1. El documento explica cómo derivar e integrar series de potencias, así como determinar su radio de convergencia. También presenta teoremas sobre la derivación e integración de series de potencias dentro de su radio de convergencia. 2. Incluye ejemplos de cálculo del radio de convergencia de una serie y de derivación e integración de series de potencias. 3. Explica los polinomios de Taylor y de McLaurin para aproximar funciones, dando un ejemplo numérico de aproximación con polinomio de Taylor.

1. 1
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS.
Puede verse a una serie de potencias como un polinomio con infinitos
términos. A estas series podemos derivarlas, integrarlas, sumarlas, restarlas,
multiplicarlas y dividirlas, en la forma como se procede con los polinomios.
Si una serie de potencias ∑ ( − ) tiene un radio de convergencia
> 0.
La función ( ) = ∑ ( − ) representada por esta serie tiene
propiedades notables.
Así, ( ) puede derivarse infinitas veces y estas derivadas se obtienen
derivando término a término la serie.
Estas operaciones de derivación e integración solo son posibles dentro del
radio de convergencia R de las series de potencias; de ahí radica la
importancia de determinar con exactitud el radio de convergencia.
Teorema: si la serie de potencias ∑ ( − ) tiene un radio de
convergencia > 0, entonces la función ( ) = ∑ ( − ) es
diferenciable e integrable en el intervalo ( − , + ) y se cumple que:
1. ( ) = ∑ ∗ ( − ) ( − , + )
2. ∫ ( ) = ∑
( )
+ ( − , + )
El radio de convergencia de las series 1 y 2 es el mismo R.

2. 2
Ejemplo: Sea ∑
( )
= + + + ⋯ + ( )
lim
→
< 1 → lim
→ ( + 2)
< 1
| | ∗ lim →
( )
( )
< 1 ; | | < 1 ; −1 < < 1
Entonces el radio de convergencia R es igual a 1.
Derivando ∑
( )
queda ∑
( )
( )
= ∑
( )
∑
( )
= 1 + + + ⋯ + ( )
lim
→
< 1 → lim
→ + 2
∗
+ 1
< 1 ; | | ∗ lim
→
+ 1
+ 2
< 1
| | < 1 ; −1 < < 1 ; = 1

3. 3
POLINOMIO DE TAYLOR Y APROXIMACIONES
Los polinomios nos proporcionan una herramienta importante para
aproximar funciones elementales. Ellos generalizan la idea de aproximación
lineal de una función mediante la recta tangente. Esto es, si ( ) es
diferenciable en = .
Si ( ) tiene n derivadas en a. se llama polinomio de Taylor de grado n de
( ) en a al polinomio:
P (x) = f(a) +
( )
!
(x − a) +
( )
!
(x − a) + ⋯ +
( )( )
!
(x − a) Taylor
P (x) = f(a) +
( )
!
x +
( )
!
x + ⋯ +
( )( )
!
x Para x=o Mc Laurin
Ejemplo:
Hallar:
1. El polinomio de Taylor de orden 0, 1, 2,3 y 4 en a=1 de la función
( ) = ln
2. La aproximación de ln(1,1) mediante ( )
Solución: se evalúa la función en x=1 y cada una de sus cuatro derivadas, que
es el orden que requiere el enunciado.

4. 4
( ) = ln( ) → (1) = ln(1) = 0
′( ) =
1
x
→ ′(1) = 1
′′( ) = −
1
x
→ (1) = −1
′′′( ) =
2
x
→ (1) = 2
( ) = −
6
x
→ = −6
Ahora se obtienen los polinomios desde el orden cero hasta el orden cuatro.
( ) = (1) = 0
P (x) = ( ) +
f′(1)
1!
(x − a) = 0 +
1
1!
(x − 1) = (X − 1)
P (x) = ( ) +
f′′(1)
2!
(x − a) = (X − 1) −
1
2
(x − 1)
P (x) = ( ) +
f′′′(1)
3!
(x − a) = (X − 1) −
1
2
(x − 1) +
2
3!
(X − 1) =
P (x) = ( − 1) −
1
2
( − 1) +
1
3
( − 1)
P (x) = ( ) +
f (1)
4!
(x − a) = (x − 1) −
1
2
(x − 1) +
1
3
(x − 1) −
6
4!
(x − 1)
P (x) = (x − 1) −
1
2
(x − 1) +
1
3
(x − 1) −
1
4
(x − 4)
Ahora ln(1,1) ≈ (1,1) = 0,1 − (0,1) + (0,1) − (0,1) =

