1. 2003-2004
LPNHE Paris
CERTAINS ASPECTS
DU TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA-MIP
P. NAYMAN DERNIÈRE MISE À JOUR : 02/07/03
2. QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES............................................................... 1
Notions sur l’intégrale de Riemann ................................................................................ 1
Notions sur l’intégrale de Lebesgue ............................................................................... 1
Intégrale en partie principale de Cauchy ........................................................................ 2
Espace fonctionnel .......................................................................................................... 2
Les distributions au sens de L. Schwartz........................................................................ 3
Distributions associées aux fonctions localement intégrables ................................... 3
La distribution de Dirac ............................................................................................. 3
Opérations sur les distributions.................................................................................. 3
CLASSIFICATION DES SIGNAUX ................................................................................... 5
Classification déterministe-aléatoire............................................................................... 5
Déterministes ............................................................................................................. 5
Aléatoires ................................................................................................................... 5
Classification énergétique............................................................................................... 5
Notions d’énergie et de puissance d’un signal........................................................... 5
Autres types de signaux .................................................................................................. 6
La distribution de Dirac : .......................................................................................... 6
Le peigne de Dirac ..................................................................................................... 6
Les signaux nuls à gauche.......................................................................................... 6
Classification continu/discret.......................................................................................... 6
Représentation vectorielle des signaux........................................................................... 7
L’intérêt d’une représentation vectorielle .................................................................. 7
Espace vectoriel des signaux...................................................................................... 7
Développement en série de fonctions orthogonales................................................... 8
Théorème de Parseval ................................................................................................ 8
SÉRIES DE FOURIER........................................................................................................ 11
Energie du signal .......................................................................................................... 14
Conditions de convergence ........................................................................................... 14
Simplifications .............................................................................................................. 15
Spectre unilatéral et bilatéral.................................................................................... 15
Phénomène de Gibbs .................................................................................................... 15
Etude de l’évolution de Sn(x) .................................................................................. 17
TRANSFORMATION DE FOURIER ............................................................................... 20
Les fonctions Rect et Tri............................................................................................... 21
Exemple 1 ..................................................................................................................... 22
Exemple 2 ..................................................................................................................... 23
La distribution de Dirac ............................................................................................... 25
Echantillonnage par la fonction de Dirac ..................................................................... 25
L’intégrale de convolution............................................................................................ 26
Quelques propriétés.................................................................................................. 26
Le peigne de Dirac ........................................................................................................ 27
L’échelon unité de Heaviside ....................................................................................... 27
La symétrie ................................................................................................................... 27
Quelques transformées de Fourier de base ................................................................... 28
Exemple 1 : Calcul de la transformée de Fourier de et de ..................................... 28
Exemple 2 : Calcul de la transformée de Fourier de la fonction triangle , représentée
par la figure 4.9. ....................................................................................................... 29
Exemple 3 : Transformée de Fourier de la fonction cosinus tronquée. ................... 30
Exemple 4 : fonction cosinus modulée par un triangle ............................................ 31
P. NAYMAN I
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
3. Le théorème de Parseval ............................................................................................... 31
Cas des signaux périodiques ......................................................................................... 32
Exemple : Calcul de l’enveloppe spectrale d’un train trapézoïdal........................... 33
Estimation des harmoniques d’un train trapézoïdal ................................................. 35
Cas des fonctions qui n’appartiennent pas à ................................................................ 37
LE FILTRAGE (LES FILTRES LINÉAIRES) ................................................................ 39
La transformation est linéaire ....................................................................................... 39
La transformation est homogène dans le temps............................................................ 39
Propriétés ...................................................................................................................... 40
On peut caractériser un filtre F par sa réponse impulsionnelle R(t) ........................ 40
Le gain du filtre ....................................................................................................... 40
Les fonctions propres des filtres linéaires................................................................ 40
Exemples .................................................................................................................. 41
THÉORÈME DE L’ÉCHANTILLONNAGE
(SHANNON/NYQUIST)...................................................................................................... 47
Conséquence de l’échantillonnage................................................................................ 49
Exemple ................................................................................................................... 52
LES SIGNAUX ALÉATOIRES
