Slides cirm-assurance

Arthur CHARPENTIER, JES 2010, assurance
Risque et assurance
Arthur Charpentier
Université Rennes 1
arthur.charpentier@univ-rennes1.fr
http ://freakonometrics.blog.free.fr/
Journées d’Études Statistique, Luminy, Novembre 2010.
1

1 Prise en compte de la dynamique en assurance
1.1 La problématique du provisionnment en assurance
[25], “les provisions techniques sont les provisions destinées à permettre le
règlement intégral des engagements pris envers les assurés et bénéﬁciaires de
contrats. Elles sont liées à la technique même de l’assurance, et imposées par la
règlementation”.
A la date t, la compagnie d’assurance est tenue de constituer une provision pour
les sinistres survenus avant la date t qu’elle sera tenu d’indemniser.
cf. diagramme de Lexis de la vie des sinistres,
2

q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
2006 2008 2010 2012 2014
0246810
Temps calendaire
Annéesdedéveloppement
qq qq q qqq qq q
3

Réglements en n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4
Multirisque habitation 55% 90% 94% 95% 96%
Automobile 55% 79% 84% 99% 90%
dont corporel 13% 38% 50% 65% 72%
Responsabilité civile 10% 25% 35% 40% 45%
Table 1 – Cadences de paiements, pour quelques branches d’activité (source [7]).
4

5

6

7

1.2 Quelques déﬁnitions et notations, aspects
règlementaires et comptables
On notera
– i (en ligne) l’année de survenance, i = 1, · · · , n,
– j (en colonne) l’année de développement, j = 0, · · · , n − 1,
– Yi,j les incréments de paiments, pour l’année de développement j, pour les
sinistres survenus l’année i, tableau 2
– Ci,j les paiments cumulés, au sens où Ci,j = Yi,0 + Yi,1 + · · · + Yi,j, pour
l’année de survenance j, tableau 3
– Pi la prime acquise pour l’année i, tableau 4
– Ni,j le nombre cumulé de sinistres pour l’année de survenance i vu au bout de
j années, tableau 5
8

0 1 2 3 4 5
1 3209 1163 39 17 7 21
2 3367 1292 37 24 10
3 3871 1474 53 22
4 4239 1678 103
5 4929 1865
6 5217
Table 2 – Triangle des incréments de paiements, Y = (Yi,j).
9

0 1 2 3 4 5
1 3209 4372 4411 4428 4435 4456
2 3367 4659 4696 4720 4730
3 3871 5345 5398 5420
4 4239 5917 6020
5 4929 6794
6 5217
Table 3 – Triangle des paiements cumulés, C = (Ci,j).
Year i 1 2 3 4 5 6
Pi 4591 4672 4863 5175 5673 6431
Table 4 – Vecteur des primes acquises, P = (Pi).
10

0 1 2 3 4 5
1 1043.4 1045.5 1047.5 1047.7 1047.7 1047.7
2 1043.0 1027.1 1028.7 1028.9 1028.7
3 965.1 967.9 967.8 970.1
4 977.0 984.7 986.8
5 1099.0 1118.5
6 1076.3
Table 5 – Triangle des nombres de sinistres, cumulés, en milliers, N = (Ni,j).
11

1.3 Formalisation du problème du provisionnement
Le provisionnement est un problème de prédiction, conditionnelle à Hn
l’information disponible à la date n,
Hn = {(Yi,j), i + j ≤ n} = {(Ci,j), i + j ≤ n}
Si l’on se focalise sur une année de survenance particulière, osn pourra noter
Fi,n−i = {(Yi,j), j = 0, · · · , n − i)} = {(Ci,j), j = 0, · · · , n − i)}
12

Hn Fi,n−i
Figure 1 – Les informations disponibles pour faire de la prédiction.
On cherchera par la suite à prédire le montant des sinistres à payer pour l’année
i, i.e.
C
(n−i)
i,n = E[Ci,n|Fi,n−i]
et la diﬀérence entre ce montant et le montant déjà payé constituera la provision
pour sinistres à payer,
Ri = C
(n−i)
i,n − Ci,n−i.
13

On cherche
mse[Ci,n|Fi,n−i] ou mse[C
(n−i)
i,n ],
ce que l’on appelera incertitude à horizon ultime.
Solvabilité II : mesurer une incertitude à un an. Dans un an, on prédira
C
(n−i+1)
i,n = E[Ci,n|Fi,n−i+1]
i.e. changement dans l’estimation de la charge ultime
∆n
i = C
(n−i+1)
i,n − C
(n−i)
i,n .
Si cette différence est positive, on parle de mali (il faudra gonfler la provision afin
de pouvoir payer les sinistres), et si elle est négative, on parle de boni.
E[∆n
i |Fi,n−i] = 0,
Solvabilité II : calculer
mse[∆n
i |Fi,n−i].
14

15

16

17

Montant(paiementsetréserves)
3500400045005000550060006500
0 1 2 3 4
Figure 2 – Estimation de la charge ultime Ci,n deux années consécutives.
18

1.4 Lecture transversale et longitudiligne des tables de
mortalité
démographie & assurance-vie, probabilité qu’une personne en vie à l’âge x soit en
vie à l’âge x + h
P(T > x + h|T > x) =
Lx+h
Lx
où Lj désigne le nombre de survivants d’âge j, dans une table de mortalité.
Si on se place l’année t, la probabilité précédante devrait s’écrire
Pt(T > x + h|T > x) = Pt(T > x + 1|T > x) · Pt+1(T > x + 2|T > x + 1) · · ·
· · · Pt+h−1(T > x + h|T > x + h − 1)
soit, si Lt,j désigne le nombre de survivants d’âge j, observés l’année t,
Pt(T > x + h|T > x) =
Lt,x+1
Lt,x
·
Lt+1,x+2
Lt+1,x+1
· · ·
Lt+h−1,x+h
Lt+h−1,x+h−1
.
Besoin d’extrapoler ces données.
19

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
1960 1980 2000 2020
020406080
Temps calendaire
Age
q qq q qq qqq qq q
20

Modèle de Lee & Carter, [15] : on suppose pour cela que le taux de décès, à la
date t pour une personne d’âge x dépend de trois facteurs,
µx,t = exp[αx + βx · κt],
où α = (αx) désigne l’évolution moyenne de la mortalité en fonction de l’âge, et
où κ = (κt) permet de modéliser l’évolution de la mortalité dans le temps
(traduisant une globale amélioration des conditions de vie). Toutefois, en
multipliant par β = (βx), on peut prendre en compte le fait que les gains ne sont
pas identiques pour tous les âges.
21

in life insurance in nonlife insurance
22

23

24

25

26

27

28

Arthur CHARPENTIER, JES 2010, assurance 2 LES
2 Les cadences de paiements et la méthode
Chain Ladder
L’utilisation des cadences de paiements pour estimer la charge future date des
années 30. On suppose qu’il existe une relation de récurrence de la forme
Ci,j+1 = λj · Ci,j pour tout i, j = 1, · · · , n.
Un estimateur naturel pour λj, basé sur l’expérience passée est alors
λj =
n−j
i=1 Ci,j+1
n−j
i=1 Ci,j
pour tout j = 1, · · · , n − 1.
Il s’agit tout simplement du ratio moyen entre les années de développement j et
j + 1. De telle sorte que l’on peut alors prédire la charge pour la partie
non-observée dans le triangle,
Ci,j = λn−i...λj−1 Ci,n+1−i.
29

