1) O documento apresenta os fundamentos da geometria espacial, incluindo conceitos como ponto, reta, plano, paralelismo, perpendicularismo e poliedros. 2) É descrito o cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas espaciais como prisma, piramide e cilindro. 3) O documento contém exercícios resolvidos sobre os tópicos apresentados.

2. F UNDAMENTOS
DA
´
M ATEM A TICA IV

3. SOMESB
¸˜
Sociedade Mantenedora de Educacao Superior da Bahia S/C Ltda.
Presidente ´
Gervasio Meneses de Oliveira
Vice-Presidente William Oliveira
Superintendente Administrativo e Financeiro Samuel Soares
˜
Superintendente de Ensino, Pesquisa e Extensao Germano Tabacof
Superintendente de Desenvolvimento e
ˆ
Planejamento Academico ˜
Pedro Daltro Gusmao da Silva
FTC – EaD
ˆ ˆ
Faculdade de Tecnologia e Ciencias – Ensino a Distancia
Diretor Geral Waldeck Ornelas
ˆ
Diretor Academico Roberto Frederico Merhy
Diretor de Tecnologia ´
Andre Portnoi
Diretor Administrativo e Financeiro Reinaldo de Oliveira Borba
ˆ
Gerente Academico Ronaldo Costa
Gerente de Ensino Jane Freire
´
Gerente de Suporte Tecnologico Jean Carlo Nerone
Coord. de Softwares e Sistemas ˆ
Romulo Augusto Merhy
¸˜
Coord. de Telecomunicacoes e Hardware Osmane Chaves
¸˜ ´
Coord. de Producao de Material Didatico ˜
Joao Jacomel
E QUIPE ¸˜
DE ELABORAC AO ¸˜
/ P RODUC AO ´
DE MATERIAL DID ATICO
ˆ
Producao Academica
¸˜
Gerente de Ensino Jane Freire
Autor Eleazar Gerardo Madriz Lozada
˜
Supervisao Ana Paula Amorim
˜
Revisao Final Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.
¸˜ ´
Producao Tecnica
Edicao em LATEX 2ε
¸˜ Adriano Pedreira Cattai
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.
˜
Revisao de Texto Carlos Magno
Coordenacao
¸˜ ˜
Joao Jacomel
´
Equipe Tecnica Ana Carolina Alves, Cefas Gomes, Delmara Brito,
´
Fabio Goncalves, Francisco Franca J ´
¸ ¸ unior, Israel Dantas,
Lucas do Vale, Herm´ınio Filho, Alexandre Ribeiro e Diego Maia.
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Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98.
´ ¸˜ ¸˜ ´
E proibida a reproduc ao total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorizac ao previa, por escrito, da FTC EaD -
ˆ ` ˆ
Faculdade de Tecnologia e Ciencias - Ensino a distancia.
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4. Sum´rio
a
Geometria Espacial 7
Paralelismo e Perpendicularismo. Poliedros. 7
1.1 Ponto, Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 ˆ
Axiomas de Incidencia e Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 ¸˜
Posicoes relativas entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 ¸˜ ¸˜
Outras condicoes para a construcao de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4 ¸˜
Intersecao de Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5 Semiplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.6 Retas Reversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
ı
1.1.8 Paralelismo entre Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.9 ¸˜
Posicoes Relativas entre uma Reta e um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.10 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ı
1.2 ˆ
Angulo entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
ı
1.3 Reta e Plano Perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
ı
1.4 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Poliedro Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 ¸˜
Relacao de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Poliedros Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
˜
Poliedros de Platao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.4 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ı
1.5 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
´
Solidos e Superf´cies
ı 25
2.1 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Paralelep´pedos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ı
2.1.2 ´ ´
Area Lateral e Area Total do Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Volume do Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.4 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ı
2.1.5 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Cavalieri e os Indivis´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ı
2.2 ˆ
Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
ı
2.3 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ı
3

5. ´
Fundamentos da Matematica IV
2.4 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Elementos do Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Superf´cies de um Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ı
2.4.3 ¸˜
Classificacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.4 ¸˜
Secao Meridiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.5 ´ ´
Calculo das Areas de um Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.6 Volume do Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.7 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ı
2.5 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.1 Superf´cie da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ı
2.5.2 ¸˜
Secoes Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.3 Elementos da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.4 ´ ˆ
Calculo das Distancias Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.5 ´
Area e Volume de uma Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
´
Area da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Volume da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
´ ¸˜
Area da secao (c´rculo) na esfera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ı
´ ¸˜ ´
Area da secao (coroa circular) no solido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 ¸˜ ¸˜ ´
Inscricao, Circunscricao de Solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Porcentagem do Volume da Esfera Ocupada por um Poliedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.1 ´
Algumas Propriedades Metricas dos Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.2 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
ı
2.7 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
´ ´ ˆ
Analise Combinatoria e Binomio de Newton 43
´ ´ ´
Princ´pios Basicos da Analise Combinatoria
ı 43
3.1 ¨ˆ
Princ´pio Fundamental de Contagem e Consequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
ı
3.1.1 Princ´pio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
ı
3.1.2 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ı
3.2 ¸˜
Princ´pio de Inducao Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ı
3.2.1 ¸˜ ´ ¸˜
Como demonstrar que uma proposicao e verdadeira por inducao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 ¸˜
Arranjo e Permutacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 Arranjo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3 ¸˜
Permutacoes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.4 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
ı
3.4 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
¸˜ ¸˜ ˆ
Combinacao, Permutacao e Binomio de Newton 53
4.1 ¸˜
Combinacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
ı
4.2 ¸˜
Permutacao Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
ı
4.3 ˆ ´
O Triangulo Aritmetico de Pascal (ou de Tartaglia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4

6. 4.3.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ı
4.4 ˆ
O Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
ı
4.5 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Atividade Orientada 61
Atividade Orientada 61
6.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
´
PROPOSTA METODOLOGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Procedimentos:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
¸˜
Problematizacao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Procedimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
¸˜
Consideracao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Questionamentos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Para refletir: (Liberte sua mente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
ˆ ´
Referencias Bibliograficas 66
5