(RAPPELS DE NOTIONS DE BASE EN STATISTIQUE) ............................................ 53
Les moments temporels, les relations de base .............................................................. 54
Moyenne temporelle ................................................................................................ 54
Auto-corrélation temporelle ..................................................................................... 54
Les moments statistiques, les relations de base ............................................................ 54
Moyenne statistique ................................................................................................. 54
Moment d’ordre 2 .................................................................................................... 54
Fonction d’auto-corrélation .......................................................................................... 54
Fonction d’inter-corrélation .......................................................................................... 54
Stationnarité .................................................................................................................. 55
Suite aléatoire stationnaire au second ordre ................................................................. 55
Propriétés ................................................................................................................. 55
Processus aléatoire stationnaire au second ordre.......................................................... 55
Propriétés ................................................................................................................. 55
Relation entre convolution et corrélation...................................................................... 55
Relations entre fonctions de corrélation et de convolution........................................... 56
Ergodicité...................................................................................................................... 57
Le principe d’incertitude............................................................................................... 58
La boîte de Heisenberg ............................................................................................ 60
PROPRIÉTÉS SPECTRALES ........................................................................................... 61
Approche de la puissance, de l’énergie et de la densité spectrale d’une réalisation particu-
lière ............................................................................................................................... 61
Energie et densité spectrale dans le cas général (théorème de Wiener-Kinchine) ....... 62
La densité spectrale de puissance ................................................................................. 65
Propriétés de la fonction de corrélation ........................................................................ 65
Exemples....................................................................................................................... 65
Comparaison d’un produit de convolution et de la fonction d’inter-corrélation ..... 65
Calcul d’une fonction d’auto-corrélation et d’une densité spectrale d’énergie ....... 68
Le bruit blanc ................................................................................................................ 68
Filtrage adapté.......................................................................................................... 70
La transformée de Laplace............................................................................................ 72
P. NAYMAN II
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
4. Quelques transformées de Laplace .......................................................................... 73
Fonction de transfert opérationnelle ........................................................................ 73
Stabilité du système ................................................................................................. 75
Equation différentielle correspondant à la fonction de transfert.............................. 75
TRANSFORMATION DE HILBERT ............................................................................... 76
Signal analytique........................................................................................................... 76
Transformée de Hilbert ................................................................................................. 77
Calculs préliminaires (Voir “Quelques éléments mathématiques”, page 1.) ........... 77
Quelques propriétés ...................................................................................................... 80
La double transformation ......................................................................................... 80
Le produit de convolution ........................................................................................ 81
L’inter-corrélation .................................................................................................... 81
L’auto-corrélation .................................................................................................... 81
Propriétés du signal analytique ..................................................................................... 82
Fonction d’auto-corrélation...................................................................................... 82
Densité spectrale ...................................................................................................... 82
Enveloppe complexe d’un signal de type passe-bande................................................. 83
Densité spectrale de l’enveloppe complexe ............................................................. 84
Densités spectrales et fonctions de corrélation des composantes de Rice ............... 85
NOTIONS DE MODULATION ET DÉTECTION SYNCHRONE................................ 89
Intérêt de la modulation ................................................................................................ 89
Principe ......................................................................................................................... 89
La modulation d’amplitude........................................................................................... 90
Densité spectrale du signal modulé en amplitude......................................................... 91
La démodulation synchrone.......................................................................................... 93
Evaluation du rapport signal à bruit en entrée et en sortie....................................... 96
La détection synchrone ................................................................................................. 97
Détection synchrone et corrélation .......................................................................... 99
LES SYSTÈMES NUMÉRIQUES ................................................................................... 101
Les systèmes à réponse invariante dans le temps et à réponse variante dans le temps102
Linéarité ................................................................................................................. 102
Causalité................................................................................................................. 102
Réponse d’un système numérique (LIT) à des impulsions de Dirac .......................... 103
Réponse impulsionnelle d’un système numérique (LIT) ....................................... 103
Les systèmes à Réponse Impulsionnelle de durée Finie (RIF) et à Réponse Impulsion-
nelle de durée infinie (RII)..................................................................................... 104
Les systèmes numériques récursifs et non-récursifs................................................... 104
Corrélation des signaux discrets ................................................................................. 105