2.1 Des réécritudes du modèle
Notons qu’au lieu de calculer les facteurs de développement, on peut aussi des
taux de développement, cumulés ou non. Autrement dit, au lieu d’écrire
Ci,j+1 = λjCi,j pour tout i, j = 1, · · · , n, on suppose que
Ci,j = γjCi,n ou Yi,j = ϕjCi,n.
On notera que
γj =
n
k=j+1
1
λk
et ϕj =



γ1 si j = 1
γj − γj−1 si j > 1
Ces valeurs ont été calculées dans le Tableau 6.
30

0 1 2 3 4 5
λj 1,38093 1,01143 1,00434 1,00186 1,00474 1,0000
γj 70,819% 97,796% 98,914% 99,344% 99,529% 100,000%
ϕj 70,819% 26,977% 1,118% 0,430% 0,185% 0,000%
Table 6 – Facteurs de développement, λ = (λi), exprimés en cadence de paiements
par rapport à la charge utlime, en cumulé (i.e. γ), puis en incréments (i.e. ϕ).
Enﬁn, un peu de réecriture montre qu’il est possible de voir l’estimateur
Chain-Ladder comme une moyenne pondérée des facteurs de transition
individuels, i.e.
λj =
n−j
i=1
ωi,jλi,j où ωi,j =
Ci,j
n−j
i=1 Ci,j
et λi,j =
Ci,j+1
Ci,j
.
Aussi, on peut obtenir ces coeﬃcients à l’aide de régressions linéaires pondérées
31

sans constantes, en régressant les C·,j+1 sur les C·,j,
λj = argmin
λ∈R
n−j
i=1
Ci,j λ −
Ci,j+1
Ci,j
2
,
ou encore
λj = argmin
λ∈R
n−j
i=1
1
Ci,j
[λCi,j − Ci,j+1]
2
.
A partir du calcul des facteurs de transition λ = (λi), on complète alors le
triangle, en remontant d’année de survenance en année de survenance, en
commençant par j = 1, puis j = 2, etc (d’échelon en échelon, d’où le nom de
cette méthode). Le triangle complété est présenté dans le Tableau 2.1.
32

0 1 2 3 4 5
1 3209 4372 4411 4428 4435 4456
2 3367 4659 4696 4720 4730 4752.4
3 3871 5345 5398 5420 5430.1 5455.8
4 4239 5917 6020 6046.15 6057.4 6086.1
5 4929 6794 6871.7 6901.5 6914.3 6947.1
6 5217 7204.3 7286.7 7318.3 7331.9 7366.7
Table 7 – Triangle des paiements cumulés, C = (Ci,j)i+j≤n avec leur projection
future C = (Ci,j)i+j>n.
33

2.2 Une approche par sommes marginales
Au delà de l’approche Markovienne du problème de provisionnement que l’on
vient de voir (et qui sera reprise dans la section 3), il existe une caractérisation
particulièment intéressante, que l’on retrouvera dans la section 4.
En fait, si l’on cherche des vecteurs A = (A0, · · · , An) et B = (B0, · · · , Bn), avec
B0 + · · · + Bn = 1, tels que
n−j
i=1
AiBj =
n−j
i=1
Yi,j pour tout j, et
n−i
j=0
AiBj =
n−i
j=0
Yi,j pour tout i,
(on ne somme que sur la partie observée du triangle) les montants prédits dans la
partie inférieure du triangles, i.e. (AiBj)i+j>n, coïncident avec les quantités
prédites par la méthode Chain Ladder ([23]).
34

Proposition1
S’il existe A = (A0, · · · , An) et B = (B0, · · · , Bn), avec B0 + · · · + Bn = 1, tels que
n−j
i=1
AiBj =
n−j
i=1
Yi,j pour tout j, et
n−i
j=0
AiBj =
n−i
j=0
Yi,j pour tout i,
alors
Ci,n = Ai = Ci,n−i ·
n−1
k=n−i
λk
où
Bk =
n−1
j=k
1
λj
−
n−1
j=k−1
1
λj
, avec B0 =
n−1
j=k
1
λj
.
Autrement dit, le montant de provision coïncide avec l’estimateur obtenu par la méthode
Chain Ladder.
cf. méthode des marges ([2]).
35

Remarque1
L’idée de cette méthode remonte aux années 30. Comme le note [1], décrivant la
méthode Chain-Ladder, ”son apparente rigueur mathématique et sa simplicité
semblent résoudre sans effort toutes les difficultés. Il n’en est malheureusement
rien. [...] La cadence de règlements ne peut être constante que si l’assureur prend
en charge un nombre de sinistres suffisant pour que la loi des grands nombres
puisse jouer. Les changements de jurisprudence qui aggravent la responsabilité
des assurés et les dépréciations monétaires aboutissement à une augmentation des
indemnités allouées, et ralentissent la cadence des règlements des exercices
antérieurs dont les sinistres non encore réglés se trouvent majorés”. Et plus
précisément, [11] remarquait que ”la méthode de la cadence numérique appliquée
aux éléments statistiques que nous possédons nous paraît donc devoir donner des
résultats empreints d’une assez grande incertitude.”
36

3 De Mack à Merz & Wüthrich
3.1 Quantiﬁer l’incertitude dans une prédiction
On souhaite comparer R et R (où R n’est pas inconnu mais aléatoire). Le mse de
prédiction, peut s’écrire (en faisant une approximation au premier ordre),
E([R − R]2
) ≈ E([R − E(R)]2
)
mse(R)
+ E([R − E(R)]2
)
Var(R)
En fait, en toute rigueur (et nous en aurons besoin par la suite), on cherche un
msep conditionnel à l’information dont on dispose au bout de n années,
msepn(R) = E([R − R]2
|Hn).
37

3.2 Le formalisme de Mack
[17] a proposé un cadre probabiliste aﬁn de justiﬁer l’utilisation de la méthode
Chain-Ladder. Pour cela, on suppose que (Ci,j)j≥0 est un processus Markovien,
et qu’il existe λ = (λj) et σ = (σ2
j ) tels que



E(Ci,j+1|Hi+j) = E(Ci,j+1|Ci,j) = λj · Ci,j
Var(Ci,j+1|Hi+j) = Var(Ci,j+1|Ci,j) = σ2
j · Ci,j
On note que sous ces hypothèses,
E(Ci,j+k|Hi+j) = E(Ci,j+k|Ci,j) = λj · λj+1 · · · λj+k−1Ci,j
[17] rajoute une hypothèse supplémentaire d’indépendance entre les années de
survenance, (Ci,j)j=1,...,n et (Ci ,j)j=1,...,n sont indépendant pour tout i = i .
Une réécriture du modèle est alors de supposer que
Ci,j+1 = λjCi,j + σj Ci,jεi,j
38

où les résidus (εi,j) sont i.i.d., centrés et de variance unitaire.
=⇒ méthodes des moindres carrés pondérés pour estimer ces coeﬃcients, avec
des poids inversement proportionnels à la variance, Ci,j, i.e. à j donné, on
cherche à résoudre
min
n−j
i=1
1
Ci,j
(Ci,j+1 − λjCi,j)
2
Pour tester ces deux premières hypothèses, on commence par représenter les
C·,j+1 en fonction des C·,j à j donné. Si la première hypothèse est vériﬁée, les
points doivent être alignés suivant une droite passant par l’origine.
Pour la seconde hypothèse, on peut étudier les résidus standardisés ([17] parle de
weighted residuals), i,j =
Ci,j+1 − λjCi,j
Ci,j
.
39