5. 5
= 0,1 − 0,005 + 0,000333333 + 0,000025 = 0,095308
La calculadora arroja como resultado ln(1,1) = 0,095310179
Observar que a medida que se toma una cantidad mayor de términos en el
polinomio para hacer la aproximación, la curva de este polinomio se acerca
más al comportamiento de la función original.

6. 6
SERIES DE TAYLOR
Es un método general para obtener ciertas series de potencias de funciones
que poseen derivadas de todos los órdenes en determinado intervalo de
convergencia. Gracias a aquel teorema que plantea, que una serie funcional
se puede derivar o integrar sin afectar su radio de convergencia .
1. Serie de Taylor de , o centrada en :
f( )
(a)
n!
(x − a) = f(a) +
f′(a)
1!
(x − a) +
f′′(a)
2!
(x − a) + ⋯ + ( )
Término complementario de LaGrange: ( ) =
( )( )
!
(x − a)
Para que el error cometido no sea trascendente se debe cumplir que
lim → ( ) → 0
2. Serie de Mc Laurin de es una serie de Taylor centrada en = 0:
f( )
(0)
n!
X = f(0) +
f′(0)
1!
X +
f′′(0)
2!
X + ⋯ + ( )
| ( )| <
| |
( + 1)!
Ejemplo 1: Desarrollar en series de Mc Laurin la función ( )=
Solución: Se determina varias derivadas y se observa el comportamiento de
las derivadas. Luego se evalúan estas derivadas para = 0 y se sustituye
en la serie de Mc Laurin.

7. 7
( )= → (0) = 1
′( )= → ′(0) = 1
′′( )= → ′′(0) = 1
( )= → ( ) = 1
Sustituyendo: = 1 +
!
+
!
+
!
+ ⋯ +
!
Para hallar el intervalo de convergencia sería:
lim
→ ( + 1)!
∗
!
< 1 ; | | ∗ lim
→
!
( + 1) !
< 1
| | ∗ lim
→
1
( + 1)
< 1 ; | | ∗ 0 < 1 ; | | < ∞
El intervalo de convergencia será: −∞ < < ∞
Ejemplo 2: Desarrollar en serie de Mc Laurin la función ( ) =
( ) = → (0) = (0) = 0
′( ) = → ′(0) = (0) = 1
( )
= − → ( )
= − (0) = 0
( )
= − → ( )
= − (0) = −1
( ) = → (0) = (0) = 0
( ) = → (0) = (0) = 1
( ) = = −
!
+
!
−
!
+ ⋯ + (−1)
( )!

8. 8
lim
→
(−1) ∗
(2 + 3)(2 + 2)(2 + 1)!
∗
(2 + 1)!
(−1) ∗
< 1
| | ∗ lim
→
1
(2 + 3)(2 + 2)
< 1
| | < ∞ ; −∞ < < ∞
Ejemplo 3: Desarrollar en serie de Taylor la función ( ) = alrededor
de =
( ) = → 2 = 2 = 1
′( ) = → ′ 2 = 2 = 0
( )
= − → 2 = − 2 = −1
( )
= − → 2 = − 2 = 0
( ) = → 2 = 2 = 1
Entonces la función ( ) = alrededor de = 2 será:
= 1 −
1
2!
− 2 +
1
4!
− 2 − ⋯ +
(−1)
(2 )!
− 2