Resistência de materiais: tensões, deformações e elementos estruturais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

CENTRO DE TECNOLOGIA
ESCOLA POLITÉCNICA
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Flávia Moll de Souza Judice

2010

Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 1
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SUMÁRIO
I – Introdução .................................................................................................................... 2
II – Isostática..................................................................................................................... 4
III – Tração e Compressão ............................................................................................... 17
IV – Cisalhamento Puro .................................................................................................... 26
V – Torção ........................................................................................................................ 28
VI – Propriedades Geométricas das Figuras Planas ........................................................ 32
VII – Tensões em Vigas.................................................................................................... 35
VIII – Deformação em Vigas ............................................................................................. 43
IX – Vigas Estaticamente Indeterminadas ........................................................................ 56
X – Flambagem ................................................................................................................ 60
Bibliografia ........................................................................................................................ 67

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Notas de Aula Resistência dos Materiais

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I – INTRODUÇÃO

A Resistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dos Sólidos ou
Mecânica dos Corpos Deformáveis, tem por objetivo prover métodos simples para a análise
dos elementos mais comuns em estruturas.
O desenvolvimento histórico da Resistência dos Materiais é uma combinação de
teoria e experiência. Homens famosos, como Leonardo da Vinci (1452-1519) e Galileu
Galilei (1564-1642) fizeram experiências para determinar a resistência de fios, barras e
vigas, sem que tivessem desenvolvido teorias adequadas (pelos padrões de hoje) para
explicar os resultados atingidos. Outros, como Leonhard Euler (1707-1783), desenvolveram
teorias matemáticas muito antes de qualquer experiência que evidenciasse a importância do
seu achado.
O curso aqui apresentado inicia com a discussão de alguns conceitos fundamentais,
tais como tensões e deformações, para em seguida, investigar o comportamento de
elementos estruturais simples sujeitos à tração, à compressão e ao cisalhamento.

Sistema Internacional de Unidades (SI):

Quantidade Símbolo Unidade
Dimensional Básica
Comprimento L metro (m)
Tempo T segundo (s)
Massa M quilograma (kg)
Força F Newton (N)

A força é derivada das unidades básicas pela segunda lei de Newton. Por definição,
um Newton é a força que fornece a um quilograma massa a aceleração de um metro por
segundo ao quadrado. A equivalência entre unidades é 1 N  1 kg  1 m/s 2 .

Outras unidades derivadas do SI:

Quantidade Unidade Básica
Área metro quadrado (m2)
Tensão Newton por metro quadrado (N/m2)
ou Pascal (Pa)

Prefixos de Unidades:

Prefixo Símbolo Fator
Giga G 109
Mega M 106
Quilo k 103
Deci d 10-1
Centi c 10-2
Mili m 10-3
Micro  10-6
Nano n 10-9

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Na prática, muitas vezes prefere-se usar o quilonewton (kN), o quilopascal (kPa), o
megapascal (MPa) ou o gigapascal (GPa).

1 N  10 1 kgf
10 kN  1 tf
1 MPa  1 N/mm 2  10 3 kN / m 2  1 kgf / cm 2

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II – ISOSTÁTICA

1 – Grandezas Fundamentais

1.1 – Força

As forças são grandezas vetoriais caracterizadas por direção, sentido e intensidade.

F1
F3
Fn
F2 .....

1.2 – Momento

O momento representa a tendência de giro (rotação) em torno de um ponto
provocada por uma força.

O M i  Fi  di

di Fi

.

2 – Condições de Equilíbrio

Um corpo qualquer submetido a um sistema de forças está em equilíbrio estático
caso não haja qualquer tendência à translação ou à rotação.

F1 F2

M1
M2 F3

As equações universais da Estática que regem o equilíbrio de um sistema de forças
no espaço são:

 Fx  0  M x  0

 

 Fy  0  M y  0
 
 Fz  0
  M z  0


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3 – Graus de Liberdade

Uma estrutura espacial possui seis graus de liberdade: três translações e três
rotações segundo três eixos ortogonais.
A fim de evitar a tendência de movimento da estrutura, estes graus de liberdade
precisam ser restringidos.
Esta restrição é dada pelos apoios (vínculos), que são dispositivos mecânicos que,
por meio de esforços reativos, impedem certos deslocamentos da estrutura. Estes esforços
reativos (reações), juntamente com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam um
sistema em equilíbrio estático.

3.1 – Tipos de Apoio

Classificam-se em três categorias:

a) Apoio móvel ou do 1º gênero – é capaz de impedir o movimento do ponto
vinculado do corpo numa direção pré-determinada;

APOIO
MÓVEL SÍMBOLO

Pino deslizante
rolete R
A representação esquemática indica a reação de apoio R na direção do único
movimento impedido (deslocamento na vertical).

b) Apoio fixo ou do 2º gênero ou rótula – é capaz de impedir qualquer movimento do
ponto vinculado do corpo em todas as direções, permanecendo livre apenas a
rotação;

APOIO
FIXO
H SÍMBOLO

rótula V

c) Engaste ou apoio do 3º gênero – é capaz de impedir qualquer movimento do ponto
vinculado do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto.

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E
N
G SÍMBOLO
A H
S
T
E M
V

3.2 – Estaticidade e Estabilidade

a) Estruturas isostáticas

A B C MC
HB
HC
VA VB VC

Quando o número de movimentos impedidos é igual ao estritamente necessário para
impedir o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é isostática,
ocorrendo uma situação de equilíbrio estável.

N o reações  N o equações de equilíbrio

b) Estruturas hipostáticas

A B C

HC
VA VB VC

Quando o número de movimentos impedidos é menor que o necessário para impedir
o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hipostática, ocorrendo
uma situação indesejável de equilíbrio instável.

c) Estruturas hiperestáticas

C MC
A B D

HA HB HC HD
VA VB VC VD

Quando o número de movimentos impedidos é maior que o necessário para impedir
o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hiperestática, ocorrendo
uma situação indesejável de equilíbrio estável.

