(4) geometria espacial iv

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(4) geometria espacial iv

  1. 1. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (75) Um tronco de pirâmide tem por bases dois octógonos regulares cujos lados medem 4 cm e 2 cm, respectivamente. A altura do tronco é de 12 cm. Determine o volume do tronco de pirâmide, bem como o volume da pirâmide total na qual está contido o tronco. Solução (76) Considere o triedro triretangular, cujas arestas são os semi-eixos Ox, Ou e Oz. Sobre Ox marque um ponto A tal que AO = 3m; sobre Ou marque B tal que OB = 4 m e sobre Oz marque C tal que OC = h. 1
  2. 2. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (a) Seccionando a pirâmide OABC por um plano paralelo à base OAB que passe pelo ponto médio de OC, calcule as áreas das bases do tronco de pirâmide resultante. (b) Determine o volume do tronco de pirâmide, se a área do triângulo ABC for igual a 12 m². Solução (76) O plano que contém uma das bases de um cilindro equilátero contém uma das bases de um tronco de cone. Sabendo que as outras duas bases, do cilindro e do tronco, são comuns, calcule a relação entre os volumes do cilindro e do tronco de cone, sabendo que as bases comuns têm raios 10 cm, sendo 30 cm a medida da geratriz do tronco do cone. Solução 2
  3. 3. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (77) Dois troncos de cone têm uma base comum de raio igual a 8 cm, sendo as outras bases círculos concêntricos. Sabendo que o raio da base maior de é igual a 14 cm e o volume de é o triplo do volume de , determine a razão entre as áreas das bases não comuns dos troncos , nessa ordem. Solução (78) Sendo a geratriz de um tronco de cone a soma dos raios das bases do tronco, então a metade da altura do tronco é média geométrica entre os raios das bases e o volume do tronco é igual ao produto de sua área total pela sexta parte da altura. 3
  4. 4. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (79) Determine as medidas dos raios das bases de um tronco de cone de revolução, sendo h a medida de sua altura, g a medida de sua geratriz e a²h /3 o seu volume. Discuta. Solução 4
  5. 5. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (80) corte uma pirâmide de altura h por um plano paralelo à base, de modo que o volume da pirâmide menor seja 1/8 do volume do tronco. Solução (81) Num cone de revolução, a geratriz tem g cm e a área da base B cm². Calcule a área de uma secção feita a t cm do vértice. Solução (82) Um plano paralelo à base de um cone secciona-o, determinando dois cones . Sendo g e R, respectivamente, a geratriz e o raio da base de , determine a distância do vértice do cone à base do cone menor , sabendo que a área lateral de é igual à área total do cone menor . 5
  6. 6. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (83) Um plano paralelo à base de um cone, de geratriz g e raio da base r, secciona-o. Sabendo que a área da base do cone obtido é média geométrica entre as duas partes em que fica dividida a superfície lateral do cone, determine a distância do vértice do cone a esse plano. Solução 6
  7. 7. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (84) Determine a distância do vértice de um cone a um plano que o secciona paralelamente à base, sabendo que o raio do cone mede r, sua geratriz g e que a secção obtida é equivalente à área lateral do tronco de cone formado. Solução (85) Consideremos um cone de revolução de geratriz g e raio da base r. Determine a distância do vértice do cone a um plano que o secciona paralelamente à sua base de modo que os dois sólidos obtidos tenham superfícies totais equivalentes. Solução 7
  8. 8. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (86) A altura de um cone de revolução e o raio da base medem 1 cm e 5 cm, respectivamente. A que distância do vértice devemos traçar um plano paralelo à base do cone de modo que o volume do tronco de cone seja média geométrica entre o cone dado e o cone menor formado? Solução (87) Um cone tem 320π m² de área total e 12 m de altura. Calcule o volume e a área lateral do tronco obtido pela secção desse cone por um plano paralelo à base e distante 9 m dessa base. 8
  9. 9. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (88) Uma pirâmide triangular regular tem aresta lateral 10 dm e para apótema da base 3 dm. Corta-se essa pirâmide por um plano paralelo à base e cuja distância ao vértice é 4 dm. Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido. Solução 9
  10. 10. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (89) Como deve ser obtida a altura de uma pirâmide, paralelamente à base, para obter duas partes de volumes iguais? Generalize para n partes equivalentes. Solução (90) Dois planos paralelos à base de uma pirâmide dividem-na em três sólidos, que, considerados a partir do vértice da pirâmide, têm volumes diretamente proporcionais aos números 27, 98 e 91. Calcule as distâncias dos dois planos secantes ao da base, sabendo que a altura da pirâmide é igual a 12 cm. 10
  11. 11. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (91) É dado o cone circular reto cujo raio da base tem comprimento r e cuja geratriz faz com o plano da base um ângulo de 60°. Determine a que distância do vértice deve ser traçado um plano paralelo à base para que a área total do tronco de cone, assim determinado, seja igual a 7/8 da superfície total do cone. Solução 11
  12. 12. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (92) A área lateral de uma pirâmide regular de base quadrada é 240 m². O comprimento do lado da base é 3/2 da altura. Conduz-se um plano paralelo ao plano da base; a secção está a ¼ da altura, a partir do vértice. Qual a área da secção? Solução (93) A que distância do vértice de um cone circular reto de raio R e geratriz g se deve passar um plano paralelo à base, de modo que a área da secção seja igual à da superfície lateral do cone? Solução (94) Conhecidos os raios r e R das bases de um tronco de cone de bases paralelas, determine o raio de uma secção paralela às bases, tal que divida o tronco em duas partes cujos volumes estão na razão a/b. 12
  13. 13. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (95) Secciona-se um tronco de pirâmide de bases paralelas por um plano paralelo às bases, de modo que a razão entre os volumes dos sólidos obtidos é p/q. Ache a área da secção, conhecendo as áreas B e b das bases do tronco. Solução (96) Consideremos a pirâmide regular SABC de altura H, tendo por base o triângulo equilátero ABC de lado “a”. Seja “r” o raio do círculo inscrito nesse triângulo. A que distância “x” do vértice devemos seccionar a pirâmide por um plano paralelo à base, de modo que a área da secção A’B’C’ seja igual à área do circulo inscrito em ABC? 13
  14. 14. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (97) Determine a relação entre os volumes de dois troncos de pirâmides de igual altura obtidos da secção por um pano paralelo às bases de um tronco de pirâmide de bases paralelas, sendo “a” e “b” as áreas das bases do tronco de pirâmide primitivo. Solução 14
  15. 15. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (98) As bases de um tronco de pirâmide são quadrados de lados 24 cm e 12 cm, sendo a altura do tronco 36 cm. Um plano intercepta o tronco de pirâmide no ponto de interseção de suas diagonais, paralelamente às bases. Calcule o volume dos dois sólidos obtidos. Solução 15
  16. 16. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (99) Dois planos paralelos às bases de um tronco de cone de raios r e R seccionam o tronco, dividindo-o em três sólidos de volumes iguais. Determine a relação entre as áreas das secções. Solução 16
  17. 17. GEOMETRIA ESPACIAL – IV Celso do Rosário Brasil Gonçalves (100) Demonstre que o volume de um tronco de prisma triangular é igual ao produto da área da secção reta pela distância dos centros de gravidade das duas bases. Solução 17

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