Equations différentielles, DUT MP, CM 5

Les équations diﬀérentielles
Petits détails techniques et autres remarques

Christophe Palermo

IUT de Montpellier
Département Mesures Physiques
&
Institut d’Electronique du Sud
Université Montpellier 2
Web : http://palermo.wordpress.com
e-mail : cpalermo@um2.fr

Cours du 14 décembre 2010

MONTPELLIER

Plan
1 Introduction
2 EDL à coeﬃcients variables
Solution générale de l’équation homogène (associée)
La solution particulière
3 Terme perturbateur
Le principe de superposition
Application du principe de superposition
Conclusion
4 Les équations linéaires incomplètes
Problématique
Changement de variable
5 Équation non-linéaire
6 Recommandations

IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations diﬀérentielles Dec. 2010 2

Introduction

Plan
1 Introduction
Conclusion
Problématique
6 Recommandations


Introduction

Ce que nous avons vu

Plusieurs types d’équations
équations linéaires ou non-linéaires
à variables séparables (ou séparées)
homogènes ou inhomogènes
complètes ou incomplètes
1er et 2nd ordres

Equations diﬀérentielles linéaires
un schéma de travail à retenir
yI = yH + yP
Méthode de Lagrange pour yP

Pour les équations à coeﬃcients constants
Equation caractéristique au second ordre


Introduction

Ce que nous avons vu... en image

Variables Intégration
séparées directe
Non-linéaire
Hors
Cas général
programme
1er ordre :
Intégration
variables
directe
séparées
Equation
différentielle Solution
homogène Coefficients Equation
constants caractéristique
2ème ordre
Coefficients Hors
Principe de variables programme
Linéaire
superposition

Vérification
d'une donnée
Solution
Tableau
particulière
Principe de
superposition
Méthode de
Lagrange


Introduction

Mais comment faire quand ...

l’équation est linéaire mais :
les coeﬃcients ne sont pas constants
et/ou il y a plusieurs termes perturbateurs
et/ou elle est incomplète

l’équation est non-linéaire


Introduction

Mais comment faire quand ...

l’équation est linéaire mais :
1. les coeﬃcients ne sont pas constants
2. et/ou il y a plusieurs termes perturbateurs
3. et/ou elle est incomplète

4. l’équation est non-linéaire


EDL à coeﬃcients variables

Plan
1 Introduction
Conclusion
Problématique
6 Recommandations


EDL à coeﬃcients variables

Schéma de résolution d’une équation linéaire

Ce qui va changer
1 Faire la mise en équation

2 Exprimer la solution générale de l’équation diﬀérentielle
Si elle est inhomogène (I) :
2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)

2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP

3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :
solution du problème


EDL à coeﬃcients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)

Au premier ordre

a(t) · y + b(t) · y = 0
˙ où a(t) et b(t) sont des fonctions



Au premier ordre

a(t) · y + b(t) · y = 0

dy
⇐⇒ a(t) · + b(t) · y = 0
dt



Au premier ordre

a(t) · y + b(t) · y = 0

dy
⇐⇒ a(t) · + b(t) · y = 0
dt

se ré-écrit toujours comme
dy b(t)
=− · dt → séparation des variables
y a(t)
g(y ) f (t)



Au premier ordre

a(t) · y + b(t) · y = 0

dy
⇐⇒ a(t) · + b(t) · y = 0
dt

se ré-écrit toujours comme
dy b(t)
=− · dt → séparation des variables
y a(t)
g(y ) f (t)

Même quand les coeﬃcients sont variables
Une équation diﬀérentielle linéaire du premier ordre est toujours à variables
séparables. On intégrera directement.