7. ´
Fundamentos da Matematica IV
Apresenta¸˜o da Disciplina
ca
Prezado aluno,
´ ˜
O estudo de Geometria Espacial e da Matematica Discreta sao temas
centrais nos conte ´
udos de Matem ´ ´
atica da segunda serie do Ensino
´
Medio. Em geral, os estudantes apresentam dificuldades quando iniciam
´
seus estudos nestas duas areas. Poder´ ıamos dizer que a Geometria
¸˜
Espacial requer um esforco maior de imaginacao do que a Geometria
¸
` ¸˜ ¸˜
Plana, devido as limitacoes causadas pela representacao das figuras em
˜ ´ ´
duas dimensoes. Por outro lado, alguns topicos da Matematica Discreta
´ ´
utilizam-se de tecnicas bem diferentes daquelas que o estudante esta
˜
acostumado, necessitando, entao, fazer uso do seu racioc´ ´
ınioogico e
l
¨ˆ ´
criativo com muito mais frequencia do que nas series anteriores.
Para que os alunos possam superar estas dificuldades, os professores
precisam ter um bom dom´ınio do conte ´ a ser trabalhado. O professor
udo
˜
nao deve simplesmente contentar-se em como resolver os problemas
´
que comumente aparecem nos livros, e, sim, aprofundar-se nestas areas
´ ´ ¸˜ ´
da Matematica. E preciso ter uma orientacao adequada, ja que se corre
´
o risco de transmitir para o aluno a ideia de que os assuntos tratados
requerem o uso de uma grande quantidade de artif´ ıcios e, dessa forma,
´ ´ ˆ
cometer o erro de reforcar a ideia da Matematica como uma ciencia de
¸
dif´ entendimento e restrita a poucos.
ıcil
´
Este material foi escrito para o curso de Licenciatura em Matematica da
FTC-Ead e visa, fundamentalmente, fornecer subs´ıdios para evitar que
˜
tudo isso nao venha a ocorrer.
Bons estudos!
Prof. Eleazar Madriz.
6

8. Geometria Espacial
Paralelismo e Perpendicularismo.
Poliedros.
1.1 Ponto, Reta e Plano
ˆ ´ ´
Imagine que voce esta voltando do seu trabalho numa noite e, no exato instante em que esta em
ˆ ¸˜ ´ ´ ˆ
frente a sua casa, a rua onde mora fica sem energia, e voce, guiado pela intuicao, olha para o ceu e so ve
estrelas. Voce fica maravilhado com o espetaculo e, so depois de 10 minutos, volta a energia e a vida segue
ˆ ´ ´
´
normalmente. No dia seguinte, o professor de Matematica de sua turma se atrapalha quando fala sobre o
´ ˆ ´ ´ ¸˜
que e um ponto e voce fala para ele - professor e so olhar as estrelas. Com esta situacao, queremos ilustrar
´ ´
a dificuldade que existe quando tentamos definir o que e um ponto. Dificuldade esta que os matematicos
´ ¸˜ ´ ¸˜
encaram axiomaticamente, isto e, aceitando “proposicoes” como validas sem contestacoes, ou seja, sem
ter como provar sua veracidade.
Originado da palavra grega αξιωµα (axioma), o termo axioma significa algo que e considerado ajustado
´
ou adequado, ou que tem um significado evidente. A palavra axioma vem de αξιo ειν (axioein), significando
considerar digno que, por sua vez, vem de αξ o ζ (axios), significando digno. Entre os filosofos gregos
´
¸˜
antigos, um axioma era uma reivindicacao que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade
´
de prova. Na epistemologia (significado da palavra), um axioma e uma verdade auto-evidente sobre a qual
´
outros conhecimentos devem se apoiar, da qual outro conhecimento e constru´do. Para dizer o m´nimo,
ı ı
nem todos os epistemologistas concordam que os axiomas, entendidos neste sentido, existem. A palavra
´ ˜ ´ ¸˜ ´
axioma como usada na Matematica moderna, nao e uma proposicao que e auto-evidente. Mais do que
´
isso, simplesmente significa um ponto de partida em um sistema logico.
˜
Provavelmente, o mais famoso e mais antigo conjunto de axiomas sao os postulados de Euclides.
Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.) foi um professor, matematico platonico e escritor de origem de-
´ ˆ
sconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: ´
o espac o euclidiano, imut
¸ ´
avel, simetrico e
´ ´ ´ ´ ´
geometrico, metafora do saber na antiguidade classica, que se manteve incolume no pensamento matema-
tico medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser constru´dos modelos de
ı
˜ ˜
geometrias nao-euclidianas. Teria sido educado em Atenas e frequentado a Academia de Platao, em
¨
pleno florescimento da cultura helen´stica. Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de profes-
ı
´ ´
sores da recem fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do saber da epoca, tornou-se o
´
mais importante autor de Matematica da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com
seu monumental Stoichia (Os elementos, 300 a.C.), no estilo livro de texto, uma obra em treze volumes,
ˆ ¸˜
sendo cinco sobre geometria plana, tres sobre numeros, um sobre a teoria das proporcoes, um sobre
´
´ ˆ ´
incomensuraveis e os tres ultimos sobre geometria no espac o. Escrita em grego, a obra cobria toda a
¸
´ ´ ´ ˜
aritmetica, a algebra e a geometria conhecidas ate entao no mundo grego, reunindo o trabalho de seus
7