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Nesse caso, as equações universais da Estática não são suficientes para a
determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de
compatibilidade de deformações.

4 – Classificação das Estruturas

a) Vigas – são elementos estruturais geralmente compostos por barras de eixos
retilíneos que estão contidas no plano em que é aplicado o carregamento;

viga apoiada viga em balanço

b) Pórticos (ou Quadros) – são elementos compostos por barras de eixos retilíneos
dispostas em mais de uma direção submetidos a cargas contidas no seu plano;

pórtico plano

c) Treliças – são sistemas reticulados cujas barras têm todas as extremidades rotuladas
e cujas cargas são aplicadas em seus nós.

d) Grelhas – são estruturas constituídas por barras retas contidas em um único plano
nas quais o carregamento age em direção perpendicular a este plano.

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5 – Tipos de Carregamento

a) Cargas concentradas – são uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas
segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da estrutura). São
representadas por cargas aplicadas pontualmente;

F

b) Cargas distribuídas – são cargas distribuídas continuamente. Os tipos mais usuais
são as cargas uniformemente distribuídas e as cargas triangulares (casos de
empuxos de terra ou água).
q q

c) Cargas-momento – são cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um
ponto qualquer da estrutura.
M

6 – Determinação da Resultante de um Carregamento Distribuído

Uma carga distribuída pode ser tratada como uma soma infinita de cargas
concentradas infinitesimais, q  ds , cuja resultante é:

B
R   q  ds (1)
A

z

s R
q.ds
s


O A B
ds
A Eq. (1) indica que a resultante do carregamento distribuído é igual à área 
limitada entre a curva que define a lei de variação do carregamento e o eixo da estrutura.

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Para obtermos a posição desta resultante, aplicamos o Teorema de Varignon  o
momento de um sistema de forças em equilíbrio é igual ao momento da resultante das
forças.

Chamando s a distância da resultante a um ponto genérico O, temos:

B
 Momento da resultante: R  s  s  q  ds 
A
B
 Soma dos momentos das componentes:  q  ds  s
A

Igualando:

B
 q  s  ds
s A
B
 q  ds
A

que é a razão entre o momento estático da área  em relação ao eixo z e o valor  dessa
área. Isto indica que s é a distância do centróide da área  ao eixo z.

Finalmente, a resultante de um carregamento distribuído é igual à área
compreendida entre a linha que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual
está aplicado, sendo seu ponto de aplicação o centróide da área referida.

7 – Esforços Simples

Consideremos o corpo da figura submetido ao conjunto de forças em equilíbrio
indicadas. Seccionemos o corpo por um plano P que o intercepta segundo uma seção S,
dividindo-o nas duas partes E e D.

P

m D
R

E R S
S
m

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Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, basta
que apliquemos, na seção S da parte E, um sistema estático equivalente ao das forças que
ficaram na parte da direita e, analogamente, na seção S da parte D, um sistema estático
equivalente ao das forças situadas na parte da esquerda. Esses esquemas estáticos
equivalentes são obtidos reduzindo as forças à esquerda e à direita da seção S ao centróide
desta seção.

Resumindo: a resultante R que atua na parte da esquerda é obtida pelas forças da direita

e vice-versa. O momento resultante m que atua na parte da esquerda foi obtido pelas
forças da direita e vice-versa.
Uma seção S de um corpo em equilíbrio está, em equilíbrio, submetida a um par de
   
forças R e (- R ) e a um par de momentos m e (- m ) aplicados no seu centróide e
resultantes da redução, a este centróide, das forças atuantes, respectivamente, à esquerda
e à direita da seção S.

m
R S C
C R

m
 
Decompondo os vetores R e m em duas componentes, uma perpendicular à seção

S e outra situada no próprio plano da seção S, obtemos as forças N (perpendicular a S) e
  
Q (pertencente a S) e os momentos T (perpendicular a S) e M (pertencente a S), aos
quais chamamos esforços simples atuantes na seção S.

M m
C N
x x
C
R T
Q

OBS: É indiferente calcular os esforços simples atuantes numa seção entrando com as
forças da parte à esquerda ou da parte à direita da seção na prática. Usaremos as forças do
lado que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo.

a) Esforço normal N – tende a promover variação da distância que separa as seções,
permanecendo as mesmas paralelas uma à outra.

O esforço normal será positivo quando de tração, ou seja, quando tender a afastar
duas seções infinitamente próximas, e negativo quando de compressão.

ds

N N N
N


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
b) Esforço cortante Q – tende a promover o deslizamento relativo de uma seção em
relação à outra (tendência de corte).

Dizemos que o esforço cortante Q é positivo quando, calculado pelas forças
situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo do eixo y e quando calculado
pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver o sentido oposto ao sentido positivo do
eixo y.
ds

Q Q Q
Q



c) Momento torsor T – tende a promover uma rotação relativa entre duas seções
infinitamente próximas em torno de um eixo que lhes é perpendicular, passando pelo
seu centro de gravidade (tendência de torcer a peça).

O momento torsor é positivo quando o vetor de seta dupla que o representa estiver
como que tracionando a seção.

ds

T

T


d) Momento fletor M – tende a provocar uma rotação da seção em torno de um eixo
situado em seu próprio plano.

Como um momento pode ser substituído por um binário, o efeito de M pode ser
assimilado ao binário da figura, que provoca uma tendência de alongamento em uma das
partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte, deixando a peça fletida.

ds
M

M

Para o momento fletor, desejamos conhecer que fibras estão tracionadas e que
fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de concreto armado, por exemplo,
sabermos de que lado devemos colocar as barras de aço, que são o elemento resistente à
tração).

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A figura mostra a convenção de sinais adotada.

