Este documento discute substituições trigonométricas e integrais de funções racionais. Apresenta três procedimentos de substituições trigonométricas ilustrados geometricamente e exemplos de cálculo de integrais usando essas substituições. Também explica como decompor funções racionais em frações parciais quando o denominador tem raízes reais distintas ou raízes múltiplas.

1. Aula 19
Substitui»oes trigonom¶tricas e
c~ e
fun»~es racionais
co
19.1 Substitui»~es trigonom¶tricas
co e
As substitui»~es trigonom¶tricas s~o substitui»oes empregadas em integrais envolvendo
co p e p a p c~
uma das express~es a2 ¡ x2 , a2 + x2 , e x2 ¡ a2 , nas quais a vari¶vel x ¶ substitu¶
o a e ³da
(correspondentemente) por uma das fun»~es a sen µ, a tg µ, e a sec µ.
co
(a) (b)
a x
x
√ x 2 - a2
θ θ
√ a2 - x2 a
p
2 2
Figura 19.1. Em (a) x = sen µ, p = a cos µ dµ, a a¡x = cos µ. Em (b), x = cos µ, ou
a
dx a
2 2
x
a
= sec µ, dx = a sec µ tg µ dµ, x a¡a = tg µ. Em ambos os casos, a raiz quadrada da
diferen»a de quadrados ¶ um cateto.
c e
Os tr^s procedimentos de substitui»~es trigonom¶tricas, habitualmente usados, s~o
e co e a
ilustrados geom¶tricamente nas ¯guras 19.1 e 19.2.
e
Rp
Exemplo 19.1 Calcular a2 ¡ x2 dx.
No exemplo 16.5, aula 16, ¯zemos o c¶lculo desta integral, usando integra»~o por partes.
a ca
Refaremos seu c¶lculo agora, usando uma substitui»~o trigonom¶trica, baseando-nos no
a ca e
esquema geom¶trico da ¯gura 19.1 (a).
e
170

2. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
»~ e »~ 171
√ a2 + x 2
x
θ
a
p
Figura 19.2. A raiz quadrada a2 + x2 ¶ interpretada geometricamente como sendo a
e
hipotenusa do tri^ngulo ret^ngulo de catetos x e a. Agora, x = tg µ, dx = a sec2 µ dµ,
p
a a a
2 2
e a a+x = sec µ.
Observando as rela»~es trigonom¶tricas da ¯gura 19.1 (a), fazemos
co e
p
x a2 ¡ x2
= sen µ; = cos µ; dx = a cos µ dµ
a a
Temos ent~o
a Z p Z
a2 ¡ x2 dx = a2 cos2 µ dµ
Usando a rela»~o cos2 µ = 1 (1 + cos 2µ), temos
ca 2
Z Z µ ¶
2 2 a2 1 1 a2 µ a2
a cos µ dµ = + cos 2µ dµ = + sen 2µ + C
2 2 2 2 4
Agora substitu¶
³mos
p
x 2x a2 ¡ x2
µ = arc sen ; sen 2µ = 2 sen µ cos µ =
a a2
e obtemos Z p
a2 x xp 2
a2 ¡ x2 dx = arc sen + a ¡ x2 + C
2 a 2
No caso de uma integral de¯nida, ao realizar a mudan»a de vari¶vel, podemos
c a
tamb¶m trocar os limites de integra»~o, tal como ilustrado no seguinte exemplo.
e ca
R3p
Exemplo 19.2 Calcular 0
9 + x2 dx.
Para desenvolver a estrat¶gia de substitui»~o
e ca
trigonom¶trica, lan»amos m~o do diagrama ao
e c a √ 9 + x2
lado. Teremos x
x
3
= tg µ, dx = 3 sec2 µ dµ, e
p 3 = cos µ, ou seja,
p9+x2 θ
9 + x2 = 3 sec µ. 3

3. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
»~ e »~ 172
Sendo x = 3 tg µ, tomamos µ assumindo valores de 0 a ¼=4, e teremos x per-
correndo os valores de 0 a 3.