9. ´
Fundamentos da Matematica IV
´ ´ ´
predecessores, como Hipocrates e Eudoxio. Sistematizava todo o conhecimento geometrico dos antigos e
´ ¸˜
intercalava os teoremas ja conhecidos, com a demonstracao de muitos outros que completavam lacunas e
ˆ ´ ´ ¸˜
davam coerencia e encadeamento logico ao sistema por ele criado. Apos sua primeira edicao foi copiado
´ ´
e re-copiado inumeras vezes e, versado para o arabe (774), tornou-se o mais influente texto cient´fico de
ı
¸˜ ´
todos os tempos e um dos com maior numero de publicacoes ao longo da historia.
´
´
Depois da queda do Imperio Romano, os livros de Euclides foram recuperados para a sociedade eu-
´ ´ ´ ´ ´
ropeia pelos estudiosos arabes da pen´nsula Iberica. Escreveu ainda Optica (295 a.C.), sobre a otica da
ı
˜ ˆ ´ ´
visao e sobre Astrologia, Astronomia, Musica e Mecanica, alem de outros livros sobre Matematica. Entre
´
eles citam-se Lugares de Superf´cie, Pseudaria e Porismas. Algumas das suas obras como Os elementos,
ı
´
Os Dados, outro livro de texto, uma especie de manual de tabelas de uso interno na Academia e com-
˜ ˜ ´
plemento dos seis primeiros volumes de Os Elementos, divisao de figuras, sobre a divisao geometrica de
ˆ ´ ˜
figuras planas, Os Fenomenos, sobre Astronomia, e Optica, sobre a visao, sobreviveram parcialmente e
˜ ´
hoje sao, depois de A Esfera de Autolico, os mais antigos tratados cient´ficos gregos existentes. Pela sua
ı
maneira de expor nos escritos deduz-se que tenha sido um habil´ssimo professor.
ı
´ ˜
Euclides, provavelmente, recebeu os primeiros ensinamentos de Matematica dos disc´pulo de Platao.
ı
ˆ
Ptolomeu I - general macedonio (favorito de Alexandre, o Grande) - trouxe Euclides de Atenas para Alexan-
ˆ ˆ
dria. Esta se tornara a nova capital eg´pcia no litoral mediterraneo e centro economico e intelectual do
ı
´ ´
mundo helen´stico. O sabio fundou a Escola de Matematica na renomada Biblioteca de Alexandria, que
ı
pode ter alcanc ado a cifra de 700.000 rolos (papiros e pergaminhos). Alexandria, a partir de Euclides at´ o
¸ e
seculo I V d.C., reinou quase absoluta nao so como a mais ecletica e cosmopolita cidade da Antiguidade,
´ ˜ ´ ´ ¨
´ ¸˜ ´ ´
mas tambem como principal centro de producao matematica. Alem de Os Elementos, a bibliografia de
´ ´ ¸˜ ´ ˜
Euclides e ecletica e valiosa: Os Dados (solucao de problemas geometricos planos); Da Divisao (trata da
˜ ˆ ´ ` ´
divisao de figuras planas); Fenomenos (geometria esferica aplicada a astronomia); Optica (que trata da
¸˜ ˆ
geometria dos raios refletidos e dos raios refratados); Introducao Harmonica (musica). E para desfortuna
´
´
de milhares de matematicos, muitas das obras de Euclides se perderam: Lugares de superf´cie, Pseudaria,
ı
´
Porismas (que pode ter representado algo proximo da nossa atual Geometria Anal´tica). Precipuamente,
ı
ˆ ˆ
lamenta-se o desaparecimento de As Conicas, obra do autor, que, conforme referencias, deve ter tratado
´ ´ ´
da esfera, do cilindro, do cone, do elipsoide, do paraboloide e do hiperboloide, etc. A biblioteca de Alexan-
´
dria estava muito proxima do que se entende hoje por Universidade. E se faz apropriado o depoimento do
´ ´
insigne Carl B. Boyer, em a Historia da Matematica:
˜ ¸˜
“A Universidade de Alexandria, evidentemente, nao diferia muito de instituicoes modernas de
cultura superior”.
Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa, outros eram melhores como admin-
istradores e outros ainda eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar. Pelos relatos que possu´mos,
ı
` ´ ´
parece que Euclides definitivamente pertencia a ultima categoria. Nenhuma descoberta nova e atribu´da
ı
´
a ele, mas era conhecido pela sua habilidade ao expor. Essa e a chave do sucesso de sua maior obra
“Os Elementos”. Euclides foi sinonimo de Geometria e reinou absoluto ate o seculo X I X , quando foi par-
ˆ ´ ´
˜
cialmente contestado por Riemann, Lobatchewski e Bolyai (criadores das geometrias nao-euclidianas). Na
´
Teoria da Relatividade, a geometria euclidiana nem sempre e verdadeira. Exemplo: no gigantesco campo
´
gravitacional, que orbita nas vizinhanc as dos buracos negros e nas estrelas de n
¸ ˆ
eutrons. Mesmo assim,
´ ˜
o proprio Einstein se faz reconhecido: “Quem, na juventude, nao teve seu entusiasmo despertado por
˜
Euclides, certamente nao nasceu para ser cientista”.
´ ´ ˜ ´
As figuras geometricas basicas, no plano, sao os pontos e as retas. O plano e formado de pontos e as
8

10. ˜ ´
retas sao subconjuntos especiais do plano, ja que elas podem ser definidas a partir dos pontos. Os pontos
e as retas do plano satisfazem um grupo de axiomas que apresentaremos ao longo deste material. Um
plano pode ser imaginado como a superf´cie de uma folha de papel na qual podemos estender sem nenhum
ı
¸˜ ¸˜
tipo de restricao em qualquer direcao. Nela, um ponto pode ser interpretado como a marca gerada quando
´ ´ ´
a ponta de um lapis encontra a folha de papel, ou quando o lapis e pressionado sobre o papel. Com o
´ ´
aux´lio de uma regua, o desenho de uma parte da reta pode ser feito. E comum o uso de desenhos quando
ı
´
queremos estudar geometria, mas, devemos advertir que os desenhos so devem ser considerados como
um instrumento que possibilita o manejo da linguagem formal envolvida na geometria. No decorrer deste
´ ´
material, usaremos letras maiusculas do alfabeto indo-arabico para denotar pontos; e letras minusculas,
´
do mesmo alfabeto, para designar retas.
1.1.1 Axiomas de Incidˆncia e Ordem
e
¸˜
A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliacao da Geometria plana (euclidiana) e
´ ¸˜
trata dos metodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relacao entre esses ele-
˜
mentos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, sao: pontos, retas, segmentos de retas, planos,
ˆ ´ ˜
curvas, angulos e superf´cies. Os principais tipos de calculos que podemos realizar sao: comprimentos
ı
´ ˜ ´
de curvas, areas de superf´cies e volumes de regioes solidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos
ı
˜ ¸˜
primitivos, os quais serao aceitos sem definicao. Consideraremos o ponto, a reta e o plano como objetos
´ ´ ´ ˜ ¸˜
matematicos definidos de forma axiomatica, isto e, que nao precisamos de demonstracao alguma para
ˆ ´ ¸˜
aceitar sua existencia. Destes elementos basicos temos um conhecimento gerado pela intuicao e das
ˆ ¸˜ ´
experiencias que a observacao nos da.
Para o estudo da Geometria Espacial (euclidiana), lidaremos com um conjunto-universo denominado
¸ ¸ ´
espaco. O espac o intuitivamente e o conjunto de todos os pontos e qualquer conjunto de pontos (como
´
por exemplo uma reta, um plano, uma esfera) e um subconjunto do espac o.
¸
¸˜
A Geometria Espacial funciona como uma ampliacao da Geometria Plana (euclidiana) e trata dos
´ ¸˜
metodos apropriados para o estudo de objetos espaciais, assim como a relacao entre esses elementos.
˜
Os objetos tratados na Geometria Espacial sao os pontos, as retas, os segmentos de retas, os planos, as
ˆ ´ ˜
curvas, os angulos e as superf´cies. Os principais tipos de calculos que podemos realizar sao os compri-
ı
´ ˜ ´
mentos de curvas, as areas de superf´cies e os volumes de regioes solidas.
ı
Assim, para iniciar o estudo da Geometria Espacial, enunciaremos alguns axiomas que relacionam o
ponto, a reta e o plano.
ˆ ˜
O axioma a seguir estabelece a existencia de pontos que pertencem ou nao a uma reta dada. Formal-
mente temos:
A r
`
Axioma 1. Para qualquer reta existem pontos que pertencem a reta
α
˜ `
e pontos que nao pertencem a reta.
´ ´ ´
Ja o proximo axioma responde a seguinte pergunta: “dados dois pontos existira uma reta que os
´
contem?”
9

