posto −ax −by =c si ha:
otteniamo: ax+by−axB −byB = 0. Infine, posto −axB −byB =c si ha:
ax+by+c=0 (1) eq. della retta
Notiamo che un punto appartiene alla retta di equazione (1) se le sue
coordinate soddisfano detta equazione, ovvero la rendono una identità.
y c
Casi particolari: y=−
c
Se a=0; b≠0; c≠0 si ha: y = − b
la retta è parallela all'asse x b
x
Equazione di una retta
y c
c x=−
Se a≠0; b=0; c≠0 si ha: x = − a
la retta è parallela all'asse y a
x
Se a≠0; b≠0; c=0 si ha ax+by=0 la retta passa per l'origine, infatti le
coordinate di O(0;0) soddisfano l'equazione della retta.
Se a≠0; b=0; c=0 si ha x = 0 che è l'equazione dell'asse y (tutti i
Se a≠0; b=0; c=0 si ha x = 0 che è l'equazione dell'asse y (tutti i
suoi punti hanno infatti ascissa nulla)
Se a=0; b≠0; c=0 si ha y = 0 che è l'equazione dell'asse x (tutti i
suoi punti hanno infatti ordinata nulla)
Equazione di una retta in forma esplicita
Dividiamo la ax+by+c=0 per b ≠ 0 e otteniamo:
a c a c
x+ y+ =0 ⇒ y =− x− y
b b b b

4. Equazione di una retta in forma esplicita
a c
Ponendo: m=− e q=-
b b
si ha y=mx+q è l'equazione richiesta.
Il coefficiente m si chiama coefficiente angolare (indica infatti
l'inclinazione della retta rispetto al semiasse positivo delle ascisse);
il numero q si chiama ordinata all'origine (indica quanto stacca la retta
sull'asse y , infatti per x=0⇒ y=q ). Dalla figura seguente possiamo
⇒
osservare che se la retta passa per l'origine (q=0) y=mx quindi
osservare che se la retta passa per l'origine (q=0) y=mx quindi
y
m= ed anche QN y − y
x m = = Q P
PN x Q
− x P
Q
dunque, il coefficiente angolare della retta r
P N
passante per due punti dati si ottiene dal
rapporto tra la differenza delle loro ordinate O
e la differenza delle loro ascisse. H K
Coefficiente angolare
Osserviamo che:
m>0 Se m>0 la retta giace nel primo e terzo
quadrante (ascissa e ordinata sono concordi)
Se m<0 la retta giace nel secondo e quarto
quadrante (ascissa e ordinata sono discordi)
quadrante (ascissa e ordinata sono discordi)
m<0 Se m=1 (cioè y=x) la retta è la bisettrice del
primo e terzo quadrante
m=1
Se m=-1 (cioè y=-x) la retta è la bisettrice del
m = −1 secondo e quarto quadrante

5. Coefficiente angolare
Esempio: Calcolare il coefficiente angolare delle seguenti rette
Considero le seguenti rette:
1) 2y-x-1=0
2) y+4x=0
3) 7y-2x+9=0
Calcoliamo il coefficiente angolare:
1 1 1
1) y = x+ ⇒ m=
2 2 2
2) y = −4 x ⇒ m = -4
3) y = 2 x − 9 ⇒ m=
2
7 7 9
Retta passante per un punto
Consideriamo il generico punto P(x0,y0) le infinite rette (fascio di rette)
passanti per quel punto hanno la seguente equazione :
a(x-x0)+b(y-y0)=0 ⇒ y-y0=-a/b (x-x0) cioè
y-y0 = m(x-x0)
Rette paralleli, perpendicolari distanza di un punto da
una retta
Siano date due rette r: y=m1x+q1 ed s : y=m2x+q2 si ha che:
r ed s sono Paralleli se e solo se: m=m1=m2
r ed s sono Perpendicolari se e solo se: m=m1= -1/m2
Considero il generico punto P(x0,y0) e la retta generica r . La
distanza d del punto dalla retta è data da:
a x + b y + c
d =
0 0
+
2 2
a b

6. Fascio di rette proprio
E' l'insieme di tutte le rette che passano per un
punto. Per determinare l'equazione di un
fascio di rette chiamiamo (x0,y0) il centro
del fascio e (x,y) il punto generico di una retta
qualunque del fascio. Se m è il coefficiente
angolare della retta presa in esame avremo:
y −y
y −y
m= 0
x −x 0
Si può notare che per ogni m diverso avremo una diversa retta del
fascio, ne segue che l'equazione del fascio di rette è:
y - y0 = m(x - x0)
Fascio di rette improprio
Si definisce fascio di rette improprie
l'insieme di tutte le rette parallele ad una retta
data.
Visto che le rette sono tutte parallele allora da
una retta all'altra varierà solo l'ordinata
all'origine, cioè q, quindi l’equazione
all'origine, cioè q, quindi l’equazione
generica del fascio è:
y = m1x + q
dove q e' variabile ed m1 e'un numero dato.