R3p R ¼=4 R ¼=4
Teremos ent~o 0 9 + x2 dx = 0 3 sec µ ¢ 3 sec2 µ dµ = 9 0 sec3 µ dµ.
a
Conforme vimos no exemplo 18.5, aula 18,
Z
sec µ tg µ 1
sec3 µ dµ = + ln j sec µ + tg µj + C
2 2
Assim,
Z 3p Z ¼=4
9+x2 dx = 9 sec3 µ dµ
0 0
· ¸¼=4
sec µ tg µ 1
=9 + ln j sec µ + tg µj
2 2 0
· ¸
sec(¼=4) tg(¼=4) 1
=9 + ln j sec(¼=4) + tg(¼=4)j
2 2
· ¸
sec 0 tg 0 1
¡9 + ln j sec 0 + tg 0j
2 2
"p # · ¸ p
2 1 p 1 9 2 9 p
=9 + ln( 2 + 1) ¡ 9 0 + ln 1 = + ln( 2 + 1)
2 2 2 2 2
19.2 Integra»~o de fun»~es racionais
ca co
R
Nesta se»~o estudaremos o c¶lculo de integrais p(x) dx, em que p(x) e q(x) s~o
ca a q(x)
a
polin^mios em x. Tais fun»~es p(x)=q(x) s~o chamadas fun»oes racionais.
o co a c~
Quando o grau de p(x) ¶ maior que, ou igual ao grau de q(x), devemos primeira-
e
mente dividir p(x) por q(x),
p(x) q(x)
R(x) Q(x)
obtendo quociente Q(x) e resto R(x), de forma que
p(x) = q(x)Q(x) + R(x)
sendo R(x) = 0 ou um polin^mio de grau menor que o grau do polin^mio divisor q(x).
o o
Neste caso,
p(x) q(x)Q(x) + R(x) R(x)
= = Q(x) +
q(x) q(x) q(x)
R p(x) R R R(x)
e ent~o q(x) dx = Q(x) dx + q(x) dx.
a
Por exemplo, suponhamos que queremos calcular
Z
2x4 + x3 ¡ 6x2 + 3x + 1
I= dx
x3 ¡ 3x + 2

4. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
»~ e »~ 173
Como o grau do numerador ¶ maior que o grau do denominador, devemos primeiramente
e
proceder µ divis~o de polin^mios abaixo, na qual obteremos Q(x) = 2x + 1 e R(x) =
a a o
2x ¡ 1.
2x4 + x3 ¡ 6x2 + 3x + 1 x3 ¡ 3x + 2
2x4 + ¡ 6x2 + 4x 2x + 1
x3 ¡x+1
x3 ¡ 3x + 2
2x ¡ 1
Teremos ent~o
a
Z Z Z
(x3 ¡ 3x + 2)(2x + 1) + 2x ¡ 1 2x ¡ 1
I= 3 ¡ 3x + 2
dx = (2x + 1) dx + 3 ¡ 3x + 2
dx
x x
Assim sendo, precisamos apenas estudar integrais de fun»oes racionais pr¶prias, isto
c~ o
¶, fun»~es racionais em que o grau do numerador ¶ menor que o grau do denominador.
e co e
19.2.1 Decompondo fun»~es racionais em fra»~es parciais
co co
Primeiro caso. O denominador tem ra¶
³zes reais, distintas entre si.
Suponhamos que na fun»~o racional pr¶pria p(x)=q(x) o denominador, sendo de grau
ca o
n, fatora-se em produtos lineares distintos
q(x) = (x ¡ r1 )(x ¡ r2 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ rn )
ou ent~o
a
q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) ¢ ¢ ¢ (an x + bn )
tendo, os n fatores lineares, ra¶ distintas entre si.