11. ´
Fundamentos da Matematica IV
Axioma 2. Para qualquer par de pontos distintos existe uma A B
´ ´
unica reta que os contem. ←→ r
r = AB
¸˜ ´ ¸˜
As primeiras definicoes basicas associadas a estes axiomas envolvem relacoes entre pontos e entre
´
pontos e retas. A primeira descreve quando varios pontos pertencem a mesma reta e a segunda quando
¸˜ ˜
duas retas se cortam. Estas definicoes sao fundamentais no desenvolvimento dos teoremas que usam a
¸˜
Geometria Espacial na resolucao de problemas.
1.1 Defini¸˜o. Diremos que tres pontos sao colineares se existe somente uma reta que os contem.
ca ˆ ˜ ´
n
P
1.2 Defini¸˜o. Diremos que duas retas se interceptam se elas
ca
ˆ
tem um ponto em comum. m
C B
A
Consideremos uma reta m e sobre ela os pontos A, B e C .
Podemos dizer que o ponto C localiza-se entre os pontos A e B , ou que os pontos A e B estao separa-
˜
dos pelo ponto C . Esta nocao de que um ponto localize-se entre dois outros e uma relacao que motiva o
¸˜ ´ ¸˜
seguinte axioma:
B C r
ˆ ´
Axioma 3. Dados tres pontos distintos em uma reta, um e so A
α
um localiza-se entre os outros dois.
¸˜
A partir deste axioma podemos apresentar a seguinte definicao:
1.3 Defini¸˜o. Sejam A e B dois pontos e r a reta que passa por eles. Chamaremos de segmento AB ao
ca
conjunto de todos os pontos de r e que estao localizados entre A e B . A e B sao chamados de extremos
˜ ˜
do segmento AB .
˜ ´ ˆ ´
Muitas figuras sao constru´das usando-se segmentos. A mais simples e o triangulo que e formado por
ı
ˆ ˜ ˆ ˆ
tres pontos que nao pertencem a uma mesma reta e pelos tres segmentos determinados por estes tres
pontos.
¸˜
A partir destas definicoes podemos enunciar o primeiro dos teorema da Geometria Espacial, o qual
¸˜ ´
garante a relacao basica entre duas retas.
1.4 Teorema. Duas retas se interceptam em um unico ponto ou nao se interceptam.
´ ˜
Antes de apresentar a demonstracao do teorema 1.4 lembre-se que, em geral, na matematica existem
¸˜ ´
´ ¸˜ ˜ ¸˜
dois tipos basicos de proposicoes: as que sao aceitas sem demonstracao, chamadas de axiomas e, as
´
que podem ser deduzidas dos axiomas, conhecidas como lemas, teoremas e corolarios. Estas ultimas
´
podem ser ordenadas da seguinte maneira: os lemas podem ser usados para demonstrar um teorema e
´ ˜ ¨ˆ
os corolarios, sao uma consequencia do teorema.
10

12. ˆ ˜
Prova. Pelo axioma 2, se duas retas tem mais de um ponto em comum, entao elas devem coincidir.
` ¸˜ ´ ´ ´
Portanto, a intersecao e vazia ou contem so um ponto. 2
´ ´
Observe como e utilizado o axioma 2 na prova do teorema anterior. Ele e fundamental para estabelecer
˜ ´ ´ ˜
a conexao necessaria entre a hipotese e a tese que compoem o teorema.
´ ´ ˆ ´
Outro objeto elementar da geometria espacial e o plano. Este e de muita importancia, ja que nele
´ ˜
podemos agrupar diferentes objetos geometricos que sao fundamentais para esta geometria. Um axioma
´ ˆ ´
se faz necessario para garantir a existencia e unicidade deste tipo de objeto geometrico.
A B C
ˆ ˜
Axioma 4. Tres pontos nao-colineares determinam um unico plano.
´
α = (A, B , C )
ˆ
O axioma anterior garante a existencia e unicidade de um plano. Todavia, precisamos saber constru´-lo.
ı
´ ¸˜ ¸˜
O teorema a seguir nos da uma (das tantas) condicoes para tal construcao.
1.5 Teorema. Uma reta m e um ponto P , que nao pertence a m, determinam um unico plano que os
˜ ´
´
contem. Simbolicamente,
(P ∈ m) ⇒ (∃!α [P ∈ α ∧ m ⊂ α]). ( 1.1 )
Observe que a hipotese do teorema e P ∈ m e que a tese e (∃!α [P ∈ α ∧ m ⊂ α]), ou seja, devemos
´ ´ ´
provar que se o ponto P nao esta na reta m ⊂ α, entao existe um unico plano α que contem o conjunto
˜ ´ ˜ ´ ´
formado pelo ponto P e pela reta m. Para isto devemos provar que o plano existe e depois garantir a
˜
unicidade do mesmo. Vejamos entao a prova deste teorema.
Prova. Consideremos dois pontos A e B da reta m. Uma vez que P nao pertence a reta m, A, B e P sao
˜ ˜
˜
nao colineares. Assim, pelo axioma 1.1.6, estes determinam um plano α. Pela construcao, α contem a
¸˜ ´
reta m e o ponto P . 2
m m m
P B P B P
α A α A α
1.1.2 Posi¸oes relativas entre duas retas
c˜
As retas podem ser entendidas como conjuntos de pontos no plano. A partir disto, podemos estudar a
¸˜ ¸˜
intersecao entres duas delas por meio da seguinte definicao.
n
1.6 Defini¸˜o. Duas retas sao chamadas de concorrentes se elas tem
ca ˜ ˆ
um unico ponto em comum.
´ m
Pelo Teorema 1.4 duas retas podem n˜o ter intercedamo. Por isso, temos dois poss´
a ıveis casos:
As retas s˜o coplanares:
a
11

13. ´
Fundamentos da Matematica IV
n
1.7 Defini¸˜o. Duas retas sao chamadas de paralelas se elas sao
ca ˜ ˜
˜ ˆ
coplanares nao tem um ponto em comum. m
Usaremos s r para denotar que as retas s e r s˜o paralelas.
a
As retas n˜o s˜o coplanares:
a a
1.8 Defini¸˜o. Duas retas sao reversas se nao existe um plano que as contenha.
ca ˜ ˜
Conseq¨entemente, podemos dizer que: Dadas duas retas distintas, ou elas s˜o concorrentes, ou paralelas ou
u a
reversas.
O axioma mais famoso de Euclides garante que se duas retas concorrentes s˜o paralelas a uma terceira reta
a
ent˜o elas s˜o coincidentes. Em outras palavras:
a a
Axioma 5. Por um ponto fora de uma reta m pode-se tracar uma unica reta paralela a m.
¸ ´
O axioma 5 ´ conhecido como O Quinto Postulado de Euclides ou Postulado das paralelas e ´ o postulado
e e
que caracteriza a geometria Euclidiana.
O paralelismo pode ser visto como uma rela¸˜o sobre o conjunto de retas em um plano. A rela¸˜o pode ser
ca ca
definida como: Sejam m e n duas retas no plano α, diremos que m ∼ n se, e somente se, m e n s˜o paralelas.
a
Esta rela¸˜o ´ reflexiva, j´ que toda reta ´ paralela a ela mesma, e ´ sim´trica, j´ que se m ´ paralela a n, ent˜o
ca e a e e e a e a
n ´ paralela a m. O seguinte teorema garante que a ∼ ´ transitiva.
e e
1.9 Teorema. Se duas retas m e n sao paralelas a uma reta s , entao m e n sao paralelas. Simbolicamente,
˜ ˜ ˜
(m s ∧ n s ) ⇒ (m n).
ˆ ˜
Prova. Consideraremos o caso geral onde as tres retas sao distintas.
Por hipotese, as retas m e s determinam um plano α. De maneira analoga, as retas n e s tambem
´ ´ ´
determinam um plano, β. Como s e comum aos planos α e β, s e a intersecao destes planos.
´ ´ ¸˜
Tomemos um ponto P em n e consideremos o plano γ que contem a reta m e o ponto P . Os planos
´ `
distintos β e γ tem em comum o ponto P . Logo, existe uma reta r em comum a β e γ. Assim, o ponto
ˆ
P pertence as retas n e r e ambas sao paralelas a reta s . Logo, pelo axioma 5, a reta r e igual a reta n.
` ˜ ` ´ `
Portanto, como m e paralela a r e r = n, vem que m e paralela a n.
´ ´ 2
1.1.3 Outras condi¸oes para a constru¸˜o de um plano
c˜ ca
Vimos no axioma 1.1.6 que dados tres pontos nao colineares existe um e somente um plano que os
ˆ ˜
´ ¸˜ ¸˜ ¸˜ ¸˜
contem. Utilizando as definicoes da secao anterior podemos reunir outras condicoes para a construcao de
˜
um plano, sao elas:
— Usando uma reta e um ponto fora da reta.
— Usando duas retas concorrentes.
— Usando duas retas paralelas distintas.
12

