Fundamentos matematica ii

3ª edição

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II

F UNDAMENTOS
DA

M ATEMÁTICA II

SOMESB
Sociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda.

Presidente Gervásio Meneses de Oliveira
Vice-Presidente William Oliveira
Superintendente Administrativo e Financeiro Samuel Soares
Superintendente de Ensino, Pesquisa e Extensão Germano Tabacof
Superintendente de Desenvolvimento e
Planejamento Acadêmico Pedro Daltro Gusmão da Silva

FTC-E A D
Faculdade de Tecnologia e Ciências – Ensino a Distância
Diretor Geral Reinaldo de Oliveira Borba
Diretor Acadêmico Roberto Frederico Merhy
Diretor de Tecnologia Jean Carlo Nerone
Diretor Administrativo e Financeiro André Portnoi
Gerente Acadêmico Ronaldo Costa
Gerente de Ensino Jane Freire
Gerente de Suporte Tecnológico Luís Carlos Nogueira Abbehusen
Coord. de Softwares e Sistemas Romulo Augusto Merhy
Coord. de Telecomunicações e Hardware Osmane Chaves
Coord. de Produção de Material Didático João Jacomel

E QUIPE DE E LABORAÇÃO / P RODUÇÃO DE MATERIAL D IDÁTICO

Produção Acadêmica

Autor Adriano Pedreira Cattai
Rui de Jesus Santos
Gerente de Ensino Jane Freire
Supervisão Ana Paula Amorim
Coordenador de Curso Geciara da Silva Carvalho
Revisão Final Adriano Pedreira Cattai
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

Produção Técnica

Edição em LATEX 2ε Adriano Pedreira Cattai
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.
Revisão de Texto Carlos Magno
Coordenação João Jacomel
Alexandre Ribeiro, Cefas Gomes, Clauder Filho, Delmara
Brito, Diego Doria Aragão, Diego Maia, Fábio Gonçalves,
Equipe Técnica Francisco França Júnior, Hermínio Filho, Israel Dantas,
Lucas do Vale, Marcio Seraﬁm, Mariucha Ponte, Ruber-
val Fonseca e Tatiana Coutinho.

Copyright c FTC-E A D

Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98.
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Sumário

Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas 6

Funções Afins e Quadráticas 6
Definições Elementares 6
1.1 Função Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Função Ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Função Crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Função Decrescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Função Sobrejetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Função Injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Função Bijetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Função Periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

A Função Afim 11
1.11 O Gráfico da Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.12 Sinal de uma Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.13 A Inversa da Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.14 Apêndice 1: Modelagem Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.15 Apêndice 2: Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A Função Quadrática 20
1.17 A Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.18 Raízes de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.19 Extremo de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.20 Sinal de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.21 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Funções Exponenciais e Logarítmicas 28
Função Exponencial 28
2.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Potência de Expoente Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Propriedades das Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Equações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 A Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Inequações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3

Fundamentos da Matemática II

Função Logarítmica 36
2.8 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9 Logaritmos: Definição e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10 Equações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.11 A Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12 Gráfico da Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.13 Inequações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Funções Trigonométricas e Outras Elementares 43

Funções Trigonométricas 44
Trigonometria 44
3.1 Relações Trigonométricas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Arcos Côngruos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Funções Trigonométricas 48
3.3 As Funções Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Outras Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Outras Funções Elementares 53
Outras Funções Elementares 53
4.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Funções Definidas por mais de uma Sentença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Função Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6 Função Recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Atividade Orientada 60
5.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4

Apresentação de Disciplina

Caro aluno,

Damos-lhe boas vindas ao curso de Fundamentos de Matemática II.
Ao colocarmos este material à disposição de educadores e de alunos
que se preparam para o magistério, é nossa intenção destacar alguns
dos temas usualmente vistos no ensino médio, a exemplo das funções
elementares: afim, quadrática, exponencial e logarítmica. Buscamos,
tanto quanto possível, ilustrá-los mediante exemplos e interessantes apli-
cações que, sem dúvida alguma, tornarão mais instigantes e agradáveis
de estudá-los. Conforme verá, adotamos uma abordagem bem simples
e elementar. Evitamos o emprego de fórmulas, mesmo nas demon-
strações, preferindo, ao invés disso, um constante apelo ao raciocínio
lógico-dedutivo na obtenção de nossos resultados.

Ao longo do texto, inserimos questões para reflexão. Sugerimos
que pare, ao encontrá-las em sua leitura, e as considere com bastante
atenção. Incluímos, também, exercícios resolvidos e atividades comple-
mentares, bem como, no final deste trabalho, um bloco de atividades
orientadas como parte de sua de avaliação individual.

E, é claro, registramos nossa gratidão, ainda que previamente, por
quaisquer observações ou comentários sobre o trabalho, para que pos-
samos aprimorá-lo continuamente. Uma boa leitura, portanto, e boa sorte
na carreira que escolheu.

Prof. Rui Santos

5


Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais
e Logarítmicas

Funções Afins e Quadráticas

Definições Elementares

Na disciplina Fundamentos de Matemática I, a definição de uma função real a uma variável foi apresen-
tada da seguinte forma:

Uma função real é um objeto matemático que, a cada número x de um subconjunto A dos
números reais, associa um único número f (x ) de um subconjunto B dos números reais.
Em outras palavras:

f : A → B é função ⇔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B ; y = f (x ).

O conjunto A é chamado de domínio da função f ; o conjunto dos números reais contido em B que
estão associados por f é chamado o conjunto imagem (ou simplesmente, a imagem) de f ; e o conjunto B
é chamado de contradomínio da função.

As seguintes notações foram estabelecidas:

1. f : A → B para dizer que se trata da função real cujo domínio é o conjunto A.

2. x → f (x ) para dizermos que f associa o número f (x ) ∈ B ao número x ∈ A.

3. Dom(f ) representa o domínio de f , e CD(f ) o contra-domínio.

4. Im(f ) representa a imagem de A, e se C ⊂ A, indicaremos por f (C ) o conjunto dos números f (x ),
com x ∈ C , que é chamado de imagem de C .

Neste primeiro tema, detalharemos duas funções especiais, a saber: a Função Afim e a Função
Quadrática. Antes disto, vejamos as seguintes definições:
6

1.1 Função Par

y
y = f(x)
Dizemos que uma função f : (−c , c ) → R é uma função par, se

f (−x ) = f (x ), ∀ x ∈ (−c , c ).

Um exemplo bem simples de função par é f (x ) = x 2 . Seu gráfico é
exibido ao lado. -a a x
f(a) = f(-a)

De fato, o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Ou ainda:

f (−x ) = (−x )2 = x 2 = f (x ).

1.2 Função Ímpar

Dizemos que uma função f : (−c , c ) → R é uma função ímpar, se

f (−x ) = −f (x ), ∀ x ∈ (−c , c )

A função g (x ) = x 3 é um exemplo de função ímpar, pois, g (−x ) = (−x )3 = −x 3 = −g (x ).

Nota 1. Uma função pode não satisfazer uma destas duas definições. De fato, seja a função
definida por h(x ) = x − x 2 . Assim,
´
h(−x ) = −x − (−x )2 = −x − x 2 = h(x )
h(−x ) = −x − x 2 = −x + x 2 = −h(x )

Nota 2. Qualquer função com domínio simétrico em relação à origem pode ser escrita como
soma de uma função par com uma função ímpar:
fI (x )
Þ ß
f (x ) + f (−x ) f (x ) − f (−x )
f (x ) = fP (x ) + fI (x ) = + ,
2
ßÞ 2
fP (x )

em que a função fP (x ) é uma função par e fI (x ) é uma função ímpar. Verifique!
Se considerarmos a função h(x ) = x − x 2 , exibida acima, então,

x − x2 − x − x2
fP (x ) = = −x 2
2

x − x 2 − (−x − x 2 ) x − x2 + x + x2
fI (x ) = = −x 2 = = x,
2 2
ou seja, h(x ) = fP (x ) + fI (x ).

