1. Teorema Fundamental da
Trigonometria
2 2
sen   cos   1

2. Demonstração ...
sen
1
·
sen θ θ
)θ
-1 0 cos θ 1 cos
-1

3. Continuação...
sen
1
1
sen θ
)θ
-1 0 cos θ 1 cos
-1

4. Continuação...
1
sen θ
)θ
cos θ
Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos
:
2 2
sen   cos   1

5. Relações Trigonométricas no
Triângulo Retângulo
nte
Ca
ce
dja
te
A
to O
a teto
C
pos
)θ
to
Hipotenusa

6. Continuação ...
Ente Relação no Triângulo
Trigonométrico Retângulo
CO
Seno de θ sen 
HIP
Cosseno de θ cos  
CA
HIP
Tangente de θ 
1 HIP
Cossecante de θ cos sec   
sen CO
1 HIP
Secante de θ sec   
cos  CA
Cotangente de θ  


7. Na Circunferência
Trigonométrica
sen tg
· tg θ
sen θ
)θ
0 cos θ cos

8. Continuação ...
cotg θ cotg
cossec θ
·
)θ
0 secante θ

9. Arcos Notáveis
sen tg
120° 90° 60°
135° 45°
150° 30°
180° 0°/360°
0 cos
210° 330°
225° 315°
240° 300°
270°

10. Tabela de Entes Trigonométricos
...
arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
    2
rad 0  2
6 4 3 2 3
1 2 3
seno 0 1 0 -1 0
2 2 2
3 2 1
cosseno 1 0 -1 0 1
2 2 2
tangente
sen  3
0 1 3 --- 0 --- 0
cos  3

11. Exercícios Resolvidos

12. Que tal fazermos um teste para verificação do que foi
apresentado?
Observem a figura ao lado
1) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que o sen  vale:
a) b/c
b) a/c
c.o. b
c) c/b sen   
hip c
d) c/a
e) a/b

13. 2) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que a tg  vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c c.o. b
tg   
c.a. a

14. 3) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que tg  .cotg 
vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0 tg  . cot g 
e) 1 c.o. c.a.
. 1
c.a. c.o.

15. 4) Se a = 3b, podemos
dizer então, que
sen2  + cos2 
vale:
a) b2 / a2
b) 9c2 / b2
Pelo teorema fundamental da
c) 0 trigonometria, temos que:
d) 1 2  + cos2  = 1
sen
e) (c2 + b2) / 9a2
portanto

16. 5) Em relação ao sec 2   1  tg 2 
ângulo , podemos
dizer que sec2- 1
vale:
a) tg2
b) cotg2 sen 
tg   , log o
cos 
c) - 1  sen  
2
sen 2 
2
1
tg   
 cos  

2
 tg  
  cos 2 
d) 0 sec  
cos 
, log o
2
e) 1 2  1  1 sen 2   cos 2   1
sec   
 cos  

2
 sec  
  cos 2  sen 2   1  cos 2 
2 1 1  cos 2  sen 2 
sec   1  1    sec 2   1  tg 2 
cos 2  cos 2  cos 2 

17. 6) Em relação ao cos sec 2   1  cot g 2 
ângulo , podemos
dizer que cossec2- 1
vale:
a) tg2
b) cotg2 cot g  
cos 
, log o
sen 
c) - 1 2  cos  
2
cos 2 
cot g   
 sen  

2
 cot g  
  sen 2 
d) 0 cos sec  
1
, log o
sen  sen 2   cos 2   1
e) 1 2 cos 2   1  sen 2 
 1  1
cos sec  2 
 sen  
  cos sec 2  
  sen 2 
2 1 1  sen 2  cos 2 
cos sec   1  1    cos sec 2   1  cot g 2 
sen 2  sen 2  sen 2 

18. Lei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
C
^
C
b a
^ ^
)A B (
A c B
temos : a b c

 
 
sen A sen B sen C

19. Lei dos Cossenos
Seja um triângulo ABC qualquer
C
^
C
b a
^ ^
) A B (
A c B

a 2  b 2  c 2  2 b c cos A ou
temos : 
2 2 2
b  a  c  2 a c cos B ou

2 2 2
c  a  b  2 a b cos C

20. Continuação ...
Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é
reto, por exemplo, Â= 90°, temos :
2 2 2
a  b  c  2 b c cos 90
Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...
2 2 2
a  b  c  2bc0
Temos, portanto ... 2 2 2
a  b c Teorema de Pitágoras

21. Gráficos das funções
trigonométricas
y
sen x
1
• •
270° 630°
-180° -90°
• •
0° 90°
•180° •
360° 450°
•540° •720° x
• -1 • •