³zes
Ent~o aplicamos um resultado da ¶lgebra de fra»~es racionais que diz que, neste
a a co
caso, existem constantes A1 ; A2 ; : : : ; An , tais que
p(x) p(x) A1 A2 An
= = + + ¢¢¢ +
q(x) (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) ¢ ¢ ¢ (an x + bn ) ax + b1 a2 x + b2 an x + bn
sendo os coe¯cientes das fra»~es parciais, A1 ; A2 ; : : : ; An, determinados de maneira
co
unica.
¶
Neste caso,
Z Z
p(x) A1 An
dx = dx + ¢ ¢ ¢ + dx
q(x) a1 x + b1 an x + bn
A1 An
= ln ja1 x + b1 j + ¢ ¢ ¢ + ln jan x + bn j + C
a1 an

5. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
»~ e »~ 174
Z
x2 ¡ 3
Exemplo 19.3 Calcular dx.
(x2 ¡ 4)(2x + 1)
Solu»~o. Come»amos fazendo
ca c
x2 ¡ 3 x2 ¡ 3 A B C
= = + +
(x2 ¡ 4)(2x + 1) (x ¡ 2)(x + 2)(2x + 1) x ¡ 2 x + 2 2x + 1
Para calcular os coe¯cientes A, B e C, somamos as tr^s fra»~es parciais µ direita,
e co a
igualando a soma µ fun»~o racional original.
a ca
x2 ¡ 3 A(x + 2)(2x + 1) + B(x ¡ 2)(2x + 1) + C(x ¡ 2)(x + 2)
=
(x 2 ¡ 4)(2x + 1) (x ¡ 2)(x + 2)(2x + 1)
Observando que os denominadores s~o iguais, devemos obter A, B e C de modo a
a
termos a igualdade (identidade) de polin^mios
o
x2 ¡ 3 = A(x + 2)(2x + 1) + B(x ¡ 2)(2x + 1) + C(x ¡ 2)(x + 2)
Desenvolvendo o produto µ direita e comparando os coe¯cientes dos termos de mesmo
a
grau, chegaremos a tr^s equa»~es lineares nas inc¶gnitas A, B e C. Mas podemos tomar
e co o
um atalho. J¶ que os polin^mios µ esquerda e µ direita s~o iguais, eles tem o mesmo
a o a a a
valor para cada x real.
Tomando x = ¡2, obtemos B(¡2 ¡ 2)(¡4 + 1) = 1, e ent~o B = 1=12.
a
Tomando x = 2, obtemos A ¢ 20 = 1, e ent~o A = 1=20.
a
Tomando x = ¡1=2, obtemos C(¡ 1 ¡ 2)(¡ 1 + 2) = ¡15=4, e ent~o C = 11=15.
2 2
a
Repare que os valores de x, estrategicamente escolhidos, s~o as ra¶ de
a ³zes
(x2 ¡ 4)(2x + 1).
Assim,
Z Z Z Z
x2 ¡ 3 1=40 1=12 11=15
dx = dx + dx + dx
(x2 ¡ 4)(2x + 1) x¡2 x+2 2x + 1
1 1 11
= ln jx ¡ 2j + ln jx + 2j + ln j2x + 1j + C
40 12 30
Segundo caso. O denominador tem somente ra¶
³zes reais, mas algumas ra¶
³zes
m¶ltiplas.
u
No pr¶ximo exemplo ilustramos uma decomposi»~o, em fra»~es parciais, de uma fun»~o
o ca co ca
racional pr¶pria, cujo denominador tem apenas ra¶ reais, tendo por¶m ra¶ m¶ltiplas.
o ³zes e ³zes u
Z
x2
Exemplo 19.4 Calcular dx.
(2x ¡ 1)(x + 1)3

6. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
»~ e »~ 175
Aqui, a raiz ¡1, do denominador, ¶ de multiplicidade 3. A decomposi»~o, em fra»~es
e ca co
parciais, que funciona neste caso, ¶ da forma
e
x2 A B C D
= + + +
(2x ¡ 1)(x + 1)3 2x ¡ 1 (x + 1)3 (x + 1)2 x + 1
na qual teremos A, B, C e D determinados de maneira unica.
