Mat potenciação é uma multiplicação

Inclusão para a vida Matemática B

UNIDADE 1 Nomenclatura
n
Em a = b, temos:
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO  n é o índice
 a é o radicando
POTENCIAÇÃO  b é a raiz

Definição Condição de existência
Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Sendo a  R e a  0 e m  Z. Tem-se que: Em a , se n for par, então é necessário que a seja maior
n

n
m
a = a. a. a. a. a..... a. ou igual a zero. Se n for ímpar então a sempre existe.
 m fatores 
Propriedades
Casos Particulares
 n a .n b  n a.b
a0 = 1 para a  0
a1 = a na a
 n
1 nb b
a-n = n
a
 na  
m n m
 a
Propriedades m n.p m.p
na  a
Se a e b são números reais e m e n, números inteiros,
tem-se:  n m a  n.m a
m
 am.an = am + n 
n
am  a n
am
  a m n Racionalização de denominadores
an Dada uma fração com denominador contendo radical,
 (a ) = a
m n m.n
racionalizar o denominador é um processo no qual se
 (a.b)n = an.bn obtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto,
n
  a  an
n
com o radical no denominador.
 
 b b n m
1º CASO: O denominador é do tipo a
Neste caso, multiplica-se numerador e denominador
Potência de base 10
pelo fator:
n
anm .
Sabe-se que: 100 = 1
101 = 10 2º CASO: O denominador é do tipo a  b Neste caso,
102 = 100 multiplica-se numerador e denominador. Pelo fator:
103 = 1000
a b
n
Então 10 = 100...........00
 n zeros Exercícios de Sala 

Observe ainda que: 10-1 = 1 = 0,1 1. Calcule:
10 a) 24 d) 17 g) 3-2
10 = 1 = 0,01
-2
b) – 24 e) 03 h)  2 
4
10 2  
3
10 = 1 = 0,001
-3
c) (– 2) 4
f) 214 0
10 3

Então 10–n = 0,000.............001 2. Transforme cada expressão em uma única potência de
 n casas decimais base 3.
a) 37 . 3-5 . 36 = c) (34)2 =
2 5 2
RADICIAÇÃO b) 3 .3 = d) 34 =
3
Definição 3

b é a raiz n-ésima de a, se bn = a. 3. Calcule:
Representação a) 0,25 d) 3
64
n
a = b  bn = a b) 0,01 e)  9
4
2

Pré-Vestibular da UFSC 1

Matemática B Inclusão para a Vida

c) 3
125 f) 50  32  2 2  242 8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064?

2 2 3 2 3
1  1 2  1   8
a)   b)   c)   d)   e)  
4. Racionalize:  80  8  5  800   10 
5
a) 3 b) c) 3 d) 2
9. (FGV-SP) Qual o valor da expressão
5 3
  
5
2 5 2 4 2
a.b 2 . a 1.b 2 . a.b 1 3 2
, quando a = 10 e b = 10
Tarefa Mínima  
a  3 .b. a 2 .b 1 . a 1.b 
a) 106 b) 102 c) 103 d) 109 e) 107
1. Determine o valor das expressões:
10. (FGV-SP) Simplificando a
a) 34 g) 4-2 2n  4  2n  2  2n 1 temos:
3 expressão
b) – 3 4
5
h)   2 n 2  2 n 1
2 3 87 82 34
c) (– 3)4 i) 24 + 1201 + 03 + 40 a) b) c) d)
4 4 3 3
d) 1201 j) 4 2 3
( 2)  (2 )
2
4 11. (Cesgranrio) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então
e) 080 k) 2
2
3
1 (abc)12 vale:
    a) 9912 d) 9988
3 2
f) 5000 b) 9921/2 e) 9999
c) 9928
2. Transforme cada expressão em uma única potência de
base 2. 12. Determine a soma dos números associados às
a) 25.23.27 b) (23 ) 2 .23
2
proposições corretas:
4
3. Sendo A = 2100, obtenha:
01. A expressão 45  20  80 é
5
a) sucessor de A d) quadrado de A equivalente a 3 15
b) o dobro de A e) metade de A
02. O valor de 2  2  2  2  4 é 2
c) quádruplo de A f) raiz quadrada de A
1 1
4. Usando a definição, calcule o valor de cada uma das 04. O valor de 8 3  16 2 é4
raízes: 4 obtém-se 2 2
08. Racionalizando
5
a) 4
625 c) 0 e) 81 2
16
16. A expressão 3  5 é igual a
8 15
3 5 3 15
b) 5
32 d) 1 f) 3  0,125
13. Calculando 313  312 , acha-se:
5. Racionalize: 25 : 23
a) 32 c) 36 e) n.d.a.
a) 5 b) 6 c) 2 d) 5
3 b) 34 d) 38
2 3 5
3 2
14. (UEL-PR) A expressão 1 1
  1 é equivalente
Tarefa Complementar 2 2 2 2
a) – 1 d) 2 –1
6. O valor da expressão 100.(0,1)3 é equivalente a:
0,01 b) 2 –2 e) 2 +1