7


1.3 Função Crescente

y

f(x)
Uma função f é crescente
f(b)
se ∀ a, b ∈ Dom(f ), a < b , então f (a) < f (b ).
f(a)

a b x

1.4 Função Decrescente

y

Uma função f é decrescente f(a) f(x)
se ∀ a, b ∈ Dom(f ), a < b , então f (a) > f (b ).
f(b)

a b x

1.5 Função Sobrejetora

Uma função é sobrejetora quando todo o contradomínio possui um elemento correspondente em seu
domínio, isto é, o conjunto imagem e o contradomínio são coincidentes. Em símbolos, se f : A → B , então:

∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A; y = f (x ).

1.6 Função Injetora

Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, elementos distintos no domínio possuem, como
imagem, elementos distintos no contradomínio. Em símbolos:

x1 , x2 ∈ A, x1 = x2 , ⇒ f (x1 ) = f (x2 ).

Nota 3. Uma outra maneira de exibir esta mesma condição é a através da sua contra-positiva,
ou seja,
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .

8

y

y = f(x) Esta expressão afirma que cada elemento y da imagem da
função f provém de um único elemento x do seu domínio. Uma
maneira visual de interpretar este fato é pelo chamado teste da
linha horizontal. Se a linha interceptar o gráfico da função em
mais de um ponto, então existem pontos distintos no domínio tal
que suas imagens são iguais.
x

1.7 Função Bijetora

Uma função é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Deixamos a representação sim-
bólica deste conceito como exercício.

1.8 Função Inversa

Este é um conceito aplicável somente às funções bijetoras. Seja f : A → B uma função bijetora, ou
seja, para cada y ∈ B , existe exatamente um valor x ∈ A tal que y = f (x ). Assim, podemos definir uma
função g : B → A tal que x = g (y ). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f , a
qual denotaremos por f −1 . Em outras palavras:

f −1 : B → A
y → x = f −1 (y )

y
y y=x
a2

b2
A
B
a1
b1

a1 a2 x
A b1
B b2 x

f : A → B f −1 : B → A
a → b = f (a) b → a = f −1 (b )

1.9 Função Periódica

Dizemos que uma função f é periódica se existe um número real p = 0 tal que f (x + p ) = f (x ) para
todo x ∈ Dom(f ). O menor número p que satisfaz f (x + p ) = f (x ) é chmado de período da função f . O
gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento |p |.
9


y

6
Na disciplina Fundamentros da Matemática III, veremos que as
funções f (x ) = sen(x ) e g (x ) = cos(x ) são funções periódicas
de período 2π.
A figura ao lado ilustra o gráfico de uma função periódica de
período 4.

-6 -2 2 6 x

1.10 Exercícios Propostos
√
1.1. Para que valor de x , f (x ) = x + 2 é igual a 6? e 0?

1.2. Verifique que a correspondência entre os valores x e y = f (x ), dados pelos conjuntos abaixo, não
definem uma função.
x2 y2
(a) R1 = {(x , y ) ∈ Z × Z; x 2 + y 2 = 4} (c) R3 = (x , y ) ∈ Z × Z; + =1
9 4
(b) R2 = {(x , y ) ∈ N × Z; x − y 2 = 0}
(d) R4 = {(x , y ) ∈ N × Z; x 2 − y 2 = 0}
1.3. Exiba os domínios das seguintes funções:
x 2
(a) f (x ) = + 1 (d) f (x ) = √
3 1−x
1 2x − 1
(b) f (x ) = (e) f (x ) = 2
x x −4
√ √ √
1−x x − x 2 − 25
(c) f (x ) = (f) f (x ) =
2 x
1.4. Decida se cada função é par, ímpar ou nem par e nem ímpar.
1
(a) f (x ) = x 5 (b) f (x ) = (c) f (x ) = x 3 − x (d) f (x ) = 5 − x 2
x2
1.5. Mostre que as funções abaixo não são nem pares e nem ímpares, e expresse-as como uma soma de
uma função par com uma função ímpar.
1
(a) g (x ) = x 2 − x (b) h(x ) = x 2 +
x
1.6. Dada uma função qualquer f : [−a, a] → R, mostre que:

(a) a função g definida por g (x ) = f (x ) + f (−x ) é uma função par;

(b) função h definida por h(x ) = f (x ) − f (−x ) é uma função ímpar.

1.7. Suponha f e g duas funções dadas. Então, definem-se as seguintes funções:
f f (x )
(f ± g )(x ) = f (x ) ± g (x ), (f · g )(x ) = f (x ) · g (x ) e (x ) = (g (x ) = 0).
g g (x )
√ √
Considere agora, que f (x ) = x − 2 e g (x ) = 16 − x 2 . Determine:

f
(i) (a) (f + g )(x ); (b) (f · g )(x ); (c) (x )
g
(ii) os domínios das funções do item (i)
10

1.8. Ao analisar a função real f definida por f (x ) = x 2 + 4x − 12, podemos afirmar que f é injetora?
Justifique a resposta.

Gabarito
Questão. 1.1. 34 e −2 Questão. 1.3. (a) R . (b) R − {0}. (c) {x ∈ R; x ≤ 1} . (d) {x ∈ R; x < 1}. (e) R − {±2}. (f) {x ∈ R; x ≥ 5}.
Ô Ô Õ
√ x −2
Questão. 1.4. (a) Par. (b) Par. (c) Ímpar. (d) Par. Questão. 1.7. (i.a) x − 2 + 16 − x 2 . (i.b) (x − 2) · (16 − x 2 ). (i.c) .
16 − x 2
(ii.a) {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 4}. (ii.b) {x ∈ R; x ≤ −4 ou 2 ≤ x ≤ 4}. (ii.c) {x ∈ R; x < −4 ou 2 ≤ x < 4}. Questão. 1.8. Não, pois
f (2) = f (−6) = 0.

A Função Afim

Chama-se função afim a toda função f : R → R definida por f (x ) = ax + b , em que a e b são números
reais. Lembra-se de algo além deste conceito? Talvez se recorde que os coeficientes "a"e "b "são co-
mumente, e nesta ordem, chamados coeficientes angular e linear. E das condições de crescimento e
decrescimento desta função, sua inversa e condições de existência, e outras propriedades e aplicações?
Revisitaremos este e outros temas aqui - em parte porque vale a pena preencher possíveis lacunas ou,
eventualmente, corrigir uma ou outra imperfeição que assimilamos ao longo de nosso percurso; além disso,
este, afinal é o objeto de seu trabalho como educador. Começaremos com uma situação bem típica, como
escolher uma operadora de telefonia. Suponha - e isto não é mais que uma suposição - que as operadoras
Telemar e Embratel lançaram ao mercado os seguintes produtos:

TELEMAR EMBRATEL
Aparelho Assinatura mensal Aparelho Assinatura mensal
R $ 430, 00 R $ 70, 00 R $ 690, 00 R $ 50, 00

Qual destas opções é mais vantajosa?

Como resposta, experimente descrever cada um desses planos em termos de uma expressão que
forneça o montante pago em função do tempo de assinatura.

Você sabia?