Auto-corrélation de signaux discrets .......................................................................... 105
La transformée en z..................................................................................................... 106
La transformée en z directe .................................................................................... 106
La transformée en z inverse ................................................................................... 107
Propriétés de la transformée en z ........................................................................... 107
Quelques transformées en z ................................................................................... 108
Fonction de transfert d’un système numérique (LIT) ............................................ 109
Relation entre la transformée en z et la transformée de Fourier ............................ 110
Analyse fréquentielle des systèmes discrets ............................................................... 112
Puissance moyenne ................................................................................................ 112
Energie de la séquence ........................................................................................... 112
P. NAYMAN III
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
5. Synthèse d’un filtre numérique................................................................................... 113
Synthèse d’un filtre numérique par la méthode des dérivées................................. 113
Synthèse d’un filtre numérique par la transformation bilinéaire ........................... 116
Synthèse d’un filtre numérique par invariance de la réponse impulsionnelle ............ 123
Validité de la transformation par invariance de la réponse impulsionnelle ........... 124
Conception des filtres RIF .......................................................................................... 125
Cas où h(n) est symétrique..................................................................................... 127
Cas où h(n) est antisymétrique............................................................................... 127
Choix d’une réponse h(n) symétrique ou antisymétrique ...................................... 128
Utilisation du fenêtrage............................................................................................... 128
Effet du fenêtrage sur un signal ............................................................................. 128
Effet du fenêtrage avec un filtre RIF ..................................................................... 131
LE BRUIT........................................................................................................................... 140
Le bruit de quantification............................................................................................ 140
Le rapport signal à bruit du codeur............................................................................. 141
Cas d’un signal sinusoïdal...................................................................................... 141
Amélioration du rapport signal à bruit ................................................................... 142
Cas d’un signal gaussien ........................................................................................ 143
Formule de Hartley ..................................................................................................... 143
Le bruit thermique (ou bruit Johnson) ........................................................................ 145
Fluctuations de tension et de courant dans une résistance.......................................... 145
Exemple : le dipôle parallèle (figure 12.7) ............................................................ 147
Bande équivalente de bruit ......................................................................................... 148
Filtre passe-bas du premier ordre........................................................................... 149
Circuit du deuxième ordre...................................................................................... 150
Filtre de Butterworth.............................................................................................. 150
Bruit de grenaille (Bruit Schottky ou “shot noise”).................................................... 151
Les théorèmes de Campbell........................................................................................ 151
Démonstration........................................................................................................ 152
Généralisation du théorème de Campbell .............................................................. 153
Expression du bruit de grenaille............................................................................. 153
Autres sources de bruits (exemple : le bruit en 1/f “flicker noise“) ........................... 154
Exemples..................................................................................................................... 155
Bruit thermique ...................................................................................................... 155
Bruit Schottky ........................................................................................................ 155
Le facteur de bruit....................................................................................................... 155
Cas d’un quadripôle isolé....................................................................................... 155
Cas de quadripôles en cascades ............................................................................. 156
APPLICATION DU BRUIT IMPULSIONNEL
EN PHYSIQUE .................................................................................................................. 158
La fonction de pondération w(t) ................................................................................. 158
Traitement statistique des impulsions de bruit ........................................................... 158
Application du théorème de Campbell................................................................... 159
Le filtre optimum qui minimise ............................................................................ 162
le signal équivalent au bruit ........................................................................................ 163
La charge équivalente au bruit (ENC) ................................................................... 164
Prise en compte de l’empilement en tant que bruit..................................................... 165
Exemple d’une réponse impulsionnelle triangulaire .................................................. 166
Exemple d’une réponse impulsionnelle définie par des morceaux de paraboles. ...... 167
P. NAYMAN IV
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
6. Calcul de I’............................................................................................................. 168
Calcul de I .............................................................................................................. 169
Exemple du filtrage CR-RC........................................................................................ 169
Calcul de I .............................................................................................................. 171
Calcul de I’............................................................................................................. 171
Exemple du filtrage pseudo-gaussien [37].................................................................. 172
Approche fréquentielle du filtre gaussien .............................................................. 174
Densité spectrale et bruit............................................................................................. 175
APPLICATION DU BRUIT AUX TRANSISTORS BIPOLAIRES ET A EFFET DE