a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 10 c) 2 +2
7. Assinale a soma dos números associados às proposições 15. (UEL-PR) Seja o número real
corretas:
01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102 500  3 20  2  2 5
x= . Escrevendo x na forma x = a
02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107 5 1
04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n + (– 1)2n + 1 é
zero. +b c , tem-se que a + b + c é igual a:
08. A metade de 48 + 84 é 17.211
a) 5 c) 7 e) 9
b) 6 d) 8



UNIDADE 2

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Considere o triângulo retângulo ABC

Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:
____ ___
 AC e AB são os catetos
___
 BC é a hipotenusa
 
 B e C são os ângulos agudos

Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos
 
agudos são complementares, ou seja, B  C = 90º
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
 SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre
o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
 CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre
o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
 TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente
entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.

Sendo assim, temos que:

Exercícios de Sala 

1. (FUVEST) Obter o valor de x na figura:

b c b
sen  = cos  = tg  =
a a c
Observação:

Se  +  = 90° tem-se que sen  = cos 

Tabela de arcos notáveis 2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:
Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas
alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos
retângulos congruentes.

Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal e
obtemos dois triângulos retângulos isósceles.

Em resumo, temos:
a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a.

3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de m
rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na
outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2
=  e BP2P1 =  e que tg  = 2 e tg  = 4, a distância
entre as margens (em metros) é:



Tarefa Mínima  Tarefa Complementar 

1. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x: 5. Com base na figura abaixo é correto afirmar:
a)

12
X

30°

b)

01. h = 2m
6
02. h = 3m
60° 04. a = (1 + 3 ) m
c) X
08. O triângulo ACD é isósceles
____

x
16. O lado AC mede 6m
5

6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e
45°
paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado
na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com
sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica
2. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada a posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco.
Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20
mundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, um = 0,93; tg 20º = 0,36)
ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima
da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de 7. Determine o valor de x e y na figura abaixo:
comprimento. A que distância se encontra o ponto mais
alto da torre em relação ao solo?
(dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)
a) 55 metros d) 42 metros c) 45 metros
b) 15 metros e) 51 metros

3. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir
uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o
topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de
8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa
4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para
em graus, que a rampa formará com o solo. sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:

4. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.

a) b cos  c) a sen  e) b sen 
b) a cos  d) b tg 

9. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B
___
localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste
momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e



leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes
dados, assinale o que for correto.


1. Determine o valor de x na figura abaixo:
___
01. AC = 10km
___
02. AD = 2,5 km
____
04. BC = 5 3 km
ˆ
08. O ângulo BAD mede 60°
16. A velocidade média do barco é de 15km/h 2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o
ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o
10. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x raio da circunferência que circunscreve o triângulo
B


30° 60°
D C
A
AD = x DC= x - 38 BD = y

UNIDADE 3

TEOREMA DOS CO-SENOS 4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo
abaixo, é:
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado
é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois
lados, menos duas vezes o produto das medidas destes
lados pelo co-seno do ângulo formado por eles.