Compressão

Tração

8 – As Equações Fundamentais da Estática. Diagramas de Esforços

As equações fundamentais da Estática, deduzidas para uma viga com carga vertical
uniformemente distribuída, são:

dM s
 Qs (2)
ds
dQs
 q( s ) (3)
ds

Essas expressões permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções da
viga em função do carregamento q(x) atuante.
A representação gráfica dos esforços nas seções ao longo de todo o elemento é feita
a partir dos diagrama de esforços (linhas de estado).
Com base na Eq. (2), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de
momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante.
A partir da Eq. (3), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de
esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção com
o sinal trocado.

8.1 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Concentrada

P
A B
HB
a b

VA l VB

 Fx  0  H B  0
 Fy  0  V A  VB  P
Pa P b
 M A  0  VB  l  P  a  0  VB  l
 VA 
l

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DMF

Pa b
P b l
l
 DEC

Pa
l

Pelas Eq. (2) e (3), sabemos que, num trecho descarregado ( q  0 ), o DEC será
 dQ   dM 
uma reta horizontal   q  0  e o DMF será uma reta   Q  cons tan te  .
 ds   ds 

OBS:
 dM 
a) O DMF possui um ponto anguloso em S, pois temos    Qs esq e
 ds  s esq
 dM 
   Qs dir e, no caso, Qs esq  Qs dir ;
 ds  s dir

b) Na seção S, não se define o esforço cortante; ele é definido à esquerda e à direita da
seção, sofrendo nela uma descontinuidade igual a P.

Conclusão: Sob uma carga concentrada, o DMF apresenta um ponto anguloso e o DEC
apresenta uma descontinuidade igual ao valor dessa carga.

8.2 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Uniformemente Distribuída

qx
q
A B
HB
x

VA l VB

 Fx  0  H B  0
 Fy  0  V A  VB  q  l
l q l q l
 M A  0  VB  l  q  l  2  0  VB  2  V A  2

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Numa seção genérica S, temos:

q l x l2  x x2 
Ms  xqx  q   
2 2 2  l l2 
 

ql
Qs  qx
2
DMF

M max  q  l 2
8
q l
2
 DEC

q l
2
O DEC será uma linha reta que fica determinada pelos seus valores extremos
correspondentes a x  0 e x  l , que são:

q l
QA 
2
q l
QB  
2

O DMF será uma parábola de 2º grau, passando por zero em A e B e por um máximo
dM q l2  1 1  q l 2
em x  l (seção onde Q   0 ), de valor M max      .
2 dx 2 2 4 8

Conclusão: Sob carga uniformemente distribuída, o DMF é parabólico do 2º grau e o DEC é
retilíneo.

* Construção Geométrica do DMF

q l2
a) Sendo MM 1  , marcamos M 1 M 2  MM 1
8

b) Dividimos os segmentos AM 2 e BM 2 em partes iguais (por exemplo: oito), obtendo
os pontos I a VII e I´ a VII´ que, ligados alternadamente, nos dão tangentes externas
à parábola que é, então, facilmente obtida.

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A M B

I I´
II II´ q l2
III III´ 8
M1
IV IV´
V V´ q l2
VI VI´ 8
VII VII´
M2

8.3 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga-Momento

M
A B
HB
a b

VA l VB

 Fx  0  H B  0
 Fy  0  V A  VB  0
M M
 M A  0  VB  l  M  0  VB  l  V A   l
M a
l
DMF

M b
l
DEC

M
l

Conclusão: O DMF, na seção de aplicação da carga-momento, sofre uma descontinuidade
igual ao momento aplicado.

Roteiro para traçado dos diagramas de esforços

a) Cálculo das reações de apoio a partir das equações da Estática;
b) Determinação dos esforços seccionais em todos os pontos de aplicação ou transição
de carga.

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Normas:

a) Os valores dos esforços seccionais serão marcados em escala, em retas
perpendiculares ao eixo da peça, nos pontos onde estão atuando;

b) Valores positivos de esforço normal e esforço cortante serão marcados para cima
nas barras horizontais e para fora nas verticais (ou inclinadas);

 N 

Q

c) Valores positivos de momento fletor serão marcados para baixo nas barras
horizontais ou para dentro nas verticais (ou inclinadas);

M
 

d) Sob a ação de uma carga concentrada, o diagrama de momento fletor apresenta um
ponto anguloso e o diagrama de esforço cortante uma descontinuidade de
intensidade igual ao da carga atuante;

DMF DEC
e) Sob a ação de uma carga-momento, o diagrama de momento fletor apresenta uma
descontinuidade de intensidade igual ao da carga-momento;

DMF

f) Num trecho descarregado, o diagrama de esforço cortante apresenta uma linha
paralela em relação ao eixo da peça;

g) Sob a ação de uma carga uniformemente distribuída, o diagrama de esforço cortante
apresenta uma linha inclinada em relação ao eixo da peça. Já o diagrama de
momento fletor apresenta uma curva de grau duas vezes superior ao da ordenada de
carga no trecho.

DMF DEC
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III – TRAÇÃO E COMPRESSÃO

1 – Tensões e deformações

Seja a barra com seção transversal constante e comprimento L, submetida às forças
axiais P que produzem tração, conforme mostra a figura.

P

L

 P

O diagrama de esforços normais para a barra carregada da figura acima é constante
e igual a P.
A tensão, uniformemente distribuída na seção transversal da barra, devida à ação da
força P, é dada por:

P
σ
A

onde σ (sigma) é a tensão normal na seção transversal da barra.

O alongamento total da barra é designado pela letra δ (delta). O alongamento
específico ou alongamento relativo ou deformação (alongamento por unidade de
comprimento) é dado por:



L

sendo  (epsilon) a deformação e L o comprimento inicial da barra.