14. ¸˜ ´ ¸˜
Apresentaremos, formalmente, estas construcoes atraves de teoremas e respectivas demonstracoes.
1.10 Teorema. Duas retas m e n concorrentes determinam um unico plano que as contem. Simbolica-
´ ´
mente,
(m ∩ n = P ⇒ (∃!α [m ⊂ α ∧ n ⊂ α]) ( 1.2 )
Observe que neste caso a hipotese e m ∩ n = P e a tese e (∃!α [m ⊂ α ∧ n ⊂ α]). Devemos provar a
´ ´ ´
ˆ
existencia e a unicidade do plano.
Prova. Consideremos um ponto A da reta m e um ponto B da reta n, ambos distintos do ponto P , onde
P e o ponto que m e n tem em comum. Ja que os pontos A, B e P nao sao colineares, pelo axioma
´ ˆ ´ ˜ ˜ 1.1.6,
eles determinam um unico plano α.
´ 2
1.11 Teorema. Consideremos duas retas paralelas distintas. Entao, elas determinam um unico plano que
˜ ´
´
as contem.
O teorema pode ser representado como;
(t s ∧ r = s ) ⇒ (∃!α [r ⊂ α ∧ s ⊂ α]) ( 1.3)
A demonstracao do teorema consiste em supor que existem dois planos α e α que passam por r e s e
¸˜
logo em seguida se verifica que eles coincidem.
Prova. Sejam A e B dois pontos distintos em r e P um ponto em s . Visto que r s , temos:
(α = (r , s ); A, B ∈ r ; P ∈ s ) ⇒ α = (A, B , P )
(α = (r , s ); A, B ∈ r ; P ∈ s ) ⇒ α = (A, B , P )
Portanto, α = α . 2
1.1.4 Interse¸˜o de Planos
ca
Axioma 6. Se dois planos distintos tem um ponto em comum A, existe outro ponto B , comum aos planos,
ˆ
diferente de A.
1.12 Teorema. Sejam α e β dois planos distintos. Se eles tem um ponto em comum A, entao a intersecao
ˆ ˜ ¸˜
deles e uma unica reta r que passa por A. Simbolicamente,
´ ´
(α = β ∧ A ∈ α ∧ A ∈ β) ⇒ (∃!r [A ∈ r = α ∩ β]) ( 1.4 )
´
Para esta prova temos, como hipotese,
(α = β ∧ A ∈ α ∧ A ∈ β)
e como tese,
(∃! r [A ∈ r = α ∩ β]).
Prova. Se A e o ponto em comum entre os planos α e β, temos pelo axioma 6 que deve existir outro
´
ponto B diferente de A comum aos planos. Usando o axioma 2, podemos garantir que existe uma unica
´
reta r que os contem.
´ 2
A partir do teorema 1.12 podemos apresentar a seguinte definicao:
¸˜
13

15. ´
Fundamentos da Matematica IV
1.13 Defini¸˜o. Dois planos distintos que se interceptam sao chamados de secantes ou concorrentes. A
ca ˜
´ ¸˜
reta comum e a intersecao desses planos ou o traco de um deles no outro.
¸
1.1.5 Semiplanos
Axioma 7. Uma reta m de um plano α separa esse plano em dois subconjuntos Γ e Σ , tais que:
1. Γ ∩ Σ = ∅;
2. Γ e Σ sao convexas;
˜
3. (A ∈ Γ , B ∈ Σ ) ⇒ AB ∩ m = ∅.
Os conjuntos Γ e Σ sao chamados de semiplanos abertos e os conjuntos m ∪ Γ e r ∪ Σ sao chamados
˜ ˜
de semiplanos, e a reta m e a origem de cada um desses semiplanos.
´
¸˜
Observe que a intersecao de dois planos determina 4 semiplanos.
1.1.6 Retas Reversas
ˆ ¸˜
Dadas duas retas reversas e um ponto, tres situacoes poss´veis devem ser analisadas:
ı
1. O ponto pertence a uma das retas;
`
2. O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo a outra reta;
˜ `
3. O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano nao paralelo a outra.
Exemplo 1.1. Dadas tres retas, duas a duas concorrentes, nao passando por um mesmo ponto, prove
ˆ ˜
˜
que estao no mesmo plano.
Solucao: Sejam m, n e r as tres retas. Denotemos com A, B e C os pontos de concorrencia de m com
¸˜ ˆ ˆ
n, m com r , n com r respectivamente. Visto que m, n, e r nao passam por um mesmo ponto entao A, B e
˜ ˜
C nao sao colineares. Pelo axioma esses tres pontos determinarao um unico plano α procurado.
˜ ˜ ˆ ˜ ´ 2
1.1.7 Exerc´
ıcios Propostos
1.1. Quantas retas existem em um plano?
1.2. Quantas retas ha no espac o?
´ ¸
1.3. Considere os pontos A, B , C e D , dois a dois, distintos. Quantas e quais sao as retas determinadas
˜
pelos pares de pontos A, B , C e D :
(a) A, B , C e D sao colineares.
˜
(b) A, B , C e D nao sao colineares.
˜ ˜
14

