Nova School of Business and EconomicsPrática Álgebra Linear14 – Sistemas de EquaçõesLineares1 Rank ou característica de um...
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Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares36 Algoritmo para redução de uma matriz ao formato reduzidoem escad...
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Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares57 Sistema de equações lineares ( )Conjunto de equações de variávei...
Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares69 Sistemas de equações lineares possíveis e indeterminados enúmero...
Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares7( ) [ ] [ ][ ] [ ][ ]( ) [ ] [ ]( ) ( )12 Sistema de equações line...
Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares814 Resolução de um sistema de equações lineares possível edetermin...
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Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares11Identificação de uma solução particular do sistema: Encontrar , u...
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  1. 1. Nova School of Business and EconomicsPrática Álgebra Linear14 – Sistemas de EquaçõesLineares1 Rank ou característica de uma matriz ( ( ))Número máximo de linhas de que formam um conjunto linearmente independente.Ex.: [ ]( ) porque *( ) ( )+ (por exemplo) é linearmente independente e nãoexiste nenhum conjunto de linhas de com ou vectores que o seja.2 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz e rank damatrizA realização de operações elementares sobre as linhas de uma matriz não altera o seu rank.Ex.: [ ][ ] → [ ] → [ ] → [ ]( ) ( )3 Formato em escada por linhas de uma matrizForma de uma matriz cujo primeiro elemento da 1ª linha não é , cujos primeiros elementosde cada linha, a começar na 2ª, são , e em que o número de primeiros elementos de cadalinha que são é superior ao da linha anterior.{DefiniçãoDefiniçãoFacto
  2. 2. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares2Ex. 1: [ ] tem o formato em escada por linhas porque o 1º elemento da 1ª linhanão é , e o 1º elemento da 2ª linha, os primeiros elementos da 3ª linha e os primeiroselementos da 4ª linha são .Ex. 2: [ ] não tem o formato em escada por linhas porque o número de ’consecutivos nas primeiras posições da 4ª linha não é superior ao da 3ª.4 Pivot de uma matriz no formato em escada por linhasElemento de que é o primeiro da sua linha diferente de .{Ex.: [ ]5 Formato reduzido em escada por linhas de uma matrizForma de uma matriz que tem o formato em escada por linhas, cujos pivots são e cujoselementos da mesma coluna e de linhas anteriores às de um pivot são .{{Ex.: [ ]tem o formato reduzido em escada por linhas porque tem o formato em escada por linhas,todos os seus pivots ( , e ) são , e .DefiniçãoDefinição
  3. 3. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares36 Algoritmo para redução de uma matriz ao formato reduzidoem escada por linhas por eliminação de GaussRedução ao formato em escada por linhas:Anulação da parte inferior da coluna :Transformação de num número não nulo: Se for , trocar a linha comoutra linha, abaixo desta, cujo elemento da coluna não seja . Caso contrário, saltareste passo ( ).Transformação de em : Se não for , dividir a linha por . Casocontrário, saltar este passo ( ).Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha cujoelemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linhae a linha ( ).Anulação da parte inferior das restantes colunas: Aplicar os seguintes passos,substituindo por . Depois, repeti-los, substituindo por . Continuar a repeti-los,substituindo pelos restantes índices de linha da matriz, de forma crescente, atéFim do algoritmo: Se todas as linhas, desde a até à , forem nulas, parar. Senão,continuar.Ordenação dos ’s criados: Fazer as trocas de ordem necessárias para que as linhas,desde a até à , fiquem ordenadas pelo número de ’colunas.Transformação dos pivots em : Se o primeiro elemento da linha não nulo, ,não for , dividir a linha por . Caso contrário, saltar este passo ( ).Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha cujoelemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linhae a linha ( ).Anulação dos elementos superiores aos pivots: Depois de concluída a redução aoformato em escada por linhas, aplicar o seguinte passo, substituindo por . Depois, repeti-lo, substituindo por . Continuar a repeti-lo, substituindo pelos restantes índices de linhada matriz, de forma crescente, até ao índice da última linha que tem um pivot.Sendo o pivot da linha , subtrair a cada linha acima da linha cujo elemento da colunanão seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha ().12Algoritmo
  4. 4. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares4Ex.: [ ]Redução ao formato em escada por linhas:Anulação da parte inferior da coluna :( )[ ] [ ] [ ]Anulação da parte inferior das restantes colunas:( )[ ] [ ] [ ][ ]( )[ ][ ] [ ]Anulação dos elementos superiores aos pivots:( )[ ] [ ]( )[ ][ ]( )12