2 – Teste de tração. Diagrama Tensão-Deformação

A relação entre as tensões e as deformações, para um determinado material, é
encontrada por meio de um teste de tração.
Um corpo-de-prova, em geral uma barra de seção circular, é colocado na máquina
de testar e sujeito à tração.
A força atuante e os alongamentos resultantes são medidos à proporção que a carga
aumenta.
As tensões são obtidas dividindo-se as forças pela área da seção transversal da
barra e a deformação específica dividindo-se o alongamento pelo comprimento ao longo do
qual ocorre a deformação.
A figura seguinte mostra, esquematicamente, o ensaio na máquina universal de
tração e compressão.

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3 4
5

7

x 2

1
6

x
8

1 – cilindro e êmbolo
2 – bomba hidráulica (medidor de vazão)
3 – mesa (chassi) móvel
4 – corpo de prova para tração
5 – corpo de prova para compressão
6 – mesa (chassi) fixo
7 – manômetro (medidor de pressão)
8 – fluido hidráulico

A forma típica do diagrama tensão-deformação do aço é mostrada na figura seguinte.
Nesse diagrama, as deformações axiais encontram-se representadas no eixo horizontal e as
tensões correspondentes no eixo das ordenadas.


(MPa)

350
E
D *

300 B C
A E
250

200

150

100

50
F
O 1 2 3 4 5 6 x

No trecho de 0 a A, as tensões são diretamente proporcionais às deformações e o
diagrama é linear. Além desse ponto, a proporcionalidade já não existe mais e o ponto A é
chamado de limite de proporcionalidade.

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Com o aumento da carga, as deformações crescem mais rapidamente do que as
tensões, passando a aparecer uma deformação considerável sem que haja aumento
apreciável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como escoamento do material e
a tensão no ponto B é denominada tensão de escoamento.
Na região BC, diz-se que o material tornou-se plástico e a barra pode deformar-se
plasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite de
proporcionalidade.
No ponto C, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga,
acarretando acréscimo de tensão para um aumento de deformação, atingindo o valor
máximo ou tensão máxima no ponto D. Além desse ponto, maior deformação é
acompanhada por uma redução da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-
prova no ponto E do diagrama (tensão de ruptura).
Durante o alongamento da barra, há contração lateral, que resulta na diminuição da
área da seção transversal. Isto não tem nenhum efeito no diagrama tensão-deformação até
o ponto C. Porém, deste ponto em diante, a redução da área faz com que a tensão
verdadeira seja sempre crescente (como indicado na linha pontilhada até E´).
É a favor da segurança adotar-se como valor das tensões limites aquelas calculadas
como se a área se mantivesse com seu tamanho original, obtendo-se valores para a tensão
ligeiramente menores do que os reais.
Alguns materiais não apresentam claramente no diagrama tensão-deformação todos
os pontos anteriormente citados. Para que se possa determinar o ponto de escoamento
desses materiais, convencionou-se adotar uma deformação residual de 0,2%. A partir dessa
deformação, traça-se uma reta paralela ao trecho linear AO, até atingir a curva tensão-
deformação.
A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande
deformação plástica, é uma das características do aço.

 

 
0 0

a) diagrama  x  típico de b) diagrama  x  típico de
material dúctil material frágil

Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes
da ruptura, sendo classificados como dúcteis. Por outro lado, materiais frágeis ou
quebradiços quebram com valores relativamente baixos das deformações.
As cerâmicas, o ferro fundido, o concreto, certas ligas metálicas e o vidro são
exemplos desses materiais.
É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sob
compressão, estabelecendo-se tensões características, tais como limite de
proporcionalidade, escoamento e tensão máxima.
Para o aço, verificou-se que as tensões do limite de proporcionalidade e do
escoamento são, aproximadamente, as mesmas na tração e na compressão.
Para muitos materiais quebradiços, as tensões características em compressão são
muito maiores que as de tração.

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3 – Elasticidade

Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento dos materiais, quando
carregados por tração (ou compressão).
Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é
gradualmente reduzida até zero, a deformação sofrida durante o carregamento
desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a
retornar à forma original, é denominada elasticidade.
Quando o material volta completamente à forma original, diz-se que é perfeitamente
elástico. Se o retorno não for total, diz-se que é parcialmente elástico. Nesse caso, a
deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação
permanente.
O processo de carregamento e descarregamento do material pode ser repetido
sucessivamente, para valores cada vez mais altos de tração. À tensão cujo
descarregamento acarrete uma deformação residual permanente, chama-se limite elástico.
Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de proporcionalidade
são aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes à borracha possuem uma
propriedade – a elasticidade – que pode continuar muito além do limite de
proporcionalidade.

3.1 – Lei de Hooke

Os diagramas tensão-deformação da maioria dos materiais apresentam uma região
inicial de comportamento elástico e linear.
A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em tração,
pode ser expressa por:

  E 

onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do
material.

Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é
diferente para cada material. O módulo de elasticidade é também conhecido como módulo
de Young e a equação anterior é chamada de Lei de Hooke.
P
Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é   e a
A

deformação específica é   .
L
Combinando estas expressões com a lei de Hooke, tem-se que o alongamento da
PL
barra é   .
EA
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é
diretamente proporcional à carga e ao seu comprimento e inversamente proporcional ao
módulo de elasticidade e à área da seção transversal.
O produto E  A é conhecido como rigidez axial da barra.
A flexibilidade da barra é definida como a deformação decorrente de uma carga
unitária. Da equação anterior, vemos que a flexibilidade é L .
EA
De modo análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produzir
uma deformação unitária. Então, a rijeza é igual a E  A , que é o inverso da flexibilidade.
L

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Vários casos que envolvem barras com carregamento axial podem ser solucionados
PL
aplicando-se a expressão:   .
EA

4 – Deformações de Barras Carregadas Axialmente

A figura mostra uma barra carregada axialmente. O procedimento para determinação
da deformação da barra consiste em obter a força axial em cada parte da barra (AB, BC e
CD) e, em seguida, calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cada
parte.