λj =
n−j
i=1 Ci,j+1
n−j
i=1 Ci,j
, ∀j = 1, · · · , n − 1.
est un estimateur sans biais de λj.
L’utilisation des résidus standardisés nous donnent d’ailleurs une idée simple
pour estimer le paramètre de volatilité.
σ2
j =
1
n − j − 1
n−j−1
i=1
Ci,j+1 − λjCi,j
Ci,j
2
ce qui peut aussi s’écrire
σ2
j =
1
n − j − 1
n−j−1
i=1
Ci,j+1
Ci,j
− λj
2
· Ci,j
(ce qui est à rapprocher de l’écriture du facteur de transition λ comme moyenne
pondérée des facteurs de transitions observés).
Cette méthode permet d’estimer les diﬀérents paramètres intervenants dans le
modèle de Mack.
40

3.3 La notion de tail factor
Classiquement on suppose que la première ligne de notre triangle est close : il n’y
a plus de sinistres ouverts
Cette hypothèse est trop forte pour les branches à déroulement long. On
supposera ([18]) qu’il existe λ∞ > 1 tel que
Ci,∞ = Ci,n × λ∞.
Une méthode qui a souvent été utilisée a reposé sur l’idée que l’on pouvait
projeter les λi par une extrapolation exponentielle (ou une extrapolation linéaire
des log(λk − 1)), puis on pose
λ∞ =
k≥n
λk
Exemple1
Sur notre triangle, cette méthode prévoit de rajouter 0.07% de charge par rapport à la
prédiction faite par les méthodes classiques (en supposant la première année close).
41

q
q
q
q
q
2 4 6 8 10
−12−10−8−6−4−2
Année de développment
Figure 3 – Ajustement linéaire sur le nuage {(k, log(λk − 1))}.
42

3.4 De l’incertitude sur Ri et R
L’incertitude est ici quantiﬁée à l’aide du mean squared error,
mse(Ri) = mse(Ci,n − Ci,n−i) = mse(Ci,n) = E Ci,n − Ci,n
2
|Hn
Proposition2
Le mean squared error du montant de provision mse(Ri), pour une année de survenance
i, peut être estimé par
mse(Ri) = C2
i,n
n−1
k=n−i
σ2
k
λ2
k
1
Ci,k
+
1
n−k
j=1 Cj,k
.
Toutefois, une compagnie doit au minimum provisionner pour la branche
d’activité, et par par année. Il faut ensuite calculer le mse pour
43

R = R1 + · · · + Rn. En fait, on notera que
mse(R) = E


n
i=2
Ri −
n
i=2
Ri
2
|Hn


Proposition3
Le mean squared error du montant de provision mse(R), pour l’ensemble des années de
survenance, peut être estimé par
mse(R) =
n
i=2
mse(Ri) + 2
2≤i<j≤n
Ci,nCj,n
n−1
k=n−i
σ2
k/λ2
k
n−k
l=1 Cl,k
.
Cette vision est parfois appelée vision à l’ultime de l’incertitude relative au
montant de provision.
Exemple2
Sur le triangle 2 mse(R) = 79.30, alors que mse(Rn) = 68.45, mse(Rn−1) = 31.3 ou
mse(Rn−2) = 5.05.
44

3.5 L’incertitude à un an de Merz & Wüthrich
Pour comprendre la notion d’incertitude à un an, plaçons nous un an en arrière.
A la ﬁn de l’année n − 1, nous disposions du triangle sans la dernière diagonale,
que l’on avait alors complété par la méthode Chain Ladder (Tableau 3.5). Si l’on
ne s’intéresse qu’aux années antérieures, i = 1, · · · , n − 1, à la ﬁn de l’année n,
nous avions obtenu un triangle avec une diagonale supplémentaire que l’on avait
alors complété par la méthode Chain Ladder (Tableau 3.5).
45

0 1 2 3 4
1 3209 4372 4411 4428 4435
2 3367 4659 4696 4720 4727.4
3 3871 5345 5398 5422.3 5430.9
4 4239 5917 5970.0 5996.9 6006.4
5 4929 6810.8 6871.9 6902.9 6939.0
Table 8 – Triangle des paiements cumulés sur les années antérieures, C =
(Ci,j)i+j≤n−1,i≤n−1 avec les projection future C = (Ci,j)i+j>n−1.
46

0 1 2 3 4 5
1 3209 4372 4411 4428 4435 4456
2 3367 4659 4696 4720 4730 4752.4
3 3871 5345 5398 5420 5430.1 5455.8
4 4239 5917 6020 6046.15 6057.4 6086.1
5 4929 6794 6871.7 6901.5 6914.3 6947.1
Table 9 – Triangle des paiements cumulés sur les années antérieures, C =
(Ci,j)i+j≤n,i≤n−1 avec les projection future C = (Ci,j)i+j>n.
47

A la fin de l’année n − 1, le montant de provisions constitué était de 2114, 61,
pour ces n − 1 premières années. Au final, on pensait payer 27513, 61 (toutes
années confondues). A la fin de l’année n, la charge totale était revue à la hausse,
passant à 27697, 33. Cette augmentation de 183, 72 est appelée mali. C’est
l’incertitude associée à cet quantité qui est aujourd’hui demandé dans Solvabilité
II.
Formellement, il convient d’introduire dans les notations la date à laquelle est
faite l’estimation. Par exemple, on distinguera
λn
j =
n−i−1
i=1 Ci,j+1
n−i−1
i=1 Ci,j
et λn+1
j =
n−i
i=1 Ci,j+1
n−i
i=1 Ci,j
La section précédante permet de monter que
E(λn
j |Hn) = λj et E(λn+1
j |Hn+1) = λj.
Sauf qu’ici, on se place toujours à la date n. Il convient alors de calculer
E(λn+1
j |Hn)
48

Notons que si l’on pose Sn
j = C1,j + C2,j + · · · , Cj,n−j,
λn+1
j =
n−i
i=1 Ci,j+1
n−i
i=1 Ci,j
=
n−i
i=1 Ci,j+1
Sn+1
j
=
n−1−i
i=1 Ci,j+1
Sn+1
j
+
Cn−j,j+1
Sn+1
j
soit simplement
λn+1
j =
Sn
j · λn
j
Sn+1
j
+
Cn−j,j+1
Sn+1
j
.
Lemme1
Sous les hypothèses du modèles de Mack,
E(λn+1
j |Hn) =
Sn
j
Sn+1
j
· λn
j + λj ·
Cn−j,n
Sn+1
j
.
On en déduit en particulier que
E(Cn+1
i,j |Hn) = Ci,n−i · λn−i ·
j−1
k=n−i+1
E λn+1
k |Hn .
49

