Apostila resistência dos materiais

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Apostila resistência dos materiais

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CENTRO DE TECNOLOGIA ESCOLA POLITÉCNICA Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Flávia Moll de Souza Judice 2010
  2. 2. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 1_________________________________________________________________________________________________ SUMÁRIOI – Introdução .................................................................................................................... 2II – Isostática..................................................................................................................... 4III – Tração e Compressão ............................................................................................... 17IV – Cisalhamento Puro .................................................................................................... 26V – Torção ........................................................................................................................ 28VI – Propriedades Geométricas das Figuras Planas ........................................................ 32VII – Tensões em Vigas.................................................................................................... 35VIII – Deformação em Vigas ............................................................................................. 43IX – Vigas Estaticamente Indeterminadas ........................................................................ 56X – Flambagem ................................................................................................................ 60Bibliografia ........................................................................................................................ 67__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  3. 3. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 2_________________________________________________________________________________________________ I – INTRODUÇÃO A Resistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dos Sólidos ouMecânica dos Corpos Deformáveis, tem por objetivo prover métodos simples para a análisedos elementos mais comuns em estruturas. O desenvolvimento histórico da Resistência dos Materiais é uma combinação deteoria e experiência. Homens famosos, como Leonardo da Vinci (1452-1519) e GalileuGalilei (1564-1642) fizeram experiências para determinar a resistência de fios, barras evigas, sem que tivessem desenvolvido teorias adequadas (pelos padrões de hoje) paraexplicar os resultados atingidos. Outros, como Leonhard Euler (1707-1783), desenvolveramteorias matemáticas muito antes de qualquer experiência que evidenciasse a importância doseu achado. O curso aqui apresentado inicia com a discussão de alguns conceitos fundamentais,tais como tensões e deformações, para em seguida, investigar o comportamento deelementos estruturais simples sujeitos à tração, à compressão e ao cisalhamento.Sistema Internacional de Unidades (SI): Quantidade Símbolo Unidade Dimensional Básica Comprimento L metro (m) Tempo T segundo (s) Massa M quilograma (kg) Força F Newton (N) A força é derivada das unidades básicas pela segunda lei de Newton. Por definição,um Newton é a força que fornece a um quilograma massa a aceleração de um metro porsegundo ao quadrado. A equivalência entre unidades é 1 N  1 kg  1 m/s 2 .Outras unidades derivadas do SI: Quantidade Unidade Básica Área metro quadrado (m2) Tensão Newton por metro quadrado (N/m2) ou Pascal (Pa)Prefixos de Unidades: Prefixo Símbolo Fator Giga G 109 Mega M 106 Quilo k 103 Deci d 10-1 Centi c 10-2 Mili m 10-3 Micro  10-6 Nano n 10-9__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  4. 4. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 3_________________________________________________________________________________________________ Na prática, muitas vezes prefere-se usar o quilonewton (kN), o quilopascal (kPa), omegapascal (MPa) ou o gigapascal (GPa). 1 N  10 1 kgf 10 kN  1 tf 1 MPa  1 N/mm 2  10 3 kN / m 2  1 kgf / cm 2__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  5. 5. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 4_________________________________________________________________________________________________ II – ISOSTÁTICA1 – Grandezas Fundamentais1.1 – Força As forças são grandezas vetoriais caracterizadas por direção, sentido e intensidade. F1 F3 Fn F2 .....1.2 – Momento O momento representa a tendência de giro (rotação) em torno de um pontoprovocada por uma força. O M i  Fi  di di Fi .2 – Condições de Equilíbrio Um corpo qualquer submetido a um sistema de forças está em equilíbrio estáticocaso não haja qualquer tendência à translação ou à rotação. F1 F2 M1 M2 F3 As equações universais da Estática que regem o equilíbrio de um sistema de forçasno espaço são:  Fx  0  M x  0      Fy  0  M y  0    Fz  0   M z  0 __________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  6. 6. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 5_________________________________________________________________________________________________3 – Graus de Liberdade Uma estrutura espacial possui seis graus de liberdade: três translações e trêsrotações segundo três eixos ortogonais. A fim de evitar a tendência de movimento da estrutura, estes graus de liberdadeprecisam ser restringidos. Esta restrição é dada pelos apoios (vínculos), que são dispositivos mecânicos que,por meio de esforços reativos, impedem certos deslocamentos da estrutura. Estes esforçosreativos (reações), juntamente com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam umsistema em equilíbrio estático.3.1 – Tipos de Apoio Classificam-se em três categorias: a) Apoio móvel ou do 1º gênero – é capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do corpo numa direção pré-determinada; APOIO MÓVEL SÍMBOLO Pino deslizante rolete R A representação esquemática indica a reação de apoio R na direção do únicomovimento impedido (deslocamento na vertical). b) Apoio fixo ou do 2º gênero ou rótula – é capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo em todas as direções, permanecendo livre apenas a rotação; APOIO FIXO H SÍMBOLO rótula V c) Engaste ou apoio do 3º gênero – é capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  7. 7. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 6_________________________________________________________________________________________________ E N G SÍMBOLO A H S T E M V3.2 – Estaticidade e Estabilidade a) Estruturas isostáticas A B C MC HB HC VA VB VC Quando o número de movimentos impedidos é igual ao estritamente necessário paraimpedir o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é isostática,ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. N o reações  N o equações de equilíbrio b) Estruturas hipostáticas A B C HC VA VB VC Quando o número de movimentos impedidos é menor que o necessário para impediro movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hipostática, ocorrendouma situação indesejável de equilíbrio instável. c) Estruturas hiperestáticas C MC A B D HA HB HC HD VA VB VC VD Quando o número de movimentos impedidos é maior que o necessário para impediro movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hiperestática, ocorrendouma situação indesejável de equilíbrio estável.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  8. 8. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 7_________________________________________________________________________________________________ Nesse caso, as equações universais da Estática não são suficientes para adeterminação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais decompatibilidade de deformações.4 – Classificação das Estruturas a) Vigas – são elementos estruturais geralmente compostos por barras de eixos retilíneos que estão contidas no plano em que é aplicado o carregamento; viga apoiada viga em balanço b) Pórticos (ou Quadros) – são elementos compostos por barras de eixos retilíneos dispostas em mais de uma direção submetidos a cargas contidas no seu plano; pórtico plano c) Treliças – são sistemas reticulados cujas barras têm todas as extremidades rotuladas e cujas cargas são aplicadas em seus nós. d) Grelhas – são estruturas constituídas por barras retas contidas em um único plano nas quais o carregamento age em direção perpendicular a este plano.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  9. 9. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 8_________________________________________________________________________________________________5 – Tipos de Carregamento a) Cargas concentradas – são uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da estrutura). São representadas por cargas aplicadas pontualmente; F b) Cargas distribuídas – são cargas distribuídas continuamente. Os tipos mais usuais são as cargas uniformemente distribuídas e as cargas triangulares (casos de empuxos de terra ou água). q q c) Cargas-momento – são cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um ponto qualquer da estrutura. M6 – Determinação da Resultante de um Carregamento Distribuído Uma carga distribuída pode ser tratada como uma soma infinita de cargasconcentradas infinitesimais, q  ds , cuja resultante é: B R   q  ds (1) A z s R q.ds s  O A B ds A Eq. (1) indica que a resultante do carregamento distribuído é igual à área limitada entre a curva que define a lei de variação do carregamento e o eixo da estrutura.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  10. 10. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 9_________________________________________________________________________________________________ Para obtermos a posição desta resultante, aplicamos o Teorema de Varignon  omomento de um sistema de forças em equilíbrio é igual ao momento da resultante dasforças. Chamando s a distância da resultante a um ponto genérico O, temos: B  Momento da resultante: R  s  s  q  ds  A B  Soma dos momentos das componentes:  q  ds  s A Igualando: B  q  s  ds s A B  q  ds Aque é a razão entre o momento estático da área  em relação ao eixo z e o valor  dessaárea. Isto indica que s é a distância do centróide da área  ao eixo z. Finalmente, a resultante de um carregamento distribuído é igual à áreacompreendida entre a linha que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qualestá aplicado, sendo seu ponto de aplicação o centróide da área referida.7 – Esforços Simples Consideremos o corpo da figura submetido ao conjunto de forças em equilíbrioindicadas. Seccionemos o corpo por um plano P que o intercepta segundo uma seção S,dividindo-o nas duas partes E e D. P m D R E R S S m__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  11. 11. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 10_________________________________________________________________________________________________ Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, bastaque apliquemos, na seção S da parte E, um sistema estático equivalente ao das forças queficaram na parte da direita e, analogamente, na seção S da parte D, um sistema estáticoequivalente ao das forças situadas na parte da esquerda. Esses esquemas estáticosequivalentes são obtidos reduzindo as forças à esquerda e à direita da seção S ao centróidedesta seção. Resumindo: a resultante R que atua na parte da esquerda é obtida pelas forças da direita e vice-versa. O momento resultante m que atua na parte da esquerda foi obtido pelasforças da direita e vice-versa. Uma seção S de um corpo em equilíbrio está, em equilíbrio, submetida a um par de    forças R e (- R ) e a um par de momentos m e (- m ) aplicados no seu centróide eresultantes da redução, a este centróide, das forças atuantes, respectivamente, à esquerdae à direita da seção S. m R S C C R m   Decompondo os vetores R e m em duas componentes, uma perpendicular à seção S e outra situada no próprio plano da seção S, obtemos as forças N (perpendicular a S) e  Q (pertencente a S) e os momentos T (perpendicular a S) e M (pertencente a S), aosquais chamamos esforços simples atuantes na seção S. M m C N x x C R T QOBS: É indiferente calcular os esforços simples atuantes numa seção entrando com asforças da parte à esquerda ou da parte à direita da seção na prática. Usaremos as forças dolado que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo.  a) Esforço normal N – tende a promover variação da distância que separa as seções, permanecendo as mesmas paralelas uma à outra. O esforço normal será positivo quando de tração, ou seja, quando tender a afastarduas seções infinitamente próximas, e negativo quando de compressão. ds N N N N __________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  12. 12. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 11_________________________________________________________________________________________________  b) Esforço cortante Q – tende a promover o deslizamento relativo de uma seção em relação à outra (tendência de corte).  