Un exemple du 1er ordre

cos(t) · y + sin(t) · y = 0
˙




cos(t) · y + sin(t) · y = 0
˙

dy
cos(t) · + sin(t) · y = 0
dt




cos(t) · y + sin(t) · y = 0
˙

dy
cos(t) · + sin(t) · y = 0
dt
dy sin(t)
=− · dt = − tan(t) · dt
y cos(t)




cos(t) · y + sin(t) · y = 0
˙

dy
cos(t) · + sin(t) · y = 0
dt
dy sin(t)
=− · dt = − tan(t) · dt
y cos(t)
dy sin(t) u
= − · dt = dt avec u(t) = cos(t)
y cos(t) u




cos(t) · y + sin(t) · y = 0
˙

dy
cos(t) · + sin(t) · y = 0
dt
dy sin(t)
=− · dt = − tan(t) · dt
y cos(t)
dy sin(t) u
y cos(t) u

ln |y | = ln | cos(t)| + C =⇒ y = K · cos(t), K ∈ C




cos(t) · y + sin(t) · y = 0
˙

dy
cos(t) · + sin(t) · y = 0
dt
dy sin(t)
=− · dt = − tan(t) · dt
y cos(t)
dy sin(t) u
y cos(t) u

ln |y | = ln | cos(t)| + C =⇒ y = K · cos(t), K ∈ C

Seule diﬃculté :
L’intégration est parfois fastidieuse (contrairement à cet exemple).


Deuxième ordre
Coefficients constants : équation caractéristique
Coefficients variables (non-constants)
Discriminant : uniquement des réels ou des complexes
Impossible d’utiliser l’équation caractéristique

Pas d’expression générale ⇒ Fonctions spéciales (Bessel, Airy)

Mais ce qui est toujours vrai : “la solution générale d’une EDL2 est
la combinaison linéaire de deux solutions particulières
non-proportionnelles”

Concrètement pour une EDL2 homogène à coefficients variables :
Si nous avons deux solutions particulières non-proportionnelles :
combinaison linéaire
Sinon : sauf cas particulier (absence de y ), hors programme
˙


Un exemple du 2ème ordre

Montrer que t 2 y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t 3 et
¨
y2 = 1/t 2 et en déduire sa solution générale.




¨
y1 = 3t 2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t 2 y1 = 6t 3 ⇒ t 2 yI − 6yI = 0
˙ ¨ ¨ ¨




¨
y1 = 3t 2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t 2 y1 = 6t 3 ⇒ t 2 yI − 6yI = 0
˙ ¨ ¨ ¨
y2 = −2t −3 ⇒ y2 = 6t −4 ⇒ t 2 y2 = 6t −2 ⇒ t 2 y2 − 6y2 = 0
˙ ¨ ¨ ¨




¨
y1 = 3t 2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t 2 y1 = 6t 3 ⇒ t 2 yI − 6yI = 0
˙ ¨ ¨ ¨
y2 = −2t −3 ⇒ y2 = 6t −4 ⇒ t 2 y2 = 6t −2 ⇒ t 2 y2 − 6y2 = 0
˙ ¨ ¨ ¨
y1 et y2 ne sont pas proportionnelles
on peut en faire une combinaison linéaire




¨
y1 = 3t 2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t 2 y1 = 6t 3 ⇒ t 2 yI − 6yI = 0
˙ ¨ ¨ ¨
y2 = −2t −3 ⇒ y2 = 6t −4 ⇒ t 2 y2 = 6t −2 ⇒ t 2 y2 − 6y2 = 0
˙ ¨ ¨ ¨
y1 et y2 ne sont pas proportionnelles
on peut en faire une combinaison linéaire
B
yH = At 3 + 2 , A,B ∈ C
t




Vu et à faire





EDL à coefficients variables La solution particulière

Au premier ordre
Pour une équation inhomogène

a(t) · y + b(t) · y = p(t)
˙ (I)

Coefficients constants :
Tableau
Méthode de Lagrange (variation de la constante)

Coefficients variables :
Difficile de faire un tableau pour toutes les possibilités
On utilisera la méthode de Lagrange

Rappel
Pour trouver yP avec la méthode de Lagrange, il suffit de remplacer la
constante de yH par une fonction avant de l’injecter dans (I)



Lagrange avec EDL1 à coeﬃcients variables #1

t y + y = cos(t) (I)
˙




˙

2.1 Equation diﬀérentielle homogène associée
t ·y +y =0
˙ (H)




˙

t ·y +y =0
˙ (H)