CHAMPS............................................................................................................................. 179
Le transistor bipolaire ................................................................................................. 179
Modèle de base du transistor bipolaire [18]........................................................... 180
Modèle plus complet du transistor bipolaire.......................................................... 181
Modèles du transistor bipolaire avec les sources de bruit...................................... 184
Calcul du bruit après filtrage.................................................................................. 189
Le transistor à effet de champ..................................................................................... 190
Schéma équivalent du transistor à effet de champ................................................. 190
Comparaison bipolaire-FET................................................................................... 193
Calcul du bruit après filtrage.................................................................................. 193
FET et bruit en 1/f .................................................................................................. 194
ELECTRONIQUE ASSOCIÉE AUX
CALORIMÈTRES DE PHYSIQUE DES PARTICULES ............................................. 196
Les contraintes ............................................................................................................ 196
Le préamplificateur de charges................................................................................... 197
Le préamplificateur de courant (transimpédance) ...................................................... 198
L’amplificateur de courant - charges : étude détaillée................................................ 198
En boucle ouverte (sans contre réaction) ............................................................... 199
En boucle fermée ................................................................................................... 199
Cas de l’amplificateur de charges à transistors à effet de champ en entrée........... 201
Cas de l’amplificateur de courant .......................................................................... 203
PROBLÈMES LIÉS À LA CAPACITÉ DU DÉTECTEUR.......................................... 206
Calcul de la répartition des charges ............................................................................ 206
Cas d’une capacité détecteur importante ................................................................... 206
La suppression du pôle zéro........................................................................................ 208
Réalisation pratique................................................................................................ 209
MESURES TEMPORELLES ........................................................................................... 211
Exemple de la technique du Temps de Vol (TOF) ..................................................... 211
Technique de la discrimination................................................................................... 215
Influence de la pente du signal sur l’instant de basculement d’un comparateur ........ 215
Influence de la dispersion (“Jitter”) sur l’instant de basculement .............................. 216
Inconvénient du comparateur classique...................................................................... 217
Utilisation d’un discriminateur à fraction constante................................................... 217
Réalisation pratique................................................................................................ 218
Schéma complet ..................................................................................................... 219
Fonctionnement en mode ARC (“Amplitude and Rise time Compensated”)........ 220
Fonctionnement en mode TCF (“True Constant Fraction”) .................................. 221
Estimation de la pente au point de passage par zéro.............................................. 222
Influence de la dispersion (“Jitter”) en mode ARC et TCF ................................... 223
NOTION DE TEMPS MORT........................................................................................... 225
P. NAYMAN V
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
7. Introduction................................................................................................................. 225
La logique de déclenchement ..................................................................................... 225
Les 2 types de temps morts......................................................................................... 226
Le temps mort cumulatif ........................................................................................ 226
Le temps mort non cumulatif ................................................................................. 227
Traitement statistique du temps mort.......................................................................... 228
Notion de temps mort généralisé ................................................................................ 229
Notion de file d’attente ............................................................................................... 231
File d’attente de longueur 1 ................................................................................... 231
File d’attente de longueur n ................................................................................... 232
Quel taux de temps mort ? .......................................................................................... 234
Evaluation du temps mort ........................................................................................... 235
Cas d’une source radioactive [23].......................................................................... 237
Cas d’une source de photons.................................................................................. 238
Etude de la répartition temporelle des événements................................................ 238
RÉSOLUTION EN ÉNERGIE ET EN TEMPS DANS
LES PHOTOMULTIPLICATEURS................................................................................ 240
Résolution en énergie dans les photomultiplicateurs.................................................. 240
Fonction caractéristique d’une variable aléatoire .................................................. 241
Moments et fonction caractéristique ...................................................................... 242
La deuxième fonction caractéristique .................................................................... 243
La deuxième fonction caractéristique modifiée ..................................................... 244
Cas de deux événements en cascade ...................................................................... 245
Le photomultiplicateur d’un point de vue statistique............................................. 246
Résolution en énergie et le spectre du photoélectron ................................................. 249
Fluctuations temporelles dans un photomultiplicateur ............................................... 252
Démonstrations ...................................................................................................... 253
Utilisation des signaux d’anode et de dynode ............................................................ 260
LES LIGNES DE TRANSMISSIONS.............................................................................. 262
La ligne de transmission idéale (sans perte) ............................................................... 262
L’impédance caractéristique de la ligne de transmission ........................................... 262
équations générales d’une ligne de transmission........................................................ 263