En reprenant les notations de [19], on peut étudier la variation du boni/mali
d’une année sur l’autre, c’est à dire du changement dans la prédiction de la
charge totale, entre deux années.
Pour cela, on introduit le concept suivant
Déﬁnition1
Le claims development result CDRi(n + 1), pour l’année de survenance i, entre les
dates n et n + 1, aussi appelé boni ou mali (suivant qu’il est positif ou négatif), est
CDRi(n + 1) = E(Rn
i |Hn) − Yi,n−i+1 + E(Rn+1
i |Hn+1) ,
où Yi,n−i+1 correspond à l’incrément de paiements, Yi,n−i+1 = Ci,n−i+1 − Ci,n−i.
On notera que CDRi(n + 1) est une martingale Hn+1-mesurable, et que l’on peut
réécrire
CDRi(n + 1) = E(Ci,n|Hn) − E(Ci,n|Hn+1).
En transpirant un peu, on arrive ﬁnalement à la propriété suivante
50

Lemme2
Sous les hypothèses du modèle de Mack, un estimateur de E(CDRi(n + 1)2
|Hn)
mse(CDRi(n + 1)|Hn) = C2
i,n Γi,n + ∆i,n
où
∆i,n =
σ2
n−i+1
λ2
n−i+1Sn+1
n−i+1
+
n−1
j=n−i+2
Cn−j+1,j
Sn+1
j
2
σ2
j
λ2
j Sn
j
et
Γi,n = 1 +
σ2
n−i+1
λ2
n−i+1Ci,n−i+1
n−1
j=n−i+2
1 +
σ2
j
λ2
j [Sn+1
j ]2
Cn−j+1,j − 1
Remarque2
On peut noter que C2
i,n∆i,n est un estimateur de
E [E(CDRi(n + 1)|Hn)]2
|Hn .
51

En revanche C2
i,nΓi,n est un estimateur de
Var(CDRi(n + 1)|Hn).
[19] ont alors approché ce dernier terme terme par
Γi,n ≈
σ2
n−i+1
λ2
n−i+1Ci,n−i+1
+
n−1
j=n−i+2
Cn−j+1,j
Sn+1
j
2
σ2
j
λ2
j Cn−j+1,j
en faisant tout simplement un développement de la forme (1 + ui) ≈ 1 + ui,
mais qui n’est valide que si ui est petit, soit ici
σ2
j
λ2
j
<< Cn−j+1,j.
Pour l’erreur d’estimation, on parle également d’erreur de prédiction
rétrospective, il convient de calculer, puis d’estimer
E [CDRi(n + 1) − CDRi(n + 1)]2
|Hn ,
52

et pas seulement
E(CDRi(n + 1)2
|Hn)
comme nous venons de le faire. Mais comme nous le rappelerons par la suite, la
règlementation ne tient pas compte de ce terme, car il est illégal de supposer
CDRi(n + 1) = 0.
Toutefois, pour ce terme, il est possible de montrer la propriété suivante
Lemme3
Sous les hypothèses du modèle de Mack, un estimateur de
E([CDRi(n + 1) − CDRi(n + 1)]2
|Hn) est
mse(CDRi(n + 1)|Hn) = C2
i,n Φi,n + ∆i,n
où
Φi,n = 1 +
σ2
n−i+1
λ2
n−i+1Ci,n−i+1


n−1
j=n−i+2
1 +
σ2
j
λ2
j [Sn+1
j ]2
Cn−j+1,j − 1

 .
53

[19] ont alors approché ce dernier terme terme par
Φi,n ≈
n−1
j=n−i+2
[σn
j ]2
[λn
j ]2Cn−j+1,j
Cn−j+1,j
Sn+1
j
2
,
en faisant là encore un développement de la forme (1 + ui) ≈ 1 + ui, mais
qui n’est valide que si ui est petit, soit ici
σ2
j
λ2
j
<< Cn−j+1,j.
En considérant ces approximations, et en supposant qu’il est légalement
impossible de prédire autre chose que CDRi(n + 1) = 0, on peut ﬁnallement
réécrire
54

Proposition4
Sous les hypothèses du modèle de Mack,
msen(CDRi(n + 1)) ≈ [Cn
i,n]2 [σn
n−i+1]2
[λn
n−i+1]2
1
Ci,n−i+1
+
1
Sn
n−i+1
+
n−1
j=n−i+2
[σn
j ]2
[λn
j ]2

 1
Sn
j
Cn−j+1,j
Sn+1
j
2

 .
Pour rappel, la formule de Mack proposait
msen(Ri) = [Cn
i,n]2 [σn
n−i+1]2
[λn
n−i+1]2
1
Ci,n−i+1
+
1
Sn
n−i+1
+
n−1
j=n−i+2
[σn
j ]2
[λn
j ]2
1
Ci,j
+
1
Sn
j
.
Autrement dit, dans le mse du CDR, seulement le première terme de l’erreur de modèle
de la formule de Mack est considérée, et pour l’erreur d’estimation, on ne considère que
la première diagonale i + j = n + 1 (les termes suivants étant écrasés par le facteur
Cn−j+1,j/Sn+1
j ).
55

Enﬁn, si l’on regarde ﬁnalement ce qui se passe toutes années de survenance
confondues, on a une formule qui peut encore se rapprocher de celle proposée par
Mack, à savoir
msen(CDR(n + 1)) ≈
n
i=1
msen(CDRi(n + 1))
+2
i<l
Cn
i,nCn
l,n


[σn
n−i]2
/[λn
n−i]2
i−1
k=0 Ck,n−i
+
n−1
j=n−i+1
Cn−j,j
n−j
k=0 Ck,j
[σn
j ]2
/[λn
j ]2
n−j−1
k=0 Ck,j

 .
Cette approximation n’est toutefois valide que si Cn−j+1,j ≤ Sn+1
j .
Exemple3
Sur le triangle 2 msen(CDR(n + 1)) = 72.57, alors que msen(CDRn(n + 1)) = 60.83,
msen(CDRn−1(n + 1)) = 30.92 ou encore msen(CDRn−2(n + 1)) = 4.48. La
formule approchée donne des résultats semblables.
56

Arthur CHARPENTIER, JES 2010, assurance 4 RÉGR
4 Régression Poissonnienne et approches
économétriques
Dans cette section, nous nous éloignerons des modèles récursifs inspirés de la
méthode Chain Ladder, et nous reviendrons sur des classes de modèles très
utilisés dans les années 70, appelés modèles à facteurs, remis au goût du jour en
proposant une lecture économétrique de ces modèles, permettant ainsi d’obtenir
des intervalles de conﬁance des diﬀérentes grandeurs.
57

4.1 Les modèles à facteurs, un introduction historique
Avant de présenter l’utilisation des modèles de régression, on peut commencer
par évoquer des modèles plus anciens. Par exemple [26] supposait que
Yi,j = rj · µi+j, pour tout i, j
i.e. le paiement effectué l’année i + j pour les sinistres survenus l’année i est
function d’un effet colonne (de cadence de paiement) et un effet diagonal, que
Taylor interprète comme un facteur d’inflation. Ce modèle peut se réécrire, dès
lors qu’il n’y a pas d’incrément positif,
log Yi,j = αi + γi+j
qui prend alors une forme linéaire.
Comme nous l’avons noté un modèle de la forme
Yi,j = ai × bj
pourra se rapprocher du modèle Chain Ladder.
58