Tarefa Mínima 

TEOREMA DOS SENOS
Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos
senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o 2. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 cm. A
diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. medida, em cm, do lado AB será:


A
a) 22 c) 2 3
b) 3 d) 3 2 e) 4 2
45° 30° 9. Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC =
B C
cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado
BC.
3. O triângulo ABC está inscrito na circunferência de
centro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a 10. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD =
soma dos números associados às proposições verdadeiras: ˆ ˆ
3cm, AB = 2cm, A D C = 60° e A B C = 90°.
D

A
C
75°

O
60°
B C

A B
O perímetro do quadrilátero, em cm, é:
01. O triângulo ABC é equilátero
a) 11 c) 13 e) 15
02. o raio da circunferência vale 2cm
___
b) 12 d) 14
04. AB = 2 2 cm
08. O comprimento da circunferência é 4 cm UNIDADE 4 e 5
4. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um
INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA
paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam um TRIGONOMÉTRICA
ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em
centímetros, mede: ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
a) 4 c) 3 e) 4 2
b) 11 d) 13

5. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e
6. O co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6 c) ¾ e) 1/8
b) 4/5 d) 2/3

Tarefa Complementar 
Arco de uma circunferência é cada uma das partes que
6. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC ficam divididas uma circunferência por dois quaisquer de
medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o seus pontos.
ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:
a) ½ c) ¾ e) 5/6
b) 2/3 d) 4/5

7. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um
___
triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da
ˆ
circunferência. O ângulo B A C mede:
a) 15° c) 36° e) 60°
b) 30° d) 45° A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que
8. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa possui vértice no centro da circunferência).
sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante,
quando o navio está em A, observa o farol L e mede o Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.
ˆ
ângulo L A C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica  Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo
ˆ
o ângulo L B C = 75°. Quantas milhas separam o farol do 1 do comprimento da
comprimento é igual a
ponto B? 360
circunferência.



Logo, a circunferência tem 360º. ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o
Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: ângulo central .

1º = 60' 1'= 60''

 Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao
raio da circunferência onde está contido.
Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos.

Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e
radianos. Portanto:
Denomina-se sen  a projeção do raio OM, pela
360º  2 rad extremidade M do arco sobre o eixo y.
180º   rad Denomina-se cos  a projeção do raio OM, sobre o eixo x.

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece
um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo
trigonométrico.

Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes
denominadas quadrantes.

 Anti Horário  Positivo 2. Sinais
ORIENTAÇÃO 
Horário  Negativo

ARCOS CÔNGRUOS
Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre
seus valores é um múltiplo de 360º.

Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110.......... TABELA
Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e
diferem apenas no número de voltas.

A expressão x = 30º + 360º . k, com k  Z, é denominada
expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira
determinação positiva.

A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:

 + k . 360º, com k  Z.

 Se um arco mede  radianos, a expressão geral dos
arcos côngruos a ele é dada por:

 + k . 2, com k  Z.

SENO e CO-SENO DE UM ARCO
DEFINIÇÃO

Considere o arco que possui extremidades na origem do



1. Expresse em radianos os seguintes arcos:
a) 300º b) 60º c) 12º

2. Um arco de 200° equivale em radianos a:
2 5 10
a) b) c) 4 d) e) 6
3 2 9
3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a
expressão geral dos arcos côngruos a:

23
a) 930º b) rad
6

4. Determine o valor de:
Note que: – 1  sen   1 e – 1  cos   1
a) sen 150°
OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é b) cos 150°
possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos c) sen 210°
do 2º, 3º e 4º quadrantes. d) cos 210°
e) sen 330°
Equações trigonométricas num intervalo dado: f) cos 330°

Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as 5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5
funções Trigonométricas em seus membros. admite solução.
São exemplos de equações trigonométricas:
a) -1m1
1) sen x = 1 b) -2m5
2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0 c) 2m3
d) 2<m<3
Não é possível estabelecer um método para resolver todas e) 1<m<2
as equações trigonométricas, pois, existe uma infinidade
delas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos: Tarefa Mínima 

x  a  2k (congruos) 1. Obter a medida em graus dos seguintes arcos:
 sen x = sen a 
x    a  2k (suplementares) a) 2 b) 
3 6

2. (UFMG) Transformando 7º30' em radianos, teremos:
a) /24 c) /30 e) 5/32
b) /25 d)3/25

3. Determine o valor da expressão
sen 90. cos 0  cos180.sen 270
sen 2 0  cos 2 180

4. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do:
x  a  2k (congruos) a) 1º quadrante
 cos x = cos a 
x   a  2k (suplementares) b) 2º quadrante
c) 3º quadrante
d) 4º quadrante
e) n.d.a.

5. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para:
a) 2m3
b) 1m4
c) -1  m  1
d) 2<m<3
e) 0m1


6. Resolver, no intervalo 0  x < 2, as seguintes UNIDADE 6
equações:

a) sen x = 1 RELAÇÕES FUNDAMENTAL DA
b) cos x = 0
TRIGONOMETRIA
c) sen x =  1
2
2
 sen2  + cos2  = 1 (Relação Fundamental)
d) cos x =
2
A relação acima também vale para arcos com
extremidades fora do primeiro quadrante.
7. Sabendo que 0  x < 2, o conjunto solução da
equação: sen 2 x  3sen x  4 = 0 é: Exemplos: sen230° + cos230° = 1
sen2130° + cos2130° = 1
a) {90º}
b) {-90º} Convém lembrar que se  +  = 90°, sen  = cos .
c) {270º} Logo, vale também relações do tipo:
d) {180º}
e) {30º} sen2 50° + sen2 40° = 1
sen 210° + sen2 80° = 1
TANGENTE DE UM ARCO
8. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é:
DEFINIÇÃO
a) 100° c) 40º e) n.d.a.
b) 140º d) 80º Associa-se a circunferência trigonométrica mais um eixo,
a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de
9. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM
1000º? ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes.
a) 270º c) 290º e) 310º
b) 280º d) 300º

10. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, o
menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é:

a) 135º c) 145º e) n.d.a.
b) 140º d) 150º

11. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteiros de SINAIS
um relógio, às 23h45min, vale:

a) 189º30' c) 270º e) 277º50'
b) 277º30' d) 254º45'

12. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumir
quando 37  2senx , é:
y
3
TABELA
13. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação
2 sen x = 1 é:

a) /6 c) /3 e) n.d.a.
b) /4 d) /2

14. (UM-SP) O menor valor positivo de x para o qual
1
9- cos x = é:
3
    2
a) b) c) d) e)
6 4 3 2 3

15. Determinar o número de soluções da equação
2sen x cos x = sen x no intervalo 0  x < 2.




2. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 0  x  na
2
equação: 1  cos2x + sen x = 0 é:

3. O valor de tg 315° + tg 225° é

4. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x |
5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0  x < 2

a) tg x = 3

b) tg2x + tg x = 0

Tarefa Complementar

6. Determine m de modo que se obtenham
EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA
simultaneamente, sen x = m e cos x = 3  3m
 tg x = tg a  x  a  2k
7. No intervalo 0  x < 2, determine o número de
soluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x.

8. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x –
3
tg x + 2cos 3x para x = é:
4
9. (PUC-RS) O valor numérico de
x 3x
sen  2tg
2 4 para x =  é:
Exercícios de Sala 3 cos x 3
2 
1. Sabendo que sen x = e que  x   , calcule a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0
3 2
cos x: 10. No intervalo 0  x < 2, a equação 3 tg2x + tg x = 0
possui quantas soluções?
2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x =
2 a  1 são verdadeiras para todo x real, se e somente a) 1 c) 3 e) 5
se: b) 2 d) 4
a) a = 5 ou a = 1 d) a = 1 UNIDADE 7
b) a = -5 ou a = -1 e) n.d.a.
c) a = 5 ou a = 1
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3. Resolver no intervalo 0  x < 2, a equação
2cos2x = – 3sen x  sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)

4. Determina o valor de: As demais Relações Trigonométricas com as condições de
existência obedecidas são:
a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330°
sen x cotg x = 1
tg x =
cos x tg x
5. Resolva no intervalo 0  x < 2 as seguintes equações:
3 sec x = 1 cossec x = 1
a) tg x = b) tg2x – 1 = 0
3 cos x sen x

Tarefa Mínima A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemos
estabelecer duas relações derivadas.

1. No intervalo 3  x  2 se sen x =  , calcule
1
Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x temos:
2 3
cos x. 1 + cotg2 x = cossec2 x


a) cos2x d) sec x + cos x
E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x temos: b) 1 + sen2x e) n.d.a.
c) cos x - sen x
tg2 x + 1 = sec2 x
8. Determine a soma dos números associados à(s)
Sinais das Funções Trigonométricas proposição(ões) correta(s).
1°Q 2°Q 3°Q 4°Q
01. A medida em radianos de um arco de 225º é 11π rad.
seno e cossecante + +  
6
cosseno e secante +   + 02. A menor determinação positiva de um arco de
tangente e cotangente +  +  1000° é 280°.
04. Os valores de m, de modo que a expressão
Exercícios de Sala  sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].
 