Ligne sans perte .......................................................................................................... 264
L’impédance caractéristique (équation générale) ....................................................... 265
Les réflexions.............................................................................................................. 266
Pertes dans les lignes de transmission ........................................................................ 267
L’effet de «peau» ........................................................................................................ 268
Réponse d’un câble avec pertes à un échelon de tension....................................... 269
Expression de comme une fonction des pertes ..................................................... 271
Les différentes lignes de transmission ........................................................................ 272
Le câble coaxial ..................................................................................................... 272
La paire torsadée .................................................................................................... 273
Fil sur un plan de masse (figure 20.6).................................................................... 273
La ligne «microstrip» ............................................................................................. 273
La ligne «stripline» ................................................................................................ 274
Effet de chargement d’une ligne de transmission....................................................... 275
Condition nécessaire pour adapter une ligne de transmission .................................... 275
Réponse à un échelon de tension ................................................................................ 276
INTRODUCTION AU STANDARD NIM....................................................................... 278
P. NAYMAN VI
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
8. La norme mécanique................................................................................................... 278
La norme électrique .................................................................................................... 279
APPROCHE DE LA COMPATIBILITÉ ÉLECTROMAGNÉTIQUE ....................... 281
Rappels sur le champ électromagnétique.................................................................... 281
La protection par écrans ou blindages ........................................................................ 283
L’impédance de l’onde........................................................................................... 284
Les pertes par absorption ....................................................................................... 285
Les pertes par réflexion.......................................................................................... 286
Remarques générales.............................................................................................. 286
Les couplages.............................................................................................................. 287
Le couplage par impédance commune sur une liaison symétrique et asymétrique287
Le couplage entre conducteurs par le champ électrique (couplage capacitif) ....... 289
Le couplage magnétique (couplage inductif)......................................................... 290
La foudre..................................................................................................................... 294
Les conséquences de la foudre............................................................................... 296
MÉTHODES DE TEST DES CONVERTISSEURS
ANALOGIQUES-NUMÉRIQUES ................................................................................... 298
Les caractéristiques de base ........................................................................................ 298
La non-linéarité différentielle ................................................................................ 299
La non-linéarité intégrale ....................................................................................... 300
L’erreur de décalage............................................................................................... 301
L’erreur de gain...................................................................................................... 302
Les tests dynamiques .................................................................................................. 302
La distorsion harmonique....................................................................................... 303
La distorsion d’inter modulation............................................................................ 304
Le rapport signal à bruit ......................................................................................... 304
Méthode statistique ................................................................................................ 305
Méthode par ajustement d’une sinusoïde............................................................... 308
SURÉCHANTILLONNAGE DES
CONVERTISSEURS ANALOGIQUES-NUMÉRIQUES ............................................. 310
La quantification différentielle [34]............................................................................ 310
Principe de base ..................................................................................................... 310
La prédiction linéaire .................................................................................................. 311
Prédiction linéaire à l’ordre 1................................................................................. 311
Prédiction linéaire à l’ordre p................................................................................. 311
Les modulateurs sigma delta....................................................................................... 313
Principe du modulateur sigma delta d’ordre 1 ....................................................... 313
Principe du modulateur sigma delta à l’ordre 2 ..................................................... 317
Performances d’un système d’ordre n.................................................................... 319
Applications ................................................................................................................ 320
Modulation d’un canal de transmission ................................................................. 321
Conversion Analogique-Numérique à grande dynamique..................................... 321
ANNEXES........................................................................................................................... 323
Les décibels................................................................................................................. 323
Spectre électromagnétique .......................................................................................... 325
La roue des couleurs .............................................................................................. 325
BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................................. 327
P. NAYMAN VII
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
9. 1. QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES
1.1. Notions sur l’intégrale de Riemann
Considérons une fonction f qui associe au nombre x la valeur f(x) sur l’intervalle fer-
mé et borné ( a, b ) . Il est possible de définir n intervalles sur l’intervalle ( a, b ) à l’aide
d’un certain nombre de points x i en considérant les conditions suivantes :
• 1£i£n–1
• a < x1
• xi < xi + 1
• xn – 1 < b
L’intégrale simple définie sur l’intervalle ( a, b ) peut être approchée par les som-
mes de Riemann :
n–1
S = å f ( m i ) × ( xi + 1 – xi ) Equ(1.1)
i=1
avec x i < m i < x i + 1
lorsque n ® ¥ les longueurs des intervalles tendent vers 0 et S tend vers l’intégrale
b
de Riemann : I = òa f ( x ) dx .