4.2 Les modèles Gaussiens de de Vylder et de
Christophides
Considèrerons un modèle
Yi,j ∼ N(αiβj, σ2
), ∀i, j
On peut estimer les coeﬃcients par moindres carrés,
(α, β) = argmin



i,j
[Yi,j − αiβj]2



.
Les équations normales s’écrivent ici αi =
j Yi,jβj
j β2
j
et βj = i Yi,jαi
i α2
i
, ce qui ne
résoud pas explicitement. Pour le résoudre, [4] a suggéré de le réécrire comme un
modèle log-linéaire, i.e.
log Yi,j ∼ N(ai + bj, σ2
), ∀i, j
59

4.3 La régression poissonnienne de Hachemeister &
Stanard
[10], [13] et enﬁn [16] ont montré que dans une régression log-Poisson sur les
incréments, la somme des prédictions des paiments à venir correspond à
l’estimateur Chain Ladder.
On suppose ici que E(Yi,j) = µi,j = exp[ri + cj] = ai · bj.
Il y a ici un 2n paramètres à estimer, a = (a0, · · · , an) et b = (b0, · · · , bn), avec
une contrainte de la forme b0 + · · · + bn = 1 (car il nous reste un degré de
liberté). C
une fois estimés ces paramètres, il est possible de prédire la partie inférieure du
triangle très simplement, i.e.
Yi,j = µi,j = exp[ri + cj] = ai · bj.
Exemple4
Sur le triangle 2, on obtient la sortie de régression suivante, en régressant sur un facteur
60

ligne, et un facteur colonne.
Call:
glm(formula = Y ~ lig + col, family = poisson("log"), data = base)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 8.05697 0.01551 519.426 < 2e-16 ***
lig2 0.06440 0.02090 3.081 0.00206 **
lig3 0.20242 0.02025 9.995 < 2e-16 ***
lig4 0.31175 0.01980 15.744 < 2e-16 ***
lig5 0.44407 0.01933 22.971 < 2e-16 ***
lig6 0.50271 0.02079 24.179 < 2e-16 ***
col2 -0.96513 0.01359 -70.994 < 2e-16 ***
col3 -4.14853 0.06613 -62.729 < 2e-16 ***
col4 -5.10499 0.12632 -40.413 < 2e-16 ***
col5 -5.94962 0.24279 -24.505 < 2e-16 ***
col6 -5.01244 0.21877 -22.912 < 2e-16 ***
61

---
Signif. codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’ ’ 1
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 46695.269 on 20 degrees of freedom
Residual deviance: 30.214 on 10 degrees of freedom
(15 observations deleted due to missingness)
AIC: 209.52
Number of Fisher Scoring iterations: 4
Les prédictions Yi,j sont indiquées dans le tableau 4.3.
62

0 1 2 3 4 5
1 3209 4372 4411 4428 4435 4456
2 3367 4659 4696 4720 4730 4752.4
3 3871 5345 5398 5420 5430.1 5455.8
4 4239 5917 6020 6046.15 6057.4 6086.1
5 4929 6794 6871.7 6901.5 6914.3 6947.1
6 5217 7204.3 7286.7 7318.3 7331.9 7366.7
Table 10 – Triangle des prédictions d’incréments de paiements, Y = (Yi,j)0≤i,j≤n
par une régression log-Poisson.
63

the occurrence factor αi the development factor βj
64

Yi,j = exp[αi + βj] Yi,j = exp[αi + βj]
on past observations on the future
65

4.4 Incertitude dans un modèle de régression
Nous avions noté auparavant qu’obtenir une estimation du montant de sinistres
restant à payer ne suﬃsait pas, et qu’il fallait avoir un intervalle de conﬁance, ou
- au moins - une mesure de la dispersion du vrai montant autour de cette valeur
prédite.
66

q
q
q
q
0 2 4 6 8 10
02468
q
q
q
q
q
67

4.4.1 Les formules économétriques fermées
Les modèles de régressions pourraient paraître très intéressants car il existe des
formules fermés pour toutes sortes de prédictions. Par exemple, dans une
régression GLM avec un lien logarithmique, rappelons que
E(Yi,j|Hn) = µi,j = exp[ηi,j]
ou encore
Yi,j = µi,j = exp[ηi,j].
La delta method nous permet d’écrire que
Var(Yi,j) ≈
∂µi,j
∂ηi,j
2
· Var(ηi,j),
ce qui se simpliﬁe dans le cas où le lien est logarithmique, i.e.
∂µi,j
∂ηi,j
= µi,j
68

Aussi, pour une loi de Poisson surdispersée (comme dans [20]),
E [Yi,j − Yi,j]2
≈ φ · µi,j + µ2
i,j · Var(ηi,j)
pour la partie inférieure du triangle. Et en notant que
Cov(Yi,j, Yk,l) ≈ µi,j · µk,l · Cov(ηi,j, ηk,l).
on peut calculer
E [R − R]2
≈


i+j>n
φ · µi,j

 + µ · Var(η) · µ
Remarque3
Cette formule est malheureusement asymptotique, ce qui est rarement le cas en
provisionnement où l’on dispose de très peu de données.
Exemple5
Sur notre triangle, on obtient un mean squared error de l’ordre de 131.77.
69

4.4.2 Les méthodes de simulations
Les méthodes de simulation sont une bonne alternative si on dispose de trop peu
de données pour invoquer des théorèmes asymptotiques. Rappelons, comme le
notait [17] qu’il existe 2 sources d’incertitude,
– l’erreur de modèle (on parle de process error)
– l’erreur d’estimation (on parle de variance error)
Il sera alors nécessaire d’utiliser deux algorithmes pour quantifier ces deux
erreurs.
Afin de quantifier l’erreur d’estimation, il est naturel de simuler des faux
triangles (supérieurs), puis de regarder la distribution des estimateurs de
montant de provisions obtenus pour chaque triangles. A l’étape b, on génère un
pseudo triangle à l’aide des résidus de Pearson. Rappelons que pour une
régression de Poisson,
εi,j =
Yi,j − µi,j
µi,j
.
Les erreurs de Peqrson obtenues peuvent être visualisées dans le Tableau 4.4.2
70

0 1 2 3 4 5
1 0.948 -1.128 -1.533 -0.489 -0.427 0.000
2 0.024 0.277 -2.213 0.792 0.414
3 0.116 0.056 -1.024 -0.297
4 -1.082 0.891 4.237
5 0.130 -0.211
6 0.000
Table 11 – Le triangle des résidus de Pearson, ε où εi,j = µ
−1/2
i,j · [Yi,j − µi,j].
On considère les erreurs de Pearson de manière à normaliser les résidus (que l’on
pourra alors supposer i.i.d).
Remarque4
Les résidus de Pearson ne sont générallement pas Gaussien.
71