P
A
2P L1
B a
L2
P
C
2P L3 b

D

P
A soma algébrica dessas variações de comprimento dará a variação total de
comprimento da barra, tal que:

n
Pi  Li
 
E A
i 1 i i

O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes com
diferentes seções transversais.

4.1 – Princípio da Superposição

É geralmente usado para determinar a tensão ou o deslocamento em determinado
ponto do elemento quando este está sujeito a carregamento complexo.

De acordo com o princípio da superposição, pode-se determinar a tensão ou o
deslocamento resultante em um ponto subdividindo-se a carga em componentes e
determinando-se separadamente, para cada componente individual que atua sobre o corpo,
a tensão ou o deslocamento provocados pela carga sobre o elemento. Em seguida, somam-
se algebricamente as contribuições.

Para que seja válida a aplicação do princípio da superposição, as seguintes
condições devem ser atendidas:

1) A carga deve ser linearmente relacionada à tensão ou ao deslocamento a
determinar;
2) A carga não deve mudar significativamente a geometria ou a configuração original do
elemento.

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

P P1 P2

≠ +

d d1 d2

onde:

d  d1  d 2

P  d  P1  d 1  P2  d 2

5 – Coeficiente de Poisson. Variação volumétrica

Conforme foi dito anteriormente, quando uma barra é tracionada, o alongamento
axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura torna-se menor e seu
comprimento cresce.



P P

L a 
A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro da
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson; dada por:

deformação lateral
 (0    0,5)
deformação axial

Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções,
denominados isotrópicos, Poisson achou  = 0,25.
Para fins práticos, o valor numérico de  é o mesmo, independentemente do material
estar sob tração ou compressão.
Conhecendo-se o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade do material,
pode-se calcular a variação do volume da barra tracionada. Tal variação é mostrada na
figura seguinte.

1



P P

1

1 
__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

Inicialmente, o cubo que tinha dimensões unitárias, sofre alongamento na direção da
força P e encurtamento das arestas na direção transversal. Assim, a área da seção
transversal do cubo passa a ser 1     e o volume passa a ser 1     1     .
2 2

Desenvolvendo a expressão, chega-se a:

V '  1     1     2

V '  1     1  2      2   2 

V '  1  2      2   2    2    2   2   3 
Desprezando-se os termos de ordem superior, obtém-se:

V '  1    2    

A variação do volume é dada pela diferença entre os volumes final e inicial:

V ' V  V  1    2      1    1  2  

A variação do volume unitário é expressa por:

V
   1  2  
V

A equação anterior pode ser usada para calcular a variação do volume de uma barra
tracionada, desde que se conheçam a deformação  e o coeficiente de Poisson .
Como não é razoável admitir-se que um material diminua de volume quando
tracionado, pode-se concluir que  é sempre menor do que 0,5.

Conclusão: Quando   0 , não há contração lateral. Quando   0 ,5 , o material é
perfeitamente tracionável (não há variação volumétrica).

6 – Tensão Admissível ou Tensão-Limite

Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas
imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise
da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança.

y
Para os materiais dúcteis, tem-se .
 1
u
Para os materiais frágeis, tem-se .
 1

No concreto armado,  aço  1,15 e  conc  1,4 .

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

7 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas

Haverá casos em que as equações de equilíbrio não são suficientes para se chegar
às solicitações da estrutura. As equações a mais, necessárias para solucionar o problema,
são encontradas nas condições de deformação.
Um exemplo de estrutura estaticamente indeterminada é mostrado na figura
seguinte.

L1 L2 RA
R RA-F
R
F +
+
A B DEN
C

A barra AB tem as extremidades presas a suportes rígidos e está carregada com
uma força F em um ponto intermediário C.

As reações RA e RB aparecem nas extremidades da barra, porém suas intensidades
não podem ser calculadas apenas pela Estática. A única equação fornecida pelo equilíbrio
é:

R A  RB  F

Sabe-se, porém, que a variação de comprimento da barra é nula; logo:

ΔL  0  ΔL1  ΔL2  0

R A  L1 R A  F   L2
 0
EA EA

R A  L1  R A  L2  F  L2  0

R A  L1  L2   F  L2

F  L2 L
RA  F 2
L1  L2  L

L L
RB  F  F  2  F  1
L L

O diagrama real do esforço normal é:

L
F 2
L
+ DEN

-
L
F 1
L

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

8 – Tensões Térmicas

Como é sabido, as dimensões dos corpos sofrem alterações em função da variação
de temperatura.
Quando a estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da
temperatura não acarreta nenhuma tensão, já que a estrutura é capaz de se expandir ou se
contrair livremente.
Por outro lado, a variação de temperatura em estruturas estaticamente
indeterminadas produz tensões nos elementos, denominadas tensões térmicas.
A propriedade física que estabelece a relação de proporcionalidade entre a variação
da dimensão longitudinal de uma peça e a variação de temperatura correspondente é
denominada coeficiente de dilatação térmica .
Seja a barra da figura restringida pelos apoios A e B.
Com a variação de temperatura, a barra tende a se deformar. Porém, os apoios
impedem essa deformação e surgem reações nos apoios iguais a R.

R

A

T  0
L

B

R

O diagrama de esforço normal é:

R

DEN
-

Como a variação de comprimento da barra é nula, tem-se:

ΔLN  ΔLT  0

RL
-    L  ΔT  0
EA

R    ΔT  E  A

R
x     ΔT  E
A

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

IV – CISALHAMENTO PURO

Vimos que as forças axiais provocam tensões normais nos elementos estruturais.

