1. La solución de la inecuación está dada por el intervalo Cs=(-∞;1/5). 2. El dominio de la función es Df={∀x∈R/x≠0} y la función es impar. 3. La función h(x) no es continua ya que no cumple las condiciones de continuidad.

1. RESOLUCIÓN PRIMER PARCIAL MAT. 1101 “G”
x 2 − 4 x − 5 x 2 − 10 x + 25
1.- Resolver: 〈 ...........∀x ∈ R
x −1 x+3
Solución:
2
Usando la propiedad: a = a 2 para que desaparezca el valor absoluto de la inecuación:
( x 2 − 4 x − 5) 〈 ( x 2 − 10 x + 25)
2 2 2 2 2 2
x 2 − 4 x − 5 x 2 − 10 x + 25  x 2 − 4x − 5   x 2 − 10 x + 25 
〈 ⇒  〈
  ⇒

x −1 x+3 
 x −1    x+3  ( x − 1) 2 ( x + 3) 2
Factorizando :
( ( x + 1)( x − 5) ) 2 〈 ( ( x − 5)( x − 5) ) 2 ⇒
( x + 1) 2 ( x − 5) 2 〈 ( x − 5) 2 ( x − 5) 2
( x − 1) 2 ( x + 3) 2 ( x − 1) 2 ( x + 3) 2
E lim inamdo _ ter min os _ Semejantes :
( x + 1) 2 〈 ( x − 5) 2 ⇒ ( x + 1) ( x + 3) 〈( x − 5)
2 2 2
( x − 1) 2
( x − 1) 2 ( x + 3) 2
 x〉 0......... +

Considerando : x =  x = 0
 x 〈0.......... −

Se _ formaran _ dos _ inecuaciones :
a )...Con : x〉 0......... +
( x + 1) 2 ( x + 3) 2 〈( x − 5) 2 ( x − 1) 2 ⇒ ( x 2 + 2 x + 1)( x 2 + 6 x + 9)〈( x 2 − 10 x + 25)( x 2 − 2 x + 1)
x 4 + 8 x 3 + 22 x 2 + 24 x + 9〈 x 4 − 12 x 3 + 46 x 2 − 60 x + 25
20 x 3 − 24 x 2 + 84 x − 16〈0 ⇒ 4 ⋅ ( 5 x − 1) ( x 2 − x + 4)〈0
Sean _ las _ raizes :
1 1± 1− 4
x1 = ........ y.......... x 2 y 3 = .... ∉ R.
5 2
Aplicando la regla de los signos:
 1
Comprobando para el intervalo:  − ∞; .......Para : x = 0
 5
20 x − 24 x + 84 x − 16〈0
3 2
20 ⋅ 0 3 − 24 ⋅ 0 2 + 84 ⋅ 0 − 16〈0
− 16〈0....V
Lo que es verdad, por regla de los signos, el intervalo que sigue será un intervalo no solución.

2. a )...Con : x〈0......... −
( x + 1) 2 ( x + 3) 2 〈( x − 5) 2 ( − x − 1) 2 ⇒ ( x 2 + 2 x + 1)( x 2 + 6 x + 9)〈( x 2 − 10 x + 25)( x 2 + 2 x + 1)
x 4 + 8 x 3 + 22 x 2 + 24 x + 9〈 x 4 − 8 x 3 + 6 x 2 + 40 x + 25
16 x 3 + 16 x 2 − 16 x − 16〈0 ⇒ 16 ⋅ ( x − 1)( x + 1)( x + 1) 〈0
Sean _ las _ raizes :
x1 = 1........ y.......... x 2 y 3 = −1
Aplicando la regla de los signos:
Comprobando para el intervalo: ] − 1;1[.......Para : x = 0
16 x 3 + 16 x 2 − 16 x − 16〈0
16 ⋅ 0 3 + 16 ⋅ 0 2 − 16 ⋅ 0 − 16〈0
− 16〈0....V
Lo que es verdad, por regla de los signos, el intervalo que sigue será un intervalo no solución.
La solución déla inecuación estará dada por la graficas:
 1
∴ Cs = − ∞; 
 5

