(3)geometria espacial iii

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(3)geometria espacial iii

  1. 1. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves (50) O raio da base, a altura e a geratriz de um cone reto formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Determine esses elementos, sabendo que o volume do cone é 144π cm³. Solução (51) Um semicone reto tem altura igual ao raio e o volume é 576π cm³. Calcule a área lateral do semicone. Solução (52) A geratriz de um cone de revolução mede 25 cm e a diagonal menor do hexágono regular inscrito na base do cone mede 7√ Determine a área total e o volume do cone. 1
  2. 2. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (53) Um sólido é formado pela superposição de cone sobre um cilindro de raio da base r. Sendo a altura do sólido o triplo do raio r e a área lateral do sólido o quíntuplo da área da base do cilindro, calcule o volume do sólido em função de r. Solução (54) Determine a medida do raio da base e da geratriz de um cone, sendo h a medida de sua altura e π m² sua área total. 2
  3. 3. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (55) Calcule o volume de um cone de revolução, conhecendo a área total S e a altura h. Solução (56) Calcule o volume V de um cone de revolução em função de sua área lateral A e de sua área total S. Solução 3
  4. 4. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves (57) Determine o volume de um cone de revolução, conhecendo o raio da base r e sua área total S. Solução (58) Quanto de deve aumentar a altura e diminuir o raio da base de um cone de revolução para que seu volume permaneça constante? Solução 4
  5. 5. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves (59) Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum um círculo de 6 cm de raio. A área do sólido é igual à superfície de uma esfera de raio 6 cm. Determine a relação entre os volumes do sólido e da esfera. Solução (60) Supondo a Terra esférica e o metro a décima milionésima parte do quarto do meridiano, determine a superfície da terra em km². 5
  6. 6. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (61) Determine a razão entre as áreas de um cubo e uma esfera, sabendo que seus volumes são iguais. Solução (62) Calcule em cm³ o volume de uma esfera, sabendo que o diâmetro perpendicular a um círculo menor de 10 cm de raio é dividido por esse círculo em dois segmentos de razão 2/5. Solução 6
  7. 7. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves (63) Fabricou-se uma caldeira de tal maneira que as bases de dois hemisférios coincidissem com as bases de um cilindro. Sendo o diâmetro do cilindro os 3/5 de sua altura e a superfície da caldeira equivalente a uma esfera de raio R, determine a relação entre o volume da caldeira e o volume da esfera de raio R. Solução (64) Um observador (O), do ponto mais alto de um farol, vê a linha do horizonte (L) a uma distância d. Sejam h e R a altura do farol e o raio da Terra, respectivamente. (a) Como R é muito maior que h, pode-se admitir que 2R + h = 2R. Assim, prove, usando a aproximação indicada que d = √ . (b) O raio de Terra tem, aproximadamente, 6.300 km. Usando a fórmula do item a, calcule a distância (d) do horizonte, quando o observador está a uma altura h = 35 m. 7
  8. 8. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (65) Determine o volume de um tronco de pirâmide de 279√ cm² de superfície total, sendo as bases hexágonos regulares de 9 cm e 3 cm de lado, respectivamente. Solução 8
  9. 9. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves (66) Qual é o volume de um tronco de pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral 5 m, cujas áreas das bases medem, respectivamente, 54√ m² e 6√ m²? Solução 9
  10. 10. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves (67) O apótema de uma pirâmide triangular regular mede 39 cm e o apótema da base, 15 cm. Calcule a área total e o volume do tronco que se obtém cortando a pirâmide, a 24 cm do vértice, por um plano paralelo à base. Solução (68) Dadas as medidas B, B’, h das áreas da base e da altura, respectivamente, de um tronco de pirâmide, determine a altura da pirâmide da qual se obteve o tronco. Solução 10
  11. 11. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves (69) Dados os lados “a” e “b” das bases quadradas de um tronco de pirâmide, determine a altura do tronco, considerado regular, de modo que a área lateral seja igual à soma das áreas das bases. Solução (70) O volume de um tronco de pirâmide hexagonal regular de bases paralelas é igual a 40 m³. Sua altura mede 3 m e a área da base maior mede 20 m². Calcule a relação que existe entre os lados dos hexágonos das bases. 11
  12. 12. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (71) Determine a área lateral de um tronco de pirâmide triangular, sendo 4 dm o lado da base menor e sabendo que uma aresta lateral forma um ângulo de 60° com um lado da base maior, dado o apótema do tronco igual a 1 dm. Solução (72) Determine a área total de um tronco de pirâmide regular, sendo as bases paralelas hexagonais, em que o lado da maior base mede 10 cm e a altura do tronco é igual ao apótema de maior base, sabendo ainda que as faces laterais do tronco formam com a base maior um ângulo diedro de 60°. 12
  13. 13. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (73) O volume de um tronco de pirâmide regular é 109 dm³; as bases são triângulos equiláteros de 5 dm e de 7 dm de lado. Calcule a altura. Solução (74) A aresta lateral de um tronco de pirâmide triangular regular mede 4 m e forma um ângulo de 60° com a base maior. O raio do círculo circunscrito à maior base mede 4 m. Encontre o volume do tronco de pirâmide. 13
  14. 14. GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução 14

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