16. 1.4. Frequentemente encontramos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas no chao, balanc am e nos
¨ ˜ ¸
obrigam a colocar algum calc o em uma das pernas para que fique firme. Explique usando argumentos da
¸
geometria, porque isso nao acontece com uma mesa de 3 pernas.
˜
1.5. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes proposicoes:
¸˜
1. ( ˜ ˜
) Duas retas ou sao coincidentes ou sao distintas.
2. ( ˜ ˜
) Duas retas ou sao coplanares ou sao reversas.
3. ( ) Duas retas distintas determinam um planos.
4. ( ˆ
) Duas retas concorrentes tem um ponto em comum.
1.6. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes proposicoes:
¸˜
(a) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s sao reversas.
˜
(b) r e s sao reversas ⇒ r ∩ s = ∅.
˜
1.7. Num plano α ha duas retas, m e n, concorrentes num ponto Q . Seja P um ponto fora de α. Considere
´
o plano β que contem ao ponto P e a reta m e o plano γ que contem ao ponto P e a reta n. Qual e a
´ ` ´ ` ´
intersecao de β com γ?
¸˜
1.8. Demonstre que num plano existem infinitas retas.
1.9. Quantos sao os planos determinados por quatro pontos distintos, dois a dois?
˜
1.10. Classifique em verdadeiro ou falso:
ˆ
(a) Tres pontos distintos determinam un plano;
(b) Um ponto e uma reta determinam un unico plano;
´
(c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
1.11. Duas retas distintas r e s , reversas a uma terceira reta t , sao reversas entre si?
˜
1.12. Quantos sao os planos que passam por uma reta?
˜
1.13. Quantos sao os planos que passam por dois pontos distintos?
˜
1.14. Prove a existencia de retas reversas.
ˆ
1.15. Prove que um quadrilatero reverso nao e paralelogramo.
´ ˜ ´
1.16. Prove que as diagonais de um quadrilatero reverso sao reversas.
´ ˜
1.17. Duas retas nao coplanares sao reversas?
˜ ˜
1.18. Duas retas coplanares ou sao paralelas ou sao concorrentes?
˜ ˜
s = ∅ e necessaria para que r e s sejam reversas?
1.19. A condicao r
¸˜ ´
1.20. Um ponto P e o trac o de uma reta r num plano α. Se βe um plano qualquer que passa por r , o que
´ ¸ ´
ocorre com a intersecao α ∩ β?
¸˜
1.21. Duas retas r e s sao reversas. Em r ha um ponto R e em s ha um ponto S . Sejam α o plano gerado
˜ ´ ´
por r e S , e β o gerado por s e R . Qual e a intersecao de α com β?
´ ¸˜
1.22. As retas que contem os lados de um triangulo ABC furam um plano α nos pontos O , P e R . Prove
´ ˆ
˜
que estes pontos sao colineares.
15

17. ´
Fundamentos da Matematica IV
1.1.8 Paralelismo entre Retas e Planos
1.14 Defini¸˜o. Diremos que a reta m e paralela ao plano α se, e somente se m e α nao tem um ponto
ca ´ ˜ ˆ
em comum.
Esta definicao pode ser representada como m
¸˜ α ⇔ m ∩ α = ∅.
1.15 Teorema. Se a reta m nao esta contida no plano α e e paralela a uma reta n contida em α, entao m
˜ ´ ´ ˜
e paralela a α. Simbolicamente,
´
(m α ∧ m n ∧ n ⊂ α) ⇒ m α ( 1.5 )
Neste caso a hipotese e (m
´ ´ α ∧ m n ∧ n ⊂ α) e a tese e m
´ α.
Prova. Visto que m e n sao paralelos, elas determinam um plano β cuja intersecao e a reta n. Logo,
˜ ¸˜ ´
todos os pontos comuns a α e β estao em n. Como m e n nao tem pontos comuns, temos que α e m nao
˜ ˜ ˜
tem pontos comuns logo m e α sao paralelos.
˜ 2
´ ¸˜ ¸˜
Esta e a condicao suficiente para que uma reta seja paralela a um plano. Vejamos agora a condicao
necessaria par que isto ocorra.
1.16 Teorema. Se a reta m e paralela ao plano α, entao existe uma reta n contida no plano α paralela a
´ ˜
m. Simbolicamente,
m α ⇒ (∃n ⊂ α [m n]). ( 1.6 )
Prova. Conduzimos por m um plano β que intercepta ao plano α. Logo, a intersecao de α com β nos
¸˜
da uma reta n. As retas m e n sao coplanares, pois estao em β e nao tem ponto em comum. Logo, m e n
˜ ˜ ˜ ˆ
˜
sao paralelas, completando assim a prova do teorema. 2
Os teoremas 1.15 e 1.16 apresentam as condicoes suficiente e necessaria, respectivamente, para a
` ¸˜ ´
ˆ
existencia de retas e planos paralelos. Podemos resumi-los no seguinte teorema.
1.17 Teorema. Uma condicao necessaria e suficiente para que uma reta m, que nao pertence ao plano
¸˜ ´ ˜
α, seja paralela a esse plano, e que exista uma reta n contida no plano α paralela a m.
´
1.1.9 Posi¸oes Relativas entre uma Reta e um Plano
c˜
Uma reta e um plano podem apresentar:
A C
1. Dois pontos distintos; B
2. Um unico ponto em comum;
´
m
3. Nenhum ponto em comum. α
1.1.10 Exerc´
ıcios Propostos
1.23. Considere um quadrilatero A, B , C e D , os pontos M , N , P , Q e R sao respectivamente pontos
´ ˜
medios dos segmentos AB , AD , C D , BC , BD e AC . Prove que MNPQ e um paralelogramo.
´ ´
16

18. 1.24. Construa uma reta paralela a um plano dado.
1.25. Construa um plano paralelo a uma reta dada.
1.26. Prove que: Se uma reta e paralela a dois planos secantes, entao ela e paralela a intersecao.
´ ˜ ´ ` ¸˜
1.27. Dadas duas retas m e n, construa um plano α paralelo a m que contenha a m.
1.28. Construa, por um ponto P , um plano paralelo a duas retas reversas m e n dadas.
1.29. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes proposicoes:
¸˜
ˆ ˜
1. Uma reta e um plano que tem um ponto comum sao concorrentes.
˜ ˆ
2. Uma reta e um plano paralelos nao tem ponto comum.
´ ´
3. Se uma reta e paralela a um plano, ela e paralela a qualquer reta do plano.
4. Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma, encontra a outra.
5. Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma, encontra a outra.
´ ´
6. Por qualquer ponto e poss´vel conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.
ı
1.30. Construa, por um ponto P , uma reta que se apoia em duas retas reversas r e s dadas.
´
1.31. Construa por um ponto P um plano paralelo a duas retas reversas r e s dadas.
1.32. Dadas duas retas reversas, existem pontos P pelos quais nao passa nenhuma reta que se apoie em
˜ ´
ambas?
1.33. Dadas duas retas reversas, prove que o plano paralelo a uma delas, conduzida pela outra, e unico.
´ ´
1.2 ˆ
Angulo entre Duas Retas
ˆ ´
Na Geometria plana vimos que angulo e a abertura formada por duas semi-retas de mesma origem.
˜
Visto que na geometria espacial trabalhamos com retas que podem nao ter pontos em comum precisamos
ˆ
definir angulo entre retas quaisquer.
1.18 Defini¸˜o. Duas retas que se interceptam determinam quatro angulos, dois a dois opostos pelo
ca ˆ
vertice. O angulo entre elas e definido como menor desses angulos. Se as retas r1 e r2 sao reversas,
´ ˆ ´ ˆ ˜
entao existe um ponto P de r1 por onde passa uma reta s2 paralela a r2 . O angulo entre r1 e r2 e definido
˜ ˆ ´
como o angulo entre r1 e s2 . Se as retas sao paralelas o angulo entre elas e zero.
ˆ ˜ ˆ ´
¸˜
Com essa nova definicao, introduziremos de maneira natural um conceito muito importante na Geome-
tria espacial:
1.19 Defini¸˜o. Duas retas sao ortogonais se, e somente se, o angulo entre elas e reto.
ca ˜ ˆ ´
Usaremos o s´mbolo ⊥ para denotar a ortogonalidade de duas retas.
ı
˜ ˜ ˆ ´
Lembre-se que duas retas sao perpendiculares se sao concorrentes e o angulo entre elas e reto.
˜ ´ ˜ ´
Assim retas perpendiculares sao ortogonais mas o contrario nao e sempre verdadeiro.
OBSERVE que durante o texto utilizaremos ⊥ tambem para indicar perpendicularidade.
´
17

