(5) geometria espacial v

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(5) geometria espacial v

  1. 1. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (101) Dada uma esfera de 6√ m de diâmetro, considere o octaedro regular nela inscrito, bem como o plano paralelo a duas faces opostas do octaedro, tal que suas distâncias a essas duas faces sejam diretamente proporcionais aos números 1 e 2. Calcule a área da secção que o plano considerado produz no octaedro regular. Solução (102) Em um tetraedro regular inscreve-se uma esfera e nesta esfera inscreve-se um novo tetraedro regular. Determine a relação entre os volumes dos dois tetraedros. Solução 1
  2. 2. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (103) O segmento AB de medida 8 cm é uma das diagonais de um octaedro regular. Calcule a área total do hexaedro convexo, cujos vértices são os pontos médios das arestas do octaedro dado. Solução (104) Dados um cubo e um tetraedro regular nele inscrito, considere o plano que contém o centro do cubo e que é paralelo a uma das faces do tetraedro. Calcule a razão entre as áreas das secções que esse plano produz nos dois sólidos dados. Solução 2
  3. 3. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (105) Em um prisma triangular regular se inscreve um cilindro. Que relação existe entre as áreas laterais desses dois sólidos? Solução 3
  4. 4. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (106) Determine o volume de um cilindro de revolução circunscrito a um prisma triangular de 12 cm de altura, sendo a base do prisma um triângulo isósceles cujo ângulo do vértice mede 30°, sendo 5 cm a medida da base do triângulo. Solução (107) O raio de um cone é igual ao raio de uma esfera de 144π cm² de superfície, a geratriz é os 5/3 do raio. Determine a razão entre os volumes de ambos os sólidos e o volume da pirâmide regular de base hexagonal inscrita no cone. Solução 4
  5. 5. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (108) Determine o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do paralelepípedo reto-retângulo de dimensões “a”, “b” e “c”. Solução (109) Calcule o volume de um cubo inscrito numa pirâmide quadrangular regular a 6 m de altura e 3 m de aresta da base, sabendo que o cubo tem vértices sobre as arestas da pirâmide. Solução 5
  6. 6. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (110) Dá-se a altura h de uma pirâmide regular de base quadrada e constrói-se sobre a base um cubo, de modo que a face oposta à base corte a pirâmide num quadrado de lado “a”. Calcule o lado da base da pirâmide. Solução (111) Um prisma quadrangular regular de 12√ m² de área lateral está inscrito num octaedro regular de 32 √ m² de área total. Calcule o volume do prisma, sabendo que seus vértices pertencem a arestas do octaedro. Solução 6
  7. 7. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (112) Num paralelepípedo retângulo a, b, c, assinalemos os pontos médios de todas as arestas e unamos dois a dois aqueles pontos médios que pertencem a arestas concorrentes num mesmo vértice. Suprimindo os oito tetraedros que ficam assim determinados nos triedros do paralelepípedo, obtém-se um poliedro. Determine o volume desse poliedro em função de a, b, c. Solução 7
  8. 8. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (113) Determine a razão entre o volume de um octaedro regular e o volume de um cilindro equilátero circunscrito a esse octaedro. Solução (114) Um vaso cilíndrico cujo raio da base é “r” e cuja altura é 2r está cheio de água. Mergulha-se nesse vaso um tetraedro regular até que sua base fique inscrita na base do cilindro. Há transbordamento de água. Retirando-se o tetraedro do vaso, qual é a altura da coluna de água? Solução 8
  9. 9. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (115) Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o do cilindro de revolução nele inscrito cuja geratriz seja igual ao raio da base. Solução (116) É dado um cone cujo raio da base é R e cuja altura é h. Inscreva um cilindro de modo que a área lateral deste seja igual à área lateral do cone parcial, determinado pela base superior do cilindro. Solução 9
  10. 10. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (117) Em um cone de geratriz g e altura h, inscrevemos um cilindro determinando um cone menor cuja base coincide com uma base do cilindro. Obtenha a altura do cilindro, sabendo que a área lateral do cone menor é igual à área lateral do cilindro. Solução (118) Inscreva um cilindro num cone dado de raio R e apótema G, de modo que a área lateral do cone que está acima do cilindro seja igual à área da coroa cujas circunferências são a base do cilindro e a do cone. 10
  11. 11. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (119) Um cilindro de revolução tem raio r E ALTURA 2r.No seu interior constroem-se dois cones, cada um tendo por vértice o centro de uma das bases do cilindro e por base a base oposta do cilindro. Calcule a porção do volume do cilindro exterior aos dois cones. Solução (120) Um cone e um cilindro têm um a base comum, e o vértice do cone e encontra no centro da outra base do cilindro. Determine a medida do ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo que as superfícies totais do cilindro e do cone estão entre si como 7/14. 11
  12. 12. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (121) Em uma vasilha de forma cilíndrica colocamos uma esfera de raio R. Sabendo que o raio da base da vasilha mede r, responda: Em quanto se eleva o nível da água contida na vasilha, sabendo que a esfera está totalmente submersa na água? Solução 12
  13. 13. GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves (122) Inscreva um cilindro circular reto de área lateral πa² numa esfera de diâmetro “d”. Solução 13

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