(6) geometria espacial vi

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(6) geometria espacial vi

  1. 1. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (123) Calcule a área total de um prisma hexagonal regular de 8 m de altura, inscrito numa esfera de 10 m de diâmetro. Solução (124) Em uma esfera de raio R, inscrevemos oitos esferas iguais. Sabendo que cada esfera tangencia outras três e tangencia a esfera maior, determine os raios das esferas inscritas considerando que os seus centros são os vértices de um cubo. Solução (125) Seis esferas de mesmo raio 4 cm têm por centros os centros das faces de um cubo e são tangentes exteriormente, cada uma, a outras quatro. Calcule o raio da esfera tangente exteriormente a essas seis esferas. Solução 1
  2. 2. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (126) No interior de um cubo regular de aresta “a”, existem 9 esferas de mesmo raio “r”. O centro de uma dessas esferas coincide com o centro do cubo e cada uma das demais esferas tangencia a esfera e três faces do cubo. Exprima “a” em função de “r”. Solução (127) Uma esfera de raio R está colocada em uma caixa cúbica, sendo tangente às paredes da caixa. Essa esfera é retirada da caixa e em seu lugar são colocadas 8 esferas iguais, tangentes entre si e também às paredes da caixa. Determine a relação entre o volume não ocupado pela esfera única e o volume não ocupado pelas 8 esferas. 2
  3. 3. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução Resposta: Os volumes são iguais. (128) Calcule o diâmetro da esfera inscrita em um cone de revolução cujo raio da base mede 12 cm e a geratriz 20 cm. Solução (129) Determine a área da esfera inscrita em um cone equilátero cuja área lateral mede 50π cm². Solução 3
  4. 4. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (130) Uma esfera é inscrita num cone reto, com os elementos: r = raio da esfera; R = raio da base do cone; G = Geratriz H = altura. Resolva os problemas: a) dados G e R, calcule H e r; b) dados G e H, calcule R e r; c) dados H e R, calcule g E R; D) Dados H e r, calcule G e R. Solução 4
  5. 5. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (131) Determine o volume e a área lateral de um cone em função da altura h do cone e do raio r de uma esfera inscrita nesse cone. Solução 5
  6. 6. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (132) Uma esfera é colocada no interior de um vaso cônico com √ cm de geratriz e √ cm de altura. Sabendo que os pontos de tangenciadas geratrizes com a superfície esférica estão a 3 cm do vértice, calcule o raio da esfera. Solução (133) Determine o ângulo do vértice de um cone, sabendo que a razão entre a superfície da esfera inscrita e a área total do cone é igual a 4/9. Solução 6
  7. 7. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (134) Determine a altura e o raio da base de um cone de revolução em função do raio da esfera inscrita r e do raio da esfera circunscrita R, sabendo que a geratriz do cone mede 5r. Solução 7
  8. 8. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (135) Determine o volume de um cone, sabendo que uma esfera de raio inscrita no cone tangencia-o internamente num ponto P de sua geratriz a uma distância d do vértice do cone. Solução (136) Determine a área de uma semiesfera inscrita em um cone equilátero, sabendo que a base do cone contém o círculo maior da semiesfera e que o raio da base do cone mede 36 m. Solução (137) Em um cone inscrevemos uma semiesfera de tal modo que o círculo maior dessa semiesfera está contido na base do cone. Determine o ângulo do vértice do cone, sabendo que a superfície do cone e a superfície da esfera estão entre si como 18/5. Solução 8
  9. 9. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (138) Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de revolução, sabendo que a base do cone está inscrita numa face de um cubo de aresta 3a e o vértice do cone está no centro da face oposta. Solução 9
  10. 10. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (139) Em uma pirâmide triangular PABC, as arestas PA, PC e PB são duas a duas perpendiculares. Sabendo que as arestas AB e BC medem 10 cm e a aresta BP mede 6 cm, determine o raio da esfera inscrita nessa pirâmide. Solução 10
  11. 11. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (140) Determine a relação entre o volume de uma pirâmide regular hexagonal e o volume de uma esfera inscrita nessa pirâmide, sabendo que a base da pirâmide e cada face lateral estão inscritas em circunferências de raio r. Solução 11
  12. 12. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (141) Determine o raio de uma esfera inscrita em uma pirâmide regular hexagonal, sabendo que a aresta da base dessa pirâmide mede 2 e a aresta lateral mede 6. Solução 12
  13. 13. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (142) Em uma pirâmide regular hexagonal, cujo ângulo diedro da base mede , inscrevemos uma esfera de raio r. Determine a relação entre o volume da esfera e o volume da pirâmide. Solução 13
  14. 14. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (143) Calcule o raio da base de um cone circular reto, circunscrito a uma esfera de raio unitário, sabendo que o diâmetro da esfera é igual ao segmento maior da secção áurea da altura daquele cone. Solução (144) Dado num plano π um triângulo equilátero ABC de lado l, sobre a perpendicular em A ao plano π toma-se um ponto D tal que AD = 2 l, Determine a posição do centro e calcule o raio da esfera circunscrita ao tetraedro ABCD. Solução 14
  15. 15. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (145) Prove que a área total de um cone equilátero inscrito em uma esfera é igual a ¼ da área total do cone equilátero circunscrito à mesma esfera. Solução (146) Determine a área de um tronco de cone circunscrito a uma esfera de raio R, sabendo que o volume do tronco é igual ao triplo do volume da esfera. Solução 15
  16. 16. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (147) Um plano secciona uma esfera de raio r, determinando um círculo que é base de um cilindro e um cone de revolução inscritos nessa esfera. Sabendo que o cilindro e o cone estão situados num mesmo semiespaço em relação ao plano e que os volumes do cilindro e do cone são iguais, determine a distância do centro da esfera ao plano. Solução 16
  17. 17. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (148) É dado um cone circular reto de altura 8 dm, cortado por um plano paralelo à base, a uma distância 3 dm do vértice. Inscrevendo no tronco de cone que resulta um tronco de pirâmide hexagonal e sabendo que o raio da base menor do tronco de cone é 1 dm, calcule o volume do tronco de pirâmide inscrito. Solução (149) Um cone equilátero está inscrito numa esfera de raio igual a 4 m. Determine a que distância do centro da esfera deve-se traçar um palno paralelo à base do cone, para que a diferença das secções (na esfera e no cone) seja igual à área da base do cone. Solução 17
  18. 18. GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves (150) Determine o volume de um cone reto, sabendo que seu vértice coincide com o centro de uma esfera, sua base é circunscrita à base de um cubo inscrito nessa mesma esfera e que o raio da esfera mede r. Solução 18

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