¶
Como antes, primeiramente somamos as fra»~es parciais:
co
x2 A(x + 1)3 + B(2x ¡ 1) + C(2x ¡ 1)(x + 1) + D(2x ¡ 1)(x + 1)2
=
(2x ¡ 1)(x + 1)3 (2x ¡ 1)(x + 1)3
Tendo µ esquerda e µ direita o mesmo denominador, teremos:
a a
A(x + 1)3 + B(2x ¡ 1) + C(2x ¡ 1)(x + 1) + D(2x ¡ 1)(x + 1)2
Quando x = ¡1, temos ¡3B = 4, logo B = ¡4=3.
27
Quando x = 1=2, temos A ¢ 8
= 1 , logo A = 2=27.
4
Tendo esgotado, para valores de x, as ra¶ de (2x ¡ 1)(x + 1)3 , tomamos agora
³zes
valores de x que n~o produzam, em nossos c¶lculos, valores num¶ricos muito grandes.
a a e
Tomando x = 0, temos A ¡ B ¡ C ¡ D = 0, e tomando x = 1, temos
8A + B + 2C + 4D = 1. Logo,
(
38
C +D = 27
52
2C + 4D = 27
31 7
e ent~o C =
a 27
, D= 27
.
Assim,
Z Z Z Z Z
x2 2=27 ¡4=3 31=27 7=27
dx = dx + dx + dx + dx
(2x ¡ 1)(x + 1)3 2x ¡ 1 (x + 1)3 (x + 1)2 x+1
1 2 31 7
= ln j2x ¡ 1j + 2
¡ + ln jx + 1j + C
27 3(x + 1) 27(x + 1) 27
Como um outro exemplo de decomposi»~o em fra»~es parciais, em um caso de
ca co
ra¶ reais m¶ltiplas no denominador, se tivermos que calcular
³zes u
Z
x3 ¡ 2x + 1
dx
(3x ¡ 2)2 (5x + 1)3 (1 ¡ 7x)
devemos primeiramente fazer
x3 ¡ 2x + 1 A B C D E F
2 (5x + 1)3 (1 ¡ 7x)
= + + + + +
2 3x ¡ 2 (5x + 1)3 (5x + 1)2 5x + 1 1 ¡ 7x
(3x ¡ 2) (3x ¡ 2)

7. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
»~ e »~ 176
Terceiro caso. O denominador tem ra¶
³zes complexas n~o reais.
a
Um terceiro caso de decomposi»~o, em fra»~es parciais, ocorre quando o denominador
ca co
a ³veis (fatores de grau 2 sem ra¶ reais), como no exemplo
tem fatores quadr¶ticos irredut¶ ³zes
p(x) 3x2 ¡ x
=
q(x) (x ¡ 2)3 (x2 + x + 4)(x2 + 1)
em que x2 + x + 4 e x2 + 1 n~o tem ra¶ reais.
a ³zes
Neste caso, devemos fazer
3x2 ¡ x A B C Dx + E Fx + G
= + + + 2 + 2
(x ¡ 2)2 (x2 + x + 4)(x2 + 1) (x ¡ 2)3 (x ¡ 2)2 x¡2 x +x+4 x +1
e proceder tal como antes, na busca dos coe¯cientes A a G.
Ou seja, na decomposi»~o em fra»~es parciais, para os fatores lineares no denomi-
ca co
nador seguimos as regras anteriores, mas sobre cada fator quadr¶tico vai um polin^mio
a o
do primeiro grau M x + N .
E se tivermos, no denominador, pot^ncias de fatores quadr¶ticos irredut¶
Z e a ³veis, tal
x5 + 3x ¡ 5
como na integral dx ?