A este trabalho, que busca uma expressão conveniente para a descrição de uma determinada
situação, chamamos modelagem matemática. E isto, em campos tão diversos quanto a Medic-
ina, a Engenharia de Tráfego, otimização, etc., tem sido um campo bem fértil para pesquisas.

Você deve ter obtido expressões do tipo: f (t ) = 70t +430 e g (t ) = 50t +690, respectivamente. É possível
que não se sinta seguro quanto a como se obtiveram estas expressões; neste caso, queira consultar o
Apêndice 1, “Modelagem matemática”. Apresentamos ali, um passo a passo com explicações um pouco
mais detalhadas sobre esse exemplo específico. Aliás, incluiremos, sempre que necessário, uma seção,
ou apêndice, com pormenores adicionais sobre certos cálculos, conceitos, etc. Sinta-se à vontade para
consultá-los.

11


Examinemos a primeira expressão.

Observe que o coeficiente linear, 430, corresponde, precisamente, ao valor inicialmente pago, antes
sequer do primeiro mês de contrato. Em termos mais genéricos, isto nos fornece uma interessante
interpretação para o coeficiente linear numa função afim. Ele corresponde ao valor da função f (t )
avaliado em t = 0.

Quanto ao coeficiente angular, suponhamos que após uma longa pechincha, o gerente da empresa
de telefonia concorda em alterar sua proposta, concedendo um coeficiente angular realmente pro-
mocional. Imagine, então, que a nossa nova função é:

f1 (t ) = 50t + 430.

Compare-a com a anterior, f (t ) = 70t + 430. O que acha que muda no decorrer do contrato? Obvia-
mente, a taxa de crescimento de nosso montante é menor. E isto nos leva a uma óbvia, mas fundamental,
conclusão:

O coeficiente angular, numa função afim,
é o único fator que determina o seu crescimento ou decrescimento.

Nos exemplos que acabamos de ver, ambas as funções

f (t ) = 70t + 430 e f1 (t ) = 50t + 430,

em que ambos os coeficientes angulares são positivos, são crescentes, porém, observe que a velocidade
ou taxa de crescimento mudou.

No apêndice 2, “Crescimento e Decrescimento”, ilustramos com mais detalhes a influência do coefi-
ciente angular sobre a taxa de crescimento ou decrescimento de uma função afim. Queira consultá-lo, se
necessário.

A propósito, o que você supõe que acontece se o coeficiente angular for negativo ou nulo?

Agora é a sua vez!

O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se uniforme quando ele percorre espaços iguais em
tempos iguais. Sua velocidade é, por definição, o espaço percorrido na unidade de tempo. Formule
estas definições matematicamente, e obtenha explicitamente a posição f (t ) do ponto em termos de
uma função de t e do ponto de partida.

Uma corrida de táxi custa m reais por km rodado, mais uma taxa fixa de n reais, chamada bandeirada.
Formule, matematicamente, o custo de uma corrida como função do número x de quilômetros per-
corridos.

Um pouco de história

Foi por volta de 1.360 d.C. que um matemático parisiense chamado Nicole Oresme teve um pensamento
brilhante:
12

“por que não traçar uma figura que representasse
a maneira pela qual as coisas variam?”

Ali estava um primeiro esboço do que conhecemos hoje como representação gráfica de funções. Este
processo era conhecido, então, como “a latitude das formas”. Oresme usava os termos latitude e longitude
dum modo equivalente à ordenada e à abscissa, e sua representação gráfica assemelhava-se à nossa
geometria analítica. Naturalmente, seu uso de coordenadas retangulares, ou cartesianas, não era novo,
mas a sua representação gráfica de uma quantidade variável, sim.

1.11 O Gráfico da Função Afim

Oresme sabia, já em 1.360 d.C., que a ‘latitude das formas’, ou gráfico, de uma função afim era uma
reta. Aliás, não apenas o gráfico de uma função afim é uma reta, mas, reciprocamente, a toda reta no
plano corresponde uma, e apenas uma, função.

O gráfico da função f (x ) = ax + b é uma reta.

Prova: Suponhamos inicialmente que o gráfico não seja uma reta, ou seja, existem três pontos
A, B e C distintos dois a dois, do gráfico de f que não estão alinhados, conforme figura.

Sejam (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) e (x3 , y3 ), respectivamente, y
as coordenadas cartesianas destes pontos. Nestas
condições, temos y3 C

y1 = a · x1 + b B b E
y2
y2 = a · x2 + b
y3 = a · x3 + b
A a D
Subtraindo membro a membro, obtemos: y1

y3 − y2 = a(x3 − x2 ) y3 − y2 y2 − y1 x1 x2 x3 x
⇒ = = a.
y2 − y1 = a(x3 − x2 ) x3 − x2 x2 − x1

Observe que
y3 − y2 CE y2 − y1 BD
= = tg β e = = tg α.
x3 − x2 BE x2 − x1 AD
e, então tg β = tg α, ou seja, devemos ter α = β e, portanto, os pontos A, B e C estão neces-
sariamente alinhados. Isso conclui a nossa prova.

Transcrevemos, agora, um resultado fundamental da Geometria Plana que, aplicado ao nosso trabalho,
simplifica, em muito, a representação de uma função.

Dados dois pontos distintos no plano, P1 e P2 existe uma única reta que os contém.

Temos, portanto, que dada uma função afim f (x ) bastam dois pontos (x1 , f (x1 )) e (x2 , f (x2 )) para
representá-la graficamente. Naturalmente, podemos tomar uma seqüência de pontos, construindo uma
tabela e enumerando infinitos valores x1 , x2 , x3 , . . . , xp , . . . , e suas respectivas imagens. É claro, porém,
13


que segundo o resultado acima, todos estes, não importa quais deles tomemos, estarão sobre a mesma
reta.

Uma dica

y
y = ax + b

Lembre-se do que já dissemos sobre o coeficiente linear b : ele indica
o valor da função f (x ) avaliado em x = 0. (0,b)

Isto equivale a dizer que o gráfico de f (x ) = ax + b passa pelo ponto (0, b ). x
( --,0 )
b
a

Queremos, agora, chamar a atenção para o inverso deste processo; isto é, dado um gráfico - neste
caso, uma reta no plano - o nosso trabalho será obter a função afim correspondente. Isto tem numerosas
e interessantes aplicações. O exemplo seguinte ilustra este fato.

Sabe-se, com base em observações, que o peso de uma criança, na faixa de Mês Peso
zero a seis meses, varia linearmente, isto é, o gráfico da função peso P (t ) é uma 2 ◦
4.450 g
reta. Suponha que aos dois e aos cinco meses a criança apresenta o quadro ao lado: 5 ◦
6.700 g

Note que isto corresponde a dois pontos no plano, a
P (peso em gramas)
saber,
P2
6.700 P1 (2, 4.450) e P2 (5, 6.700).

Se uma reta é bem determinada por dois de seus pon-
tos, obviamente, deve ser possível, com os dados que
P1 temos, P1 e P2 , obter a expressão
4.450
f (t ) = at + b ,
1 3 5 t (meses)
que representa a função. Observe como podemos fazê-lo.

Da seguinte identificação y = f (t ) = at + b , escrevemos:

4.450 = a·2+b
6.700 = a·5+b

resultando no seguinte sistema de equações:

2a + b = 4.450
5a + b = 6.700
Observe que os valores a determinar, desta vez, são os coeficientes angular e linear da função. Ao resolvê-
lo, você terá obtido a expressão que fornece o peso ideal duma criança, em função de sua idade t e seu
peso ao nascer, que é:
f (t ) = 750t + 2.950.