Les sommes de Riemann sont utilisables pour les fonctions continues et peuvent
s’appliquer à un nombre limité de fonctions discontinues.
1.2. Notions sur l’intégrale de Lebesgue
Afin de donner un sens plus général à la notion d’intégrale, Lebesgue a considéré
que l’intégrale indéfinie F est représentée par un ensemble de valeurs dans lequel on peut
b
trouver n’importe quelle intégrale définie : òa f ( x ) dx = F(b) – F(a) .
Lebesgue considère que l’abscisse x de l’équation 1.1 définissant la somme de Rie-
mann a 3 rôles bien définis :
• Les points font partie d’un domaine D composé de sous ensembles D i .
• Un point Pi appartient à D i .
• On peut définir une mesure m i associée à chaque sous ensemble D i .
Avec ces hypothèses la somme de Riemann définie par l’équation 1.1 devient :
S = å f ( Pi ) × mi Equ(1.2)
i
avec P i Î D i .
La limite L ( D ) de cette somme, quand elle existe, est une fonction de domaine, in-
tégrable de la fonction de point f ( P ) .
Lebesgue groupe des valeurs voisines de f ( x ) dans un petit intervalle
P. NAYMAN 1 QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
10. yi < f ( x ) < yi + 1 .
On associe à cet intervalle, une mesure m i :
S = å yi × mi Equ(1.3)
i
avec y i < y i < y i + 1 .
Lebesgue nomme mesurables les fonctions f telles que le domaine défini par
a < x < b , 0 < y < f ( x ) a une mesure.
Ce concept très général inclus toutes les fonctions de Riemann et bien d’autres fonc-
tions.
Les fonctions f intégrables au sens de Lebesgue ou sommables associent un nombre
+¥
noté : ò–¥ f ( x ) dx ou òR f ( x ) dx ou ò f ( x ) dx ou encore ò f .
On prête à Lebesgue le propos suivant : " Je fouille dans mes poches et j’en sors des
pièces et des billets de différentes valeurs. Je les verse à mon créancier dans l’ordre où
elles se présentent jusqu’à atteindre le total de ma dette. C’est l’intégrale de Riemann.
Mais je peux opérer autrement. Ayant sorti tout mon argent, je réunis les billets de même
valeur, les pièces semblables, et j’effectue le paiement en donnant ensemble les signes
monétaires de même valeur. C’est mon intégrale. "
1.3. Intégrale en partie principale de Cauchy
Considérons une fonction f ( x ) non bornée en x = a , si :
a–e b
y( e ) = òa f ( x ) dx + ò
a+e
f ( x ) dx e>0
tend vers une limite L, alors f ( x ) est intégrable au sens de la valeur principale de
Cauchy.
b
y ( e ) = vp òa f ( x ) dx
+¥ +N
De même : vp ò– ¥ f ( x ) dx = lim
N ® ¥ –N
ò f ( x ) dx .
1.4. Espace fonctionnel
On désigne par espace fonctionnel, un ensemble de fonctions F possédant une struc-
ture d’espace vectoriel. Dans un tel système, toute combinaison linéaire de 2 fonctions f1
et f2 de F appartient également à F.
Quelque soit l1, l2 complexes :
f1 Î F
Þ l1f1 + l2f2 Î F
f2 Î F
On considère que l’on a défini une fonctionnelle sur un espace F si l’on peut associer
un nombre complexe T ( f ) à toute fonction de F. On utilise la notation de L. Schwartz :
P. NAYMAN 2 QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
11. ( T, f ) pour spécifier T ( f ) le nombre complexe associé à la fonction f par la fonctionnelle
T.
1.5. Les distributions au sens de L. Schwartz
Considérons l’espace vectoriel D des fonctions indéfiniment dérivables, on appelle
distributions, les fonctionnelles linéaires, continues sur D.
1.5.1. Distributions associées aux fonctions localement intégrables
La fonction x ( t ) est localement sommable si elle est intégrable au sens de Lebesgue
sur tout intervalle borné.