7. Esercizi sulle rette
Esercizio1: Scrivere l'equazione della retta passante per il punto
A(2,-1) ed avente coefficiente angolare 5.
Utilizziamo la formula dell'equazione della retta passante per un punto:
y - y0 = m(x - x0)
Sostituendo si ha : y - (-1) = 5(x - 2) ⇒ y = 5x – 11
Esercizio2:
Esercizio2: Scrivere l'equazione della retta passante per i punti
A(-2,3) e B(1,-5).
Utilizziamo la formula dell'equazione della retta passante per due punti
si ha:
y−3 x+2
= ⇒ 8x + 3y + 7 = 0
− 5 − 3 1+ 2
Esercizi sulle rette
Esercizio3: Scrivere l'equazione della retta passante per A(3,0) e
parallela alla retta r di equazione: y = -2x + 5.
La retta r ha coefficiente angolare m=-2 . Utilizziamo la formula
dell'equazione della retta passante per un punto. Sostituendo si ottiene:
y - 0 = -2(x - 3) ⇒ y = -2x + 6
Esercizio4: Scrivi l'equazione della retta passante per A(-2,1) e
perpendicolare alla retta r di equazione y = -1/2 x + 3.
La retta r ha coefficiente angolare m = -1/2 quindi il coefficiente
angolare della retta richiesta è: m = 2 .
Utilizziamo la formula dell'equazione della retta passante per un punto.
Sostituendo si ottiene:
y - 1 = 2(x +2) ⇒ y = 2x - 5

8. La Circonferenza
Nella geometria euclidea, una circonferenza è il luogo dei punti del
piano equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di questi
punti dal centro si definisce raggio.
L’equazione cartesiana o canonica della
circonferenza è:
x2+ y2-2ax-2by+c=0 (1)
dove c=a2+b2-r2.
dove c=a2+b2-r2.
Il Centro della circonferenza: C(a,b).
L'equazione della circonferenza con
centro nell'origine e raggio r è data da:
x2+ y2=r (2)
Da cui si ricava che l’equazione generica della circonferenza di centro
C(x0,y0) e raggio r: (x-x0)2+(y-y0)2=r (3)
La Circonferenza
La condizione di realtà della circonferenza: a2+b2-c>0
Coefficiente angolare della retta tangente in un suo punto di ascissa x0:
x0 − a
m = ±
r 2 − (x 0 − a )
2
Esercizio1: Scrivere l'equazione della circonferenza di centro il punto
C(-1, 2) e raggio r = 3.
C(-1, 2) e raggio r = 3.
L'equazione della circonferenza si ottiene immediatamente sostituendo
nella generica equazione (x-x0)2+(y-y0)2=r le coordinate del centro C ed
il valore di r. Si ottiene:
(x+1)2+(y-2)2=9 e svolgendo i calcoli avremo:
x2+ y2+2x-4y-4=0

9. La Circonferenza
Esercizio2: Scrivere l'equazione della circonferenza di centro il punto
C(2, -3) e passante per il punto P =(-1,1).
In questo caso il raggio non è dato direttamente, ma si calcola
immediatamente come distanza tra i due punti C e P.
r= (xc − x p ) + ( yc − y p ) =
2 2
(2 + 1)2 + (− 3 − 1)2 = 9 + 16 = 5
L'equazione della circonferenza, ora si ottiene sostituendo nella
generica equazione (x-x0)2+(y-y0)2=r le coordinate del centro C ed il
valore di r:
(x-2)2+(y+3)2=25 e svolgendo i calcoli avremo:
x2+ y2-4x+6y-12=0
Le coniche
In geometria analitica, con sezione conica, o semplicemente conica, si
intende genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili
intersecando la superficie di un cono circolare retto con un piano.
La superficie conica può essere intersecata da un piano α non passante
per il vertice del cono V in tre modi distinti:

10. Le coniche
Se il cono è intersecato da piani che con il suo
asse formano angoli 0< θ ≤π/2 la sezione, così
ottenuta, è una ellisse. Se, in particolare, il
piano è anche perpendicolare all'asse la sezione è
una circonferenza
Se si interseca il cono con un piano parallelo a
una sua retta generatrice si ottiene una conica
chiamata parabola (come si vede in figura AL
è una generatrice del cono ed il piano di
intersezione è parallelo ad AL)
Le coniche
Se si interseca il cono con un piano parallelo al suo
asse si determinano curve aperte (e illimitate)
chiamate iperboli.
Le curve precedenti sono dette coniche non degeneri. Vi sono poi le
cosiddette coniche degeneri ottenute servendosi di piani che passano
per il vertice V del cono

11. Le coniche
Dal punto di vista della geometria analitica la conica è una curva che
viene rappresentata da una equazione di secondo grado in due variabili.
Se si considera l'equazione quadratica nella forma:
ax + 2hxy + by + 2 gx + 2 fy + c =0
2 2
si ha la seguente casistica:
se h2 = ab , l'equazione rappresenta una parabola
se h2 < ab e a=b e h=0 , l'equazione determina una ellisse
se h2 > ab, l'equazione rappresenta una iperbole
La parabola
La parabola è una sezione conica generata dall'intersezione di un cono
circolare retto e un piano parallelo a una retta generatrice del cono.
La parabola può anche essere definita come luogo geometrico dei punti
equidistanti da un punto F detto fuoco e una retta r detta direttrice. La
retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse
della parabola. L'asse della parabola è un asse di simmetria e interseca
la parabola nel vertice.
Una parabola con asse parallelo
all'asse y è rappresentata da
all'asse y è rappresentata da
un'equazione del tipo:
y=ax2+bx+c
Una parabola con asse parallelo
all'asse x è rappresentata da
un'equazione del tipo:
x=ay2+by+c

12. La parabola: parametri a, b e c
1) Il coefficiente a determina il verso cui è rivolta la concavità (detta
anche apertura) della parabola
a > 0 : concavità verso l’alto (ordinate crescenti), vertice in basso
a < 0 : concavità verso il basso (ordinate decrescenti), vertice in
alto
a = 0 : parabola degenere (in una retta)
La parabola: parametri a, b e c
2) I coefficienti a e b sono legati alla posizione dell'asse di simmetria
della parabola, l’equazione di tale retta parallela all’asse y è :
b
x=−
2a
3) Il punto d’intersezione della parabola con l’asse y dipende dal
coefficiente c: il valore dell’ordinata di tale punto è proprio c
4) L’ordinata del vertice dipende da a, b e c e si può ottenere
L’ordinata del vertice dipende da a, b e c e si può ottenere
utilizzando la relazione: 2
− +
y = b 4 ac
V
4a
5) L’ascissa del vertice dipende da a e b: il suo valore si può ottenere
utilizzando la relazione:
xV=-b/2a

13. La parabola: parametri a, b e c
6) La mutua posizione di parabola e asse x dipende da a, b e c, più
precisamente dalla loro combinazione espressa dal cosiddetto
∆
∆
discriminante : ∆=b2-4ac
∆
∆>0 : l’asse x è secante rispetto alla parabola
∆=0 : l’asse x è tangente rispetto alla parabola
∆<0 :l’asse x è esterno alla parabola
La parabola caratteristiche
Parabola con asse verticale
Discriminante: ∆ = b2 − 4ac
Equazione dell'asse di simmetria: x=-b/2a
∆
∆
Coordinate del vertice: V(-b/2a; -∆/4a)
∆
∆
∆
Coordinate del fuoco: F(-b/2a; (1- ∆)/4a)
∆

14. La parabola caratteristiche
∆
Equazione della direttrice: y=- (1+ ∆)/4a
Parabola con asse orizzontale
Discriminante: ∆ = b2 − 4ac
Equazione dell'asse di simmetria: y=-b/2a
∆
∆
∆
∆
Coordinate del vertice: V(-∆/4a ; -b/2a)
Coordinate del vertice: V(-∆/4a ; -b/2a)
∆
∆
∆
∆
Coordinate del fuoco: F((1- ∆)/4a ; -b/2a)
∆
Equazione della direttrice: x=- (1+ ∆)/4a
∆
∆
∆
La parabola
Esercizio1: Determinare l'equazione della parabola passante per i
punti A(-1;3) B(0;4) C(3;-5)
Sappiamo che l’equazione della parabola è: y=ax2+bx+c. Sostituendo i
tre punti abbiamo: A(-1;3) ⇒ 3= a-b+c
B(0;4) ⇒ 4= +c
C(3;-5) ⇒ -5= 9a+3b+c
Per cui dobbiamo risolvere il sistema di equazione:
Per cui dobbiamo risolvere il sistema di equazione:
a − b + c = 3 c = 4 c = 4
  