Há, de fato, inúmeras outras situações que podem ser modeladas em termos de funções afins. Al-
iás, todo e qualquer evento que apresente variação uniforme em função do tempo ou de qualquer outro
14

parâmetro x pode ser expresso mediante uma expressão do tipo f (x ) = ax + b . Veremos mais outras
aplicações oportunamente.

Até agora recapitulamos a definição de função afim. Vimos as implicações de seus coeficientes angu-
lar e linear sobre o valor inicial da função, bem como seu crescimento e decrescimento. Consideramos
algumas situações que envolvem modelagem matemática em termos destas funções e, por fim, relem-
bramos interessantes aspectos sobre como representá-la graficamente e, reciprocamente, como obter sua
expressão a partir de seu gráfico. Naturalmente, não esgotamos todo este tópico. Mas esta introdução ao
assunto deve servir como um bom ponto de partida para aplicações e conceitos adicionais.

1.12 Sinal de uma Função Afim

Nos parágrafos anteriores, examinamos o gráfico de uma função afim. Deste exame, obtemos infor-
mações importantes sobre o seu sinal, isto é, quanto aos intervalos em que a função é positiva, negativa
ou nula.

Em primeiro lugar, vimos que a raiz de uma função do primeiro grau f (x ) = ax + b , que corresponde ao
valor de x que anula a função, é dado pela solução da equação ax + b = 0, e corresponde a:

b
x =− .
a

Para qualquer x diferente deste valor, temos que a função ou é positiva ou é negativa, conforme o
crescimento ou decrescimento da função. Considere o exemplo a seguir, em que temos uma função
crescente.
y

Seja f (x ) = 2x − 6 uma função cuja raiz é, evidentemente, x = 3.
Seu gráfico exibimos ao lado.

Note como, para valores maiores do que x = 3, o gráfico da x
3
função se encontra acima do eixo-x , portanto, a função é positiva.
Reciprocamente, para valores menores que 3, a função é negativa.

-6

y

-6
O gráfico ao lado representa desta vez, uma função decrescente:
f (x ) = −2x +6; note como isto afeta a distribuição de sinais da função.

Temos que, para valores maiores do que 3 a função é, desta vez,
3 x
negativa. Isto naturalmente decorre de esta ser uma função decres-
cente.

15


O estudo do sinal de uma função afim de modo algum exige sua representação gráfica. O conhecimento
da raiz da função, e do efeito do sinal do coeficiente angular sobre seu crescimento ou decrescimento é o
bastante.

Applet JAVA

Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de
uma função afim.
A
V
A

1.13 A Inversa da Função Afim

No Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) de Fundamentos de Matemática I, no capítulo sobre
funções, vimos um fato fundamental sobre funções bijetoras: elas, e apenas elas, possuem inversa. Con-
forme deve lembrar, funções bijetoras são aquelas que estabelecem uma
correspondência biunívoca entre seu domínio e seu contra-domínio. Observe como é este o caso de
uma função afim, desde que, naturalmente, não seja constante.

O modo como obtemos a inversa de uma função afim y = f (x ) pode ser descrito como a seguir.

Seja y = ax + b . Desejamos, em primeiro lugar, escrever x em função de y . Isto corresponde a isolar a
variável x no primeiro membro, e pode ser feito assim:

ax + b = y
ax = y −b
y −b y b
x = = − .
a a a

Obtivemos, aqui, uma nova função x (y ) dada pela expressão:

1 b
x (y ) = ·y − .
a a

Não é comum escrever x como função de y . É meramente uma questão de costume entre nós. Portanto,
uma vez obtida a inversa de uma função, intercambiamos as variáveis x e y , de modo a termos y como
função de x , como se costuma escrever.

Assim, escrevemos a inversa em sua forma final:

1 b
y (x ) = ·x − .
a a

Evidentemente, não convém decorar esta expressão. Ao contrário, em cada caso, basta que se façam
as manipulações algébricas necessárias, como ilustramos abaixo:

Seja a função f (x ) = 2x + 4. Para obter sua inversa, isolamos a variável x , no primeiro membro, assim:

y 4
2x + 4 = y ⇔ 2x = y − 4 ⇔ x = − .
2 2
donde
y
x= − 2.
2
16

Efetuando, por fim, a substituição sugerida, obtém-se:
x
y= − 2,
2
que é a função inversa desejada.

1.14 Apêndice 1: Modelagem Matemática

Consideremos o caso das operadoras de telefonia, proposto inicialmente em nosso roteiro. Naquele
exemplo, ambas as operadoras cobram um valor inicial pela aquisição do aparelho, de R $ 430, 00 (Telemar)
e R $ 690, 00 (Embratel). O montante pago, no decorrer do contrato é, evidentemente, uma função do
tempo de assinatura. E, no caso das duas operadoras, varia conforme a tabela a seguir, onde indicamos
os valores até o terceiro mês; observe que, em cada coluna, na segunda linha, o valor indicado entre
parênteses corresponde precisamente ao que foi pago no mês precedente. Observe também o modo
como agrupamos e reescrevemos estes valores, na terceira linha. Queremos, com isso, tornar evidente a
expressão genérica que indica o valor da função ‘Montante’ num tempo t qualquer.

TELEMAR
◦
Compra do aparelho 1 mês 2◦ mês 3◦ mês
430 430 + 70 (430 + 70) + 70 (430 + 70 + 70) + 70
430 70 + 430 70 · 2 + 430 70 · 3 + 430

Pare um pouco e pense em como completaria a tabela com os valores do 4◦ e do 5◦ mês. Qual seria o
valor obtido para o 12◦ mês?

Se você percebeu que, em cada mês, há um valor fixo (430), se observou que o valor da assinatura
mensal (70) é, em cada mês, multiplicado pelo correspondente tempo de assinatura t e, por fim, se notou
como esses valores são somados para se obter o montante respectivo, concordará com a expressão que
obtivemos para a nossa função:
f (t ) = 70t + 430.

Faremos o mesmo para a operadora Embratel. Observe cuidadosamente a tabela e compare as duas
expressões obtidas.

EMBRATEL
Compra do aparelho 1◦ mês 2◦ mês 3◦ mês
690 690 + 50 (690 + 50) + 50 (690 + 50 + 50) + 50
690 50 + 690 50 · 2 + 690 50 · 3 + 690

f (t ) = 50t + 690.

1.15 Apêndice 2: Crescimento e Decrescimento

Em nosso roteiro, comparamos as duas expressões:

f (t ) = 70t + 430 e f1 (t ) = 50t + 430
17


e afirmamos que a velocidade ou taxa de crescimento ou decrescimento da primeira, em função do tempo,
é maior. Embora pareça evidente, vamos, inicialmente, ilustrar este fato de um modo bem simples. Con-
sidere a tabela abaixo, em que registramos os valores correspondentes à primeira e à segunda expressão.

f (t ) = 70t + 430 f1 (t ) = 50t + 430
t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4
430 500 570 640 710 430 480 530 580 630

Comparando mês a mês os valores calculados em cada expressão, vemos, t |f (t ) − f1 (t )|
conforme ilustrado na tabela ao lado, que a sua diferença aumenta em função 0 0
do tempo. Isto parece confirmar a nossa suposição de que o coeficiente angu- 1 20
lar é o que determina a taxa ou, noutras palavras, o modo de crescimento ou 2 40
decrescimento de uma função afim. Nos casos que examinamos aqui, em que 3 60
o coeficiente angular é positivo, ambas as funções são crescentes. 4 80

Agora é a sua vez!

Preencha numa tabela seguinte, os valores correspondentes à função,

f (t ) = −50t + 430,

em que mantivemos o coeficiente linear, mas tornamos o coeficiente angular negativo. Por
fim, experimente representar as três funções que examinamos aqui num mesmo sistema de
coordenadas.

