Este documento apresenta 14 exercícios de matemática de vestibulares anteriores com questões variadas sobre geometria, números, lógica e estatística. As questões abordam tópicos como área de figuras planas, números primos, interpretação de gráficos e fluxogramas, raciocínio lógico e probabilidade.

1. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Exercícios Prof. Bruno Vianna
Variados
01) (UFRJ-2011) Nei deseja salvar, em seu pen drive de 32 Gb, 05) (UFRJ-2011) Considere o programa representado pelo
os filmes que estão gravados em seu computador. Ele notou seguinte fluxograma:
que os arquivos de seus filmes têm tamanhos que variam de
500Mb a 700Mb. Gigabyte (símbolo Gb) é a unidade de
medida de informação que equivale a 1024 Megabytes (Mb).
Determine o número máximo de filmes que Nei
potencialmente pode salvar em seu pen drive.
02) (UFRJ-2011) A figura 1 a seguir apresenta um pentágono
regular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágonos
regulares, todos de lado L.
a) Determine os valores reais de x para os quais é possível
executar esse programa.
b) Aplique o programa para x = 0, x = 4 e x = 9.
figura 1 figura 2
06) (UFRJ-2011) Manuel e Joaquim estavam tentando decidir
Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma qual o caminho poligonal mais curto que liga o ponto A0 ao
B das áreas dos pentágonos da figura 2? Justifique sua ponto A12 na figura a seguir.
resposta.
03) (UFRJ-2011) Um marcador digital é formado por sete
segmentos no formato de um 8. Para formar um símbolo,
cada segmento pode ficar iluminado ou apagado, com pelo
menos um segmento iluminado.
Dizemos que um símbolo é conexo se não existe segmento
iluminado isolado dos demais. Por exemplo: os três símbolos Depois de muito pensar, concluíram que havia três caminhos
representados na figura 1 a seguir são conexos e distintos; já possíveis:
o símbolo da figura 2 não é conexo.
Os símbolos ilustrados têm, todos, três segmentos 1 – A0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12;
iluminados.
2 – A0C2A12;
3 – A0B1C1B2A12.
Manuel indicou o caminho 1 como o mais curto,
argumentando que esse era o caminho que estava mais
figura 1 figura 2
próximo do segmento A0A12. Joaquim escolheu o caminho 2,
por ser o que tinha menor número de segmentos.
Desenhe TODOS os símbolos conexos formados por três
Indique qual das afirmativas a seguir está correta.
segmentos iluminados.
I - O caminho mais curto é o proposto por Manuel.
II - O caminho mais curto é o proposto por Joaquim.
04) (UFRJ-2011) Se x = 3 − 8 − 3 + 8 , mostre que x é III - Nenhum dos dois patrícios escolheu o caminho mais
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inteiro e negativo. (Sugestão: calcule x .) curto.
Justifique sua resposta.
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2. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA
Projeto
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Variados
07) (UFRJ-2011) Um ponto P desloca-se sobre uma reta
numerada, e sua posição (em metros) em relação à origem é I - Só Manuel está certo.
dada, em função do tempo t (em segundos), por P(t) = 2(1− t) II - Só Joaquim está certo.
+ 8t. III - Só Antônio está certo.
IV - Os três estão certos.
V - Os três estão errados.
VI - Não é possível decidir se algum nem qual dos três está
certo.
a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t = 0).
b) Determine a medida do segmento de reta Justifique sua escolha.
correspondente ao conjunto dos pontos obtidos pela
11)(UFRJ-2009-Não esp) Sabe-se que vale a pena abastecer
variação de t no intervalo 0, 3  . com álcool um certo automóvel bi-combustível (flex) quando
 2
 
o preço de 1L de álcool for, no máximo, 60% do preço de 1L
de gasolina. Suponha que 1L de gasolina custe R$ 2,70.
08) (UFRJ-2010) O painel de um automóvel indica o consumo Determine o preço máximo de 1L de álcool para que seja
médio de combustível da seguinte forma:
vantajoso usar esse combustível.
