Exercícios resolvidos de geometria plana triângulos retângulos - celso brasil

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Exercícios resolvidos de geometria plana triângulos retângulos - celso brasil

  1. 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (01) Solução 1
  2. 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (02) Determine os valores de x e y nas figuras planas abaixo: (a) (b) Solução (a) (c) (b) (d) 2
  3. 3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (c) (d) (03) Solução 3
  4. 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (04) Um ponto interno de um ângulo reto dista 4 m e 8 m dos lados do ângulo. Qual a distância desse ponto à bissetriz desse ângulo? Solução (05) Um ponto P, interno de um ângulo reto, dista, respectivamente, √ m e 2 m de um lado e da bissetriz do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo. Solução (06) Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 6 m e 9 m dos lados desse ângulo. Qual a distância entre P e a bissetriz do ângulo? Solução 4
  5. 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (07) Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 3 m e 6 m dos lados do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo. Solução Prolongando o segmento de medida 6 m, obtemos o triângulo BCD com 𝐶𝐵 𝐷 = 30°. Daí: A 6m 𝑆𝑒𝑛 30° = D ∆𝐴𝑂𝐵: 𝑇𝑎𝑛𝑔 60° = 6m x 𝐶𝐷 1 3 → = → 𝐵𝐷 = 6 𝑚; 𝐴𝐵 = 12 𝑚 𝐵𝐷 2 𝐵𝐷 3m 60° O ∆𝐴𝑂𝐷: 𝑥² = 30° C 𝐴𝑂 2 𝐴𝐵 12 → √3 = → 𝐴𝑂 = 4√3 𝐴𝑂 𝐴𝑂 𝐴𝐷 2 → 𝑥 2 = 48 + 36 → 𝒙 = 𝟐√𝟐𝟏 𝒎 B (08) Um ponto P, interno de um ângulo de 30°, dista 3 m de um lado e √ vértice do ângulo. Quanto esse ponto dista do outro lado do ângulo? m do Solução 5
  6. 6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves B Prolongamos o segmento cuja medida vamos determinar e obtemos o triângulo ABC. Temos: 90° x 𝑦 2 + 33 = 3√13 𝑡𝑎𝑛𝑔 60° = 3√13 w 𝑆𝑒𝑛 60° = 3 30° 60° a y A z 𝒙= → 𝒚 = 𝟔√𝟑𝒎 3 3 → √3 = → 𝒛 = √𝟑𝒎 𝑧 𝑧 3 √3 3 → = → 𝒘 = 𝟐√𝟑 𝑤 2 𝑤 ∆𝐴𝐵𝐶: 𝑆𝑒𝑛 30° = C 2 𝑥+ 𝑤 1 𝑥 + 2√3 → = → 𝑦+ 𝑧 2 7√3 𝟑√𝟑 𝒎 𝟐 (09) Um ponto P, externo de um ângulo de 60°, dista √ dos lados do √ ângulo, sendo que nenhuma destas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é a distância entre P e a bissetriz do ângulo? Solução Na figura abaixo precisamos determinar a distância PT. Assim, temos: 𝟏 𝑵𝒐 ∆𝑷𝑸𝑾: P 90° W y 𝑠𝑒𝑛 60° = 60° 𝟐 𝑵𝒐 ∆𝑷𝑹𝑺: 90° 60° x 9√3 3√3 √3 3√3 → = → 𝒚= 𝟔 𝒎 𝑦 2 𝑦 𝑠𝑒𝑛 60° = T 9√3 √3 9√3 → = → 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖 𝒎 𝑃𝑆 2 𝑃𝑆 𝟑 𝑪𝒐𝒎𝒐: 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖 x 𝑦 + 2𝑥 = 18 → 6 + 2𝑥 = 18 → 𝒙 = 𝟔 𝒎 30° 30° 60° R S 𝑷𝑻 = 𝒙 + 𝒚 → 𝑃𝑇 = 6 + 6 → 𝑷𝑻 = 𝟏𝟐 𝒎 6
  7. 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (10) Determine o ângulo que a diagonal de um trapézio isósceles forma com a altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual a sua base média multiplicada por √ . Solução (11) Determine a tangente do ângulo “â”, sabendo que “E” é o ponto médio do lado ̅̅̅̅ do quadrado ABCD. D C Solução 2a A E B 7
  8. 8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (12) Determine o raio de um círculo inscrito num setor circular de 60° e 6 dm de raio. Solução (13) Seja AB = 3r, tangente em “A” a uma circunferência de centro “O” e raio “r”. Traça-se por “B” a tangente ̅̅̅̅, que tem “C” por ponto de contato. Calcule a distância “C” à reta ⃡ . Solução 8
  9. 9. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (14) Consideremos um triângulo retângulo ABC, onde a medida de um ângulo agudo é . Determine a medida do raio da circunferência inscrita em função de e da hipotenusa “a”. Solução (15) Um paralelogramo tem lados respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm. Sabendo que um de seus ângulos internos vale 120°, calcule o perímetro do quadrilátero convexo formado pelas bissetrizes de seus ângulos internos. Solução 9
  10. 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (16) Solução 10

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