O documento discute os efeitos das dimensões em nanoestruturas condutoras. Resume que em condutores macroscópicos a resistência é proporcional à condutividade e dimensões, mas em nanoestruturas a relação muda dependendo do grau de desordem e localização dos portadores. Sistemas altamente condutores seguem a relação macroscópica, enquanto sistemas desordenados apresentam transporte localizado e dependência exponencial da resistência com o comprimento.

1. 1
Transporte em Nanoestruturas
Profa. Regiane Ragi

2. 1.2 Algumas considerações físicas
2

3. 3
Em condutores macroscópicos, a resistência que se
verifica existir entre dois contatos está relacionada
com a condutividade do bulk (*)
e às dimensões do
condutor.
(*) Grandes quantidades de volume de material semicondutor

4. 4
Esta relação pode ser expressa por

5. 5
Onde σ é a condutividade, e L e A são o comprimento
e a área da seção transversal do condutor,
respectivamente.

6. 6
Se o condutor é bi-dimensional, uma superfície, tal
como uma folha fina de metal, ou de cargas, então a
condutividade é a condutância por metro quadrado, e
a área da seção transversal fica, neste caso, sendo
apenas a largura W, como é o caso do MOSFET.

7. 7
Isto altera a fórmula básica levemente,
mas o argumento pode ser estendido a qualquer
número de dimensões.

8. 8
Assim, para um condutor de d dimensões, a área da
seção transversal tem a dimensão
A = Ld-1,
onde L aqui deve ser interpretado como um
"comprimento característico“ na dimensão espacial
considerada.

9. 9
Em seguida, pode-se reescrever a resistência de
forma genérica, como

10. 10
Aqui, σd é a condutividade em d dimensões.

11. 11
Enquanto normalmente se pensa na condutividade,
em termos simples, como
σ = neμ,
o termo d dimensões depende da densidade
d-dimensional que se é usada nesta definição.

12. 12
Assim, em três dimensões, devemos escrever
σ3
definida a partir da densidade por unidade de
volume, enquanto que, em duas dimensões,
escrevemos
σ2
definida como a condutividade por unidade de área,
e a densidade é a densidade dos portadores na folha
de cargas ou na superfície de cargas.

13. 13
Não se espera que a condutividade, seja ela em
qualquer dimensão, varie muito com a dimensão
característica, de modo que podemos tomar o
logaritmo da última equação,
e em seguida, tomamos a derivada em relação a ln (L),
o que leva a

14. 14
Este resultado é esperado para sistemas condutores
macroscópicos, onde a resistência é relacionada com
a condutividade através da equação

15. 15
Podemos pensar nesse limite como o limite do bulk,
no qual qualquer comprimento característico é
grande comparado com qualquer comprimento
característico de transporte.

16. 16
Todavia, em condutores
mesoscópicos,
o exposto anteriormente não é necessariamente
verdade, uma vez que temos de começar a
considerar os efeitos de transporte balístico através
do condutor.

17. 17
Para o transporte balístico, geralmente se adota a
visão de que os portadores de carga se movem
através da estrutura com muito pouco ou nenhum
espalhamento, de modo que ele segue trajetórias
normais no espaço de fase.

18. 18
Vamos primeiro considerar uma situação simples.

19. 19
Assumimos anteriormente que a condutividade é
independente do comprimento, ou que σd é uma
constante.

20. 20
No entanto, se houver espalhamento superficial, o
qual pode dominar o caminho livre médio, então
pode-se esperar que
l = L

21. 21
Desde que
l = vFτ,
onde vF é a velocidade de Fermi em um semicondutor
degenerado e τ é o tempo livre médio, isto leva a

22. 22
Consequentemente, a dependência do tempo livre
médio sobre as dimensões do condutor muda o
comportamento básico do resultado macroscópico

23. 23
Esta é a mais simples das modificações.

24. 24
Para o caso de desordens mais intensas ou para o
caso de espalhamento mais intenso, os portadores
são localizados, porque o tamanho do condutor cria
estados localizados cuja diferença de energia é maior
do que a excitação térmica, e a condutância vai ser,
neste caso, muito baixa.

25. 25
Na verdade, podemos realmente ter a resistência
apenas da ordem de

26. 26
Onde α é uma pequena quantidade.