Em resumo, os dados e informações obtidos ilustram e confirmam um resultado que vimos diversas
vezes no ensino médio: enquanto o coeficiente linear ‘b ’, numa função afim f (x ) = ax + b , indica o valor
‘inicial’ da função, avaliado em x = 0, o coeficiente angular determina o seu crescimento ou decrescimento,
isto é, a função será crescente, decrescente ou constante conforme ‘a’ seja positivo, negativo ou nulo,
respectivamente.


1.9. Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f , g , h, p : R → R dadas por:
x
f (x ) = x , g (x ) = 4x , h(x ) = 2x e p (x ) = .
2
1.10. Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f , g , h, p : R → R dadas por:
x
f (x ) = −x , g (x ) = −4x , h(x ) = −2x e p (x ) = − .
2
1.11. Construir o gráfico cartesiano das funções de R em R dadas por:

(a) y = 2x − 1 (c) y = 3x + 2 (e) y = −3x − 4 (g) y = −2x + 3
2x − 3 4 − 3x
(b) y = x + 2 (d) y = (f) y = −x + 1 (h) y =
2 2

1.12. Resolver analítica e graficamente os sistemas de equações:
18

x +y = 5 2x − 5y = 9 x + 2y = 1
(a) (c) (e)
x −y = 1 7x + 4y = 10 2x + 4y = 3
3x − 2y = −14 4x + 5y = 2 2x + 5y = 0
(b) (d) (f)
2x + 3y = 4 6x + 7y = 4 3x − 2y = 0

1.13. Obter a equação da reta que passa pelos pontos

(a) (1, 2) e (3, −2) (b) (2, 3) e (3, 5) (c) (1, −1) e (−1, 2) (d) (3, −2) e (2, −3)

1.14. Obter a equação da reta que passa pelo ponto:
(a) (−2, 4) e tem coeficiente angular igual a −3; (c) (−2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4;
1
(b) (−3, 1) e tem coeficiente angular igual a − ; (d) (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2.
2
1.15. Especificar, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em R.
(a) y = 1 + 5x (b) y = x + 2 (c) y = −3x − 2

1.16. Das alternativas abaixo, está correta apenas:

(a) Uma função constante é ao mesmo tempo crescente e decrescente;

(b) Se uma função afim não é crescente, então ela é decrescente.

(c) Se uma função afim não é decrescente, então ela é crescente.

(d) Se o conjunto das raízes de uma função constante não é vazio, então é infinito.

1.17. Estudar os sinais das funções, ou seja, para que valores de x a função é positiva, negativa ou nula:
(a) y = 2x + 3 (b) y = −3x + 2 (c) y = 4 − x (d) y = 5 + x

1.18. Dada a função f (x ) = −2x − 5, é correto dizer que:

(a) f não tem raiz, pois o coeficiente de x é negativo; (c) Esta função é decrescente;
1 1
(b) Seu gráfico intersecta o eixo 0x no ponto (−2, 0); (d) Sua inversa é f −1 (x ) = − − .
2x 5
2 x
1.19. Para que valores de x ∈ R a função f (x ) = − é negativa?
3 3
1.20. Determine m de modo que o gráfico da função f (x ) = −2x + 4m + 5, intercepte o eixo-x no ponto de
abscissa 3.

1.21. A unidade de um certo produto fabricado por uma indústria tem custo unitário de R $ 11, 00 e sua
produção tem um custo fixo de R $ 300, 00, devido a taxas de transporte. Qual o custo de 100 unidades
desse produto?

1.22. Construa o gráfico da função:
´
3x + 1 , se x ≥ 1
f (x ) =
1 , se x < 1

1.23. Paulo resolveu montar uma fábrica de bolsas. Calculou que teria uma despesa de R $ 4.000, 00 com
aluguel, manutenção, máquinas, etc., e que o preço de custo de cada bolsa seria R $ 200, 00. Resolveu,
então, fixar o preço em R $ 250, 00, para a venda de cada bolsa. Determine:

(a) O menor número de bolsas que Paulo deve fabricar para não ter prejuízo
19


(b) A quantidade de bolsas que Paulo deverá fabricar para ter um lucro de R $ 110.000, 00

4x − 1
1.24. Sejam as funções f (x ) = 2x + 3, g (x ) = 2 − 3x e h(x ) = definidas em R. Para que valores de
2
x ∈ R, tem-se:

(a) f (x ) ≥ g (x )? (c) f (x ) ≥ h(x )?
(b) g (x ) < h(x )? (d) Ilustre cada item acima graficamente.

Gabarito
34 40
Questão. 1.12. (a) (3, 2). (b) − , . (c) (2, −1). (d) (3, 2). (e) ∅. (f) (0, 0). Questão. 1.13. (a) y = −2x + 4. (b) y = 2x − 1. (c)
13 13
3 1 1 1
y = − + . (d) y = x − 5. Questão. 1.14. (a) y = −3x − 2. (b) y = − x − . (c) y = 4x + 9. (d) y = 2x + 1. Questão. 1.15. (a)
2 2 2 2
crescente. (b) crescente. (c) decrescente. Questão. 1.16. d.
y =0⇒x =−
3
y =0⇒x =
2 ´ ´
2 3 y =0⇒x =4 y = 0 ⇒ x = −5
3 2
Questão. 1.17. (a) y >0⇒x >− . (b) y >0⇒x < . (c) y > 0 ⇒ x < 4 . (d) y > 0 ⇒ x > −5 .
2 3
3 2 y <0⇒x >4 y < 0 ⇒ x < −5
y <0⇒x <− y <0⇒x >
2 3
1
Questão. 1.18. c. Questão. 1.19. x > 2. Questão. 1.20. m = . Questão. 1.21. R $ 1.400, 00. Questão. 1.23. (a) 80. (b) 2.280
4
1 1
Questão. 1.24. (a) x ≥ − . (b) x > . (c) ∀ x .
5 2

A Função Quadrática

O aparelho ao lado chama-se osciloscópio. Ele permite visualizar grafi-
camente sinais elétricos tais como voltagem e corrente elétrica.

I Suponha que ele forneça, num ponto em determinado circuito, o
seguinte sinal representado graficamente ao lado.
Este é um sinal conhecido como ‘dente de serra’ e tem diversas apli-
cações em televisão e outras formas de tratamento de imagens. Observe
atentamente o seu gráfico. Localmente, isto é, tomando-se um intervalo
a b t
adequado - digamos [a, b ] - ele representa uma função afim, cujo estudo
fizemos no capítulo precedente.

Técnicos e engenheiros, em laboratório, ao lidarem com sinais alternados, isto é, variáveis como este,
buscam, freqüentemente, um sinal constante - contínuo - que forneça a mesma potência do sinal original.
Isto corresponde a obter uma equação quadrática conveniente, do tipo que já examinamos, no ensino
médio, há alguns anos. Oportunamente, em seus estudos de cálculo diferencial e integral, você aprenderá
como tratar este exemplo específico. Por ora, relembraremos alguns conceitos básicos sobre essa função
e veremos algumas de suas aplicações mais comuns.
20

1.17 A Função Quadrática

Chamamos função quadrática à relação definida por

f (x ) = ax 2 + bx + c

sendo a, b e c , constantes reais, com a = 0.