A la fonction x ( t ) correspond une distribution T x .
Quelque soit j ( t ) Î D
+¥
T x ( j ) = ( T x, j ) = ò–¥ x ( t )j ( t ) dt . Equ(1.4)
Par abus de notation on note les fonctions localement sommables comme des
distributions :
+¥
( x ( t ), j ) = ò–¥ x ( t )j ( t ) dt . Equ(1.5)
1.5.2. La distribution de Dirac
La distribution de Dirac que l’on note d est une distribution singulière par opposi-
tion aux distributions régulières précédentes. Cette distribution est telle que :
pour j ( t ) Î D ( d, j ) = j ( 0 ) .
D’une manière générale, la distribution de Dirac au point a est telle que :
pour j ( t ) Î D ( d a, j ) = j ( a ) .
Par abus de notation, on note :
+¥
j(0 ) = ò–¥ d ( t )j ( t ) dt Equ(1.6)
+¥
j(a ) = ò–¥ d ( t – a )j ( t ) dt Equ(1.7)
1.5.3. Opérations sur les distributions
1.5.3.1 Combinaison linéaire de distributions
Quelque soit j ( t ) Î D
( l 1 T 1 + l 2 T 2, j ) = l 1 ( T 1, j ) + l2 ( T 2, j ) Equ(1.8)
1.5.3.2 Dérivation (cas général)
Soit f¢ la fonction dérivée de f et T¢ la distribution dérivée de T.
Quelque soit j ( t ) Î D
P. NAYMAN 3 QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
12. +¥
( ( T f )¢, j ) = ( T f¢, j ) = ò–¥ f¢ ( t )j ( t ) dt et en intégrant par partie :
+¥
+¥
( ( T f )¢, j ) = [ f ( t )j ( t ) ]–¥ – ò f ( t )j¢ ( t ) dt = – ( T f, j¢ )
–¥
j ( t ) étant à support borné j ( ± ¥ ) = 0 .
De même :
( T¢, j ) = – ( T, j¢ ) Equ(1.9)
( T², j ) = – ( T¢, j¢ ) = ( T, j² ) Equ(1.10)
( n) n (n)
(T , j ) = ( – 1 ) ( T, j ) Equ(1.11)
Toute distribution est indéfiniment dérivable.
1.5.3.3 Dérivation de fonctions discontinues
Considérons une fonction f ( t ) discontinue en t = t 0 (figure 1.1).
- +
Avec : f ( t 0 ) = a et f ( t 0 ) = b . La hauteur de la discontinuité est h = b – a .
f( t)
b
h
a
0 t
Figure 1.1 : Une fonction discontinue
On peut décomposer f ( t ) en une somme d’une fonction continue, f t ¹ t 0 ( t ) et d’une
fonction discontinue g ( t ) .
g ( t ) = h × u ( t – t 0 ) avec u ( t ) la fonction échelon de Heaviside.
f ( t ) = f t ¹ t0 ( t ) + h × u ( t – t 0 ) . En dérivant f ( t ) , il vient immédiatement :
f ¢( t ) = f ¢t ¹ t0 ( t ) + h × d( t – t 0 ) Equ(1.12)
P. NAYMAN 4 QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
13. 2. CLASSIFICATION DES SIGNAUX
La classification des signaux en catégories peut sembler, à première vue, théorique.
Pour chaque rubrique de signaux on définira des traitements bien particuliers.
2.1. Classification déterministe-aléatoire
2.1.1. Déterministes
Ce sont les signaux dont l’évolution en fonction du temps est prévisible par un mo-
dèle mathématique approprié (signaux de test, d’étalonnage, etc.).
2.1.2. Aléatoires
Ce sont les signaux qui ont un caractère non-reproductible et imprévisible. Par
exemple, les signaux issus de capteurs ou encore la parole.
2.2. Classification énergétique
2.2.1. Notions d’énergie et de puissance d’un signal
Quelque soit le signal, on peut définir l’énergie du signal (si elle existe) par la
relation :
+¥
2
Ex = ò– ¥ x ( t ) dt Equ(2.1)
et la puissance moyenne (si elle existe) par la relation :
1 +T ¤ 2 x ( t ) 2 dt
P x = lim -- ò
- Equ(2.2)
T ® ¥T –T ¤ 2
Remarque :
• Les signaux tels que 0 < E x < ¥ sont des signaux à énergie finie ( P x = 0 ) , par
exemple, les signaux transitoires.