No entanto, pode ocorrer que as forças atuantes no elemento estejam inclinadas com
relação à sua seção transversal. Nesse caso, essas forças podem ser decompostas em
componentes paralelas e perpendiculares ao plano de corte considerado. A componente
normal N à seção transversal do elemento irá provocar tensão normal  (sigma) e a
componente V pertencente ao plano da seção transversal irá provocar tensão de
cisalhamento  (tau).

Conclusão: as tensões normais resultam de esforços perpendiculares ao plano de corte,
enquanto as tensões de cisalhamento resultam de esforços paralelos a esse mesmo plano.

Consideremos duas chapas A e B ligadas pelo rebite CD.

C
F
A F
B
D

onde a área da seção transversal do rebite é denominada por A.

Sob a ação da força F, surgem esforços cortantes (tangenciais) à seção transversal
F
do rebite e, portanto, tensões de cisalhamento  cuja intensidade média é  med  .
A

A fim de visualizar as deformações produzidas por uma tensão de cisalhamento,
consideremos o cubo elementar (elemento infinitesimal) submetido à tensão de
cisalhamento  na sua face superior.







Como não há tensões normais agindo sobre o elemento, seu equilíbrio na direção
horizontal só é possível se, na face inferior, existir tensão de cisalhamento igual e em
sentido contrario à da face superior. Além disso, essas tensões de cisalhamento irão
produzir momento que deve ser equilibrado por outro momento originado pelas tensões que
atuam nas faces verticais. Portanto, essas tensões de cisalhamento devem ser também
iguais a  para que o elemento permaneça em equilíbrio.

Um elemento sujeito apenas às tensões de cisalhamento mostradas na figura
anterior é dito em cisalhamento puro.

Conclusão:

a) As tensões de cisalhamento que agem em um elemento ocorrem aos pares, iguais e
opostos;

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

b) As tensões de cisalhamento existem sempre em planos perpendiculares entre si.
Tais tensões são iguais em intensidade e têm sentidos opostos que se “aproximam”
ou se “afastam” da linha de interseção dos planos.

A deformação do elemento infinitesimal está representada na figura abaixo, que
mostra a face frontal do cubo submetido a cisalhamento puro. Como não há tensões
normais agindo no elemento, os comprimentos das arestas ab, bc, cd e ac não variam,
porém o quadrado de lado abcd transforma-se no paralelogramo representado em tracejado.

 b
a


 
c
 d
O ângulo no vértice c, que media  antes da deformação, fica reduzido a   .
2 2
Ao mesmo tempo, o ângulo no vértice a ficará aumentado para    . O ângulo  é a
2
medida da distorção do elemento provocada pelo cisalhamento, e é denominado
deformação de cisalhamento. Pela figura, nota-se que a deformação de cisalhamento  é
igual ao deslizamento horizontal da aresta superior em relação à aresta inferior, dividido pela
distância entre essas duas arestas (altura do elemento).

A determinação das tensões de cisalhamento  em função das deformações de
cisalhamento  pode ser feita a partir de um teste de cisalhamento puro, obtendo-se o
diagrama tensão-deformação de cisalhamento do material, cujo aspecto é muito semelhante
ao diagrama tensão-deformação obtido do ensaio de tração.

Assim, se o material tiver uma região elástica-linear, o diagrama tensão-deformação
de cisalhamento será uma reta e as tensões de cisalhamento serão proporcionais às
deformações de cisalhamento:

  G 

onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material, também conhecido como
módulo de elasticidade transversal.

O módulo de elasticidade transversal relaciona-se com o módulo de elasticidade
longitudinal do material de acordo com a seguinte expressão:

E
G
2  1   

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

V – TORÇÃO

1 – Torção em Barras de Seção Circular

Seja a barra de seção transversal circular submetida ao momento torsor T em suas
extremidades.

n
n
T  R
 
n´
T
x dx
L

Durante a torção, haverá rotação em torno do eixo longitudinal, de uma extremidade
da barra em relação à outra.
Considerando-se fixa a extremidade esquerda da barra, a da direita gira num ângulo
 (em radianos) em relação à primeira. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal na
superfície da barra, tal como nn, gira num pequeno ângulo para a posição nn´.

dx
a

c
 b
b´
d
d R
d´

Analisando um elemento retangular abcd de largura dx na superfície da barra, nota-
se que, sob a ação da torção, este elemento sofre distorção e os pontos b e d movem-se
para b´ e d´, respectivamente. Os comprimentos dos lados do elemento não variam durante
esta rotação, porém os ângulos dos vértices não continuam retos.
Tem-se, então, que o elemento encontra-se em estado de cisalhamento puro e que
bb´
a deformação de cisalhamento  é igual a:   .
ab
Chamando de d o ângulo de rotação de uma seção transversal em relação à outra,
chega-se a bb´  R  d .
R  d
Sabendo que a distância ab é igual a dx, então:   .
dx
Quando uma barra de seção circular (eixo) está sujeita a torção pura, a taxa de
variação d do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx da barra. Esta
constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento, designado por  .
Assim, tem-se:

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________


  R   R 
L

As tensões de cisalhamento  que agem nas faces laterais do elemento têm os
sentidos mostrados na figura anterior.
A intensidade da tensão de cisalhamento é obtida pela Lei de Hooke:


  G    G  R   G  R 
L
E
onde G é o módulo de elasticidade transversal do material, igual a .
2  1   

O estado de tensão no interior de um eixo pode ser determinado de modo análogo,
bastando substituir R por r, tal que a deformação de cisalhamento é:


  r   r 
L

e a tensão de cisalhamento é:


  G  r   G  r 
L

Essas equações mostram que a deformação e a tensão de cisalhamento variam
linearmente com o raio r, tendo seus valores máximos na superfície do eixo.