c = 4 ⇒ a - b = -1 ⇒ a = b - 1
  
 9 a + 3b + c = − 5 9a + 3b = -9 9b - 9 + 3b = -9
Da cui otteniamo: c=4; b=0; a=-1 cioè la parabola ha equazione
y=-x2+4

15. La parabola
Esercizio2: Determinare l'equazione della parabola avente il vertice
in V(1;3) e passante per A(3;-1)
Il vertice ci fornisce due condizioni la terza la fornisce il passaggio per
il punto A. Quindi abbiamo:
 -b
1 =
V ( 1;3 ) ⇒  2a A(3;-1) ⇒ - 1 = 9a + 3b + c


3 = a + b + c
3 = a + b + c
Osservazione: 3=a+b+c è ottenuta sostituendo le coordinate del
vertice nell’equazione della parabola (il vertice è un punto della
parabola). Il sistema da risolvere è:
b = − 2 a  b = -2a  a = -1
  
a − 2a + c = 3 ⇒ c = a + 3 ⇒ b = 2
  
9 a − 6 a + c = −1  3a + a + 3 = -1 c = 2
La parabola ha equazione: y=-x2+2x+2
L’iperbole
L’iperbole è una sezione conica generata dall'intersezione di un cono
circolare retto con un piano parallelo al suo asse.
L’iperbole può anche essere definita come luogo geometrico dei punti
del piano per i quali risulta costante la differenza delle distanze da due
F1;
punti fissi F2detti fuochi:
PF − PF = 2a
1 2
(1)
Consideriamo i due fuochi F ed F e
Consideriamo i due fuochi F1 ed F e
consideriamo come asse x la retta
passante per essi e come asse y la retta
ad essa perpendicolare e passante per il
punto medio di F 1F 2 . Detta 2c la loro
distanza, i fuochi avranno coordinate:
F1(−c;0) ed F2 (c;0)

16. L’iperbole
Utilizzando la (1) tramite opportune tramite opportune trasformazioni
2
avremo:
x
2
−
y = 1 (2)
2 2
a b
equazione cartesiana dell’iperbole
dove: b2 = a2 - c 2.
La (2) è l’equazione dell’iperbole che
La (2) è l’equazione dell’iperbole che
interseca l’asse delle x. Se interseca
l’asse delle y l’equazione diventa:
2
x
2
−
y = −1
2 2
a b
L’iperbole
Casi Particolari: 2
Per x = 0 l’equazione diventa:
y = − 1 la curva non interseca
2
l’asse y b
2
Per y = 0 l’equazione diventa:
x 2
=1 ⇒
2
x =a
2
⇒ x = ±a
a
la curva interseca l’asse x nei punti A1(−a;0) A2(a;0) che
vengono chiamati vertici dell’iperbole.

17. L’iperbole
Consideriamo le seguenti formule sull’iperbole:
2
x −y
2
Equazione dell’iperbole che interseca l’asse x: 2 2
=1
2 2
a b
Fuochi: F1(-c;0) ed F2(c;0) con c = a +b
Asintoti: y=(-b/a)x , y=b/ax
Asintoti: y=(-b/a)x , y=b/ax
Eccentricità: e=c/a
Coefficiente angolare della retta tangente in un suo punto di ascissa
x0 :
m =±b x 0
2 2
a x 0
± a
L’iperbole
Consideriamo le seguenti formule sull’iperbole:
2
x −y
2
Equazione dell’iperbole che interseca l’asse y: 2 2
= −1
2 2
a b
Fuochi: F1(0;-c) ed F2(0;c) con c = a +b
Asintoti: y=(-b/a)x , y=b/ax
Asintoti: y=(-b/a)x , y=b/ax
Eccentricità: e=c/a
Coefficiente angolare della retta tangente in un suo punto di ordinata
y0 : y
m =±b 2
0
a y 0
± a
2