12) (UFRJ-2009-PNE) Seu Joaquim tem uma balança de tarar
Determine quantos quilômetros esse automóvel percorre, (balança de pratos) e uma coleção de pesos de 10, 30, 60 e
em média, com 1 litro desse combustível. 150 gramas. Ele colocou um saco de arroz de 1,31 kg em um
dos pratos da balança.
09) (UFRJ-2010) Os 18 retângulos que compõem o quadrado
a seguir são todos congruentes.
Determine o número mínimo de pesos que devem ser
postos no outro prato para que a balança fique equilibrada.
13) (UFRJ-2009-PE) Seu Almeida possuía uma quantidade de
azulejos maior do que 150 e menor do que 250. Ele arrumou
os azulejos em várias caixas, cada uma contendo 17 azulejos.
Sobraram 15 azulejos. Ele, então, resolveu guardar tudo em
2
Sabendo que a medida da área do quadrado é 12 cm , caixas menores, cada uma contendo 11 azulejos. Dessa vez,
determine o perímetro de cada retângulo. ficaram sobrando 4 azulejos.
10) (UFRJ-2010) Manuel, Joaquim e Antônio olham, num Determine quantos azulejos seu Almeida possuía.
certo instante, para dois relógios, A e B, que só indicam
horas e minutos. Naquele instante, A e B indicam, 14) (UFRJ-2009-PE) A revista DigiNet publicou uma pesquisa
respectivamente, 11h51min e 11h53min. Diante dessa sobre 50 páginas da Internet muito visitadas, informando que
situação, segue-se o seguinte diálogo entre os amigos: a média diária de visitas às páginas era igual a 500 e que o
tempo médio de existência dessas páginas era igual a 38
“Nessas condições, a dedução lógica é que a defasagem entre meses. A revista BiteNet criticou a pesquisa por ela não ter
A e B é de 120 segundos.”, exclama Manuel. considerado a sua página, uma das mais visitadas. A BiteNet
informou ainda que, com a inclusão de sua página, a média
“Não! Só podemos garantir que a defasagem entre A e B é de visitas aumentaria para 1000 e o tempo médio de
de, no máximo, 120 segundos!”, contesta Joaquim. existência passaria para 37 meses. Admitindo-se que as
médias publicadas pela DigiNet estejam corretas, então pelo
“Vocês dois estão enganados. Com esses dados, só é possível menos uma das médias informadas pela BiteNet estaria
concluir que a defasagem entre A e B é de, pelo menos, 120 errada.
segundos!”, afirma Antônio.
Sobre as conclusões dos três patrícios, avalie qual das Determine qual delas estaria necessariamente errada.
afirmativas a seguir é verdadeira. Justifique sua resposta.
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3. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA
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15)(UFRJ-2008-PNE) Por curiosidade, Vera pôs 800 “anéis” de 21) (UERJ-2008-ESP) O peso P de um objeto, a uma altura h
latinhas de refrigerante (aquelas alavancas usadas para abrir acima do nível do mar, satisfaz a seguinte equação:
as latas) numa vasilha com água, e observou que o volume de
líquido deslocado pelos anéis foi de 50 mL. Depois, pegou
uma garrafa vazia, com capacidade de 2,5 litros, e encheu-a
até a boca com 3.100 desses anéis.
Ainda é possível pôr 2,3 litros de água no espaço restante Sabe-se que P equivale a 81% de P0 quando o objeto se
no interior da garrafa sem transbordar? encontra a uma altura h1.
16) (UERJ-2009-ESP) Admita dois números inteiros positivos, Calcule, em função de r, o valor de h1.
representados por a e b. Os restos das divisões de a e b por 8
são, respectivamente, 7 e 5. 22) (UERJ-2008-ESP Uma fábrica de doces vende caixas com
50 unidades de bombons recheados com dois sabores,
Determine o resto da divisão do produto a.b por 8. morango e caramelo. O custo de produção dos bombons de
morango é de 10 centavos por unidade, enquanto o dos
17) (UFF-2010-2ªfase) Responda :
bombons de caramelo é de 20 centavos por unidade. Os
a) Escreva o número 306 como produto de números primos.
demais custos de produção são desprezíveis. Sabe-se que
17 28 10 9
b) Considere os números naturais a = 2 x 3 x 7 e b = 2 x cada caixa é vendida por R$ 7,20 e que o valor de venda
2 16
5 x 7 . Escreva o maior divisor comum e o menor múltiplo fornece um lucro de 20% sobre o custo de produção de cada
comum de a e b como produto de potências de números bombom. Calcule o número de bombons de cada sabor
primos. contidos em uma caixa.