R

r d

O momento torsor de todas as forças em relação ao centróide da seção transversal
é:

T     r  dA   G  r 2   dA  G   r 2  dA  G   J
A A A
2
onde J é o momento de inércia polar da seção transversal, igual a r  dA .
A
Para uma seção circular, o momento de inércia polar com relação aos eixos que
passam pelo centróide é:

 d4
J
32

onde d é o diâmetro da seção transversal.

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

Tem-se, então:

 T
 
L GJ

A expressão anterior mostra que o ângulo de torção por unidade de comprimento é
diretamente proporcional ao momento torsor e inversamente proporcional ao produto G  J ,
conhecido como módulo de rigidez à torção do eixo.
Substituindo  na equação da tensão de cisalhamento, tem-se:

T r

J

Logo, a tensão máxima de cisalhamento é:

T R
 max 
J

2 – Torção em Barras de Seção Circular Vazada

Conforme visto anteriormente, a tensão de cisalhamento numa barra de seção
circular é máxima na superfície e nula no centro. Conseqüentemente, grande parte do
material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e a
economia de material forem fatores importantes, é preferível usar eixos vazados.


r2

r1
r1
r2

A análise da torção de barras de seção circular vazada assemelha-se à de barras de
seção circular cheia. Assim, a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção
transversal é:

T r
 , com r1  r  r2
J

onde: J 

  de4  di 4 
32

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

3 – Eixos Estaticamente Indeterminados

Quando as equações da estática são insuficientes para a determinação dos esforços
internos de torção, é preciso levar em conta as condições de deformação da estrutura.

Exemplo: Um eixo AB bi-engastado de seção transversal circular tem 250 mm de
comprimento e 20 mm de diâmetro. No trecho de 125 mm a partir da extremidade B, o eixo
tem seção vazada com diâmetro interno de 16 mm. Pede-se determinar o momento torsor
em cada apoio quando um torque de 120 Nm é aplicado no ponto médio de AB.

120 N.m
A
B
C
125 mm
125 mm

A barra é estaticamente indeterminada, porque existem dois momentos torsores
desconhecidos, T A e TB , e apenas uma equação de equilíbrio:

T A  TB  120

Devido aos engastes, o ângulo de torção  total é nulo e, para equilibrar o momento
torsor aplicado, os trechos AC e BC do eixo giram em sentidos opostos, tal que 1   2 .
Tem-se, então:

T A  L1 TB  L2

G  J1 G  J2

J
TB  2  T A 

32

 20 4  16 4  T  0 ,59  T A
A
J1   20 4
32

Logo:

TA  0 ,59  TA  120

TA  75 ,5 Nm
TB  44 ,5 Nm

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

VI – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS PLANAS

1 – Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

VII – TENSÕES EM VIGAS

1 – Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor

Seja a viga biapoiada sujeita às cargas P.
P P

a a
P L P

Os diagramas de esforços solicitantes são:

P

Q=0 DEC
-P

P.a
DMF

Na parte central, a viga está sujeita apenas ao momento fletor, caracterizando a
flexão pura.
A ação do momento fletor faz com que a viga se curve, conforme mostra a figura.

S0 S1

dx x z

y
O

d


M dx M
y
a b
S0 S1

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

Nota-se que, sob a ação do momento fletor, as seções S0 e S1 giraram, uma em
relação à outra, de tal forma que as fibras inferiores alongaram-se e as superiores
encurtaram, indicando a existência de uma região tracionada e outra comprimida.
Em algum ponto entre as regiões de tração e compressão, haverá uma superfície em
que as fibras não sofrem variação de comprimento, denominada superfície neutra. Sua
interseção com qualquer seção transversal da viga corresponde à linha neutra da seção.
O centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, após sua deformação, é
representado na figura pelo ponto O. Chamando de d ao ângulo entre os planos S0 e S1, e
 ao raio de curvatura, obtém-se:

1 d
k 
 dx

onde k é a curvatura.

O alongamento (variação do comprimento) da fibra ab, distante y da superfície
neutra, é assim determinado:

 Comprimento total da fibra ab:    y   d
 Comprimento inicial da fibra ab: dx
dx y
 Alongamento:    y   d  dx     y    dx   dx
 

A deformação correspondente é:

y
x  ky


E as tensões normais são:

x  k E y

Portanto, as tensões variam linearmente com a distância y da linha neutra. Na viga
em estudo, há tensões de tração abaixo da linha neutra e de compressão acima da linha
neutra, conforme mostra a figura abaixo.


  z
 y
dA

y
A força longitudinal em dA é:

dF   x  dA  k  E  y  dA

Como não há força normal resultante atuando na seção, a integral de  x  dA sobre
a área da seção é nula:

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

F    x  dA   k  E  y  dA  0
A A

onde k e E são constantes.

Logo:

 y  dA  0 → momento estático nulo.
A

Assim, a linha neutra passa pelo centróide da seção transversal.

O momento fletor da força em relação à linha neutra é:

M z    x  y  dA   k  E  y 2  dA  k  E  I z
A A

Daí:

Mz
k
E  Iz

Substituindo, obtém-se:

Mz
x  y
Iz

Analogamente:

My
x  z
Iy

Exercício: Qual Fmax , se  x  50 MPa ?
F
85 25 85

25 mm

2,0 m z
2F/3 1,0 m F/3 180 mm

+2F/3 y

DEC (N)

- F/3

DMF (N.mm)

+2/3.103 F

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

y
 yi  Ai 
12 ,5  4875  115  4500
 61,7 mm
 Ai 4875  4500

195  253 25  180 3
Iz   4875  49 ,2 2   4500  53,32  3,7  107 mm4
12 12

Mz
x   y  50
Iz

2  F  10 3
3  143 ,3  50
3 ,7  10 7

F  19.359 N

Fmax  19 ,4 kN

2 – Tensões Cisalhantes Devidas ao Esforço Cortante

Seja a viga com seção transversal retangular, de largura b e altura h , sujeita à
carga distribuída q , conforme mostra a figura abaixo.

b
q
h

V
z
C
n
n m 
m
x
y

Sob a ação do carregamento distribuído, surgem esforços cortantes e momentos
fletores nas seções transversais e, conseqüentemente, tensões normais e tensões
cisalhantes.
Cortando-se um elemento mn por meio de duas seções transversais adjacentes e de
dois planos paralelos à superfície neutra, nota-se que, devido à presença do esforço
cortante, haverá distribuição uniforme das tensões de cisalhamento verticais ao longo da
largura mn do elemento.
Uma vez que o elemento encontra-se em equilíbrio, conclui-se que as tensões de
cisalhamento verticais são acompanhadas por tensões de cisalhamento horizontais de
mesma intensidade (na face perpendicular).

