Limites parte1

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1° parte da disciplina cálculo I - FPD

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Limites parte1

  1. 1. LIMITES Tem por finalidade estudar o comportamento de uma função quando a sua variável se aproximade um nº real, podendo a função estar ou não definida para este número. Vejamos sua definição: L+ε L L-ε a–δ a a+δ    0,   0 / x  X e 0  x  a    f ( x)  L   lim f ( x) =L xa Portanto, o limite de f(x) quando x tende a a é L. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA: lim f ( x) lim f ( x) = = L x  a x  a
  2. 2. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITEVejamos alguns exemplos: ( x 2  9)1º EXEMPLO: Considere a função f (x) = , com x ≠ 3. ( x  3) ( x  3).( x  3) ( x  3).( x  3) f (x) = = , portanto, f ( x)  x  3 para x ≠ 3. ( x  3) ( x  3) lim f ( x) Cálculo do =? x3Geometricamente: X f(x) = x + 3 -1 2 0 3 1 4 2 5 3 6Limite lateral a esquerda:Para x → 3- : Para x → 3- => f(x) = 6 X 2,8 2,9 2,99 2,999 f(x) = x + 3 5,8 5,9 5,99 5,999 lim f ( x) Dizemos que =6 x  3Limite lateral a direita:Para x → 3+ : Para x → 3+ => f(x) = 6 X 3,2 3,1 3,01 3,001 f(x) = x + 3 6,2 6,1 6,01 6,001 lim f ( x) Dizemos que =6 x  3Conclusão: lim f ( x)Existe o limite da função para x→3, ou seja, =6 x3
  3. 3. 2º EXEMPLO  x 2  1, para x ≤ 2Considere a função: f ( x)    x  1, para x > 2 lim f ( x)Cálculo do =? x2Geometricamente: (x≤2) ( x > 2) x f(x) = x2 + 1 x f(x) = x - 1 2 5 2 1 1 2 3 2 0 1 4 3 -1 2 5 4 -2 5 6 5Limite lateral a esquerda:Para x → 2- : Para x → 2- => f(x) = 5 X 1,8 1,9 1,99 1,999 f(x) = x2 + 1 4,24 4,61 4,960 4,996 lim f ( x) Dizemos que =5 x  2Limite lateral a direita:Para x → 2+ Para x → 2+ => f(x) = 1 X 2,2 2,1 2,01 2,001 f(x) = x - 1 1,2 1,1 1,01 1,001 lim f ( x) Dizemos que =1 x  2Conclusão:Não existe o limite da função para x→2, ou seja, lim f ( x) =  x2
  4. 4. Exercícios 1) Calcule o limite por noção intuitiva:  x  2, se x ≤ 2 lim f ( x)a) f ( x)   , =? 4, se x > 2 x  2  x, se x ≤ 3 lim f ( x)b) f ( x)   , =?  x  2, se x > 3 x3 2  x, se x < 3 lim( f )  ?c) f ( x)   , 4, se x ≥ 3 x  3 x3  1 lim f ( x)  ?d) f ( x)  , x 1 x 1  x 2  1, se > -2 lim f ( x)e) f ( x)   , =?  x  3, se x ≤ -2 x  2  x  7, se x ≥ 2 lim f ( x)f) f ( x)   , =?  2 x  3, se -1 < x ≤ 2 x2 2
  5. 5. TEOREMAS DOS LIMITES (PROPRIEDADES) Vamos mostrar agora alguns teoremas que admitiremos verdadeiros sem efetuarmos suas demonstrações. 1. Limite da função constante: o limite de uma constante é a própria constante, isto é, lim c  c x a EXEMPLOS: lim 2 a) f ( x)  2 => =2 x 1 b) f ( x)  5 => lim 5  5 x0 c) f ( x)  3 => lim  3  3 x 2 2. Limite da função identidade: se f ( x)  x , então: lim x  a x a EXEMPLOS: a) lim x  2 x 2 b) lim x  3 x 3 3. Limite da soma de funções: é igual à soma dos limites dessas funções. lim  f1( x)  f 2 ( x)   f n ( x)  lim f1( x) lim f 2 ( x)  lim f n ( x) x a x a x a EXEMPLO: lim( x  3)  lim x  lim 3  2  3  5 x 2 x 2 x 24. Limite do produto de funções: é igual ao produto dos limites dessas funções. lim  f1( x). f 2 ( x)   f n ( x)  lim f1( x). lim f 2 ( x)   lim f n ( x) x a x a x a EXEMPLO: lim 3.