9 2
c) Quantos divisores inteiros positivos o número b = 2 x 5 x 23) (UERJ-2011 -1º ex qualif) Para melhor estudar o Sol, os
16
7 possui? astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos
18) (UERJ-2011-ESP) Um supermercado realiza uma de observação. Admita um filtro que deixe passar 4 da
promoção com o objetivo de diminuir o consumo de sacolas 5
plásticas: o cliente que não utilizar as sacolas disponíveis no intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa
mercado terá um desconto de R$0,03 a cada cinco itens intensidade a menos de 10% da original, foi necessário
registrados no caixa. Um participante dessa promoção utilizar n filtros. Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de
comprou 215 itens e pagou R$155,00. Determine o valor, em n é igual a:
reais, que esse cliente pagaria se fizesse as mesmas compras (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
e não participasse da promoção.
24) (OBM-2010) Um ponto P é escolhido ao acaso no interior
19) (UERJ-2011-ESP) Um trem transportava, em um de seus de um quadrado QRST. Qual é a probabilidade do ângulo
vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em ˆ
RPQ ser agudo?
uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em
seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de
passageiros que nele permaneceu após o desembarque.
Dessa forma, o número final de passageiros no vagão
corresponde a 120. Determine o valor de n.
20) (UERJ-2010-ESP) Duas empresas, A e B, farão doações
mensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores, em
reais, dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco 3 1
primeiros meses de 2010.
(A) (B) 2 −1 (C)
4 2
π π
(D) (E) 1 −
4 8
25) Uma turma tem aulas as segundas, quartas e sextas, de
A diferença entre os valores depositados pelas empresas 13h às 14h e de 14h às 15h. As matérias são Matemática,
entre dois meses subsequentes será mantida constante ao Física e Química, cada uma com duas aulas semanais, em dias
longo de um determinado período. Determine o mês e o ano diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa
desse período em que o valor mensal do depósito da turma?
empresa A será igual ao da empresa B.
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4. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA
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Variados
Gabarito comentado: Porém, quando x = 0 , temos x − 1 < 1 , de modo
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Questão 01) 32 Gb = 32 x 1024 Mb = 32768 Mb que g ( x ) = não é acionada. Com relação a
x2
n x 500 ≤ 32768 ⇒ n ≤ 65,536 h( x) = 3 x + 2 , não há restrições para aplicá-la a x ≥ 0
R: É possível executar o programa para x ≥ 0 .
R: O número máximo de filmes que Nei potencialmente pode
salvar é 65. b)
Questão 2) Sejam:
G = medida da área do pentágono grande.
p = medida da área do pentágono pequeno.
Dois pentágonos regulares são sempre semelhantes. A razão
das áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança:
Questão 6)
Nenhum dos dois patrícios escolheu a opção correta.
R: A área do pentágono grande é igual à soma das áreas dos Observe que os caminhos (a) e (b) têm os mesmos
16 pentágonos pequenos. comprimentos. De fato, traçando-se as paralelas indicadas na
figura abaixo,
Questão 3)
São 16 símbolos conexos com três segmentos iluminados.
Questão 4) Como 3 − 8 < 3 + 8 , então
x = 3 − 8 − 3 + 8 < 0 , ou seja, x é negativo.
2 2
x 2 =  3 − 8  − 2 3 − 8  3 + 8  +  3 + 8 
      
      
( ) ( ) (
x2 = 3 − 8 + 3 + 8 − 2 3 − 8 3 + 8)( )
x2 = 6 − 2 9 − 8
x2 = 6 − 2
x2 = 4
x = ±2
Logo, x = −2, que é um número inteiro negativo.
Questão 5)
a) A função f ( x) = x só está definida para x ≥ 0 . Portanto,
o programa descrito pelo fluxograma somente se aplica para
x ≥ 0 . As outras funções envolvidas são:
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g ( x) = 2 e h( x) = 3 x + 2
x
Portanto, o caminho mais curto é o da opção (c).