Dizemos que o esforço cortante Q é positivo quando, calculado pelas forçassituadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo do eixo y e quando calculadopelas forças situadas do lado direito da seção, tiver o sentido oposto ao sentido positivo doeixo y. ds Q Q Q Q   c) Momento torsor T – tende a promover uma rotação relativa entre duas seções infinitamente próximas em torno de um eixo que lhes é perpendicular, passando pelo seu centro de gravidade (tendência de torcer a peça). O momento torsor é positivo quando o vetor de seta dupla que o representa estivercomo que tracionando a seção. ds T T   d) Momento fletor M – tende a provocar uma rotação da seção em torno de um eixo situado em seu próprio plano.  Como um momento pode ser substituído por um binário, o efeito de M pode serassimilado ao binário da figura, que provoca uma tendência de alongamento em uma daspartes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte, deixando a peça fletida. ds M M Para o momento fletor, desejamos conhecer que fibras estão tracionadas e quefibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de concreto armado, por exemplo,sabermos de que lado devemos colocar as barras de aço, que são o elemento resistente àtração).__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  13. 13. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 12_________________________________________________________________________________________________ A figura mostra a convenção de sinais adotada. Compressão Tração 8 – As Equações Fundamentais da Estática. Diagramas de Esforços As equações fundamentais da Estática, deduzidas para uma viga com carga verticaluniformemente distribuída, são: dM s  Qs (2) ds dQs  q( s ) (3) ds Essas expressões permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções daviga em função do carregamento q(x) atuante. A representação gráfica dos esforços nas seções ao longo de todo o elemento é feitaa partir dos diagrama de esforços (linhas de estado). Com base na Eq. (2), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama demomentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante. A partir da Eq. (3), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama deesforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção como sinal trocado. 8.1 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Concentrada P A B HB a b VA l VB  Fx  0  H B  0  Fy  0  V A  VB  P Pa P b  M A  0  VB  l  P  a  0  VB  l  VA  l__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  14. 14. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 13_________________________________________________________________________________________________ DMF  Pa b P b l l  DEC Pa l Pelas Eq. (2) e (3), sabemos que, num trecho descarregado ( q  0 ), o DEC será  dQ   dM uma reta horizontal   q  0  e o DMF será uma reta   Q  cons tan te  .  ds   ds OBS:  dM  a) O DMF possui um ponto anguloso em S, pois temos    Qs esq e  ds  s esq  dM     Qs dir e, no caso, Qs esq  Qs dir ;  ds  s dir b) Na seção S, não se define o esforço cortante; ele é definido à esquerda e à direita da seção, sofrendo nela uma descontinuidade igual a P.Conclusão: Sob uma carga concentrada, o DMF apresenta um ponto anguloso e o DECapresenta uma descontinuidade igual ao valor dessa carga. 8.2 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Uniformemente Distribuída qx q A B HB x VA l VB  Fx  0  H B  0  Fy  0  V A  VB  q  l l q l q l  M A  0  VB  l  q  l  2  0  VB  2  V A  2__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  15. 15. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 14_________________________________________________________________________________________________ Numa seção genérica S, temos: q l x l2  x x2  Ms  xqx  q    2 2 2  l l2    ql Qs  qx 2 DMF  M max  q  l 2 8 q l 2  DEC q l 2 O DEC será uma linha reta que fica determinada pelos seus valores extremoscorrespondentes a x  0 e x  l , que são: q l QA  2 q l QB   2 O DMF será uma parábola de 2º grau, passando por zero em A e B e por um máximo dM q l2  1 1  q l 2em x  l (seção onde Q   0 ), de valor M max      . 2 dx 2 2 4 8Conclusão: Sob carga uniformemente distribuída, o DMF é parabólico do 2º grau e o DEC éretilíneo. * Construção Geométrica do DMF q l2 a) Sendo MM 1  , marcamos M 1 M 2  MM 1 8 b) Dividimos os segmentos AM 2 e BM 2 em partes iguais (por exemplo: oito), obtendo os pontos I a VII e I´ a VII´ que, ligados alternadamente, nos dão tangentes externas à parábola que é, então, facilmente obtida.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  16. 16. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 15_________________________________________________________________________________________________ A M B I I´ II II´ q l2 III III´ 8 M1 IV IV´ V V´ q l2 VI VI´ 8 VII VII´ M2 8.3 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga-Momento M A B HB a b VA l VB  Fx  0  H B  0  Fy  0  V A  VB  0 M M  M A  0  VB  l  M  0  VB  l  V A   l M a l DMF  M b l DEC M lConclusão: O DMF, na seção de aplicação da carga-momento, sofre uma descontinuidadeigual ao momento aplicado. Roteiro para traçado dos diagramas de esforços a) Cálculo das reações de apoio a partir das equações da Estática; b) Determinação dos esforços seccionais em todos os pontos de aplicação ou transição de carga.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  17. 17. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 16_________________________________________________________________________________________________Normas: a) Os valores dos esforços seccionais serão marcados em escala, em retas perpendiculares ao eixo da peça, nos pontos onde estão atuando; b) Valores positivos de esforço normal e esforço cortante serão marcados para cima nas barras horizontais e para fora nas verticais (ou inclinadas);  N  Q c) Valores positivos de momento fletor serão marcados para baixo nas barras horizontais ou para dentro nas verticais (ou inclinadas); M   d) Sob a ação de uma carga concentrada, o diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso e o diagrama de esforço cortante uma descontinuidade de intensidade igual ao da carga atuante; DMF DEC e) Sob a ação de uma carga-momento, o diagrama de momento fletor apresenta uma descontinuidade de intensidade igual ao da carga-momento; DMF f) Num trecho descarregado, o diagrama de esforço cortante apresenta uma linha paralela em relação ao eixo da peça; g) Sob a ação de uma carga uniformemente distribuída, o diagrama de esforço cortante apresenta uma linha inclinada em relação ao eixo da peça. Já o diagrama de momento fletor apresenta uma curva de grau duas vezes superior ao da ordenada de carga no trecho. DMF DEC__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  18. 18. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 17_________________________________________________________________________________________________ III – TRAÇÃO E COMPRESSÃO1 – Tensões e deformações Seja a barra com seção transversal constante e comprimento L, submetida às forçasaxiais P que produzem tração, conforme mostra a figura. P L  P O diagrama de esforços normais para a barra carregada da figura acima é constantee igual a P. A tensão, uniformemente distribuída na seção transversal da barra, devida à ação daforça P, é dada por: P σ Aonde σ (sigma) é a tensão normal na seção transversal da barra. O alongamento total da barra é designado pela letra δ (delta). O alongamentoespecífico ou alongamento relativo ou deformação (alongamento por unidade decomprimento) é dado por:   Lsendo  (epsilon) a deformação e L o comprimento inicial da barra.2 – Teste de tração. Diagrama Tensão-Deformação A relação entre as tensões e as deformações, para um determinado material, éencontrada por meio de um teste de tração. Um corpo-de-prova, em geral uma barra de seção circular, é colocado na máquinade testar e sujeito à tração. A força atuante e os alongamentos resultantes são medidos à proporção que a cargaaumenta. As tensões são obtidas dividindo-se as forças pela área da seção transversal dabarra e a deformação específica dividindo-se o alongamento pelo comprimento ao longo doqual ocorre a deformação. A figura seguinte mostra, esquematicamente, o ensaio na máquina universal detração e compressão.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  19. 19. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 18_________________________________________________________________________________________________ 3 4 5 7 x 2 1 6 x 8 1 – cilindro e êmbolo 2 – bomba hidráulica (medidor de vazão) 3 – mesa (chassi) móvel 4 – corpo de prova para tração 5 – corpo de prova para compressão 6 – mesa (chassi) fixo 7 – manômetro (medidor de pressão) 8 – fluido hidráulico A forma típica do diagrama tensão-deformação do aço é mostrada na figura seguinte.Nesse diagrama, as deformações axiais encontram-se representadas no eixo horizontal e astensões correspondentes no eixo das ordenadas.  (MPa) 350 E D * 300 B C A E 250 200 150 100 50 F O 1 2 3 4 5 6 x No trecho de 0 a A, as tensões são diretamente proporcionais às deformações e odiagrama é linear. Além desse ponto, a proporcionalidade já não existe mais e o ponto A échamado de limite de proporcionalidade.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  20. 20. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 19_________________________________________________________________________________________________ Com o aumento da carga, as deformações crescem mais rapidamente do que astensões, passando a aparecer uma deformação considerável sem que haja aumentoapreciável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como escoamento do material ea tensão no ponto B é denominada tensão de escoamento. Na região BC, diz-se que o material tornou-se plástico e a barra pode deformar-seplasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite deproporcionalidade. No ponto C, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga,acarretando acréscimo de tensão para um aumento de deformação, atingindo o valormáximo ou tensão máxima no ponto D. Além desse ponto, maior deformação éacompanhada por uma redução da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama (tensão de ruptura). Durante o alongamento da barra, há contração lateral, que resulta na diminuição daárea da seção transversal. Isto não tem nenhum efeito no diagrama tensão-deformação atéo ponto C. Porém, deste ponto em diante, a redução da área faz com que a tensãoverdadeira seja sempre crescente (como indicado na linha pontilhada até E´). É a favor da segurança adotar-se como valor das tensões limites aquelas calculadascomo se a área se mantivesse com seu tamanho original, obtendo-se valores para a tensãoligeiramente menores do que os reais. Alguns materiais não apresentam claramente no diagrama tensão-deformação todosos pontos anteriormente citados. Para que se possa determinar o ponto de escoamentodesses materiais, convencionou-se adotar uma deformação residual de 0,2%. A partir dessadeformação, traça-se uma reta paralela ao trecho linear AO, até atingir a curva tensão-deformação. A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grandedeformação plástica, é uma das características do aço.     0 0 a) diagrama  x  típico de b) diagrama  x  típico de material dúctil material frágil Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antesda ruptura, sendo classificados como dúcteis. Por outro lado, materiais frágeis ouquebradiços quebram com valores relativamente baixos das deformações. As cerâmicas, o ferro fundido, o concreto, certas ligas metálicas e o vidro sãoexemplos desses materiais. É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sobcompressão, estabelecendo-se tensões características, tais como limite deproporcionalidade, escoamento e tensão máxima. Para o aço, verificou-se que as tensões do limite de proporcionalidade e doescoamento são, aproximadamente, as mesmas na tração e na compressão. Para muitos materiais quebradiços, as tensões características em compressão sãomuito maiores que as de tração.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  21. 21. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 20_________________________________________________________________________________________________3 – Elasticidade Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento dos materiais, quandocarregados por tração (ou compressão). Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, a carga égradualmente reduzida até zero, a deformação sofrida durante o carregamentodesaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende aretornar à forma original, é denominada elasticidade. Quando o material volta completamente à forma original, diz-se que é perfeitamenteelástico. Se o retorno não for total, diz-se que é parcialmente elástico. Nesse caso, adeformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformaçãopermanente. O processo de carregamento e descarregamento do material pode ser repetidosucessivamente, para valores cada vez mais altos de tração. À tensão cujodescarregamento acarrete uma deformação residual permanente, chama-se limite elástico. Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de proporcionalidadesão aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes à borracha possuem umapropriedade – a elasticidade – que pode continuar muito além do limite deproporcionalidade. 