( x  1)  lim 3. lim( x  1)  3.3  9 x 2 x 2 x 2 5. Limite da constante multiplicada pela função: é igual ao produto da constante pelo limite da função. lim c. f ( x)  c. lim( x) x a x a
  6. 6. EXEMPLO: lim 3x  3.lim x  3.2  6 x 2 x 26. Limite de uma potência enésima de uma função: é igual à potência enésima do limite dessa função. n lim  f ( x)   lim f ( x)  n x a  x a    EXEMPLO:   2 8 3 lim x3  lim x 3 x 2 x 27. Limite de uma raiz enésima de uma função: é igual à raiz enésima do limite dessa função. lim n f ( x)  n lim f ( x) x a x a EXEMPLOS: a) lim x lim x  100  10 x 100 x 100 b) lim 5 2 x 4  5 lim 2 x 4  5 2.24  5 32  2 x 2 x 28. Limite do módulo ou valor absoluto de uma função: é igual ao módulo ou valor absoluto do limite. lim f ( x)  lim f ( x) x a x a EXEMPLO: lim x  lim x  3  3 x 3 x 39. Limite do quociente de duas funções: é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o limite do denominador for igual a zero). f ( x) x  a f ( x) lim lim  , x a g ( x) lim g ( x) xa com lim g ( x)  0 e g ( x)  0 x a EXEMPLO: x x 8 x 8 lim lim   4 x 8 2 lim 2 2 x 8
  7. 7. CÁLCULO DE LIMITE DE FUNÇÃO POLINOMIAL n 1 Dado o polinômio P( x)  an x  an 1x n  ...  a1x  a0 , então lim P( x)  P(a) x a EXEMPLOS:1) Calcule os limites: lim( x5  2 x3  x) a) = 15 + 2 . 13 – 1 = 1 + 2 – 1 = 2 x 1 b) lim( x  3)  2  3  5 x 2 lim( x 2  x  2) 2 c) = ( 32 – 3 + 2 )2 = ( 9 – 3 + 2 )2 = ( 6 + 2 )2 = ( 8 )2 = 64 x32) Calcule os limites, se existir, e faça um esboço do gráfico.  x 2  2, se x < 2 lim f ( x) a) , sendo f(x) =  x se x ≥ 2 x2  , 2Gráfico: (x<2) ( x ≥ 2) x x f(x) = x2 - 2 x f(x) = 2 2 2 2 1 3 1 -1 3 = 1,5 2 0 -2 4 2 5 -1 -1 5 = 2,5 2
  8. 8. lim f ( x) lim f ( x 2  2)  = = 22 – 2 = 4 – 2 = 2x2 x  2 lim f ( x) ≠ lim f ( x) lim f ( x) =  x2  x2  x2  xlim f ( x) lim f   2 = 2 = 1x  2 2 x  2 lim f ( x) 3, se x ≠ 4b) , sendo f(x) =  x4 0, se x = 4Gráfico:lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) =3 e = 3  =3x4  x4  x4(Utilizamos a função para x ≠ 4, ou seja, nas proximidades de x = 4) Exercícios1) Calcule:  x2  6  lim( x 2  5 x  4)  lim( x3  1)  lim( x 4  5)  lim  2  x 1    a) b) c) d)   x2 x  2 x0 x42) Faça o gráfico das funções e calcule os limites, se existir:  x2  , se x  0  x 2 , se x  2 a) lim f ( x), para f ( x)   b) lim f ( x), para f ( x)   x 0 1  x , se x  0 x 2  x  1, se x  2 2  3x  1, se x  1 c) lim f ( x), para f ( x)   x 1 0 , se x  1Respostas:1) a) -2 b) -7 c) 5 d) 22 2) a)  b)  c) 4 15