2.2 Solution de (H) :
dy dt K
On écrit = − =⇒ ln |y | = − ln |t| +C =⇒ yH = , K ∈C
y t t
1
ln
|t|




˙

t ·y +y =0
˙ (H)

2.2 Solution de (H) :
dy dt K
On écrit = − =⇒ ln |y | = − ln |t| +C =⇒ yH = , K ∈C
y t t
1
ln
|t|

2.3 Recherche de yP avec Lagrange
K (t)
2.3.1 yP =
t
2.3.2 Injection dans (I)



2.3.2
˙ K (t) ˙
t yP = K (t) −
˙ =⇒ t yP + y = K (t) = cos(t)
˙
t




2.3.2
˙ K (t) ˙
t yP = K (t) −
˙ =⇒ t yP + y = K (t) = cos(t)
˙
t
avec constante d’intégration nulle (cf. cours 3) =⇒ K (t) = sin(t)
K (t) sin(t)
=⇒ yP (t) = = = yP (t)
t t




2.3.2
˙ K (t) ˙
t yP = K (t) −
˙ =⇒ t yP + y = K (t) = cos(t)
˙
t
avec constante d’intégration nulle (cf. cours 3) =⇒ K (t) = sin(t)
K (t) sin(t)
=⇒ yP (t) = = = yP (t)
t t
2.4 yI = yH + yP donc :

K sin(t)
yI (t) = +
t t
yH yP



Au second ordre

Pour une équation différentielle linéaire inhomogène :

a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t)
¨ ˙ (H)

Avec des coefficients constants :
Tableau de formes recommandées
Méthode de Lagrange : difficile
Parfois : vérification d’une donnée de l’énoncé

Avec des coefficients non-constants :
Pas de tableau de formes recommandées
Méthode de Lagrange possible mais extrêmement difficile
Seule possibilité cette année : vérification d’une donnée de l’énoncé



Solution particulière d’une EDL2 à coefficients variables

Donner la solution générale de l’équation différentielle t 2 y − 6y = 6t 4 en
¨
vérifiant que yP = t 4 en est une solution particulière.
B
2.1 - 2.2 On a déjà yH = At 3 + , A,B ∈ C (diapo 12)
t2
2.3 yP = 4 · 3 · t 2 = 12t 2 ⇒ t 2 yP = 12t 4 ⇒ t 2 yP − 6yP = 6t 4
¨ ¨ ¨
B
2.4 yI = At 3 + 2 + t 4 , A,B ∈ C
t



À retenir

Validité de la méthode de Lagrange
La méthode de Lagrange fonctionne avec toutes les équations
différentielles inhomogènes :
du premier ordre
du second ordre (hors programme car difficile)
à coefficients constants
à coefficients variables (non-constants)
À condition qu’elles soient linéaires


Terme perturbateur

Plan
1 Introduction
Conclusion
Problématique
6 Recommandations


Terme perturbateur

Mise en situation

On veut résoudre une équation

Linéaire et inhomogène
Avec n termes perturbateurs
· · · ou si l’on préfère un terme sous forme d’une somme

Exemple à l’ordre 1 :

a(t) · y + by = p1 (t) + p2 (t) + · · · + pn (t)
˙ (I)

Pour l’instant : on sait faire avec un terme
⇒ polynôme, sinus, cosinus, exponentielle et leurs produits

Qu’est-ce qui va changer ?


Terme perturbateur


=⇒ Etape 2 : ce qui change et ce qui ne change pas







Terme perturbateur Le principe de superposition

Principe de superposition

Théorème
Soit une EDL inhomogène d’ordre m contenant n termes perturbateurs

G(t,y ,y ,¨ ,...,y (m) ) = p1 (t) + p2 (t) + · · · pn (t)
˙ y (I)

et soient les n EDL inhomogènes d’ordre m

G(t,y ,y ,¨ ,...,y (m) ) = pi (t)
˙ y (Ii )

admettant respectivement yPi pour solution particulière, alors
n
yP = yP1 + yP2 + · · · + yPn = yPi
i=1

est une solution particulière de (I)



À propos du principe de superposition

Déjà utilisé dans ce cours
1er et 2nd ordres : “yI = yH + yP ”
2nd ordre : combinaison des solutions issues de l’équation
caractéristique
2nd ordre : “la solution générale est la combinaison de deux solutions
non-proportionnelles”

Un principe que l’on retrouve partout en physique
Lorsque le système est linéaire
en électricité (éteindre puis rallumer les générateurs)
résistance des matériaux (sollicitations élémentaires)
mécanique quantique (superposition d’états)
optique ondulatoire...