22. Continuação ...
y
cos x
1
• • •
-180° 180° 540°
•
-90° 0° • 90° •
270° 360°
•450° •
630° 720° x
• -1
• •

23. Continuação ...
y
tg x
-90° 90° 270° 450° 630°
• •0° • •180° • • •
360°
• •
540° x

24. Continuação ...
cossec x
y
1
• •
• • • •
270° 630°
-180° -90°
• • 0°• 90° 180° • 360° 450° 540° • 720° x
-1

25. Continuação ...
y
sec x
1
• • •
-180° 180° 540°
-90°• 0° • 90° •
270° 360°
• 450° •
630° 720°
x
• -1
• •

26. Continuação ...
y
cotg x
90° 270° 450° 630°
0°
• • •180° • • 360° • •540° • • 720° x

27. • Integração por Substituição trigonométrica
Caso Radical Substit. Transformada Trigonometria no
Triângulo
Trigonométrica Retângulo
I a 2  b 2 .u 2 a a. 1  sen 2   a. cos CO
u  . sen  tg 
b CA
II a 2  b 2 .u 2 a a. 1  tg 2  a. sec CA
u  .tg cos 
b HI
III b 2 .u 2  a 2 a a. sec 2   1  a.tg CO
u  . sec sen  
b HI
Demonstrando o Caso I ...
2 2
a  2 a
a  b .u  a  b  sen    a  b . 2 sen 2   a 2  a 2 sen 2   a 2 .(1  sen 2  ) 
2 2 2 2 2 2
b  b
 a. 1  sen 2   a cos 2   a. cos

28. Trigonometria
Algumas Aplicações

29. Parte Prática
O exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir (aproximadamente)
a altura de um prédio, sem a necessidade de subir
ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados,
seria necessário somente 2 elementos.
São eles: uma distância
um ângulo
Observe a seguir . . .

30. Conhecendo a distância d que
vale 50 metros e o ângulo 
temos que: que vale 30°, podemos dizer
c.o. h então que:
tg    tg  
c.a. d h  d . tg 
tg  . d  h
h  50 . tg 30
portanto:  d . tg 
h h  50 . 0,5773502691 9
h  28,8675 metros

31. Exemplo 1
A inclinação de uma rampa

32. Uma rampa com inclinação constante, (como
a que existe em Brasília) tem 6 metros de
altura na sua parte mais elevada. Um
engenheiro começou a subir, e nota que após
ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está
a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será
que este engenheiro somente com esses dados
e uma calculadora científica conseguiria
determinar o comprimento total dessa rampa e
sua inclinação em relação ao solo?

33. Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que
representa essa situação.
Observemos: Comprimento total da rampa
6 metros
16,4 metros
2 metros

solo

34. 6 metros
16,4 metros
2 metros

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
Temos em relação
16,4 metros ao ângulo 
hip c.o. hip = 16,4 metros
 2 metros
c.o. = 2 metros
c.a.

35. Como: 16,4 metros
hip = 16,4 metros hip c.o.
 2 metros
c.o. = 2 metros c.a.
c.o. 2
sen     0,1219512195 12
hip 16,4
Obs.: quando dizemos que arcsen  = 1/2 , podemos
transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco,
cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que  = 30°.

36. Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen  = 0,121951219512, logo podemos encontrar o
ângulo , com o auxílio da calculadora que
normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então,
devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de
sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente, deverá
ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos
considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!

37. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos
pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele
conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das
medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele
percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é
escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a
largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele
demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( 3  1,7 )

38. Solução:
Resumidamente, temos o
triângulo ao lado que
representa nosso desafio.
c.o. h
tg 30    tg 30 . (20  y )  h  h  tg 30 . (20  y )
c.a. (20  y )
3
h . (20  y ) ( I )
3
c.o. h
tg 60    tg 60 . y  h  h  tg 60 . y
c.a. y
h 3 . y ( II )

39. Igualando o h das equações ( I ) e (II)
3
(I) h  . (20  y ) ( II ) h  3 .y
3
3
. (20  y )  3 . y  3 . (20  y )  3 . 3 .y
3
 (20  y )  3 . y  20  3 y  y  20  2y
 y  10 metros
Como
h 3 .y
h  1,7 .10
h  17 metros

40. Agora com o valor das medidas temos condição de determinar
quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
v = 0,2 m/s
De A até C ele
percorreu 30 + 17 +
30 metros 17 = 64 metros
s s
V  V . t  s  t 
t V
64 320 segundos
t   320 segundos  t  
0,2 60
t  5,333 min utos ou t  5 min utos e 20 segundos