27. 27
O fator exponencial surge a partir da suposição de
tunelamento entre locais vizinhos:

28. 28
O fator -1 é necessário para o limite adequado quando
consideramos αL > 0.

29. 29
Pensamos na forma da equação
como resultante dos portadores localizados
tunelando de um local para outro

30. 30
daí a dependência exponencial no comprimento,

31. 31
com o fator de unidade adicionado para permitir o
limite adequado para pequenos valores de L.

32. 32
Então, a relação de escala
se modifica para

33. 33
Nesta situação, a menos que a condutância seja
suficientemente elevada, o transporte é localizado e
os portadores movem-se por saltos.

34. 34
Surge aqui o conceito de
condutividade metálica mínima.

35. 35
Aqui nós só queremos salientar a diferença nas
relações de escala entre os sistemas que são
altamente condutores (tipo-bulk) com aqueles que
são em grande parte localizados devido ao elevado
grau de desordem.

36. 36
Em um sistema altamente desordenado, as funções
de onda decaem exponencialmente para longe do
local específico em que o portador está presente.

37. 37
Isto significa que não existe um comportamento
ondulatório de longo alcance do ponto de vista do
portador.

38. 38
Por outro lado, por estados estendidos do tipo bulk,
queremos dizer que o portador tem natureza
ondulatória, com um vetor de onda k bem definido
e momento ħk.

39. 39
A maioria dos sistemas mesoscópicos têm
espalhamento suficiente para que os portadores não
tenham um comportamento totalmente ondulatório,
mas eles são suficientemente ordenados para que os
portadores não sejam exponencialmente localizados.

40. 40
Assim, quando falamos de transporte por difusão,
geralmente significa estados quase-ondulatórios com
taxas de espalhamento muito elevadas.

41. 41
Esses estados não são nem do tipo de elétrons livres,
nem totalmente localizados.

42. 42
Temos que adotar conceitos de ambos os regimes:

43. 43
Temos que adotar conceitos de ambos os regimes:
o O microscópico e

44. 44
Temos que adotar conceitos de ambos os regimes:
o O microscópico e
o O macroscópico

45. 45
A justificativa para tal ponto de vista encontra-se nas
expectativas de quantização para condutores
mesoscópicos.

46. 46
Nós assumimos que a amostra de semicondutor é
de tal modo que os elétrons se movam em um
potencial que é uniforme numa escala macroscópica
mas que varia na escala mesoscópica, de tal modo
que os estados sejam desordenados na escala
microscópica.

47. 47
No entanto, supõem-se que toda a banda de
condução seja não localizada, mas que mantém uma
região no centro da banda de energia que tem
estados estendidos e uma condutividade diferente
de zero conforme a temperatura seja reduzida a
zero.

48. 48
Para este material, a densidade de estados
eletrônicos por unidade de energia por unidade de
volume é dada simplesmente pela familiar relação
dn/dE.

49. 49
Uma vez que o condutor tem um volume finito, os
estados eletrônicos são níveis discretos
determinados pelo tamanho deste volume.

50. 50
Estes níveis de energia individuais são sensíveis às
condições de contorno aplicadas nas extremidades
da amostra (e dos “lados") e, pode estar deslocado
por pequenas quantidades da ordem de ħ/τ, onde τ
é o tempo necessário para um elétron se difundir
para uma das extremidades da amostra.

51. 51
Em essência, um está definindo aqui um alargamento
dos níveis que é devido ao tempo de vida finito dos
elétrons na amostra, um tempo de vida determinado
não pelo espalhamento, mas sim pela saída dos
portadores da amostra.

52. 52
O outro, por sua vez, define um comprimento
máximo de coerência em termos do comprimento da
amostra.

53. 53
Este comprimento de coerência é aqui definido
como a distância sobre a qual os elétrons perdem
sua memória de fase, o qual nós supomos ser o
comprimento da amostra.

54. 54
O tempo requerido para se difundir para a
extremidade do condutor (ou de uma extremidade
para a outra) é
L2 / D,
onde D é a constante de difusão para o elétron (ou
lacuna, quando for o caso).