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

A existência de tensões de cisalhamento horizontais em vigas pode ser demonstrada
experimentalmente.
A figura mostra uma pilha de tábuas sobrepostas submetida à carga concentrada P
no meio do vão. Verifica-se que, se não houver atrito entre as tábuas, a flexão de uma será
diferente da outra: cada uma sofrerá compressão nas fibras longitudinais superiores e tração
nas inferiores.
Caso as tábuas fossem coladas, umas às outras, impedindo este escorregamento,
surgiriam tensões tangenciais na cola, indicando que, em vigas com seção transversal
inteira, submetida ao mesmo carregamento P, ocorrerão tensões de cisalhamento  ao
longo dos planos longitudinais com intensidade capaz de impedir o deslizamento ocorrido no
caso anterior.

P

A determinação da tensão de cisalhamento horizontal pode ser calculada pela
condição de equilíbrio de um elemento pnn1p1, cortado da viga por duas seções transversais
adjacentes, mn e m1n1, à distância dx uma da outra.
b
m m1

M M+d h/2
C z
p p1 y y1
h/2
dA
n n1 y
dx
A face da base deste elemento é a superfície inferior da viga e está livre de tensões.
Sua face superior é paralela à superfície neutra e afasta-se dela a uma distância y1. Nesta
face, atua a tensão de cisalhamento horizontal  que existe neste nível da viga.
Sobre as faces mn e m1n1 atuam as tensões normais  x produzidas pelos
momentos fletores e as tensões de cisalhamento verticais (que não interferem na equação
de equilíbrio horizontal do elemento na direção horizontal).
Se os momentos fletores nas seções mn e m1n1 forem iguais (flexão pura), as
tensões normais  x nos lados np e n1p1 também serão iguais, o que colocará o elemento
em equilíbrio e anulará a tensão de cisalhamento  .
No caso de momento fletor variável, a força normal que atua na área elementar dA
da face esquerda do elemento será:

Mz  y
dF   x  dA   dA
Iz

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

A soma de todas essas forças distribuídas sobre a face pn será:

h2 h 2Mz
Re    x  dA    x  b  dy  b    y  dy
y1 y1 Iz
A

De maneira análoga, a soma das forças normais que atuam na face direita, p1n1, é:

h 2 M z dM z 
Rd  b      dx   y  dy
y1  I I z  dx 
 z 

A diferença entre as forças à direita e à esquerda fornece:

h 2  dM z  dM z h2
R d  Re  b      dx   y  dy 
  dx    y  dA
y1 y1
 I z  dx  I z  dx

Sabendo-se que o elemento encontra-se em equilíbrio, haverá uma força de
cisalhamento horizontal no plano pp1, de mesma intensidade e com sentido contrário a
R d  Re , que somada à primeira, anula a resultante de forças na direção x.

A força de cisalhamento horizontal é dada por:

  b  dx

Igualando a força de cisalhamento horizontal à diferença entre as forças á direita e à
esquerda do elemento, chega-se a:

dM z h2
  b  dx   dx    y  dA
y1
I z  dx

Q h2
 b     y  dA
I z y1

Q  mz

Iz b

que é a expressão da tensão de cisalhamento.

Na expressão anterior, tem-se que:

m z é o momento estático da área da seção transversal abaixo (ou acima) do plano
em que se deseja determinar  ;
b é a largura da seção transversal na altura do plano em que se deseja determinar
;
I z é o momento de inércia em relação ao eixo z que passa pelo centróide da seção;
Q é o esforço cortante na seção transversal em estudo.

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

Exercício: Calcular as tensões cisalhantes no ponto P .

b

h/2
z
P y
h/2

y
Aplicando a expressão da tensão cisalhante, tem-se:

Q  mz

2  4

Q h  y y  h  y 
 2

 
Iz b 3
bh
12

Desenvolvendo, chega-se a:



3  Q  h2  4  y2 
2  b  h3

que é a expressão geral da tensão de cisalhamento para seções transversais retangulares.
Quando:

h
y   0
2

3Q Q
y  0    1,5 
2bh A

h
y   0
2

A variação das tensões cisalhantes é parabólica:

b

h max

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

3 – Tensões Normais e Cisalhantes em Seções I e T

A otimização da escolha do formato da seção das vigas, objetivando minimizar o
valor das tensões normais decorrentes do momento fletor, leva à utilização de seções “I” e
“T”, com mesas (abas) largas e almas (nervuras) estreitas.
Como conseqüência, surgem tensões tangenciais elevadas na alma, na altura da
linha neutra, devido ao fato da largura b da alma aparecer no denominador da expressão da
tensão cisalhante.
Assim, nos pontos da viga onde a tensão normal é máxima (arestas superior e
inferior), a tensão tangencial é nula, enquanto na linha neutra, onde a tensão normal é nula,
a tensão tangencial atinge seu valor máximo.
A descontinuidade do valor da tensão de cisalhamento na transição entre a mesa e a
alma decorre da descontinuidade da largura b da seção nesses locais.

tm
h
ta

b  

__________________________________________________________________________________________

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