3.1 – Lei de Hooke Os diagramas tensão-deformação da maioria dos materiais apresentam uma regiãoinicial de comportamento elástico e linear. A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em tração,pode ser expressa por:   E onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade domaterial. Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e édiferente para cada material. O módulo de elasticidade é também conhecido como módulode Young e a equação anterior é chamada de Lei de Hooke. P Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é   e a A deformação específica é   . L Combinando estas expressões com a lei de Hooke, tem-se que o alongamento da PLbarra é   . EA Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica édiretamente proporcional à carga e ao seu comprimento e inversamente proporcional aomódulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto E  A é conhecido como rigidez axial da barra. A flexibilidade da barra é definida como a deformação decorrente de uma cargaunitária. Da equação anterior, vemos que a flexibilidade é L . EA De modo análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produziruma deformação unitária. Então, a rijeza é igual a E  A , que é o inverso da flexibilidade. L__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  22. 22. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 21_________________________________________________________________________________________________ Vários casos que envolvem barras com carregamento axial podem ser solucionados PLaplicando-se a expressão:   . EA4 – Deformações de Barras Carregadas Axialmente A figura mostra uma barra carregada axialmente. O procedimento para determinaçãoda deformação da barra consiste em obter a força axial em cada parte da barra (AB, BC eCD) e, em seguida, calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cadaparte. P A 2P L1 B a L2 P C 2P L3 b D P A soma algébrica dessas variações de comprimento dará a variação total decomprimento da barra, tal que: n Pi  Li   E A i 1 i i O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes comdiferentes seções transversais. 4.1 – Princípio da Superposição É geralmente usado para determinar a tensão ou o deslocamento em determinadoponto do elemento quando este está sujeito a carregamento complexo. De acordo com o princípio da superposição, pode-se determinar a tensão ou odeslocamento resultante em um ponto subdividindo-se a carga em componentes edeterminando-se separadamente, para cada componente individual que atua sobre o corpo,a tensão ou o deslocamento provocados pela carga sobre o elemento. Em seguida, somam-se algebricamente as contribuições. Para que seja válida a aplicação do princípio da superposição, as seguintescondições devem ser atendidas: 1) A carga deve ser linearmente relacionada à tensão ou ao deslocamento a determinar; 2) A carga não deve mudar significativamente a geometria ou a configuração original do elemento.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  23. 23. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 22_________________________________________________________________________________________________ P P1 P2 ≠ + d d1 d2onde: d  d1  d 2 P  d  P1  d 1  P2  d 25 – Coeficiente de Poisson. Variação volumétrica Conforme foi dito anteriormente, quando uma barra é tracionada, o alongamentoaxial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura torna-se menor e seucomprimento cresce.  P P L a  A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro daregião elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson; dada por: deformação lateral  (0    0,5) deformação axial Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções,denominados isotrópicos, Poisson achou  = 0,25. Para fins práticos, o valor numérico de  é o mesmo, independentemente do materialestar sob tração ou compressão. Conhecendo-se o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade do material,pode-se calcular a variação do volume da barra tracionada. Tal variação é mostrada nafigura seguinte. 1  P P  1 1 __________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  24. 24. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 23_________________________________________________________________________________________________ Inicialmente, o cubo que tinha dimensões unitárias, sofre alongamento na direção daforça P e encurtamento das arestas na direção transversal. Assim, a área da seçãotransversal do cubo passa a ser 1     e o volume passa a ser 1     1     . 2 2 Desenvolvendo a expressão, chega-se a: V  1     1     2  V  1     1  2      2   2   V  1  2      2   2    2    2   2   3  Desprezando-se os termos de ordem superior, obtém-se: V  1    2     A variação do volume é dada pela diferença entre os volumes final e inicial: V V  V  1    2      1    1  2   A variação do volume unitário é expressa por: V    1  2   V A equação anterior pode ser usada para calcular a variação do volume de uma barratracionada, desde que se conheçam a deformação  e o coeficiente de Poisson . Como não é razoável admitir-se que um material diminua de volume quandotracionado, pode-se concluir que  é sempre menor do que 0,5.Conclusão: Quando   0 , não há contração lateral. Quando   0 ,5 , o material éperfeitamente tracionável (não há variação volumétrica).6 – Tensão Admissível ou Tensão-Limite Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certasimprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análiseda estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança. y Para os materiais dúcteis, tem-se .  1 u Para os materiais frágeis, tem-se .  1 No concreto armado,  aço  1,15 e  conc  1,4 .__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  25. 25. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 24_________________________________________________________________________________________________7 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas Haverá casos em que as equações de equilíbrio não são suficientes para se chegaràs solicitações da estrutura. As equações a mais, necessárias para solucionar o problema,são encontradas nas condições de deformação. Um exemplo de estrutura estaticamente indeterminada é mostrado na figuraseguinte. L1 L2 RA R RA-F R F + + A B DEN C A barra AB tem as extremidades presas a suportes rígidos e está carregada comuma força F em um ponto intermediário C. As reações RA e RB aparecem nas extremidades da barra, porém suas intensidadesnão podem ser calculadas apenas pela Estática. A única equação fornecida pelo equilíbrioé: R A  RB  F Sabe-se, porém, que a variação de comprimento da barra é nula; logo: ΔL  0  ΔL1  ΔL2  0 R A  L1 R A  F   L2  0 EA EA R A  L1  R A  L2  F  L2  0 R A  L1  L2   F  L2 F  L2 L RA  F 2 L1  L2  L L L RB  F  F  2  F  1 L L O diagrama real do esforço normal é: L F 2 L + DEN - L F 1 L__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  26. 26. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 25_________________________________________________________________________________________________8 – Tensões Térmicas Como é sabido, as dimensões dos corpos sofrem alterações em função da variaçãode temperatura. Quando a estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme datemperatura não acarreta nenhuma tensão, já que a estrutura é capaz de se expandir ou secontrair livremente. Por outro lado, a variação de temperatura em estruturas estaticamenteindeterminadas produz tensões nos elementos, denominadas tensões térmicas. A propriedade física que estabelece a relação de proporcionalidade entre a variaçãoda dimensão longitudinal de uma peça e a variação de temperatura correspondente édenominada coeficiente de dilatação térmica . Seja a barra da figura restringida pelos apoios A e B. Com a variação de temperatura, a barra tende a se deformar. Porém, os apoiosimpedem essa deformação e surgem reações nos apoios iguais a R. R A T  0 L B R O diagrama de esforço normal é: R DEN - Como a variação de comprimento da barra é nula, tem-se: ΔLN  ΔLT  0 RL -    L  ΔT  0 EA R    ΔT  E  A R x     ΔT  E A__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  27. 27. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 26_________________________________________________________________________________________________ IV – CISALHAMENTO PURO Vimos que as forças axiais provocam tensões normais nos elementos estruturais. No entanto, pode ocorrer que as forças atuantes no elemento estejam inclinadas comrelação à sua seção transversal. Nesse caso, essas forças podem ser decompostas emcomponentes paralelas e perpendiculares ao plano de corte considerado. A componentenormal N à seção transversal do elemento irá provocar tensão normal  (sigma) e acomponente V pertencente ao plano da seção transversal irá provocar tensão decisalhamento  (tau).Conclusão: as tensões normais resultam de esforços perpendiculares ao plano de corte,enquanto as tensões de cisalhamento resultam de esforços paralelos a esse mesmo plano. Consideremos duas chapas A e B ligadas pelo rebite CD. C F A F B Donde a área da seção transversal do rebite é denominada por A. Sob a ação da força F, surgem esforços cortantes (tangenciais) à seção transversal Fdo rebite e, portanto, tensões de cisalhamento  cuja intensidade média é  med  . A A fim de visualizar as deformações produzidas por uma tensão de cisalhamento,consideremos o cubo elementar (elemento infinitesimal) submetido à tensão decisalhamento  na sua face superior.     Como não há tensões normais agindo sobre o elemento, seu equilíbrio na direçãohorizontal só é possível se, na face inferior, existir tensão de cisalhamento igual e emsentido contrario à da face superior. Além disso, essas tensões de cisalhamento irãoproduzir momento que deve ser equilibrado por outro momento originado pelas tensões queatuam nas faces verticais. Portanto, essas tensões de cisalhamento devem ser tambémiguais a  para que o elemento permaneça em equilíbrio. Um elemento sujeito apenas às tensões de cisalhamento mostradas na figuraanterior é dito em cisalhamento puro.Conclusão: a) As tensões de cisalhamento que agem em um elemento ocorrem aos pares, iguais e opostos;__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  28. 28. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 27_________________________________________________________________________________________________ b) As tensões de cisalhamento existem sempre em planos perpendiculares entre si. Tais tensões são iguais em intensidade e têm sentidos opostos que se “aproximam” ou se “afastam” da linha de interseção dos planos. A deformação do elemento infinitesimal está representada na figura abaixo, quemostra a face frontal do cubo submetido a cisalhamento puro. Como não há tensõesnormais agindo no elemento, os comprimentos das arestas ab, bc, cd e ac não variam,porém o quadrado de lado abcd transforma-se no paralelogramo representado em tracejado.  b a     c  d O ângulo no vértice c, que media  antes da deformação, fica reduzido a   . 2 2Ao mesmo tempo, o ângulo no vértice a ficará aumentado para    . O ângulo  é a 2medida da distorção do elemento provocada pelo cisalhamento, e é denominadodeformação de cisalhamento. Pela figura, nota-se que a deformação de cisalhamento  éigual ao deslizamento horizontal da aresta superior em relação à aresta inferior, dividido peladistância entre essas duas arestas (altura do elemento). A determinação das tensões de cisalhamento  em função das deformações decisalhamento  pode ser feita a partir de um teste de cisalhamento puro, obtendo-se odiagrama tensão-deformação de cisalhamento do material, cujo aspecto é muito semelhanteao diagrama tensão-deformação obtido do ensaio de tração. Assim, se o material tiver uma região elástica-linear, o diagrama tensão-deformaçãode cisalhamento será uma reta e as tensões de cisalhamento serão proporcionais àsdeformações de cisalhamento:   G onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material, também conhecido comomódulo de elasticidade transversal. O módulo de elasticidade transversal relaciona-se com o módulo de elasticidadelongitudinal do material de acordo com a seguinte expressão: E G 2  1   __________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  29. 29. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 28_________________________________________________________________________________________________ V – TORÇÃO1 – Torção em Barras de Seção Circular Seja a barra de seção transversal circular submetida ao momento torsor T em suasextremidades. n n T  R   n´ T x dx L Durante a torção, haverá rotação em torno do eixo longitudinal, de uma extremidadeda barra em relação à outra. Considerando-se fixa a extremidade esquerda da barra, a da direita gira num ângulo (em radianos) em relação à primeira. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal nasuperfície da barra, tal como nn, gira num pequeno ângulo para a posição nn´. dx a c  b b´ d d R d´ Analisando um elemento retangular abcd de largura dx na superfície da barra, nota-se que, sob a ação da torção, este elemento sofre distorção e os pontos b e d movem-separa b´ e d´, respectivamente. Os comprimentos dos lados do elemento não variam duranteesta rotação, porém os ângulos dos vértices não continuam retos. Tem-se, então, que o elemento encontra-se em estado de cisalhamento puro e que bb´a deformação de cisalhamento  é igual a:   . ab Chamando de d o ângulo de rotação de uma seção transversal em relação à outra,chega-se a bb´  R  d . R  d Sabendo que a distância ab é igual a dx, então:   . dx Quando uma barra de seção circular (eixo) está sujeita a torção pura, a taxa devariação d do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx da barra. Estaconstante é o ângulo de torção por unidade de comprimento, designado por  . Assim, tem-se:__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  30. 30. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 29_________________________________________________________________________________________________    R   R  L As tensões de cisalhamento  que agem nas faces laterais do elemento têm ossentidos mostrados na figura anterior. A intensidade da tensão de cisalhamento é obtida pela Lei de Hooke:    G    G  R   G  R  L Eonde G é o módulo de elasticidade transversal do material, igual a . 2  1    O estado de tensão no interior de um eixo pode ser determinado de modo análogo,bastando substituir R por r, tal que a deformação de cisalhamento é:    r   r  Le a tensão de cisalhamento é:    G  r   G  r  L Essas equações mostram que a deformação e a tensão de cisalhamento variamlinearmente com o raio r, tendo seus valores máximos na superfície do eixo.  R r d O momento torsor de todas as forças em relação ao centróide da seção transversalé: T     r  dA   G  r 2   dA  G   r 2  dA  G   J A A A 2onde J é o momento de inércia polar da seção transversal, igual a r  dA . A Para uma seção circular, o momento de inércia polar com relação aos eixos quepassam pelo centróide é:  d4 J 32onde d é o diâmetro da seção transversal.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  31. 31. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 30_________________________________________________________________________________________________ Tem-se, então:  T   L GJ A expressão anterior mostra que o ângulo de torção por unidade de comprimento édiretamente proporcional ao momento torsor e inversamente proporcional ao produto G  J ,conhecido como módulo de rigidez à torção do eixo. Substituindo  na equação da tensão de cisalhamento, tem-se: T r  J Logo, a tensão máxima de cisalhamento é: T R  max  J2 – Torção em Barras de Seção Circular Vazada Conforme visto anteriormente, a tensão de cisalhamento numa barra de seçãocircular é máxima na superfície e nula no centro. Conseqüentemente, grande parte domaterial trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e aeconomia de material forem fatores importantes, é preferível usar eixos vazados.  r2 r1 r1 r2 A análise da torção de barras de seção circular vazada assemelha-se à de barras deseção circular cheia. Assim, a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seçãotransversal é: T r  , com r1  r  r2 Jonde: J     de4  di 4  32__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  32. 32. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 31_________________________________________________________________________________________________3 – Eixos Estaticamente Indeterminados Quando as equações da estática são insuficientes para a determinação dos esforçosinternos de torção, é preciso levar em conta as condições de deformação da estrutura.Exemplo: Um eixo AB bi-engastado de seção transversal circular tem 250 mm decomprimento e 20 mm de diâmetro. No trecho de 125 mm a partir da extremidade B, o eixotem seção vazada com diâmetro interno de 16 mm. Pede-se determinar o momento torsorem cada apoio quando um torque de 120 Nm é aplicado no ponto médio de AB. 120 N.m A B C 125 mm 125 mm A barra é estaticamente indeterminada, porque existem dois momentos torsoresdesconhecidos, T A e TB , e apenas uma equação de equilíbrio: T A  TB  120 Devido aos engastes, o ângulo de torção  total é nulo e, para equilibrar o momentotorsor aplicado, os trechos AC e BC do eixo giram em sentidos opostos, tal que 1   2 . Tem-se, então: T A  L1 TB  L2  G  J1 G  J2 J TB  2  T A   32   20 4  16 4  T  0 ,59  T A A J1   20 4 32 Logo: TA  0 ,59  TA  120 TA  75 ,5 Nm TB  44 ,5 Nm__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  33. 33. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 32_________________________________________________________________________________________________ VI – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS PLANAS1 – Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  34. 34. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 33___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  35. 35. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 34___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  36. 36. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 35_________________________________________________________________________________________________ VII – TENSÕES EM VIGAS1 – Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor Seja a viga biapoiada sujeita às cargas P. P P a a P L P Os diagramas de esforços solicitantes são: P Q=0 DEC -P P.a DMF Na parte central, a viga está sujeita apenas ao momento fletor, caracterizando aflexão pura. A ação do momento fletor faz com que a viga se curve, conforme mostra a figura. S0 S1 dx x z y O d  M dx M y a b S0 S1__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  37. 37. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 36_________________________________________________________________________________________________ Nota-se que, sob a ação do momento fletor, as seções S0 e S1 giraram, uma emrelação à outra, de tal forma que as fibras inferiores alongaram-se e as superioresencurtaram, indicando a existência de uma região tracionada e outra comprimida. Em algum ponto entre as regiões de tração e compressão, haverá uma superfície emque as fibras não sofrem variação de comprimento, denominada superfície neutra. Suainterseção com qualquer seção transversal da viga corresponde à linha neutra da seção. O centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, após sua deformação, érepresentado na figura pelo ponto O. Chamando de d ao ângulo entre os planos S0 e S1, e  ao raio de curvatura, obtém-se: 1 d k   dxonde k é a curvatura. O alongamento (variação do comprimento) da fibra ab, distante y da superfícieneutra, é assim determinado:  Comprimento total da fibra ab:    y   d  Comprimento inicial da fibra ab: dx dx y  Alongamento:    y   d  dx     y    dx   dx   A deformação correspondente é: y x  ky  E as tensões normais são: x  k E y Portanto, as tensões variam linearmente com a distância y da linha neutra. Na vigaem estudo, há tensões de tração abaixo da linha neutra e de compressão acima da linhaneutra, conforme mostra a figura abaixo.    