Densité
Résidus
−2 0 2 4
0.00.10.20.30.40.5
−2 0 2 40.00.20.40.60.81.0
Fonction de répartition
Résidus
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Figure 4 – Distribution empirique des résdus de Pearson.
72

En simulant des erreurs (qui sont supposées indépendantes et identiquement
distribuée), ˜εb
= (˜εb
i,j), on pose alors
Y b
i,j = µi,j + µi,j · ˜εb
i,j.
Pour générer des erreurs, la méthode la plus usuelle est d’utiliser une simulation
nonparamétrique, c’est à dire que l’on va bootstrapper les résidus parmi les
pseudorésidus obtenus ε. Sinon il est aussi possible d’utiliser un modèle
paramétrique (par exemple supposer une loi normale, même si rien -
théoriquement - ne justiﬁe cette méthode).
Le Tableau 4.4.2 présente un triangle simulé Y b
= (Y b
i,j).
73

0 1 2 3 4 5
1 3155.7 1216.4 42.2 18.2 9.0 22.9
2 3381.7 1245.4 84.0 18.2 11.1
3 3726.1 1432.5 61.44 23.44
4 4337.3 1642.8 74.6
5 4929.0 1879.8
6 5186.1
Table 12 – Triangle de paiements bootstrapé, Y b
= (Y b
i,j).
74

0 1 2 3 4 5
1 0.00 0.414 -1.082 -0.211 0.0277 0.414
2 0.277 -1.024 4.237 -0.489 0.792
3 -2.213 -1.024 0.056 0.000
4 0.414 0.024 0.792
5 0.130 0.130
6 -0.427
Table 13 – Triangle de résidus simulé par bootstrap, εb
= (εb
i,j).
Une fois simulé un pseudo triangle d’incréments de paiments, on prédit un
montant de provision Rb
(par exemple via une méthode Chain Ladder, ou en
refaisant une modélisation log-Poisson si les incréments de paiements sont tous
positifs). La variance des Rb
correspond à l’erreur d’estimation.
75

Le Tableau 14 présente la modélisation du triangle simulé 4.4.2 par un modèle
log-Poisson Y
b
= (Y b
i,j). La somme des termes dans la partie inférieure donne une
valeur possible pour l’estimation du montant de provision Rb
= 2448.175.
0 1 2 3 4 5
1 3157.5 1199.1 56.7 18.4 9.7 22.8
2 3369.9 1279.8 60.5 19.6 10.3 24.4
3 3735.8 1418.7 67.1 21.7 11.5 27.0
4 4331.7 1645.1 77.8 25.2 13.3 31.4
5 4934.6 1874.0 88.6 28.7 15.2 35.7
6 5186.1 1969.5 93.1 30.2 16.0 37.6
Table 14 – Triangle des prédictions Y
b
= (Y b
i,j) obtenues sur le triangle simulé,
Y b
= (Y b
i,j).
76

Aﬁn de prendre en compte l’erreur de modèle, plusieurs méthodes peuvent être
utilisées. La première, et la plus simple, consiste à noter qu’à partir du pseudo
triangle Y b
i,j, peut obtenir des prédictions pour la partie inférieure, Y b
i,j. Compte
tenu du modèle Poissonnien, on peut alors simuler une trajectoire possible
d’incréments de paiements en simulant les Y b
i,j à l’aide de loi de Poisson de
paramètre Y b
i,j.
Le Tableau 4.4.2 une simulation de paiements futurs à partir du triangle simulé
4.4.2 Y b
∼ P(Y
b
). La somme des termes dans la partie inférieure dans une
valeur possible pour les paiements restant à faire Rb
.
77

0 1 2 3 4 5
1
2 29
3 10 24
4 27 11 37
5 94 34 16 40
6 1956 102 26 15 36
Table 15 – Triangle de paiements simulés, Y b
∼ P(Y
b
).
La seconde méthode est d’utiliser une relecture du modèle de [17], proposée par
[8]. A partir du pseudo triangle, on va utiliser les facteurs de développement λj et
les variances associés σ2
j obtenus sur le triangle initial. On prolonge alors le
78

triangle dans la partie inférience via le modèle dynamique
Cb
i,j+1|(Cb
i,j, · · · , Cb
i,0) ∼ N(λjCb
i,j, σ2
j Cb
i,j).
Exemple6
Sur le triangle 2 la variance empirique de R nous permet d’avoir un bon estimateur de
mse(R). Ici, à l’aide de 100 000 simulations, on obtient la distribution pour R donnée
sur la Figure 5. Sur cet exemple, on obtient un écart-type (empirique) pour les
simulations de Rb
de l’ordre de 84.12 (ce qui se rapproche davantage des 79.3 de la
méthode de Mack, que des 131.7 obtenus par développements asymptotiques).
79

2200 2300 2400 2500 2600 2700
0.0000.0010.0020.0030.0040.005
Montant de provisions
Figure 5 – Distribution de R, par simulation et par la méthode de Mack (sous
hypothèse de normalité de R)
80

4.5 Quel modèle de régression ?
Nous avions justiﬁé l’utilisation de la loi de Poisson, car le montant de provisions
prédit coïncidait avec l’estimateur Chain Ladder. Mais rien ne permet de justiﬁer
statistiquement l’adéquation de la loi de Poisson a nos données.
4.5.1 Prise en compte d’une éventuelle surdispersion
En fait, la régression quasi Poisson peut éventuellement être plus adaptée
(comme cela est mentionné par exemple dans [24]).
Exemple7
Sur le triangle 2 une modélisation par une loi quasiPoisson donne la sortie suivante
Call:
glm(formula = Y ~ lig + col, family = quasipoisson("log"), data = base)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
81

(Intercept) 8.05697 0.02769 290.995 < 2e-16 ***
lig2 0.06440 0.03731 1.726 0.115054
lig3 0.20242 0.03615 5.599 0.000228 ***
lig4 0.31175 0.03535 8.820 4.96e-06 ***
lig5 0.44407 0.03451 12.869 1.51e-07 ***
lig6 0.50271 0.03711 13.546 9.28e-08 ***
col2 -0.96513 0.02427 -39.772 2.41e-12 ***
col3 -4.14853 0.11805 -35.142 8.26e-12 ***
col4 -5.10499 0.22548 -22.641 6.36e-10 ***
col5 -5.94962 0.43338 -13.728 8.17e-08 ***
col6 -5.01244 0.39050 -12.836 1.55e-07 ***
---
Signif. codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’ ’ 1
(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 3.18623)
Null deviance: 46695.269 on 20 degrees of freedom
82

Residual deviance: 30.214 on 10 degrees of freedom
(15 observations deleted due to missingness)
AIC: NA
Number of Fisher Scoring iterations: 4
Le paramètre de surdispersion φ vaut ici 3.18 (qui est signiﬁcativement supérieur à 1).
L’estimation (mais pas la signiﬁcativité) donne les mêmes résulats que la
régression de Poisson, toutefois, il faut alors pour simuler une loi quasi Poisson.
La simulatin de cette quasi loi, se fait généralement suivant une des deux
méthodes suivantes. La première idée est d’utiliser une approximation par une loi
binomiale négative BN(r, p). Et l’autre est d’utiliser une approximation par une
loi Gamma (dont on pourra prendre la partie entière).
83