18. L’iperbole
Se gli asintoti sono perpendicolari (se a = b) l'iperbole si dice iperbole
equilatera. Consideriamo le seguenti formule sull’iperbole equilatera:
c
Equazione dell’iperbole equilatera: y=
x
2
Lunghezza del semiasse trasverso: a =
c
c
Coordinate dei vertici sul semiasse trasverso: A1(- c ; c ) A( c ; c )
con c>0
Coordinate dei fuochi: F1(- 2c ;- 2c ) F2 ( 2c ; 2c ) con c>0
L’iperbole
La figura seguente mostra il grafico di un’iperbole equilatera con
equazione: y=1/x

19. L’iperbole
La figura seguente mostra come al variare di a varia l’eccentricità
dell’iperbole (ricordo che e=c/a)
L’iperbole
Esercizio1: Scrivere l'equazione dell'iperbole avente per assi gli assi
coordinati e passante per i punti P(2,3), Q(4,7)
Se imponiamo all'equazione generale dell'iperbole il passaggio per i
punti P e Q otteniamo:
4 9 16 49
2
− 2
=1 e 2
− 2
=1
a b
a b a b
a b
1 1
Ponendo u= 2
e v= 2
dovremo risolvere il sistema:
a b
4u − 9 v = 1 10 3
 ⇒ u= e v=
16 u − 49v = 1 13
2
13
10 x − 3 y
2
Quindi l’equazione del’iperbole è: =1
13 13

20. L’iperbole
Il cui grafico è:
L’ellisse
L’ellisse è una sezione conica generata dall'intersezione di un cono
circolare retto con piani che con il suo asse formano angoli 0< θ ≤π/2.
L’ellisse può anche essere definita come luogo geometrico dei punti del
piano per i quali risulta costante la somma delle distanze da due punti
fissi F1; F2 detti fuochi:
indichiamo con 2c la distanza tra
i due fuochi e con 2a la somma
i due fuochi e con 2a la somma
costante. Detti r1 ed r2 le distanze
da un punto della curva dal fuoco
si avrà:
r + r = 2a
1 2
(1)

21. L’ellisse
Dalla definizione si possono dedurre facilmente le seguenti proprietà
di simmetria:
la retta F1F2 (in figura la
retta AB) passante per i due
fuochi e la retta ad essa
perpendicolare nel suo
punto medio (in figura la
retta CD) sono assi di
O simmetria per l'ellisse;
il punto O punto medio
del segmento congiungente
i due fuochi (intersezione
dei precedenti assi) è centro
di simmetria per l'ellisse.
L’ellisse
Utilizzando la (1) tramite opportune tramite opportune
trasformazioni avremo: 2
x
2
+
y = 1 (2)
2 2
a b
equazione cartesiana dell’ellisse

22. L’ellisse
Casi Particolari:
Per a >b l’asse focale F1F2 è parallelo all’asse x
Per a < b l’asse focale F1F2 è parallelo all’asse y
Per a = b si ottiene l'equazione di una circonferenza con centro
Per a = b si ottiene l'equazione di una circonferenza con centro
nell'origine e raggio a.
L’ellisse
Consideriamo le seguenti formule sull’ellisse:
2
x +y
2
Equazione cartesiana dell’ellisse: 2 2
=1
a b
2 2
Fuochi: F1(-c;0) ed F2(c;0) con c = a − b , se a2>b2
2 2
F1(0;-c) ed F2(0;c) con c = b − a , se a2<b2
c b a
Vertici: (a;0), (-a;0), (0;-b), (0;b)
Eccentricità: e=c/a
Lunghezza asse maggiore: 2a
Lunghezza asse minore: 2b
Coefficiente angolare della retta tangente in un suo punto di ascissa
x0 :
= ± x 0
m 2
a −x
2
0

23. L’ellisse 2
x
2
y
Esercizio1: Determinare a e b in modo che l'ellisse a 2 + b 2 = 1 passi
per i punti P(-3,1,) e Q(-2,2).
Sostituiamo le coordinate dei punti nell'equazione dell'ellisse ed
abbiamo: 9 1
 a 2 + b2 = 1
4 4
 + =1
 a 2 b2
 a 2 b2
1 1
Ponendo u = e v= dovremo risolvere il sistema:
a2 b2
9u + v = 1 32 32
 ⇒ a2 = e b2 =
4u + 4v = 1 3 5
Quindi l’equazione del’ellisse è: x2 y2
3 +5 =1
32 32