19. ´
Fundamentos da Matematica IV
1.2.1 Exerc´
ıcios Propostos
1.34. Classifique em verdadeiro o falso:
˜
1. Duas retas perpendiculares sao concorrentes;
ˆ ˜ ˜
2. Se duas retas formam angulo reto, entao elas sao perpendiculares;
˜ ˜ ˆ
3. Se duas retas sao perpendiculares, entao elas formam angulo reto;
˜ ˜ ˆ
4. Se duas retas sao ortogonais, entao elas formam angulo reto;
ˆ
5. Duas retas que formam angulo reto podem ser reversas;
˜
6. Duas retas perpendiculares a uma terceira sao perpendiculares entre si;
˜
7. Duas retas perpendiculares a uma terceira sao paralelas entre si.
1.3 Reta e Plano Perpendicular
1.20 Defini¸˜o. Uma reta m e um plano α sao perpendiculares se, e somente se,
ca ˜
i. existe um ponto P comum a m e a α, e
ii. a reta m e perpendicular a todas as retas do plano α que passam pelo ponto P .
´
1.21 Defini¸˜o. Diremos que a reta m e o plano α sao obl´quos se, e somente se, m e reversa e nao
ca ˜ ı ´ ˜
ortogonal a toda reta de α.
¨ˆ ¸˜ ´
Podemos dizer, como consequencia das definicoes anteriores, que se uma reta e perpendicular a um
plano, ela e ortogonal a qualquer reta do plano. De fato, sendo m perpendicular a α em O e x e uma reta
´ ´
qualquer de α, temos dois casos a considerar:
1◦ caso: x passa por O . Neste caso pela definicao m ⊥ x .
¸˜
2◦ caso: x nao passa por O . Seja x uma reta que passa por O que seja paralela a x . pela definicao
˜ ¸˜
temos que m ⊥ x e , entao m ⊥ x
˜
Portanto, podemos concluir que (m ⊥ α ∧ x ⊂ α) ⇒ (m ⊥ x ∨ x ⊥ m).
m
1.22 Teorema. Uma reta m e perpendicular a um plano α se, e somente
´
se, existem duas retas concorrentes a e b em α, tais que m forma angulo
ˆ b
reto com a e b . Simbolicamente, a
(m ⊥ a ∧ m ⊥ b ∧ a ∩ b = O ∧ a ⊂ α ∧ b ⊂ α) ⇒ m ⊥ α ( 1.7 )
Prova. Para provar que m ⊥ α, devemos provar que m e perpendicular a todas as retas de α que
´
passam por O . Para isso, basta provarmos que m e perpendicular a uma reta x generica de α, que passa
´ ´
por O .
Tomemos em m dois pontos A e A , simetricos em relacao a O : OA ≡ OA . Tomemos ainda um ponto
´ ¸˜
B ∈ a e um ponto C ∈ b , tais que BC intercepta x num ponto X . Notemos que, nessas condicoes, a e
¸˜ ´
18

20. mediatriz de AA , b e mediatriz de AA e por isso: AB ≡ A B e AC ≡ A C . Tambem notemos que para
´ ´
chegarmos a tese, basta provarmos que x e mediatriz de AA .
` ´
Temos que:
(AB ≡ A B , AC ≡ A C , BC comum)⇒ ABC ≡ ˆ ˆ ˆ ˆ
A BC ⇒ ABC ≡ A BC ⇒ ABX ≡ A BX .
ˆ ˆ
(AB ≡ A B , ABX ≡ A BX , BX comum) ⇒ ABX ≡ A BX ⇒ X A ≡ X A .
X A ≡ X A ⇒ x e mediatriz de AA ⇒ m ⊥ x ⇒ m ⊥ α.
´
2
1.23 Defini¸˜o. Sejam α e β dois planos. Diremos que α e perpendicular a β se, e somente se, α contem
ca ´ ´
uma reta perpendicular a β.
Uma pergunta que surge de maneira natural a partir da definicao 1.21 e: Que condicao deve ser
¸˜ ´ ¸˜
` resposta e apresentada no seguinte teorema.
cumprida para que os planos α e β sejam perpendiculares? A ´
1.24 Teorema. Se dois planos sao perpendiculares entre si e uma reta de um deles e perpendicular a
˜ ´ `
¸˜ ˜ ´
intersecao dos planos, entao essa reta e perpendicular ao outro plano.
Prova. Se α ⊥ β, entao α contem uma reta a, perpendicular a β. Seja i a reta de intersecao entre os
˜ ´ ¸˜
planos e suponhamos que a reta r ∈ α seja perpendicular a i . Assim temos: (a ⊥ i , r ⊥ i ) ⇒ a r . Assim,
r ⊥ β. 2
OBS: Outra possibilidade seria que a reta perpendicular a intersecao dos planos i estivesse no pano β
` ¸˜
ı ı `
com o mesmo racioc´nio chegar´amos a tese do teorema.
Pela definicao 1.21, se a uma reta e perpendicular a um plano, qualquer outro plano que a contenha e
¸˜ ´ ´
perpendicular ao primeiro. Resumindo os resultados podemos formular o seguinte teorema:
1.25 Teorema. Sejam α e β dois planos secantes. α e β sao perpendiculares se, e somente se, toda reta
´ ˜
m em α perpendicular a intersecao de α com β e perpendicular a β.
` ¸˜ ´
1.3.1 Leitura
´ ˜
“Obviamente, e imposs´vel precisar as origens da geometria”. Mas essas origens, sem duvidas, sao
ı ´
´
muito remotas e muito modestas. Nessa longa trajetoria, segundo alguns historiadores, a geometria pas-
ˆ
sou por tres fases:
¸˜
(a) a fase subconsciente, em que, embora percebendo formas, tamanhos e relacoes espaciais, grac as
¸
˜ ˜ ˜
a uma aptidao natural, o homem nao era capaz ainda de estabelecer conexoes que lhe propor-
cionassem resultados gerais;
´
(b) a fase cient´fica, em que, embora empiricamente, o homem ja era capaz de formular leis gerais (por
ı
˜ ˆ ˆ ´
exemplo, a razao entre uma circunferencia qualquer e seu diametro e constante);
(c) a fase demonstrativa, inaugurada pelos gregos, em que o homem adquire a capacidade de de-
´ ´ `
duzir resultados gerais mediante racioc´nios logicos. O primeiro matematico cujo nome se associa a
ı
19