(x2 ¡ 3x + 4)2 (x2 + 2)3 (3x ¡ 5)
Neste caso, notando que x2 + 3x ¡ 5 e x2 + 2 n~o tem ra¶ reais, fazemos
a ³zes
x5 + 3x ¡ 5 Ax + B Cx + D
= 2 + 2
(x 2 ¡ 3x + 4)2 (x2 + 2)3 (3x ¡ 5) (x ¡ 3x + 4)2 x ¡ 3x + 4
Ex + F Gx + H Ix + J K
+ 2 + 2 + 2 +
(x + 2)3 (x + 2)2 x +2 3x ¡ 5
Este ¶ um c¶lculo deveras longo. Na pressa, devemos recorrer a uma boa t¶bua de
e a a
integrais ou um bom aplicativo computacional.
Observa»~o 19.1 Na verdade, esse tipo de decomposi»~o funciona mesmo se os fatores
ca ca
quadr¶ticos tem ra¶
a ³zes reais, desde que estas n~o sejam ra¶
a ³zes de outros fatores do
denominador.
Z
x3 ¡ 2
Por exemplo, no c¶lculo de
a dx, podemos fazer a decom-
(x2 ¡ 4)(2x + 1)
posi»~o
ca
x2 ¡ 3 Ax + B C
= 2 +
(x 2 ¡ 4)(2x + 1) x ¡4 2x + 1
e ir µ busca dos coe¯cientes A, B e C, como anteriormente.
a

8. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
»~ e »~ 177
Z
Mx + N
A integral dx
(ax2 + bx + c)n
Z
Mx + N
Ainda resta esclarecer como lidar com integrais do tipo dx (a > 0),
(ax2 + bx + c)n
em que o trin^mio ax2 + bx + c n~o tem ra¶ reais.
o a ³zes
Adotando o procedimento estudado na se»~o 18.1, aula 18, completamos o quadra-
ca
do no trin^mio ax2 + bx + c, colocando-o na forma a(x + ®)2 + ¯, e pela mudan»a de
o c
vari¶vel u = x + ®, du = dx, chegaremos a
a
Z Z Z Z
Mx + N ¸u + ° u du du
dx = du = ¸ +°
(ax 2 + bx + c)n (u 2 + k 2 )n (u2 + k 2 )n (u2 + k 2 )n
para certos coe¯cientes ¸ e °.
R
A integral I = (u2u du2 )n ¶ calculada mediante uma mudan»a de vari¶vel simples:
+k
e c a
R dt
t = u2 + k 2 , dt = 2u du, u du = 1 dt, e ent~o I = 1 tn .
2
a 2
R
J¶ o c¶lculo da integral J = (u2 +k2 )n requer uma substitui»~o trigonom¶trica.
a a du
ca e
√ u2 + k 2
u
θ
k
Fazemos u = k tg µ, du = k sec2 µ dµ. Teremos p k
u2 +k2
= cos µ, e ent~o
a
Z Z
cos2n µ 1
J= sec2 µ dµ = 2n¡1 cos2n¡2 µ dµ
k 2n a
e fazemos o uso da f¶rmula de recorr^ncia
o e
Z
1 m¡1
cos x dx = cosm¡1 x sen x +
m
cosm¡2 x dx
m m
Z
Mx + N
F¶rmulas de recorr^ncia para
o e dx
(ax2 + bx + c)n
Uma boa t¶bua de integrais nos fornecer¶
a a
Z Z
dx x 2n ¡ 3 dx
= 2 + 2 (19.1)
(x2 + k 2 )n 2k (n ¡ 1)(x 2 + k 2 )n¡1 2k (n ¡ 1) (x2 + k 2 )n¡1

9. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
»~ e »~ 178
bem como tamb¶m (aqui ¸ pode ser uma constante negativa)
e
Z Z
dx x 2n ¡ 3 dx
= + (19.2)
(x2 + ¸)n 2¸(n ¡ 1)(x2 + ¸)n¡1 2¸(n ¡ 1) (x2 + ¸)n¡1
De um modo mais geral, encontramos tamb¶m, em uma boa t¶bua de integrais,
e a
o seguinte resultado.