z  y dA y A força longitudinal em dA é: dF   x  dA  k  E  y  dA Como não há força normal resultante atuando na seção, a integral de  x  dA sobrea área da seção é nula:__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  38. 38. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 37_________________________________________________________________________________________________ F    x  dA   k  E  y  dA  0 A Aonde k e E são constantes. Logo:  y  dA  0 → momento estático nulo. A Assim, a linha neutra passa pelo centróide da seção transversal. O momento fletor da força em relação à linha neutra é: M z    x  y  dA   k  E  y 2  dA  k  E  I z A A Daí: Mz k E  Iz Substituindo, obtém-se: Mz x  y Iz Analogamente: My x  z IyExercício: Qual Fmax , se  x  50 MPa ? F 85 25 85 25 mm 2,0 m z 2F/3 1,0 m F/3 180 mm +2F/3 y DEC (N) - F/3 DMF (N.mm) +2/3.103 F__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  39. 39. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 38_________________________________________________________________________________________________ y  yi  Ai  12 ,5  4875  115  4500  61,7 mm  Ai 4875  4500 195  253 25  180 3 Iz   4875  49 ,2 2   4500  53,32  3,7  107 mm4 12 12 Mz x   y  50 Iz 2  F  10 3 3  143 ,3  50 3 ,7  10 7 F  19.359 N Fmax  19 ,4 kN2 – Tensões Cisalhantes Devidas ao Esforço Cortante Seja a viga com seção transversal retangular, de largura b e altura h , sujeita àcarga distribuída q , conforme mostra a figura abaixo. b q h V z C n n m  m x y Sob a ação do carregamento distribuído, surgem esforços cortantes e momentosfletores nas seções transversais e, conseqüentemente, tensões normais e tensõescisalhantes. Cortando-se um elemento mn por meio de duas seções transversais adjacentes e dedois planos paralelos à superfície neutra, nota-se que, devido à presença do esforçocortante, haverá distribuição uniforme das tensões de cisalhamento verticais ao longo dalargura mn do elemento. Uma vez que o elemento encontra-se em equilíbrio, conclui-se que as tensões decisalhamento verticais são acompanhadas por tensões de cisalhamento horizontais demesma intensidade (na face perpendicular).__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  40. 40. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 39_________________________________________________________________________________________________ A existência de tensões de cisalhamento horizontais em vigas pode ser demonstradaexperimentalmente. A figura mostra uma pilha de tábuas sobrepostas submetida à carga concentrada Pno meio do vão. Verifica-se que, se não houver atrito entre as tábuas, a flexão de uma serádiferente da outra: cada uma sofrerá compressão nas fibras longitudinais superiores e traçãonas inferiores. Caso as tábuas fossem coladas, umas às outras, impedindo este escorregamento,surgiriam tensões tangenciais na cola, indicando que, em vigas com seção transversalinteira, submetida ao mesmo carregamento P, ocorrerão tensões de cisalhamento  aolongo dos planos longitudinais com intensidade capaz de impedir o deslizamento ocorrido nocaso anterior. P A determinação da tensão de cisalhamento horizontal pode ser calculada pelacondição de equilíbrio de um elemento pnn1p1, cortado da viga por duas seções transversaisadjacentes, mn e m1n1, à distância dx uma da outra. b m m1 M M+d h/2 C z p p1 y y1 h/2 dA n n1 y dx A face da base deste elemento é a superfície inferior da viga e está livre de tensões.Sua face superior é paralela à superfície neutra e afasta-se dela a uma distância y1. Nestaface, atua a tensão de cisalhamento horizontal  que existe neste nível da viga. Sobre as faces mn e m1n1 atuam as tensões normais  x produzidas pelosmomentos fletores e as tensões de cisalhamento verticais (que não interferem na equaçãode equilíbrio horizontal do elemento na direção horizontal). Se os momentos fletores nas seções mn e m1n1 forem iguais (flexão pura), astensões normais  x nos lados np e n1p1 também serão iguais, o que colocará o elementoem equilíbrio e anulará a tensão de cisalhamento  . No caso de momento fletor variável, a força normal que atua na área elementar dAda face esquerda do elemento será: Mz  y dF   x  dA   dA Iz__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  41. 41. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 40_________________________________________________________________________________________________ A soma de todas essas forças distribuídas sobre a face pn será: h2 h 2Mz Re    x  dA    x  b  dy  b    y  dy y1 y1 Iz A De maneira análoga, a soma das forças normais que atuam na face direita, p1n1, é: h 2 M z dM z  Rd  b      dx   y  dy y1  I I z  dx   z  A diferença entre as forças à direita e à esquerda fornece: h 2  dM z  dM z h2 R d  Re  b      dx   y  dy    dx    y  dA y1 y1  I z  dx  I z  dx Sabendo-se que o elemento encontra-se em equilíbrio, haverá uma força decisalhamento horizontal no plano pp1, de mesma intensidade e com sentido contrário aR d  Re , que somada à primeira, anula a resultante de forças na direção x. A força de cisalhamento horizontal é dada por:   b  dx Igualando a força de cisalhamento horizontal à diferença entre as forças á direita e àesquerda do elemento, chega-se a: dM z h2   b  dx   dx    y  dA y1 I z  dx Q h2  b     y  dA I z y1 Q  mz  Iz bque é a expressão da tensão de cisalhamento. Na expressão anterior, tem-se que: m z é o momento estático da área da seção transversal abaixo (ou acima) do planoem que se deseja determinar  ; b é a largura da seção transversal na altura do plano em que se deseja determinar; I z é o momento de inércia em relação ao eixo z que passa pelo centróide da seção; Q é o esforço cortante na seção transversal em estudo.__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais
  42. 42. Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 41_________________________________________________________________________________________________Exercício: Calcular as tensões cisalhantes no ponto P . b h/2 z P y h/2 y Aplicando a expressão da tensão cisalhante, tem-se: Q  mz  2  4  Q h  y y  h  y   2    Iz b 3 bh 12 Desenvolvendo, chega-se a:   3  Q  h2  4  y2  2  b  h3que é a expressão geral da tensão de cisalhamento para seções transversais retangulares. Quando: h y   0 2 3Q Q y  0    1,5  2bh A h y   0 2 A variação das tensões cisalhantes é parabólica: b h max__________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais

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