Principe de superposition avec deux termes
Pour essayer de comprendre :
Premier ordre (m = 1)
2 termes de perturbation (n = 2)
Exemple possibles :
RC série avec e(t) = E0 + E cos(ωt + ϕ)
Vitesse d’un pendule pesant élastique forcé par un sinus

Littéralement :
a(t) · y + b(t) · y = p1 (t) + p2 (t)
˙ (I)
on cherche une solution particulière yP

Principe de superposition : on crée deux équations
a(t) · y + b(t) · y = p1 (t)
˙ (I1 )
et
a(t) · y + b(t) · y = p2 (t)
˙ (I2 )

Terme perturbateur Application du principe de superposition

Application du principe

On trouve une solution particulière yP1 de (I1 )

On trouve une solution particulière yP2 de (I2 )
Pour chacune d’entre elles :
Méthode du tableau
Méthode de Lagrange
Vériﬁcation d’une donnée de l’énoncé

On somme les deux : yP = yP1 + yP2 est solution de (I) !
Fonctionne toujours pour une équation linéaire :
1er et 2ème ordres
Quel que soit le nombre de termes
Avec des coeﬃcients variables ou constants
Conséquence de la linéarité de l’équation



Exemple au premier ordre

y + 2y = 1 + e t
˙ (I)

y + 2y = 1
˙ (I1 ) y + 2y = e t
˙ (I2 )

tableau : posons yP1 = K tableau : k = −b/a
0 + 2K = 1 =⇒ K = 1/2 ⇒ yP2 = Ke t
1
yP1 = Ke t + 2Ke t = e t
2
1 1
⇒ K= ⇒ yP2 = e t
3 3
1 1 t
yP = yP1 + yP2 = + e
2 3



Vériﬁcations
1 1 t 1 1 t
1. En injectant : yP = 3 e t →
˙ e +2 · + e = 1 + et
3 2 3
yP
˙ yP



Vériﬁcations
1 1 t 1 1 t
˙ e +2 · + e = 1 + et
3 2 3
yP
˙ yP

2. Résolution directe avec Lagrange

y + 2y = 1 + e t
˙ (I) =⇒ y + 2y = 0 (H)
˙ =⇒ yH = Ke −2t



Vériﬁcations
1 1 t 1 1 t
˙ e +2 · + e = 1 + et
3 2 3
yP
˙ yP


y + 2y = 1 + e t
˙ (I) =⇒ y + 2y = 0 (H)
˙ =⇒ yH = Ke −2t

yP = K (t) · e −2t → K (t) · e −2t = 1 + e t =⇒ K (t) = e 2t + e 3t
˙ ˙



Vériﬁcations
1 1 t 1 1 t
˙ e +2 · + e = 1 + et
3 2 3
yP
˙ yP


y + 2y = 1 + e t
˙ (I) =⇒ y + 2y = 0 (H)
˙ =⇒ yH = Ke −2t

yP = K (t) · e −2t → K (t) · e −2t = 1 + e t =⇒ K (t) = e 2t + e 3t
˙ ˙

Intégration avec constante nulle :

1 1 1 1 t
K (t) = e 2t + e 3t =⇒ yP (t) = K (t)e −2t = + e = yP (t)
2 3 2 3


Terme perturbateur Conclusion

Conclusion sur le terme perturbateur

Souvent :
Utiliser le principe de superposition
Utiliser la méthode de Lagrange
Choisir ce que l’on préfère
Toutes mènent au même endroit

Dire que yI = yH + yP :
c’est dire que p(t) = 0 + p(t)
yH correspond à p(t) = 0
yP correspond à p(t)
c’est le principe de superposition !