2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800
0.0000.0010.0020.0030.0040.005
Montant de provisions
Figure 6 – Distribution de R, avec simulations quasi Poisson.
84

4.5.2 Entre un modèle Poisson et un modèle Gamma
Si les modèles GLM sont générallement présentés comme des modèles où une
hypothèse de loi est faite (la loi de la variable dépendante Y devant appartenir à
la famille exponentielle), rappelons les modèles GLM peuvent être caractérisés
par une modélisation des deux premiers moments,
E(Y |X) = h(Xβ) et Var(Y |X) = V (E(Y |X)) = g((Xβ)),
où
– la fonction lien, h, qui lie la prédiction aux facteurs, ici
Yi,j = E(Yi,j|Hn) = exp[γ + αi + βj],
– la loi ou la fonction variance, V , qui donne la forme de la dispersion, ici
Var(Yi,j|Hn) = φ · E(Yi,j|Hn).
L’unique motivation du modèle précédent (loi de Poisson, i.e. fonction variance
identité, et lien logarithmique) est qu’il permet d’obtenir exactement le même
montant que la méthode Chain Ladder. Mais aucun critère statistique n’a été
évoqué, pour l’instant, aﬁn de légitimer ce modèle.
85

Les modèles Tweedie sont une famille de sur-modèle, incluant le modèle
Poissonnien. On suppose que
– la fonction lien, est une fonction puissance, ou plutôt une tranformée de
Box-Cox, Yi,j = g−1
λ [γ + αi + βj] où gλ(x) = λ−1
[xλ
− 1] si λ > 0, avec le cas
limite g0(x) = log(x).
– la fonction variance, qui donne la forme de l’intervalle de conﬁance, ici
Var(Yi,j|Hn) = φ · E(Yi,j|Hn)κ
où les paramètres λ et κ sont inconnus.
Remarque5
Formellement, dans les modèles GLM, on suppose que la loi de Yi,j appartient à la
famille exponentielle, i.e. de densité
f(y; θi,j, φ) = exp
yθi,j − b(θi,j)
φ
+ c(y, φ) .
La fonction variance est ici V (µ) = b ([b ]−1
)(µ). Pour reprendre les notations de [12],
86

on se limite ici aux formes V (µ) = µκ
. Cela signifie que
b(θ) =
1
2 − κ
[(1 − κ)θ]
2−κ
1−κ , pour κ = 1, 2,
avec les cas particulier b(θ) = exp[θ] pour κ = 1 (on a alors une loi quasi-Poisson) et
b(θ) = − log[−θ] pour κ = 2 (on a alors une loi Gamma).
Si l’on supppose que une forme multiplicative Ai · Bj pour modéliser les incréments de
paiements, on aura alors
θi,j = log[Ai · Bj] si κ = 1 et θi,j =
[Ai · Bj]1−κ
1 − κ
sinon.
Afin de juger de la pertinance de l’ajustement, on peut calculer la
log-vraisemblance profilée du modèle, en gardant un lien logarithmique par
exemple (ce qui est parfois plus simple au niveau numérique, mais aussi au
niveau de l’interprétation), ou le critère d’Akaike.
87

q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
−104−102−100−98−96−94
Puissance de la fonction variance
Logvraisemblance
Figure 7 – Évolution de la log-vraisemblance proﬁlée en fonction de κ.
88

q q q q q q q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
243024352440
Puissance de la fonction variance
Montantdeprovisions(total)
Figure 8 – Évolution du montant total de provision R, en fonction de κ.
89

Exemple8
Si l’on souhaite garder un lien logarithmique, le paramètre le plus vraisemblable pour la
fonction variance compris entre 1 et 2, est κ = 1, ce qui correspond à un modèle de
Poisson (ou plutôt quasi-Poisson).
Remarque6
Ces méthodes de simulations sont sufﬁsement souples pour pouvoir être adaptées, en
particulier pour quantiﬁer l’incertitude à un an. Toutefois, cette approche repose sur
l’utilsation de régression GLM (Poisson ou Gamma), ce qui n’est possible que si les Yi,j
sont positifs. En théorie, il s’agit d’incréments de paiements, qui doivent être positifs,
mais en pratique, il n’est pas rare que de incréments négatifs soient observés. C’est
d’ailleurs possible de générer un pseudo triangle possédant des incréments négatifs (e.g.
[6] ou [14]).
90

Arthur CHARPENTIER, JES 2010, assurance 5
5 Modélisation et prédiction de la mortalité
future
De même que le provisionnement posait le problème de la dynamique de la vie
des sinistres (dont le montant n’est pas connu le jour de la survenance du
sinistre), les contrats d’assurance vie sont liés à des probabilités de décès (ou de
survie) dans un futur plus ou moins lointain.
91

5.1 Modélisation statique des contrats d’assurance vie
En assurance vie, nous allons ici calculer calculer des grandeurs de la forme
E
∞
k=1
Ck
(1 + i)Tk
1(paiement à la date Tk)
où l’assureur s’est engagé à verser un capital Ci à des dates Ti, à condition
qu’une hypothèse soit vériﬁée à la date Ti. Compte tenu de la linéarité de
l’espérance, si l’on suppose le taux d’actualisation non aléatoire, on peut réécrire
cette dernière expression sous la forme :
∞
k=1
Ck
(1 + i)Tk
P(paiement à la date Ti).
La valeur actuelle probable s’écrit, de manière très générale,
k
j=1
Cjpj
(1 + i)j
92

où C = (C1, · · · , Ck) est l’ensemble des montants à verser, i est est le taux
d’actualisation, et p = (p1, · · · , pk) est le vecteur des probabilité de verser le
capital aux diﬀérentes dates.
Exemple9
Le plus simple est probablement la valeur actuelle probable d’un capital différé (pure
endowment) kEx, correspondant à la valeur actuelle probable d’un capital de 1 dans le
cas où une personne actuellement d’âge x soit encore en vie à au bout de k années, i.e.
kEx =
1
(1 + i)k
P(T > x + k|T > x) =
1
(1 + i)k kpx
où kpx désigne la probabilité qu’un individu d’âge x atteigne l’âge x + k.
93

Exemple10
Considérons le cas du versement d’une unité monnétaire, commençant dès aujourd’hui,
et continuant tant que l’assuré sera vivant (on parlera d’annuité vie entière). On
supposera l’annuité payable d’avance. On peut montrer que
äx =
∞
k=0
1
(1 + i)k kpx =
∞
k=0
kEx
Plus généralement, on veut considérer non pas des assurance annuelles, mais
temporaires, d’une durée de n années, i.e.
näx =
n−1
k=0
1
(1 + i)k kpx =
n−1
k=0
kEx
Notons que l’on peut également différer de h années,
h|näx =
h+n−1
k=h
1
(1 + i)k kpx =
h+n−1
k=h
kEx
94

Une table de mortalité est souvent présenté comme le suivi d’une cohorte dans le
temps, avec L0 individus à la naissance. Lk est le nombre de survivants - au sein
de la cohorte - à l’âge k.
Classiquement, kpx =
Lx+k
Lx
alors que kqx =
Lx − Lx+k
Lx
.
Par la suite, on utilisera le taux de hasard,
kpx = Pt(T > x) = exp
x
0
µydy
ou, si on ne considère que des valeurs discrètes
kpx = Pt(T > x) = exp
x
y=0
µy où µy = log
Dy
Ey
.
95