21. ´
Fundamentos da Matematica IV
matematica demonstrativa e Tales de Mileto (c. 585 a.C). Tales teria provado algumas poucas e es-
´ ´
¸˜ ˆ ˆ ´ ˜
parsas proposicoes, como, por exemplo, “os angulos da base de um triangulo isosceles sao iguais”.
Mas o aparecimento de cadeias de teoremas, em que cada um se demonstra a partir dos anteriores,
agoras de Samos (c. 532 a.C.) ou na escola pitagorica.
´
parece ter comec ado com Pit
¸ ´
1.3.2 Exerc´
ıcios Propostos
1.35. Sejam a,b e c tres retas no espac o tais que a ⊥ b e c ⊥ a. Que se pode concluir a prop
ˆ ¸ ´
osito das
posicoes das retas b e c ? (Justifique sua resposta)
¸˜
1.36. Dois triangulos ABC e BC D sao retangulos em B . Se o cateto AB e ortogonal a hipotenusa C D ,
ˆ ˜ ˆ ´ `
prove que o cateto BD e ortogonal a hipotenusa AC .
´ `
1.37. Duas retas nao paralelas entre si sao paralelas a um plano. Toda reta que forma angulo reto com
˜ ˜ ˆ
´
ambas, e perpendicular ao plano.
1.38. Prove que: Se o plano α e perpendicular ao plano β e se uma reta m e perpendicular a um deles
´ ´
tem um ponto P comum com o outro, entao essa reta esta contida nesse outro plano.
˜ ´
1.39. Um triangulo ABC , retangulo em B , e um paralelogramo BC DE estao situados em planos distintos.
ˆ ˆ ˜
Prove que as retas AB e DE sao ortogonais.
˜
1.40. Classifique em verdadeiro e falso:
´ ´
(a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares e necessario que eles sejam secantes.
´
(b) Uma reta perpendicular a um plano e perpendicular a todas as retas do plano.
ˆ
(c) Uma reta perpendicular a um plano forma angulo reto com qualquer reta do plano.
´ ˜ ´
(d) Se uma reta e perpendicular a duas retas de um plano, entao ela e perpendicular ao plano.
1.41. Dois triangulos ABC e BC D sao retangulos em B . Se o cateto AB e ortogonal a hipotenusa C D ,
ˆ ˜ ˆ ´ `
prove que o cateto BD e ortogonal a hipotenusa AC .
´ `
1.42. Num quadrilatero reverso de lados congruentes entre si e congruentes as diagonais, prove que os
´ `
˜ ` ´ ˜
lados opostos sao ortogonais, assim como as diagonais tambem sao ortogonais.
1.43. Uma reta a e perpendicular a um plano α nu ponto O . Uma reta b de α nao passa por O e uma reta c
´ ˜
de α passa por O e e concorrente com b em R . Se S e um ponto qualquer de a e a reta SR e perpendicular
´ ´ ´
a b , entao b e perpendicular a c .
` ˜ ´
1.44. Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, sao paralelos?
˜
1.45. Uma reta e um plano sao paralelas. Toda reta perpendicular a reta dada e perpendicular ao plano?
˜ ` ´
1.46. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes proposicoes:
¸˜
´ ˜ ´
(a) Se uma reta e ortogonal a duas retas distintas de um plano, entao ela e perpendicular ao plano.
(b) Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano.
´ ` `
(c) Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta e perpendicular a primeira e ortogonal a
˜ ´
segunda, entao ela e perpendicular ao plano.
20

22. ˆ ˆ
(d) Se uma reta forma angulo reto com duas retas de um plano, distintas e que tem um ponto comum,
˜ ´
entao ela e perpendicular ao plano.
˜ ´
(e) Duas retas reversas sao paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas e perpendicular ao plano.
1.4 Poliedros
Um conjunto P e convexo se, para qualquer par de pontos pertencentes a P , o segmento de reta
´
que esta totalmente contido em P . Disto podemos afirmar que uma superf´cie poliedrica limitada convexa
ı ´
˜ ˜
aberta ou fechada poderia ser ou nao ser uma regiao convexa.
1.26 Defini¸˜o. Uma superf´cie poliedrica limitada convexa e a reuniao de um numero finito de pol´gonos
ca ı ´ ´ ˜ ´ ı
˜
planos e convexos, que verificam as seguintes questoes:
˜ ˜
1. dois pol´gonos nao estao num mesmo plano;
ı
˜ ´
2. cada lado de pol´gono nao esta em mais que dois pol´gonos;
ı ı
˜ ´ ˜
3. havendo lados de pol´gonos que estao em um so pol´gono, entao eles devem formar uma unica
ı ı ´
˜
poligonal fechada, plana ou nao, chamada contorno;
4. o plano de cada pol´gono deixa os restos deles num mesmo semi-espaco.
ı ¸
¸˜ ´
Da definicao anterior podemos classificar as superficies poliedricas limitadas convexas a partir de seu
ˆ ˜ ˆ
contorno, assim chamaremos de abertas as que tem contorno, e de fechadas as que nao tem.
´ ´
Uma superf´cie poliedrica limitada convexa tem os seguintes elementos basicos:
ı
• Faces: sao os pol´gonos;
˜ ı
• Arestas: sao os lados dos pol´gonos;
˜ ı
• Vertices: sao os vertices dos pol´gonos;
´ ˜ ´ ı
ˆ
• Angulos: sao os angulos dos pol´gonos;
˜ ˆ ı
¸˜ ´
Estudaremos as diferentes relacoes entre os elementos de uma superf´cie poliedrica limitada convexa.
ı
1.4.1 Poliedro Convexo
Seja n um numero finito (n ≥ 4) e consideremos n pol´gonos convexos tais que:
´ ı
˜ ˜
1. Dois pol´gonos nao estao num mesmo plano;
ı
ı ´
2. Cada lado de pol´gono e comum a dois e somente dois pol´gonos;
ı
3. O plano de cada pol´gono deixa os demais pol´gonos num mesmo semi-espac o.
ı ı ¸
Se as condicoes anteriores sao consideradas, entao ficam determinados n semi-espac os, cada um
¸˜ ˜ ˜ ¸
ı ´
deles tem como origem o plano de um pol´gono, e contem os restantes pol´gonos.
ı
21