1. Determine o valor de: 08. sen x > cos x para  x .
4 4
a) cossec 30° d) cossec 210° 3 3
b) sec 30° e) sec 315° 16. Se tg x = e x , então o valor de
4 2
c) cotg 30° f) cotg 300°
1
sen x – cos x é igual a .
4 3 5
2. Sendo sen  =  e    2 , calcular: 32. Se sen x  0, então cosec x  0.
5 2 64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para
a) cos  c) cotg  e) cosec   5
0  x  2 é x = ou x = .
b) tg  d) sec  6 6
Tarefa Mínima  3
9. (UFSC) Dado sen x = ex     , calcule o valor
5 0 2 
 
1. Determine o valor de:
1
 
numérico da expressão:  sec x cotgx  cosecx tgx 
2
a) sec 60o b) cossec 150o c) cotg 315o
 6 senx cosec x
2

2. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com x  4º quadrante,
então tg x é: 10. (FATEC) Se x e y são números reais tais que
e x  e xtg 4 x
a) 3/4 d) 3/4 y= , então:
b) 1/2 e) 4/5
sec x  tg 2 x.sec x
c) 4/5 ex
a) y = ex d) y =
3  sec x
3. (UFSC) Dados sen x = e  x   , determine o
5 2 b) y = ex(1 + tg x) e) n.d.a.
valor de:  32 tg x + 1 e x
c) y =
4. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão
cos x
sena tga coseca
, obtém-se:
cosa cotga seca
a) 0 d) 1
b) sec2a e) tg2a
c) sen2a

Tarefa Complementar  UNIDADES 8 e 9
5. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro GEOMETRIA ANALÍTICA
quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:
ESTUDO DO PONTO
6. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão:
O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos em
sen30  cos120 cosec150  cotg330 
funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares
sec300  tg60  cotg225  entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo
das abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas.
7. (UFCE) Para todo x  1º quadrante, a expressão
(sec x - tg x)(sec x + tg x)  sen2x é igual a:



Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões
d AB   xB  x A  2   y B  y A  2
denominadas quadrantes numerados no sentido anti-
horário.
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
Considere um segmento AB de extremidades A(x A, yA) e
B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio
M(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre as
coordenadas de A e B.

Observe a figura:

A cada ponto do plano cartesiano está associado um par
ordenado (x, y).

Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo,
no eixo x tem-se:
xA  xB
xM  xA = xB  xM  xM 
2
no eixo y tem-se:
Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde yM  yA = yB  yM  y A  yB
yM 
o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número 2
real yp é chamado ordenada do ponto.
Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão as
OBSERVAÇÕES seguintes coordenadas:
 Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua  x  xB y A  yB 
M A  
ordenada é nula.  2 2 
P (xp, 0)
 Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua
abscissa é nula. ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO AS
P (0, yp) COORDENADAS DO VÉRTICE
 Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes
ímpares, então suas coordenadas são iguais Considere o triângulo abaixo:
xp = yp y
 Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes yB B
pares, então suas coordenadas são simétricas.
xp = - yp
yC C
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano yA A
cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em
função de suas coordenadas. Observe a figura abaixo: xA xB xC x
Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e C
podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por:

xA yA 1
1
A= .x
B yB 1
2
xC yC 1

OBSERVAÇÕES:

O triângulo ABC é retângulo em C, então: xA y A 1
AB 2  AC2  BC2  O determinante xB yB 1 foi tomado em módulo,
xC y C 1
Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois
pontos: pois a área é indicada por um número positivo.



xA y A 1 7. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos
 Se o determinante xB yB 1 for nulo, dizemos (1,3), (-2,-1) e (1, -2) é:
a) equilátero d) retângulo
xC y C 1
b) escaleno e) n.d.a.
que os pontos estão alinhados. c) isósceles
Exercícios de Sala  8. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em
módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo em
1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine: B é:

a) distância entre A e B 9. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos
b) Ponto Médio do segmento AB médios dos lados de um triângulo, quais são os seus
vértices?
2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é equidistante dos pontos a) (-1,2), (5,0), (7,4)
A(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P. b) (2,2), (2,0), (4,4)
c) (1,1), (3,1), (5,5)
3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3); d) (3,1), (1,1), (3,5)
C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triângulo
ABC é:
10. (UCP-RJ) A distância da origem do sistema
cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos
a) 3 c) 5 c) 7
(-2,-7) e (-4,1) é:
b) 4 d) 6
a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3 2
4. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de
um triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo. 11. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seus
vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser:
Tarefa Mínima  a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5

1. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa: 12. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são:
A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em
a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y. unidades de área, é:
b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x.
c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
UNIDADE 10
d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes
pares. ESTUDO DA RETA
e) o ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz dos
quadrantes pares. Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma
equação. Com tal equação podemos determinar se um
ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação
2. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) e
merecem destaque:
N(-1,7) do plano x0y vale:
 A Equação Geral
3. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7)  A Equação Reduzida
é 10. O valor de y é:
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
a) -1 d) -1 ou 10
A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de
b) 0 e) 2 ou 12
alinhamento de 3 pontos.
c) 1 ou 13
Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).
4. (Cescea-SP) O ponto do eixo das abscissas, x y 1
equidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é:
a) A(2,0) d) D(0,2) A, B e P estão alinhados se e só se: xA yA 1  0
b) B(5,0) e) E(4,0) xB yB 1
c) C(3,0)
x y 1
5. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4, Desenvolvendo x A y A 1  0 temos:
7) e C(2, 1)
xB yB 1
x . yA + xA . yB + y . xB  yA . xB  x . yB  y . xA = 0
6. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2),
determine x sabendo que o ponto C é equidistante dos (yA  yB) x + (xB  xA) y + xAyB  xByA = 0
pontos A e B. a b c



Logo: ax + by + c = 0 equação geral da reta. Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado
um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para
isso, usa-se a relação: y  yo = m(x  xo)
2. Equação Reduzida da Reta
Pode-se obter a equação reduzida da reta se isolando na
equação geral y.
Veja: ax + by + c = 0
by = ax  c

a c a c
y  substituindo  por m e  por n temos:
b b b b

y = mx + n Equação Reduzida da Reta

No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angular Exercícios de Sala 
da reta, e n o coeficiente linear da reta.

3. Coeficiente Angular e Linear da Reta
1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e
B(4, 9), determine:
Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m
é o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da a) equação geral
reta. b) equação reduzida
Vejamos, agora, o significado geométrico deles. c) coeficiente angular e linear da reta
COEFICIENTE LINEAR
O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta
o eixo y. 2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo:
COEFICIENTE ANGULAR a) r: 2x + 3y + 1 = 0
Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do b)
ângulo , onde  indica a inclinação da reta em relação ao
eixo x.

c)
y y
m = tg  ou m  B A
xB  x A

CASOS PARTICULARES
 Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo  é igual a
0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0.

3. Determine a equação da reta representada pela figura
abaixo:

 Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo  é igual a
90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90º
não é definido.

Tarefa Mínima 

1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e
B(2, - 3), determine:
a) equação geral
b) equação reduzida
4. Equação do Feixe de Retas
c) coeficiente angular e linear da reta



2. Considere a reta r indicada pela figura abaixo 02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0
04. o ponto de intersecção das retas r e s possui
coordenadas (2, 1)
08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3)

8. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0,
e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo
ponto P(a,b). O valor de a + b é:

Assinale a soma dos números associados às 9. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5,
proposições corretas: 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.
01. A equação da reta r é y = x – 1
02. o coeficiente linear da reta r é – 1 10. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(1, -1),
04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um
45o quadrado. É correto afirmar que:
08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3)
01. a origen do sistema de coordenadas está no interior
16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de
do quadrado.
coordenadas (1,0)
02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente
angular 1/2
3. Determine a equação da reta r indicada abaixo
04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a
diagonal BD do quadrado.
08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto
(0, -4)
16. o centro do quadrado é o ponto (1,3)

UNIDADE 11

ESTUDO DA RETA
4. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à
reta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é: POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS
a) 3 d) 2 No plano cartesiano duas retas r e s podem ser:
b) 3,25 e) 9  Concorrentes
c) 2 13  Paralelas
 Coincidentes
Considere as retas r e s de equações:
5. (Fac.Moema-SP) O coeficiente linear e angular da
reta 2x  3y + 1 = 0 são, respectivamente: r = m1x + n1 e s = m2x + n2
a) 2 e 3 d) 1/3 e 2/3 Assim, podemos ter as seguintes situações:
b) 2/3 e 1 e) n.d.a.
c) 2/3 e 1/3  PARALELAS DISTINTAS:
m1 = m2
 PARALELAS COINCIDENTES:
6. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem m1 = m2 e n1 = n2
coeficiente angular 3.
 CONCORRENTES
7. Considere as retas r e s indicadas abaixo: m1  m2