Les équations linéaires incomplètes

Plan
1 Introduction
Conclusion
Problématique
6 Recommandations


Les équations linéaires incomplètes Problématique

Des équations que l’on sait déjà résoudre
Les EDL incomplètes rentrent dans le schéma suivant ...
séparées directe
Non-linéaire
Hors
Cas général
programme
1er ordre :
Intégration
variables
directe
séparées
Equation
2ème ordre
Coefﬁcients Hors
Linéaire
superposition

Vériﬁcation
d'une donnée
Solution
Tableau
particulière
Principe de
superposition
Méthode de
Lagrange

...avec les méthodes adéquates


Un ensemble de cas particuliers

Inutile d’utiliser une méthode du type :
Recherche de yH
puis recherche de yI = yH + yP

avec une équation incomplète du style :

y =2
¨ (I)




Recherche de yH


y =2
¨ (I)

Beaucoup de travail pour rien parce que :
y= 2 · dt 2 = t 2 + rt + s
r , s ∈ C donc on a la solution générale de (I)




Recherche de yH


y =2
¨ (I)

Beaucoup de travail pour rien parce que :
y= 2 · dt 2 = t 2 + rt + s
r , s ∈ C donc on a la solution générale de (I)

Méthode par changement de variable



Equations du type y n = p(t)

Méthode de résolution directe
Les équations du type
y (n) = p(t)
c’est à dire
y = p(t)
˙
ou
y = p(t)
¨
se résolvent par n intégrations successives (resp. 1 ou 2)

solutions générales : n constantes d’intégration
diﬃculté : savoir intégrer
NB : peuvent aussi se résoudre par la méthode des EDL


Les équations linéaires incomplètes Changement de variable

EDL2 privées de y
On souhaite résoudre l’équation incomplète

a(t) · y + b(t) · y = p(t)
¨ ˙ (I)
On peut :
Equation caractéristique (yH ) puis yI = yH + yP
Changer la fonction (changement de variable)



EDL2 privées de y

a(t) · y + b(t) · y = p(t)
¨ ˙ (I)
On peut :

=⇒ Système à résoudre :

z =y ˙
a(t) · z + b(t) · z = p(t)
˙



EDL2 privées de y

a(t) · y + b(t) · y = p(t)
¨ ˙ (I)
On peut :

=⇒ Système à résoudre :

z =y ˙
a(t) · z + b(t) · z = p(t)
˙

Méthode de résolution directe
Les EDL2 privées de y se ramènent en posant z = y à une EDL1. La
˙
solution générale y est ensuite obtenue par une seule intégration de z.


Exemple d’une EDL2 privée de y

y −y =2
¨ ˙ (I)

1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable :
y −y =0
¨ ˙ (H)




y −y =2
¨ ˙ (I)

y −y =0
¨ ˙ (H)
r 2 − r = r (r − 1) = 0
⇒ r = 0 ou r = 1
yH = A + B · e t




y −y =2
¨ ˙ (I)

y −y =0
¨ ˙ (H)
r 2 − r = r (r − 1) = 0
⇒ r = 0 ou r = 1
yH = A + B · e t
yP = αt + β (tableau)
Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ C
on choisit donc β = 0
yP (t) = −2t




y −y =2
¨ ˙ (I)

y −y =0
¨ ˙ (H)
r 2 − r = r (r − 1) = 0
⇒ r = 0 ou r = 1
yH = A + B · e t
Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ C
yP (t) = −2t
yI (t) = −2t + A + Be t




y −y =2
¨ ˙ (I)

y −y =0
¨ ˙ (H)
r 2 − r = r (r − 1) = 0 z =y ˙
⇒ r = 0 ou r = 1 z − z = 2 (Iz ) → z − z = 0 (Hz )
˙ ˙
yH = A + B · e t
Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ C
yP (t) = −2t
yI (t) = −2t + A + Be t




y −y =2
¨ ˙ (I)