  9. 9. CÁLCULO DE LIMITES QUANDO O NUMERADOR E O DENOMINADORTENDEM A ZERO Quando o numerador e o denominador de uma função tender a zero, no cálculo de um limitepara determinado valor de x, devemos efetuar e simplificar a função antes de efetuarmos a substituição,porque ela não é definida para aquele valor de x.EXEMPLOS: x2  9 1) Calcular lim x 3 x  3Fatorando e simplificando, temos: x2  9 ( x  3).( x  3)lim  lim  lim( x  3)  6x 3 x  3 x 3 ( x  3) x 3 x 1  3 2) Calcular lim x 8  x  8Neste caso devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador. x 1  3 ( x  1  3).( x  1  3)lim  lim x 8  x  8 x 8  x  8.( x  1  3) ( x  1) 2  32 x 1 9 lim  lim  x 8  x  8  .( x  1  3) x 8  x  8  .( x  1  3) lim  x  8  lim 1  x 8  x  8  .( x  1  3) x 8 ( x  1  3) 1 1 1   ( 8  1  3) ( 9  3) 6 x2  5x  6 3) Calcular lim x 2 x2Resolvendo a equação x 2  5x  6  0  b 2  4ac  25  24  1 1  5 1 6  b    (5)  1  5  1  x1  2  2  3 x    2a 2  (1) 2 x  5  1  4  2  2  2 2Obtemos duas raízes distintas: x1  3 e x2  2 .Fatoramos o trinômio do 2º grau: x 2  5x  6  x  3  x  2 x2  5x  6 ( x  2).( x  3)Então, lim  lim  1 x 2 x2 x 2 x2
  10. 10. x3  8 4) Calcular lim x 2 x  2Fazendo a divisão de x3  8 por x  2 , para simplificar, temos: x  0x  0x  8 x  2 3 2 x3  2 x 2 x2  2x  4  2 x2  0 x  8  2 x2  4 x  4x  8  4x  8 0 x3  8Então, lim  lim( x 2  2 x  4)  22  2.(2)  4  4  4  4  12 x 2 x  2 x 2Observação:Poderíamos ter fatorado o numerador pela “diferença de cubos”a3  b3  (a 2  ab  b2 ).(a  b)Assim, teríamos:    x3  8  x3  23  x 2  2 x  22  x  2  x 2  2 x  4  x  2 x 3  8 x 2  2 x  4 x  2Depois, simplificaríamos:   x 2  2x  4  x 2 x2E, então, calcularíamos o limite desejado: x3  8lim  lim( x 2  2 x  4)  22  2.(2)  4  4  4  4  12x 2 x  2 x 2 x2  5x  6 5) Calcular lim x 3 x 2  x  12Fazendo a divisão de polinômios (numerador pelo denominador): x 2  5 x  6 x 2  x  12 x 2  x  12 1  6 x  18 Resto!
  11. 11. Como a divisão não é exata, temos que simplificar a fração algébrica pela fatoração do numerador e dodenominador. Assim:Resolvendo a equação (numerador): Resolvendo a equação (denominador):x  5x  6  0 2 x 2  x  12  0 5  25  24 1  1  48x x 2 2 5  1  x  3 1  7 x  4x  x  2  x  2 2  x  3Fatorando: Fatorando:x  5x  6  1.( x  3).( x  2) 2 x2  x  12  1.( x  4).( x  3)Substituindo os trinômios fatorados no limite, temos: x2  5x  6 ( x  3) .( x  2) lim 2  lim x 3 x  x  12 x 3 ( x  4). ( x  3) x  2 3  2 1 1 lim   x 3 x  4 3  4 7 7 2  x 2  4x  4  6) Calcular lim   x 2  x2  x 2  4x  4 Fazendo u  , temos que: x2 lim u  lim x 2  4x  4  lim x  22  lim x  2  0 , logo: lim u  0 , x 2 x 2 x2 x 2  x  2  x 2 x 2 então limu   0 2  0 2 x 2 Exercícios1) Calcule: x4 x 2 x3  x x 2  16a) lim b) lim c) lim d) lim x 4 x 2  16 x 2 x2 x 0 x x 4 x4Respostas: 1 11) a) b) c) - 1 d) 8 8 2 2

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