 CONCORRENTES E PERPENDICULARES:
m1 . m2 =  1

DISTÂNCIA DE PONTO À RETA
Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c =
0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela
expressão:

Determine a soma dos números associados às
proposições corretas:

01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0



c) são concorrentes mas não perpendiculares.
d) interceptam-se no 1º quadrante e são
perpendiculares.
e) interceptam-se no 4º quadrante e são
perpendiculares.

2. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é
paralela à reta de equação 5x + y = 0 é:
a) 5x + y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0
b) – 5x + y + 10 = 0 e) – 5x + y – 10 = 0
c) 5x – y + 10 = 0

3. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e (s) ax +
Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta 3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale:
r de equação 5x + 2y  6 = 0. a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 3

5.4  2.3  6
4. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e
Resolução: d 
20
d  d 4 C(4,1). A altura em relação à base BC mede:
4 2  32 5
5. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - y
Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades. + 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e somente se:
a) k = 0 c) k = 8 e) k = -4 ou k = 8
Exercícios de Sala  b) k = 4 d) k = 0 ou k = 8

1. Considere a reta r indicada pela figura abaixo: Tarefa Complementar 

6. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B(1, 3) e C(2, 7),
determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao
lado BC.

7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinale
a(s) proposição(ões) verdadeira(s).

Determinar:
a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é
paralela à reta r.
b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é
perpendicular à reta r.

2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r de
equação y = 2x + 5.

3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky 01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0.
-5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s) 02. A reta s e a reta r são perpendiculares.
proposição(ões) verdadeira(s). 04. As retas r e s se interceptam no ponto de
01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto
(1, -2) é 17. abscissa 4 .
02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam 5
08. A distância da origem do sistema de coordenadas
no ponto  0 7  é 25/7.
 
 5 cartesianas à reta r é de 2 unidades.
2
04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 . 16. A área da região do plano limitada pelas retas r, s e
08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s
pelo eixo das abscissas é igual a 3 unidades de área.
no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0. 10
16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta
r é 20.
8. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são
extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A
Tarefa Mínima  equação da reta suporte da outra diagonal é:

a) 2x - 3y - 1 = 0
1. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y - b) 2x + 3y - 7 = 0
4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0: c) 3x + 2y - 8 = 0
a) são paralelas d) 3x - 2y - 4 = 0
b) são coincidentes



9. A medida da altura do trapézio cujos vértices são os Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um ponto
pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é: genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P
é o raio da circunferência.
10. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes
no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x – formas:
3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo
das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é Equação Reduzida:
perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que:
(x  a)2 + (y  b)2 = R2

Exemplo: Determine equação da circunferência de raio
3 e centro C(2, 5):

Resolução: (x  )2 + (y  )2 = R2
(x  2)2 + (y  5)2 = 32
Logo, a equação procurada é: (x  2)2 + (y  5)2 = 9

CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir
01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0). centro na origem então a equação
02. o ponto C é (0, 3 ). (x  )2 + (y  )2 = R2
2 fica reduzida a: x2 + y2 = R2
04. a distância entre r e s é 3. Equação Geral:
08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são,
A Equação Geral da circunferência é obtida
respectivamente, 1 , 1 e –2. desenvolvendo a equação reduzida. Veja:
2 2
16. a equação da reta t é y = –2x + 6.
(x  a)2 + (y  b)2 = R2
32. a equação da reta horizontal que passa por A é
x2  2ax + a2 + y2  2by + b2 = R2
x = 0.
x2 + y2  2ax  2by + a2 + b2  R2 = 0
64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3.
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
UNIDADE 12
onde: A =  2a; B =  2b; C = a2 + b2  R2
GEOMETRIA ANALÍTICA Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA de raio 3 e centro C(2, 5)
DEFINIÇÃO Resolução: (x  )2 + (y  )2 = R2
Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de (x  2)2 + (y  5)2 = 32
um plano  que se equidistam de um ponto C denominado (x  2)2 + (y  5)2 = 9
centro da circunferência. Essa distância é denominada raio x2  4x + 4 + y2  10y + 25  9 = 0
da circunferência. Logo, a equação geral é x2 + y2  4x  10y + 20 = 0