Sendo a > 0, n ¸ 2, e ¢ = b2 ¡ 4ac 60,
=
Z Z
dx ¡(2ax + b) ¡2a(2n ¡ 3) dx
2 + bx + c)n
= 2 + bx + c)n¡1
+ 2 + bx + c)n¡1
(ax ¢ ¢ (n ¡ 1)(ax ¢ ¢ (n ¡ 1) (ax
(19.3)
Tamb¶m encontramos
e
Z Z
2a (2ax + b) + (N ¡ 2a )
M b
Mx + N
dx = dx
(ax2 + bx + c)n (ax2 + bx + c)n
Z µ ¶Z
M (2ax + b) dx b dx
= + N¡ (19.4)
2a (ax2 + bx + c)n 2a (ax2 + bx + c)n
Z Z
(2ax + b) dx du
sendo 2 + bx + c)n
= pela substitui»~o u = ax2 + bx + c, du = (2ax + b) dx.
ca
(ax u
19.3 Problemas
Substitui»~es trigonom¶tricas
co e
Calcule as seguintes integrais, atrav¶s de substitui»oes trigonom¶tricas.
e c~ e
R p
a2 ¡x2
p
a2 ¡x2
1. x2
dx. Resposta. ¡ x
¡ arc sen x + C.
a
R p
1+x2
2. pdx
x2 1+x2
. Resposta. ¡ x
+ C.
R p
x2 ¡a2
p
3. x
dx. Resposta. x2 ¡ a2 ¡ a arccos x + C.
a
R
4. p dx
. Resposta. px + C.
(a2 +x2 )3 a2 a2 +x2
Integra»~o de fun»~es racionais
ca co
Calcule as seguintes integrais de fun»oes racionais. Trabalhe todos os c¶lculos, evitando
c~ a
usar as f¶rmulas de recorr^ncia do fechamento da aula.
o e

10. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
»~ e »~ 179
R ¯ ¯
¯ 3¯
1. 2x¡1
(x¡1)(x¡2)
dx. Resposta. ln ¯ (x¡2) ¯ + C.
x¡1
R ¯ ¯
1 ¯ (x+3)6 ¯
2. x dx
(x+1)(x+3)(x+5)
. Resposta. 8
ln ¯ (x+5)5 (x+1) ¯ + C.
R ¯ ¯
x4 dx x2 ¯ x¡1 ¯
1 16
3. (x2 ¡1)(x+2)
. Resposta. 2
¡ 2x + ln ¯ (x+1)3 ¯ +
6 3
ln jx + 2j + C.
R ¯ ¯
4. dx
(x¡1)2 (x¡2)
. Resposta. 1
x¡1
+ ln ¯ x¡2 ¯ + C.
x¡1
R 2
5. x¡8
x3 ¡4x2 +4x
dx. Resposta. 3
x¡8
+ ln (x¡2) + C.
x2
R jxj
6. dx
x(x2 +1)
. Resposta. ln px2 +1 + C.
R 1 (x+1) 2
1
7. dx
x3 +1
. Resposta. 6
ln x2 ¡x+1 + p
3
arc tg 2x¡1 + C.
p
3
R 2
8. 4x2 ¡8x
(x¡1)2 (x2 +1)2
dx. Resposta. 3x2 ¡1
(x¡1)(x2 +1)
+ ln (x¡1) + arc tg x + C.
x2 +1
Recorr^ncia em integrais de fun»oes racionais
e c~
Use as f¶rmulas de recorr^ncia 19.1 a 19.4 para mostrar que
o e
Z
2x ¡ 1 ¡2x ¡ 16 3x 3 x
1. dx = ¡ ¡ arc tg + C
(x2 + 4)3 32(x2 + 4)2 128(x2 + 4) 256 2
Z
dx
2.
(x2
¡ 4x + 5)4
2x ¡ 4 5(2x ¡ 4) 5(2x ¡ 4) 5
= + + + arc tg(x¡2)+C
12(x2 ¡ 4x + 5)3 48(x2 ¡ 4x + 5)2 32(x2 ¡ 4x + 5) 16