y −y =0
¨ ˙ (H)
r 2 − r = r (r − 1) = 0 z =y ˙
⇒ r = 0 ou r = 1 z − z = 2 (Iz ) → z − z = 0 (Hz )
˙ ˙
yH = A + B · e t
yP = αt + β (tableau) Facilement : zH = B · e t
Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ C Tableau : zP = α ⇒ zP = −2
yP (t) = −2t zI = −2 + B · e t
yI (t) = −2t + A + Be t ⇒ yI (t) = −2t + A + B · e t




y −y =2
¨ ˙ (I)

y −y =0
¨ ˙ (H)
r 2 − r = r (r − 1) = 0 z =y ˙
⇒ r = 0 ou r = 1 z − z = 2 (Iz ) → z − z = 0 (Hz )
˙ ˙
yH = A + B · e t
yP = αt + β (tableau) Facilement : zH = B · e t
Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ C Tableau : zP = α ⇒ zP = −2
yP (t) = −2t zI = −2 + B · e t
yI (t) = −2t + A + Be t ⇒ yI (t) = −2t + A + B · e t

Gain de temps


EDL2 privée de y à coeﬃcients variables

cos(t) · y + sin(t) · y = 0
¨ ˙ (H)





cos(t) · y + sin(t) · y = 0
¨ ˙ (H)

homogène
mais à coeﬃcients variables
pas de discriminant possible
impossible de continuer !




cos(t) · y + sin(t) · y = 0
¨ ˙ (H)

homogène
z =y ˙
mais à coeﬃcients variables cos(t) · z + sin(t) · z = 0 (Hz )
˙




cos(t) · y + sin(t) · y = 0
¨ ˙ (H)

homogène
z =y ˙
˙
Diapo 10 : z(t) = K · cos(t)

⇒ yI (t) = K sin(t) + C , K ,C ∈ C




cos(t) · y + sin(t) · y = 0
¨ ˙ (H)

homogène
z =y ˙
˙
Diapo 10 : z(t) = K · cos(t)

⇒ yI (t) = K sin(t) + C , K ,C ∈ C

Encore plus utile quand on a des coeﬃcients variables !


Équation non-linéaire

Plan
1 Introduction
Conclusion
Problématique
6 Recommandations


Équation non-linéaire

Cas des équations non-linéaires

Pas de propriétés de linéarité : yI = yH + yP

Pas de principe de superposition du tout (même pas pour p(t))

Pas de facilités (équation caractéristique, méthode de Lagrange)

Uniquement deux possibilités :

Si variables séparées → intégration directe
Sinon :
Changement de variable si possible (équations incomplètes)
Méthodes numériques (niveau L3)

Cette année : variables séparées uniquement


Recommandations

Plan
1 Introduction
Conclusion
Problématique
6 Recommandations


Recommandations

A connaître : le schéma de résolution linéaire





Recommandations

Avoir compris : le schéma général des équations

séparées directe
Non-linéaire
Hors
Cas général
programme
1er ordre :
Intégration
variables
directe
séparées
Equation
2ème ordre
Coefﬁcients Hors
Linéaire
superposition

Vériﬁcation
d'une donnée
Solution
Tableau
particulière
Principe de
superposition
Méthode de
Lagrange


Recommandations

Savoir maîtriser
La reconnaissance de la nature d’une équation
⇒ ordre ? degré ? homogène ? complète ? linéaire ?

La séparation des variables
⇒ indispensable pour les EDL1

La notion de linéarité et ses conséquences
yI = yH + yP pour les EDL
principe de superposition

Le schéma de résolution générale des équations linéaires
Quand chercher yP ?
Quand faire intervenir les conditions initiales ?

La recherche d’une solution particulière d’une EDL
Tableau
Lagrange

La résolution des équations caractéristiques (EDL2 coef. constants)

Recommandations

Suite de ce cours

Ce cours d’amphi est terminé

Amenez impérativement votre cours en TD !

Pensez à reprendre les exemples donnés dans ce cours

Attention : devoir sur le cours d’équations diﬀérentielles !


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