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Vamos comparar a equação de uma circunferência com
R uma equação do 2º grau completa.
x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0
C
Sendo assim, essa equação só irá representar a equação de
 uma circunferência se e só se:

 Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de
zero.
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA  Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0.
 A2 + B2  4AC > 0

POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA

Ponto e Reta
Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência
(x  )2 + (y  )2 = R2. Em relação a circunferência, o
ponto P pode assumir as seguintes posições:



02. A circunferência C limita um círculo cuja área é
8.
04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar
que C e r são secantes.
08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio

Para determinar a posição do ponto P em relação a 2 é tangente externamente à circunferência C.
circunferência, substitui-se as coordenadas de P na 16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode-
equação da circunferência. Assim, podemos ter: se afirmar que o ponto P é exterior à C.
Tarefa Mínima 
 (xP  ) + (yP  )  R < 0  P interior à
2 2 2

circunferência 1. A equação da circunferência de centro C(-2,2) e
 (xP  )2 + (yP  )2  R2 = 0  P pertence à tangente aos eixos coordenados é:
circunferência a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4
 (xP  )2 + (yP  )2  R2 > 0  P exterior à b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4
circunferência c) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2
d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4
Reta e Circunferência e) (x + 2)2 – (y – 2)2 = 4
Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma
circunferência (x  )2 + (y  )2 = R2 . Em relação à 2. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y2 + 6x
circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições: – 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é:
a) 2 d) – 2
b) – 3 e) – 1
c) 3

3. O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 é
um ponto localizado no:
a) primeiro quadrante d) quarto quadrante
b) segundo quadrante e) eixo x
Para determinar a posição da reta r em relação à c) terceiro quadrante
circunferência, substitui-se a equação da reta na equação
da circunferência. Assim, teremos uma equação do 4. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma
2º Grau. Então, se: circunferência que tem o segmento MN como um
diâmetro, então a equação de C1 é:
  < 0  reta externa (não existe ponto de intersecção) a) x2 + y2 - 12x - 2y + 27 = 0
  = 0  reta tangente (existe um ponto de intersecção) b) x2 + y2 + 12x - 2y + 27 = 0
  > 0  reta secante (existe dois pontos de c) x2 + y2 + 12x + 2y + 27 = 0
intersecção) d) x2 + y2 - 12x + 2y + 27 = 0
Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são 5. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y2 -
obtidos por um sistema de equações.
4x = 0. Determinar a área da região limitada por .
a) 4 c) 5 e) n.d.a.
Exercícios de Sala  b) 2 d) 3
1. Determinar a equação da circunferência na forma
reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos: Tarefa Complementar 
a) C(4, 7) e R = 2 d) C(0, 3) e R = 5
b) C(2, -3) e R = 5 e) C(0, 0) e R = 3 6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que a
c) C(3, 0) e R = 5 equação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma
circunferência, é:

2. A soma das coordenadas do centro da circunferência de a) 10 c) 13 e) 16
2 2
equação x + y - 4x - 6y - 12 = 0, é: b) 12 d) 15
a) 4 c) 6 e) 8
b) 5 d) 7 7. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculo
x2 + y2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento
3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 -
2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6.
8. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na
circunferência x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de
Determine a soma dos números associados à(s)
comprimento igual a:
proposição(ões) verdadeira(s).

01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da a) 3 c) 2 3 e) 2 2
circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente. b) 3 d) 6



Assinale no cartão-resposta a soma dos números
9. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que associados à(s) proposição(ões) correta(s).
a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência.
01. r  C = .
a) 16 c) 2 e) n.d.a. 02. O centro de C é o ponto (3, 4).
b) 4 d) 32 04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas
em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um)
ponto.
10. (UFSC) Considere a circunferência C:
08. A distância da reta r ao centro de C é menor do
x  4   y  3
2 2
 16 e a reta r: 4x + 3y  10 = 0. que 4.
16. A função y dada pela equação da reta r é
Decrescendo.


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