3. 2.- Determinar el dominio de la función, e indicar si la función es PAR o IMPAR.
f ( x ) =  x ⋅ x +  ⋅ sen( x 2 )
 1
 x
Solución:
2 n − a

a
Las condiciones para hallar dominios de funciones son: f ( x ) =  en caso de que
0
ln ( − a )

alguna de estas condicione aparezca, no da a entender que en esos valores la función no tiene
su dominio.
Como se puede observa en la expresión lo único que se debe evitar es la división por cero.
∴ Df = { ∀x ∈ R / x ≠ 0}
Para saber si es una función par o impar se debe considerar lo siguiente:
De la definición de función PAR: f ( − x ) = f ( x )
De la definición de función IMPAR: f ( − x ) = − f ( x )

f ( − x) =  − x ⋅ x +
1 
−x
( 2
)
 ⋅ sen ( − x ) ⇒ f ( − x ) = − x ⋅ x +  ⋅ sen( x ) ⇒ f ( x ) = − x ⋅ x +  ⋅ sen( x )
 1 2  1 2
  x  x
Como puede observarse la función es impar.
 x ..........Si x ≥ 1

3.-Estudiar la continuidad de la función: h( x ) =  2
 x − 1.....Si x 〈1

Solución:
 x〉 0
 x
Para: x ..........Si x ≥ 1 ⇒ sea : y = x _ pero : x =  x = 0 ⇒ y = 
 x〈0 − x

 x〉 0
 x ≥ 1
De las condiciones: x ≥ 1 ⇒ pero : x =  x = 0 ⇒ x = 
 x〈0  x ≤ −1

De la misma forma para: x − 1.....Si x〈1 ⇒ sea : y = x − 1
2 2
 x〉 0
  x 〈1
De las condiciones: x 〈1 ⇒ pero : x =  x = 0 ⇒ x = 
 x〈0  x〉 − 1

Graficando ambas funciones dadas por tramos, se observa que la función no es continua.

4. Ya que no cumple las condiciones de continuidad:
a ) _ f ( a ) = No _ existe
lim f ( x )
b) _ = No _ existe
x→a
lim f ( x )
c) _ f ( a ) ≠
x→a
1 − cos x
4.- Sea la función: f ( x ) = , hallar el limite en x = 0 si existe. Sugerencia: Hallar
senx
y analizar los limites laterales.
Solución:
1 − cos x 1 − cos 0 1−1 0
lim f ( x ) = lim ⇒L= ⇒L= ⇒ L = , existirá una
x →0 x →0 senx sen0 0 0
indeterminación, la cual aremos desaparecer, utilizando un artificio matemático:
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒ lim ⇒ lim ⇒ lim
x →0 x →0 senx x →0 2
sen x x →0 1 − cos x
2 x →0 (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L= ⇒L=±
x →0 (1 + cos x ) 1 + cos 0 2
Como sabemos, el límite existiera si y solo si, los limites, laterales son iguales, es decir el
límite por izquierda es igual al límite por derecha:

5. lim f ( x ) = lim+ f ( x )
x →0 − x →0
Resolviendo los límites laterales:
Por la propiedad del coseno: cos ( − x ) = cos x
a)
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒ lim ⇒ lim ⇒ lim
−
x→ 0 x→ 0−
senx x→ 0 − 2
sen x x→ 0 −
1 − cos 2 x x→ 0 − (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L= ⇒L=±
−
x→ 0 (1 + cos x ) 1 + cos( − 0 ) 2
b)
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒ lim ⇒ lim ⇒ lim
+
x→ 0 x→ 0+
senx x→ 0 + 2
sen x x→ 0 +
1 − cos 2 x x→ 0+ (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒ L= ⇒ L=
+
x→ 0 (1 + cos x ) 1 + cos( 0 ) 2
Como se puede observar tanto el límite por izquierda cono por derecha no son iguales:
1 − cos x 1 − cos x
lim− ≠ lim+
x→0 senx x →0 senx
1 1
± =
2 2
∴ El _ límite _ no _ existe