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5. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA
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Variados
Questão 7) 50 = 1 x 30 + 20,
20 = 2 x 10
Portanto, o menor número de pesos é 8 + 1 + 1 + 2 = 12
Questão 13)
Seja N a quantidade de azulejos de seu Almeida. Tem-se que
150 < N < 250. N = 17k1 + 15 e N = 11k2 + 4, com k1 , k2 ϵ N
(naturais).
11 – 2 = 9
17k1 + 15 = 11k2 + 4
R: A medida do segmento é 9. 17k1 = 11 (k2 −1) → k1 é múltiplo de 11.
Assim, k1 = 11 t, onde t é um nº natural qualquer.
Questão 8)
100 km / 12,5 L = 8 km / 1L .
N = 17k1 + 15 = (17 x 11)t + 15
Resp.: 8 km.
N = 187t + 15
Questão 9)
Para que 150 < N < 250 , basta t =1
Como os retângulos são congruentes, a área de cada
2
retângulo é 12/18 = 2/3 cm . Além disso, a figura indica que Portanto N = 187 + 15 = 202 azulejos
cada um deles tem lados que medem x e 2x.
Questão 14)
Dados da DigiNet
Número de páginas pesquisadas N = 50.
Média diária de visitas 500 ⇒ Número de visitas diárias 50 x
Questão 10) 500 = 25000.
Média de tempo de existência 38 meses ⇒ Total = 50 x 38 =
Como os relógios A e B não registram os segundos, as 1900.
seguintes situações são possíveis:
Dados da BiteNet.
Número de páginas pesquisadas N = 51.
Média diária de visitas 1000 ⇒ Número de visitas diárias 51
No caso da situação I, a defasagem é de 61 segundos e, no x 1000 = 51000.
caso da situação II, 179 segundos. Portanto, nenhum deles Média de tempo de existência 37 meses ⇒ Total =51 x 37 =
está correto. 1887.
Resp. Opção V - Os três estão errados. Como 1900>1887, isso acarretaria um tempo de existência
negativo da página acrescentada. Logo, o tempo médio de
Questão 11) existência estaria necessariamente errado.
60% de R$ 2,70 é R$ 1,62. Logo, será vantajoso abastecer Questão 15)
com álcool se o preço do litro do combustível for, no máximo,
R$ 1,62.
Questão 12)
O volume no interior da garrafa cheia de anéis é:
Para equilibrar a balança com o menor número possível de 2500 − 193,75 = 2306,25 mL.
pesos, o Sr. Joaquim deve colocar o maior número possível
de pesos de 150g, seguido do maior número de pesos de 60g, Portanto, ainda podem ser colocados mais de 2300 mL de
e assim por diante. Então, água na garrafa.
1310 = 8 x 150 + 110,
110 = 1 x 60 + 50,
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6. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA
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Questão 16) Questão 21)
Questão 22)
Questão 17)
a) 306 = 2 x 3 x 3 x 17.
b) m.d.c.(a, b) = 29 × 710 e m.m.c.(a, b) = 217 × 328 × 52 ×
716.
c) d = (9+1)x(2+1)x(16+1) = 510
Questão 18)
Uma caixa contém 40 bombons de morango e 10 bombons
de caramelo.
Questão 19)
Questão 23) Gabarito: C
Questão 24) Gabarito: E
Questão 25) Gabarito: 48 maneiras
Questão 20)
(12.000, 11.400, 10.800,..., an, ...) P.A.
a1 = 12.000 e ra = − 600
(300, 600, 900,..., bn, ...) P.A.
b1 = 300 e rb = 300
an = bn
⇒ a1 + (n – 1) ra = b1 + (n – 1) rb
⇒ 12.000 + (n – 1) (– 600) = 300 + (n – 1) (300)
⇒ 12.000 – 300 = (n – 1) (600 + 300)
⇒ 11.700 = (n – 1) 900
⇒ 13 = n – 1
⇒ n = 14
⇒ 1 ano + 2 meses
⇒ fevereiro de 2011
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