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Embora se possa provar este fato, não o faremos
aqui. Apresentamos, porém, uma interessante propriedade que lhe serve de definição:

Considere, no plano, uma reta d e um ponto F
fora dela. Uma parábola é precisamente o conjunto
dos pontos no plano que são eqüidistantes do ponto
P F F e da reta d . O ponto F e a reta d são, respectiva-
mente, o foco e a diretriz da parábola. A reta perpen-
dicular à diretriz, que passa pelo foco, chamamos de
d Eixo da parábola.

P ∈ Parábola ⇔ dist (P , d ) = dist (P , F )

Como fizemos no capítulo precedente, vejamos como os coeficientes a, b , c , numa função quadrática,
determinam o seu comportamento.

Diferentemente dos coeficientes angular e linear duma função afim, as constantes a, b e c não
possuem, na teoria de funções quadráticas, uma designação especial. Elas são comumente
chamadas coeficiente de x 2 , coeficiente de x e termo independente, respectivamente.

A interpretação geométrica do termo independente é de to- y

das, a mais evidente e, portanto, é a que trataremos agora. 4

Tomemos uma função f (x ) qualquer, por exemplo

f (x ) = x 2 + 2x + 1.
1

Observe que ao avaliarmos o valor da função em x = 0, obte-
-3 -2 -1 1 2 x
mos:
f (x ) = (0)2 + 2(0) + 1 = 1.

y
Tomando uma segunda função f (x ) = 2x 2 + 3x + 7, e
avaliando em x = 0, temos:

f (0) = 2 · 02 + 3 · 0 + 7 = 7.
7
5 Podemos, portanto, verificar que se f (x ) = ax 2 + bx + c ,
3
1
então,
x f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c .
-2 -1 1 2

21


Se você percebeu, nestes casos, que as duas primeiras parcelas, em x , na expressão, se anulam
em x = 0, deve-se concluir que o termo independente, ’c ’, corresponde precisamente ao valor da função
avaliado na origem. Em termos mais simples, o gráfico da função f (x ) = ax 2 + bx + c corta o eixo-y no
ponto (0, c ). Observe, abaixo, os gráficos das duas primeiras funções.

O coeficiente de x 2 tem uma interpretação um tanto mais significativa. Compare os gráficos das duas
funções e f (x ) = x 2 e g (x ) = −x 2 .
y y

Observamos que o sinal de x 2 deter-
mina a concavidade do gráfico da função. x

Também seu valor absoluto nos fornece
uma interessante informação: quanto
maior, mais fechada será a parábola que
x
a representa, e reciprocamente.
f (x ) = x 2 g (x ) = −x 2
Uma vez entendida a interpretação geométrica dos coeficientes a e c numa função do segundo grau, e
sua relação com o seu gráfico, examinemos, agora os zeros, ou raízes, dessa função.

1.18 Raízes de uma Função Quadrática

Em Fundamentos de Matemática I, relembramos um algoritmo antigo, fórmula de Bhaskara, que nos
permite obter a solução de uma equação do segundo grau. Neste parágrafo, o que antes chamávamos
solução, chamaremos zeros ou raízes da função que, geometricamente, correspondem aos pontos onde o
gráfico corta o eixo-x .

Como exemplo, consideremos a função f (x ) = x 2 − 5x + 4. Suas raízes são obtidas resolvendo-se a
equação x 2 − 5x + 4 = 0, donde x1 = 1 e x 2 = 4. Portanto, o gráfico dessa função corta o eixo-x nos pontos
(1, 0) e (4, 0).

Estas informações são, certamente, valiosas. Porém, não são suficientes para se fazer, de forma mais
precisa, o gráfico de uma função do 2◦ grau.

Outros elementos são necessários para esta construção. Um destes, bastante relevante, é o estudo
dos pontos de máximos e mínimos de uma função quadrática que, juntamente com as informações que
obtivemos acima, nos fornecerá uma idéia mais precisa de sua representação gráfica.

1.19 Extremo de uma Função Quadrática

É bastante intuitivo, ao examinarmos o gráfico de uma função f (x ) do segundo grau, que seu ponto de
máximo ou mínimo ocorre quando o correspondente valor de x , que chamaremos xv se encontra no ponto
médio de suas raízes x1 e x2 , isto é, quando
x1 + x2
xv =
2
Recordemos as expressões de x1 e x2 , dadas pela fórmula de Bhaskara:
√ √
−b + ∆ −b − ∆
x1 = e x2 = .
2a 2a
22

Temos, portanto, que, em função dos coeficientes a, b e c da função, o valor de xv é dado por

b
xv = − .
2a

Avaliando-se a função neste ponto, obtemos f (xv ), que corresponde ao valor de máximo ou mínimo da
função, conforme o sinal de a seja positivo ou negativo:

∆
f (xv ) = −
4a

b ∆
O ponto de máximo - ou mínimo - dessa função, dado por − ,− é chamado vértice da parábola.
2a 4a
Até aqui, examinamos a expressão de uma função do 2◦ grau, e obtivemos alguns resultados que
fornecem indicações úteis sobre o seu gráfico. Condensemos, agora, essas informações no seguinte
exemplo:

y
Seja f (x ) = x 2 − 2x − 3. Do exame de seus coeficientes, 4
observamos que: 3
2
• Interseções com os eixos coordenados:
1
1. Oy : (0, −3);
-2 -1 1 2 x
2. Ox : (−1, 0) e (3, 0); -1
-2
• Concavidade: voltada para cima.
-3
• Ponto de mínimo: (1, −4). -4

Para pensar Applet JAVA

É possível que o gráfico de uma função do segundo grau não
intersecte algum dos eixos coordenados? Em que casos isso pode V
A
A
ocorrer?

Observe que este conjunto de informações sobre o gráfico de uma função do 2◦ grau orienta-nos,
similarmente, quanto à sua imagem. Com efeito, se yν = f (xν ) é o valor mínimo de uma função, isto, por
si, subentende o fato de que todos os demais valores assumidos pela função são maiores que yν , donde
escrevemos Im(f ) = {y ∈ R; y ≥ yν }. Claramente, se yν = f (xν ) é o valor máximo da função, seu conjunto
imagem é dado por Im(f ) = {y ∈ R; y ≤ yν }.

1.20 Sinal de uma Função Quadrática

Estudar o sinal de uma função quadrática, basicamente, significa determinar o conjunto de valores de
seu domínio para os quais a função assume valor positivo, negativo ou nulo. No parágrafo acerca de zeros
ou raízes de uma função, examinamos parte desta questão. Restam, portanto, os dois outros casos. Isto,
conforme veremos, resume-se a observar a concavidade da parábola que a representa.
23


y
4
Considere a função f (x ) = x 2 − 4 cujo gráfico está exibido ao
3
lado.
2
Note, em primeiro lugar, que sua concavidade é voltada para cima 1
e, portanto, para valores de x situados entre as duas raízes, o valor
-2 -1 1 2 x
da função é negativo, sendo positivo nos demais intervalos. -1
-2
Esta breve observação é a base da resolução de inequações do
◦ -3
2 grau, conforme veremos abaixo:
-4

Seja a inequação −x 2 + 6x − 5 ≤ 0. O gráfico da função f (x ) = −x 2 + 6x − 5 pode ser visto a seguir.
y
4

2
+
1 3 5 x 1
+ 5

- -2 - - - x

Note as raízes desta função, bem como os intervalos onde ela assume valor negativo. Isto nos fornece
o seguinte conjunto solução para a inequação:

S = {x ∈ R ; x ≤ 1 ∨ x ≥ 5}

1.21 Aplicações

Há muitos problemas que podem ser formulados em termos de equações e funções quadráticas. Con-
sidere os seguintes:

Exemplo 1.1. Um garoto chuta uma bola obliquamente. Sabendo-se que a trajetória da bola é dada pela
função f (x ) = −x 2 + 9x − 8, determine a altura máxima atingida pela bola.