5.2 Extention dans un cadre dynamique
Dans le cadre statique, toutes les grandeurs pouvaient être construites à partir
des Lx, ou des 1px, où x était l’âge des individus (au moment où ils souscrivaient
une police d’assurance). Ici, nous allons intégrer la dimension temporelle, en
notant qu’une table de mortalité est construite à une date t. Aussi, formellement,
on notera Lx,t le nombre de personnes d’âge x en vie à la date t.
Nous disposons ici de données françaises, avec la mortalité des femmes, des
hommes, et de l’ensemble, entre 1899 et 2005. Ici on dispose de Dx,t le nombre de
personnes décédée à l’âge x l’année t, et Ex,t l’exposition.
Pour commencer, on peut visualiser l’évolution de la surface du taux de
mortalité, aﬁn de mieux comprendre la nécessité d’une analyse dynamique de la
démographie, où
µx,t = log
Dx,t
Ex,t
96

Age
0
20
40
60
80
Année
1900
1920
1940
1960
1980
2000
tauxdemortalité
−8
−6
−4
−2
97

0 20 40 60 80 100
−8−6−4−20
Age
Tauxdemortalité
Hommes
Femmes
Figure 9 – Taux de hasard x → µx,t en t = 2000.
98

Compte tenu du lien entre le taux de hasard et les fonctions de survie, on peut en
déduire les fonctions de survie à la naissance (c’est à dire x = 0),
99

0 20 40 60 80 100
0.00.20.40.60.81.0
Age
Fonctiondesurvie(àlanaissance)
Hommes
Femmes
Figure 10 – Survie (à la naissance), en t = 2000, i.e. x → Pt(T > x).
100

0 20 40 60 80 100 120
0.00.20.40.60.81.0
Age
Fonctiondesurvie(àlanaissance)
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Figure 11 – Rectangularisation des fonctions de survie à la naissance.
101

5.3 La lecture transversale des tables
En fait, cette lecture transversale des tables - bien que correspondant à ce que
nous avions fait jusqu’à présent - ne paraît pas valide.
Aussi, aﬁn de lire la fonction de survie pour un individu (ou une cohorte), on ne
lit plus la base par année, mais suivant une diagonale.
102

6 Le modèle de Lee & Carter
La modélisation retenue pour le taux instantané de mortalité est
log µx,t = αx + βxκt + εx,t,
avec les variables aléatoires εx,t i.i.d. ; l’idée du modèle est donc d’ajuster à la
série (doublement indicée par x et t) des logarithmes des taux instantanés de
décès une structure paramétrique (déterministe) à laquelle s’ajoute un phénomène
aléatoire ; le critère d’optimisation retenu va consister à maximiser la variance
expliquée par le modèle, ce qui revient à minimiser la variance des erreurs.
On retient en général les deux contraintes d’identiﬁabilité suivantes :
120
x=0
βx = 1 et
2005
t=1900
κt = 0.
103

the age factors (αx, βx) the time factor t
104

exp[αj + βjγt] exp[αj + βj ˜γt]
on past observations on the future
105

L’estimation des paramètres s’eﬀectue en résolvant (numériquement)
ˆα, ˆβ, κ = arg min
x,t
(log µxt − αx − βxκt)
2
,
où α = (αx), β = (βx) et κ = (κt). Ces cooeﬃcients sont représentés sur la
Figure 12.
106

q
q
q
q
q
q
q
qqqqqq
q
q
q
q
q
q
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qq
qq
q
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q
q
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qqqqqqqqqqqqqqqqq
q
q
0 20 40 60 80 100
−7−6−5−4−3−2−1
Age
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
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q
q
q
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qqqqqqqq
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qqq
qqq
qq
q
q
0 20 40 60 80 100
0.0050.0100.0150.0200.025 Age
Figure 12 – Estimation des coeﬃcients ˆα = (ˆαx) et ˆβ = (ˆβx).
107

Une fois l’ajustement réalisé sur les données disponibles, on peut réaliser des
projections de la mortalité future, c’est à dire du coeﬃcient κt, comme sur la
Figure 13
108

qq
qqqqqqqqq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qqqqqqq
qq
q
qqqqqqqqqq
q
qq
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
qqqq
qqq
q
qq
qqqqqq
qqqqqqq
qqqqqqqqqq
qqqqqqq
qqqqqqqqqq
qq
1900 1950 2000 2050 2100
−300−200−1000100
Années
Figure 13 – Estimation et projection des coeﬃcients κ = (κt).
109

On peut utiliser ces prédictions (en l’occurence à l’aide d’un processus
ARIMA(1, 1, 0) pour prédire l’évolution l’espérance de vie des assurés,
110

0 20 40 60 80 100
020406080
Age
Espérancedevierésiduelle
Figure 14 – Espérances de vie (résiduelle) à l’âge x, à la date t = 2000.
111

Mais au delà des travaux sur les µx,t, on peut également travailler sur une
modélisation des nombres de décès Dx,t. Et le modèle de Lee & Carter (qui
repose sur une idée de modèle Gaussien pour µx,t peut alors servir de base.
L’approche proposée par [3], [9], [5] ou encore [21] consiste à supposer (comme
sur les modèles de provisions) que l’on peut modéliser le nombre de décès à l’aide
d’un modèle GLM Poissonnien. Or compte tenu de l’analyse précédante sur les
taux de décès µx,t, il est légitime de considérer un modèle
Dx,t ∼ P(Ex,t exp[µx,t]).
On considère alors une régression Poissonnienne, avec le logarithme de
l’exposition comme variable oﬀset, mais compte tenu du modèle de Lee & Carter,
il ne s’agit plus d’un modèle GLM, les facteurs α, β et κ n’intervenant plus de
manière linéaire. Mais il est toujours possible d’estimer les paramètres à l’aide
d’algorithmes numériques.
Et de même que pour les modèles de provisionnement on peut alors commencer
une analyse des résidus,
112

Résidus de Pearson , εx,t =
Dx,t − Dx,t
Dx,t
, en fonction de l’âge x
q
q
q q
q q q q q q
q
q
q
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q
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Résidus de Pearson , εj,t =
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Dj,t
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10
20
30
40
50
60
70
80
90
114

Outliers can simply be understood in a univariate context. To extend it in higher
dimension, [27] deﬁned the
depth(y) = min
u,u=0
1
n
n
i=1
1(Xi ∈ Hy,u)
where Hy,u = {x ∈ Rd
such that u x ≤ u y} and for α > 0.5, deﬁned the depth
set as
Dα = {y ∈ R ∈ Rd
such that depth(y) ≥ 1 − α}.
The empirical version is called the bagplot function (see e.g. [22]).
115

−2 −1 0 1
−1.5−1.0−0.50.00.51.0
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where the blue set is the empirical estimation for Dα, α = 0.5.
116

It is possible to extend it to deﬁne (past) functional outliers,
0 20 40 60 80
−8−6−4−2
Age
LogMortalityRate
−10 −5 0 5 10 15
−101234
PC score 1
PCscore2
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