  5. 5. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares57 Sistema de equações lineares ( )Conjunto de equações de variáveis, cada uma consistindo numa igualdade entre umacombinação linear das variáveis e um número real. Igualdade entre dois membros: oprimeiro, , e o segundo, .Sistema de equações lineares:{[ ] [ ] [ ]Ex.: { [ ] [ ] [ ] é um sistema de equaçõeslineares com equações e variáveis ( ).8 Classificação de um sistema de equaçõesPossível: Tem pelo menos uma solução.Determinado: Tem apenas uma solução.Indeterminado: Tem mais do que uma solução.Impossível: Não tem soluções.Ex. 1: O sistema de equações lineares { é possível e determinado, porque a suaúnica solução é o vector ( ).Ex. 2: O sistema de equações lineares { é possível e indeterminado, porqueo seu conjunto de soluções é *( ) +, que contém um número infinito devectores.Ex. 3: O sistema de equações lineares { é impossível, porque não há nenhumvector de que o resolva.DefiniçãoClassificação
  6. 6. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares69 Sistemas de equações lineares possíveis e indeterminados enúmero de soluçõesQualquer sistema de equações lineares possível e indeterminado tem um número infinito desoluções.* +Ex.: O sistema de equações lineares { é possível e indeterminado e, tendoos vectores ( ) e ( ) como soluções, tem também todos os vectores da forma( ) ( )( ), com .10 Matriz aumentada de um sistema de equações lineares ( )Matriz cujas primeiras colunas são as colunas de e cuja última coluna é ., -[ ]Ex.: { [ ] [ ] [ ], - [ ]11 Classificação de um sistema de equações lineares e rank dasmatrizes do sistemaUm sistema de equações lineares é:Possível e determinado ( ) ( )Possível e indeterminado ( ) ( )Impossível ( ) ( )Ex.: { [ ] [ ] [ ]DefiniçãoFactoFacto
  7. 7. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares7( ) [ ] [ ][ ] [ ][ ]( ) [ ] [ ]( ) ( )12 Sistema de equações lineares homogéneo ( ̅)Sistema de equações lineares cujo segundo membro é o vector nulo de .̅ ̅Ex.: { [ ] [ ] [ ][ ]13 Espaço nulo de uma matriz ( ( ))Conjunto de vectores de que resolvem o sistema de equações lineares homogéneoassociado a .( ) * ̅ +Ex.: [ ]( ) {( ) [ ] [ ] [ ]} *( ) ( )+DefiniçãoDefinição
  8. 8. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares814 Resolução de um sistema de equações lineares possível edeterminado por eliminação de GaussRealização de operações elementares sobre as linhas de até que esteja reduzida aoformato em escada por linhas, eliminando-se as linhas nulas que aparecem no processo,seguida da realização de operações elementares sobre as linhas da matriz resultante até queesta se torne na matriz identidade. Nesta altura, a sua última coluna torna-se na solução dosistema.Ex.:{[ ] [ ] [ ][ ] → [ ] →[ ]→[ ]→[ ]→[ ]→→[ ] → [ ] → [ ] , -*( )+15 Resolução de um sistema de equações lineares possível edeterminado por cálculo da inversaRealização de operações elementares sobre as linhas de com o objectivo de reduzirao formato em escada por linhas, eliminando as linhas nulas que aparecem no processo, atéque seja quadrada, seguida da resolução do sistema obtido, , equivalente aooriginal, em ordem a : (se for quadrada, basta resolver o sistema original emordem a : ).FórmulaFórmula
  9. 9. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares9Ex.:{[ ] [ ] [ ][ ]( )→ [ ] , -{{ [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]*( )+16 Resolução de um sistema de equações lineares possível edeterminado pela regra de CramerRealização de operações elementares sobre as linhas de com o objectivo de reduzirao formato em escada por linhas, eliminando as linhas nulas que aparecem no processo, atéque seja quadrada, seguida da obtenção, para o sistema obtido , equivalente aooriginal, dos valores das coordenadas , , e da solução do sistema da seguinteforma (se for quadrada, e são utilizados em vez de e ):| || || || || || || || |...| || || || |Ex.:{[ ] [ ] [ ]Fórmula
  10. 10. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares10[ ]( )→ [ ] , -{{ [ ] [ ] [ ]| || || || || || || || || || || || || || || || || || |*( )+17 Algoritmo para a resolução de um sistema de equações linearespossível e indeterminadoDefinição das variáveis livres do sistema: Encontrar o número de variáveis, entre asque definem cada solução do sistema, que podem ser escolhidas arbitrariamente( ( )) e escolher para variáveis livres aquelas associadas acolunas de , reduzida ao formato reduzido em escada por linhas, que não têm pivots.Resolução do sistema homogéneo associado ao sistema: Encontrar , o sub-espaço vectorial de dos vectores que são solução do sistema homogéneo associado aosistema (cujo primeiro membro é igual ao do sistema) ( ( ) ).12Algoritmo
  11. 11. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares11Identificação de uma solução particular do sistema: Encontrar , um vector deque seja solução do sistema.Especificação da solução geral do sistema: Escrever , o conjunto de soluções dosistema, ou seja, o conjunto dos vectores de que representam a soma de uma soluçãoparticular do sistema ( ) com um vector do conjunto de soluções do sistema homogéneoassociado ao sistema ( ).Ex.:{[ ] [ ] [ ][ ]( )→[ ]( ) ( ){{{{Determinação do número de variáveis livres do sistema:( )* + * +Resolução do sistema homogéneo associado ao sistema:{ { ( ){ { ( )*( ) ( )+ ( )*( ) ( )+Identificação de uma solução particular do sistema:34123
  12. 12. Prática Álgebra Linear4 – Sistemas de Equações Lineares12{ {( ) ( )Especificação da solução geral do sistema:{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }{( ) }4

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