y
12

10
Solução: Apenas como ilustração, esboçamos o
8
gráfico da função ao lado, embora não seja isso um
6
requisito inicial para a resolução da questão.
4
O que se requer, nesse caso, é apenas determi-
2
nar o valor máximo da função, que pode ser obtido
por se determinar f (xv ). -1 1
4 5 8 x
-1

Como vimos,
−b −9
f (xv ) = f =f = f (4, 5) = 12, 25.
2a −2
Exemplo 1.2. Duas torneiras juntas enchem um tanque em 12 horas. Uma delas, sozinha, levaria 10
horas a mais que a outra para enchê-lo. Quantas horas leva cada torneira para encher esse tanque?
24

Solução: Convencionemos que uma das torneiras leva x horas para encher o tanque, e que a outra o
1 1
faz em x + 10 horas. Assim, em uma hora, cada torneira contribui, respectivamente, com e do
x x + 10
volume total do tanque. Como, juntas, elas enchem o tanque em 12 horas, temos que, em uma hora, elas
1
enchem do seu volume. Segue que, podemos escrever:
12
1 1 1
+ =
x x + 10 12
Isto resulta na equação do 2◦ grau:
x 2 − 14x − 120 = 0,
cujas soluções são 20 e −6. Uma vez que não há sentido em x = −6 temos que uma das torneiras enche
o tanque em 20 horas, enchendo-o a outra em 20 + 10 + 30 horas.

Propriedade Refletora da Parábola
Há uma interessante propriedade, conhecida já há muitos séculos como “propriedade refle-
tora da parábola”, e que explicaremos aqui da seguinte maneira:
Os raios que incidem na parábola, paralelamente ao seu eixo, são refletidos para seu foco
F ; e inversamente, os raios, partindo do foco F que são incididos na parábola, são refletidos
paralelamente ao seu eixo.
d d

F Eixo F Eixo

Esta propriedade faz com que a parábola tenha várias aplicações práticas. Como exemplo,
citamos as conhecidas antenas parabólicas, que concentram num aparelho receptor os débeis
sinais vindos de um satélite de televisão. Encontramos uma outra aplicação nos faróis dos
automóveis e motocicletas, que são espelhados por dentro. Colocando-se a lâmpada no foco,
seus raios são refletidos em feixes paralelos e bem regulares.


1.25. Determinar os zeros reais, quando existir, das funções:
25


(a) f (x ) = x 2 − 3x + 2 √ √
(j) f (x ) = x 2 + (1 − 3)x − 3 (s) f (x ) = 2x 4 + 6x 2 + 4
(b) f (x ) = −x 2 + 7x − 12 (k) f (x ) = 2x 2 − 4x (t) f (x ) = −x 4 + 3x 2 − 3
2
(c) f (x ) = 3x − 7x + 22
(l) f (x ) = −3x 2 + 2 (u) f (x ) = 3x 4 − 12x 2
2
(d) f (x ) = x − 2x + 2
(m) f (x ) = 4x 2 + 3 (v) f (x ) = x 6 − 7x 3 − 8
2
(e) f (x ) = x + 4x + 4 (n) f (x ) = −5x 2 (w) f (x ) = −x 2 − 9
3
(f) f (x ) = −x 2 + x + 1 (o) f (x ) = x 4 − 5x 2 + 4 (x) f (x ) = x 2 − 9x + 8
2
(g) f (x ) = x 2 − 2x − 1 (p) f (x ) = −x 4 + 5x 2 + 36 (y) f (x ) = −x 2 + 9x − 8
(h) f (x ) = −x 2 + 3x − 4 (q) f (x ) = x 4 − x 2 − 6 (z) f (x ) = 2x 2 + x − 1
√ 3
(i) f (x ) = x 2 − 2x + (r) f (x ) = x 4 − 4x 2 + 4
2
1.26. Determinar os valores de m para que a função

(a) f (x ) = mx 2 + (2m − 1)x + (m − 2) tenha dois zeros reais e distintos;

(b) f (x ) = (m − 1)x 2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos;

(c) f (x ) = (m + 2)x 2 + (3 − 2m)x + (m − 1) tenha raízes reais;

(d) f (x ) = mx 2 + (m + 1)x + (m + 1) tenha um zero real duplo;

(e) f (x ) = x 2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) = 0 tenha duas raízes reais iguais;

(f) f (x ) = (m + 1)x 2 + (2m + 3)x + (m − 1) não tenha zeros reais.

1.27. Obter uma equação do segundo grau de raízes:
1 −3 √ √ √
(a) 2 e −3 (b) e (c) 0, 4 e 5 (d) 1 e − 2 (e) 1 + 3e1− 3
2 2
1
1.28. Estude as seguintes funções, f1 (x ) = −x 2 + 2x − 1, f2 (x ) = x 2 + 3x − 2 e f3 (x ) = 3x 2 + x + 4, quanto
2
a:

(a) Intersecção com o eixo-y ; (b) Suas raízes e intersecções com o eixo-x ;

(c) Concavidade e pontos de máximo ou mínimo.

1.29. Determinar o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das
funções abaixo deﬁnidas em R.
(a) y = 2x 2 + 5x (d) y = −3x 2 + 12x (g) y = −x 2 + 5x − 7
(b) y = −2x 2 − 4x (e) y = 4x 2 − 8x + 4 x2 4x 1
(h) y = − + −
7x 5 2 3 2
(c) y = 2x 2 + 4x (f) y = x 2 − +
2 2
1.30. Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo.

1.31. Dentre todos os números reais a e b tais que 2a + b = 8 determine aqueles cujo produto é máximo.

1.32. Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.

1.33. Dentre todos os números de soma 9, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima.

1.34. Determinar os vértices das parábolas:
(a) y = x 2 − 4 (b) y = −x 2 + 3x (c) y = 2x 2 − 5x + 2
1x 3 2 7x
(d) y = −x 2 + + (e) y = −x 2 + x − (f) y = x 2 − −2
2 2 9 3
26

1.35. Determinar a imagem das seguintes funções definidas em R:

(a) y = x 2 − 3x (b) y = −x 2 + 4 (c) y = 3x 2 − 9x + 6
3x x2
(d) y = −4x 2 + 8x + 12 (e) y = −x 2 + +1 (f) y = +x +1
2 2

1.36. Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em R e determinar suas imagens:

(f) y = −3x 2 + 6x − 3 (k) y = −x 2 + 4
(a) y = x 2 − 2x − 3
(g) y = 3x 2 + 5x − 12 (l) y = 3x 2 − 9x + 6
2
(b) y = x − 2x + 3
9 (m) y = −4x 2 + 8x + 12
2 (h) y = x 2 − 3x +
(c) y = −x + 2x + 3 4 3x
(i) y = 3x 2 − 4x + 2 (n) y = −x 2 + +1
(d) y = 4x 2 − 10x + 4 2
x 1 (j) y = x 2 − 3x x2
(e) y = −x 2 − + (o) y = +x +1
2 2 2

1.37. Em cada item da questão anterior, determinar intervalos para x em que a função é maior do que
zero e em que a função é menor do que zero.

1.38. Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião
revelou que, por cada real de aumento no preço, o restaurante perderia 10 clientes, com o consumo médio
de 500 gramas cada um. Qual deve ser o preço do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior
receita possível?