55. 55
A condutividade do material está relacionada à
constante de difusão, D, da seguinte maneira:
(Nós assumimos por enquanto que T = 0)

56. 56
onde usamos o fato de que
,
onde d é a dimensionalidade, e

57. 57
Se L é agora introduzido como um comprimento
efetivo, e t é o tempo para a difusão, ambos a partir
de D, encontramos

58. 58
A quantidade do lado esquerdo da equação
pode ser definida como o alargamento médio dos
níveis de energia ∆Ea, e a razão adimensional dessa
largura com o espaçamento médio dos níveis de
energia pode ser definida como

59. 59
Finalmente, alteramos o número total de portadores
de modo que,

60. 60
Esta última equação é considerada frequentemente
com um fator 2 adicional para explicar a dupla
degenerescência de cada nível decorrente do spin do
elétron.

61. 61
Uma outra maneira de olhar para esta equação
é notar que um condutor conectado a dois
reservatórios metálicos irá transportar uma corrente
definida através da diferença nos níveis de Fermi
entre as duas extremidades, a qual é assumida ser
eV.

62. 62
Agora há
estados contribuindo para a corrente, e cada um
desses estados transporta a corrente
e/t

63. 63
Assim, a condutância total é
a qual leva diretamente à equação

64. 64
A quantidade do lado esquerdo da equação
é de interesse para se definir a condutividade
metálica mínima .

65. 65
Num material desordenado, a razão entre a energia
de sobreposição entre diferentes locais e o
alargamento induzido por desordem dos níveis de
energia é importante.

66. 66
A primeira quantidade está relacionada com a
largura das bandas de energia.

67. 67
Se esta razão é pequena, é difícil corresponder a
largura do nível de energia em um local, com aquele
de um local vizinho, de modo que as energias
permitidas não se sobreponham e não exista
qualquer condutividade apreciável através da
amostra.

68. 68
Por outro lado, se a razão for grande, os níveis de
energia facilmente se sobrepõem e temos bandas de
energia permitidas, de modo que há funções de
onda estendidas e uma grande condutância através
da amostra.

69. 69
A razão
apenas expressa essa quantidade.

70. 70
O fator
está relacionado com uma unidade fundamental da
condutância e é apenas
siemens (o inverso é apenas 4,12 kΩ).

71. 71
Agora é possível definir uma condutância
adimensional, chamada por Anderson e
colaboradores de número de Thouless, em termos da
condutância como
Onde
é a condutância real no sistema altamente condutor.

72. 72
Estes últimos autores realizaram uma teoria de
escalonamento com base na teoria de grupo de
renormalização, que nos dá a dependência em
relação ao comprimento de escala L e a
dimensionalidade do sistema.

73. 73
Os detalhes de tal teoria estão além do presente
estudo. No entanto, podemos obter a forma de seus
resultados a partir dos argumentos acima.

74. 74
O fator importante é um expoente crítico para a
condutância reduzida g(L) que pode ser definida por
que é apenas a equação
reescrita em termos da condutância ao invés da
resistência.

75. 75
Pela mesma razão, podemos reescrever a equação
para o estado de baixa condução resultar em

76. 76
O que a teoria de escalonamento completa fornece é
a conexão entre esses dois limites, quando a
condutância nem é tão grande nem tão pequena.

77. 77
Para três dimensões, o expoente crítico muda de
negativo para positivo à medida que se vai de baixa
condutividade para alta condutividade, de modo que
o conceito de uma mobilidade de extremos em
condutores desordenados (e amorfos) é realmente
interpretada como o ponto onde β3 = 0.

78. 78
Isto é esperado que aconteça onde a condutância
reduzida é a unidade, ou para um valor de
condutância total de
(O factor π/2 surge de um tratamento mais exato).

79. 79
Em duas dimensões, não existe um valor crítico do
expoente, uma vez que é sempre negativo,
aproximando de zero assintoticamente.

80. 80
Ao invés de uma mobilidade de borda acentuada, há
um cruzamento universal de localização logarítmica
de condutância grande para localização exponencial
de condutância pequena.

81. 81
Este mesmo crossover aparece em uma dimensão,
bem como, com exceção da localização logarítmica
que é muito mais forte.

82. 82
Assim, espera-se que todos os estados sejam
localizados para d < 2 se não houver nenhuma
desordem no condutor.

83. 83
Esta aqui a origem da dependência no tamanho que
é observada em estruturas mesoscópicas.

84. 84
Na verdade, podemos constatar que, no caso de
espalhamento superficial, o fator adicional de L na
condutividade leva imediatamente a variação na
condutância como Ld-1, o que dá o valor resultante
de
imediatamente para duas dimensões.

85. 85
Continua ...