Este documento trata de conceitos básicos de geometria esférica, incluindo definições de esfera, superfície esférica, área e volume da esfera, plano secante e cálculo de áreas de regiões esféricas como fusos e cunhas esféricas. Exemplos numéricos ilustram os conceitos e exercícios são fornecidos para prática.

1. MATEMÁTICA
ESFERA
1. SUPERFÍCIE ESFÉRICA OP representa a medida do raio da esfera (R).
d representa a distância do plano ao centro da
1.1.Definição esfera.
Define-se como superfície esférica o conjunto r representa a medida do raio do círculo deter-
de todos os pontos do espaço cuja distância a um minado pela intersecção do plano e a esfera.
ponto fixo (denominado centro) é R(denominado rai- Relação entre os elementos: R2 = r 2 + d2 .
o).
2.4. Área do fuso esférico ( A F )
1.2. Área da superfície esférica
Sendo α a medida do ângulo diedro do fuso es-
A área de uma superfície esférica de raio R
férico, a área do fuso pode ser obtida pela seguinte
pode ser determinada pela relação A sup = 4πR2 .
proporção:
α Af 4 ⋅ π ⋅ R2 ⋅ α
(α em graus) 0
= 2
⇒ Af = ;
360 4πR 3600
α Af
R (α em radianos) = ⇒ Af = 2 ⋅ α ⋅ R 2 .
superfície 2π 4πR 2
esférica
A sup =4πR 2
r
O
2. ESFERA α
2.1. Definições
Define-se como esfera o conjunto de pontos
limitados pela superfície esférica, bem como os que 2.5. Volume da cunha esférica ( Vc )
a compõem.
Se uma cunha esférica tem raio R e a medida
2.2. Volume da esfera de seu ângulo diedro é α, então seu volume Vc é ob-
O volume de uma esfera de raio R pode ser de- tido pela proporção:
4πR3
terminado pelas relações V =
3
r
R
O
α
3
4πR
V=
3
α Vc α ⋅ π ⋅ R3
A esfera representa a união entre os pontos in- (α em graus) = 3
⇒ Vc = ;
ternos à superfície esférica e os pontos limitantes. 360º 4πR 270 º
3
2.3. Plano secante a uma esfera
α Vc α ⋅ π ⋅ R3
(α em radianos) = 3
⇒ Vc = .
2π 4πR 3
r 3
P
d
R
α O
Editora Exato 25

2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS
1 Determine o volume e a área da superfície esféri- 1 Uma laranja tem a forma de uma esfera, cujo di-
ca de uma esfera de raio 10 cm. âmetro mede 8cm. Então a área aproximada da
Resolução: casca dessa laranja é:
4.π.10
3
4000π a) 190cm2.
V= cm3 ⇒ V = cm3
3 3 b) 200cm2.
A = 4.π.102 cm2 ⇒ A = 400πcm2 c) 210cm2.
d) 220cm2.
e) 230cm2.
2 Calcule a área do círculo determinado por uma
secção esférica feita a 5 cm do centro de uma es-
fera de raio 13cm. 2 Considere uma laranja como uma esfera compos-
Resolução: ta de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja
tem 8cm de diâmetro, qual é o volume aproxima-
do de cada gomo?
r a) 19cm3.
b) 20cm3.
5 13 c) 21cm3.
d) 22cm3.
e) 23cm3.
3 (UFRGS) São fundidas 300 esferas com 20mm
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: de diâmetro para fabricar cilindros circulares re-
132 = 52 + r 2 ⇒ r = 12 . tos com 20mm de diâmetro e 200mm de altura. O
Logo, a área da secção é dada por número de cilindros resultantes é:
A = π.122 cm2 = 144cm2 a) 2.
b) 5.
c) 20.
3 (PUC-SP) A área de um fuso esférico cujo ângu- d) 25.
lo mede
π
rad, em uma esfera de 12 cm de raio, é: e) 30.
3
Resolução:
 π 4 (CEFET-PR) A indústria de bolas de borracha
 x = rad Cilimbola quer produzir embalagens cilíndricas
 3
R = 12cm
 para colocar 3 bolas com 3cm de raio cada, con-
AF = 2.x .R 2
forme a figura.
A quantidade total de material utilizado para o
π
AF = 2. .122 fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em
3
π 288
cm2, será de:
AF = 2. .144 → AF = π
3 3
AF = 96π cm 2
a) 126 π b) 108 π
c) 127 π d) 72 π
e) 90 π
Editora Exato 26

3. 5 (UFO-MG) Uma casquinha de sorvete é um co- 3. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
ne de 10cm de altura e 4cm de diâmetro na base.
Duas bolas esféricas de sorvetes, também de 4cm DOMENICO, Luiz Carlos de. Matemática.. Vitória-
de diâmetro, são colocadas na casquinha. Se o Régia. Editora IBEP.
sorvete derreter na casquinha: SILVA, Jorge Daniel. e FERNANDES, Valter dos
a) O sorvete encherá completamente a casquinha, Santos. Matemática – Curso Completo.. Hori-
sem transbordar. zontes. Editora IBEP.
b) Transbordarão 8πcm3 de sorvete. PAIVA, Manoel. Coleção Base Matemática - 2ª edi-
ção.. Editora Moderna.
c) Faltarão 8πcm3 de sorvete para encher comple-
BIANCHINI, Edwaldo. e PACCOLA, Herval. Cur-
tamente a casquinha.
so de Matemática - Volume único. 3ª edição.
d) Transbordarão 6πcm3 sorvete.
Editora Moderna.
e) Faltarão 6πcm3 de sorvete para encher comple- PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem
tamente a casquinha. e aplicações - volume 1.. Editora Moderna.
PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem
6 (CEFET-PR) Uma indústria de cosméticos dese- e aplicações - volume 2.. Editora Moderna.
ja embalar sabonetes esféricos de raio 3cm. A PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem
embalagem deverá ter formato cilíndrico, de for- e aplicações - volume 3.. Editora Moderna.
ma a acondicionar 3 sabonetes, como mostra a fi- DANTE, Luiz Roberto. Matemática - Contexto e A-
gura (vista superior da embalagem aberta). A plicações - Volume Único.. Editora Ática.
medida do raio e a altura da embalagem, em cm, GUELLI, Oscar, Matemática - Série Brasil - Volume
deverão ser de aproximadamente: ( 3 = 1,73) Único.. Editora Ática.
a) 6,73 e 3. b) 3,46 e 6.
c) 6,73 e 6. d) 6,46 e 6.
e) 6,46 e 3.
GABARITO
1 B
2 D
3 C
4 A
5 B
6 D
Editora Exato 27