Sugestão: Inicialmente, chamemos de x o aumento no preço do quilo, em relação ao seu valor atual.
Neste caso, o preço aumentado será 12 + x reais. Conforme os dados fornecidos pelo problema, se o
preço passar de 12 para 12 + x reais, o restaurante perderá 10x clientes, pois são 10 clientes a menos por
cada real de aumento. Uma vez que o consumo médio é de 500 gramas, a sua queda correspondente
seria de 10x · 500 gramas = 5x quilos. A venda diária, então, passaria a ser 100 − 5x quilos, donde a receita
seria de
R (x ) = (100 − 5x ) · (12 + x ).

Isto resulta na função do segundo grau

f (x ) = −5x 2 + 40x + 1200.

Note que seu coeficiente de x 2 é negativo, donde ela tem um ponto de máximo, que é o que se pede para
determinar.
y

3

1.39. Determine a função quadrática que representa o
gráfico ao lado: 1

-1 1 3 5 x
-2

27


Gabarito
1 √ √ √
Questão. 1.25. (a) 1 e 2. (b) −3 e −4. (c) ∅. (d) ∅. (e) −2. (f) − e 2. (g) 1 − 2 e 1 + 2. (h) ∅. (i) ∅. (j) −1 e 3 (k) 0 e 2. (l)
√ 2
6 √ √
± . (m) ∅. (n) 0. (o) −2, −1, 1 e 2. (p) ±3. (q) ± 3. (r) ± 2. (s) ∅. (t) ∅. (u) −2, 0 e 2. (v) −1 e 2 (w) ∅. (x) 1 e 8. (y) 1 e 8. (z)
3
1 1 9 17 1 2 13
−1 e . Questão. 1.26. (a) m > − . (b) m > − . (c) m ≤ − . (d) m = −1 ou m = . (e) m = −2 ou m = . (f) m < − .
2 4 16 16 √ √ 3 5 12
Questão. 1.27. (a) x 2 + x − 6. (b) 4x 2 + 4x − 3. (c) x 2 − 5, 4x + 2. (d) x 2 + ( 2 − 1)x − 2. (e) x 2 − 2x − 2. √ √
−3 + 17 −3 − 17
Questão. 1.28. f1 : (a) (0, −1); (b) 1 e (1, 0); (c) para baixo, máximo (1, 0). f2 : (b) (0, −2); (b) e ;
√ √ 2 2
−3 + 17 −3 − 17 3 17
,0 e , 0 (c) para cima, mínimo − , − . f3 : (c) (0, 4); (b) não possui raízes; (c) para cima, mín-
2 2 2 4
3 191 5 25
imo − , − . Questão. 1.29. (a) mínimo − ; − . (b) máximo(−1; 2). (c) mínimo(−1; −2). (d) máximo(2; 12). (e)
12 48 4 8
7 9 5 3 4 7
mínimo(1; 0). (f) mínimo ;− . (g) máximo ;− . (h) máximo ; . Questão. 1.30. 4 e 4. Questão. 1.31. 2 e 4.
4 8 2 4 3 18
9 9 3 9 5 9 1 25
Questão. 1.32. b = h = 5. Questão. 1.33. e Questão. 1.34. (a) (0, −4). (b) , . (c) ,− . (d) , (e)
1 1 7 121
2 2 9
4
2 4
3
8 4 16
, . (f) ,− . Questão. 1.35. (a) y ∈ R y ≥ − . (b) {y ∈ R y ≤ 4}. (c) y ∈ R y ≥ − . (d) {y ∈ R y ≤ 16}.
2 36 6 36 4 4
25 1
(e) y ∈ R y ≤ . (f) y ∈ R y ≥ . Questão. 1.37. (a) y 0 ⇒ x −1 ou x 3; y 0 ⇒ −1 x 3. (b) . (c) . (d)
16 2
1 1 1 1
y 0 ⇒ x ou x 2; y 0 ⇒ x 2. (e) y 0 ⇒ x −1 ou x ; y 0 ⇒ −1 x . (f) y 0, ∀ x = 1.
2 2 2 2
4 4 3
(g) y 0 ⇒ x −3 ou x ; y 0 ⇒ −3 x . (h) y 0, ∀ x = . (i) y 0, ∀ x ∈ R. (j) y 0 ⇒ x 0 ou x 3;
3 3 2
y 0 ⇒ 0 x 3. (k) y 0 ⇒ x −2 ou x 2; y 0 ⇒ −2 x 2. (l) y 0 ⇒ x 1 ou x 2; y 0 ⇒ 1 x 2. (m)
1 1
y 0 ⇒ x −1 ou x 3; y 0 ⇒ −1 x 3. (n) y 0 ⇒ x − ou x 2; y 0 ⇒ − x 2. (o) y 0, ∀ x ∈ R.
2 2
Questão. 1.38. r $ 16, 00 Questão. 1.39. −x 2 + 2x + 3.

Funções Exponenciais e Logarítmicas

Função Exponencial

2.1 Apresentação

Em Fundamentos de Matemática I, consideramos grandezas que variam proporcionalmente entre si.
Talvez recorde que duas grandezas são proporcionais quando existe entre elas uma correspondência
x → y satisfazendo as seguintes condições:

(a) Quanto maior for x , maior será y , e reciprocamente;

(b) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x , então o valor correspondente de y será dobrado,
triplicado, etc.

Este é o caso de grandezas tais como peso e volume, montante e capital investido, etc.

Considere, agora, o seguinte exemplo:
Segundo a lei de resfriamento de Newton, a temperatura de CORPO SALA
◦
um corpo, num ambiente mantido a uma temperatura constante,
a
1 Medição 36 25◦
varia proporcionalmente com a diferença de temperatura entre o 2a Medição 30◦ 25◦
corpo e o ambiente. 3a Medição 26◦ 25◦

Para ilustrá-lo, suponha que um perito criminalista, medindo a temperatura de um corpo, num aposento
a 25◦ , obteve os valores apresentados na tabela acima.
28

A lei de resfriamento de Newton, aplicada a este exemplo, DT
nos diz que na primeira medição a taxa de variação da temper-
atura entre o corpo e o ambinete era maior do que se observou 11
na segunda, que, por sua vez, era maior que a taxa de variação
na terceira.

5
É evidente, portanto, que a temperatura do corpo decresceu
com a passagem do tempo, mas não proporcionalmente. Seu 1
comportamento pode ser ilustrado conforme o esboço gráfico
1 2 3 Medidas
ao lado.

Funções com este comportamento são ditas exponenciais, e são da forma

f (x ) = ax .

Ela aparece naturalmente na modelagem de problemas de crescimento e decrescimento de popu-
lações, em Matemática Financeira e em outros temas que encontram larga aplicação em Medicina, Engen-
haria, etc. Antes, porém, de alguns pormenores sobre essa função, convém fazer uma breve recapitulação
de potências.

2.2 Potências

Em nossos estudos, no ensino médio e no fundamental, lidamos com expressões do tipo
1 3
√
30 , 4−7 , 5 5 , 7 5 , 4 3
.

Curiosamente, não poucos de nós deixamos de nos certificar de que realmente entendemos o sentido
destas expressões. De fato, se a nossa noção de potência mn começa no universo dos Naturais, como
um produto de n fatores iguais a m, que sentido haveria numa potência de expoente negativo, irracional,
fracionário, etc.? É esta a questão que abordamos agora.

2.2.1 Potência de Expoente Natural

Dados dois números naturais, a e n, não nulos, definimos an como o produto

a · a ·... ·a
ßÞ
n fatores
Assim,
32 = 3·3=9
43 = 4 · 4 · 4 = 64.
Desta definição decorrem as familiares propriedades fundamentais das potências de expoente natural.

2.2.2 Propriedades das Potências

1. am+n = am · an
29

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