• Les signaux tels que 0 < P x < ¥ sont des signaux à puissance moyenne finie
( E x = ¥ ) . Par exemple, les signaux permanents, comme les signaux périodiques ou
encore les signaux aléatoires permanents.
On peut donner une autre définition de la puissance moyenne :
1 - T 2
P x = lim ------------ ò x ( t ) dt Equ(2.3)
T ® ¥T – t0 t0
P. NAYMAN 5 CLASSIFICATION DES SIGNAUX
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
14. 2.3. Autres types de signaux
2.3.1. La distribution de Dirac : d ( t )
+¥
Propriété : ò – ¥ d ( t ) dt = 1
On peut trouver de nombreuses représentations de la distribution de Dirac. La figu-
re 2.1 donne une des représentations possibles. Dans ce cas, on suppose que : e ® 0 .
d( t)
1¤e
–e +e t
Figure 2.1 : Impulsion de Dirac
2.3.2. Le peigne de Dirac
Un peigne de Dirac, représente une suite d’impulsions de Dirac décalées dans le
temps. Le peigne de Dirac est défini par la relation suivante :
+¥
png ( t ) = å d ( t – kT ) Equ(2.4)
k = –¥
2.3.3. Les signaux nuls à gauche
Exemple : l’échelon unité.
La figure 2.2 représente l’échelon unité U ( t )
u(t)
0
t
Figure 2.2 : Le signal nul à gauche
On remarquera que : d ( U ( t ) ) = d ( t )
------------------
-
dt
Exemple : Pour spécifier que le signal x ( t ) est nul pour les temps négatifs, on peut
définir un nouveau signal : x ( t ) × U ( t ) .
2.4. Classification continu/discret
La figure 2.3 est un exemple de représentation continue.
P. NAYMAN 6 CLASSIFICATION DES SIGNAUX
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
15. 1
0,5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
-0,5
-1
Figure 2.3 : Représentation continue d’un signal
La figure 2.4 est un exemple de représentation discrète, dans ce cas la fonction est
définie par une suite d’échantillons.
x(tk)
)
t
Figure 2.4 : Représentation discrète d’un signal
2.5. Représentation vectorielle des signaux
2.5.1. L’intérêt d’une représentation vectorielle
Le signal x ( t ) peut se décomposer selon une combinaison linéaire de fonctions con-
nues f k ( t ) .
Les coefficients a k constituent une représentation discrète du signal x ( t ) .
C’est une structure d’espace vectoriel.
Un signal apparaît comme un vecteur d’un espace vectoriel et admettra plusieurs re-
présentations possibles selon la base de décomposition (espace de Hilbert). Cette repré-
sentation qui peut apparaître complexe permet en fait de considérablement simplifier les
calculs.
2.5.2. Espace vectoriel des signaux
Soit x ( t ) un signal complexe d’énergie Ex finie.
+¥ *
( x 1, x 2 ) = ò–¥ x1 ( t )x2 ( t ) dt est le produit scalaire.
P. NAYMAN 7 CLASSIFICATION DES SIGNAUX
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
16. +¥ 2 1¤2
d ( x 1, x 2 ) = x 1 – x 2 = ò– ¥ x 1 ( t ) – x 2 ( t ) dt
est la distance associée, c’est la mesure de dissemblance entre x 1 ( t ) et x 2 ( t ) .
2.5.3. Développement en série de fonctions orthogonales
La représentation d’un signal par des fonctions orthogonales va permettre de sim-
plifier les calculs, en effet :
Soit f 1, f 2, ...f n un ensemble de fonctions orthogonales.
Le produit scalaire ( f i, f j ) = d i, j est tel que :
d i, j = 1 si i=j
0 si i ¹ j
ˆ
On peut approcher x ( t ) par x ( t ) définie comme étant :
+¥
ˆ
x( t) = å ai f i
i=1
L’erreur quadratique donne une mesure absolue de l’approximation :
+T ¤ 2
2 2
e = x1 – x2 = ò– T ¤ 2 x 1 ( t ) – x 2 ( t ) dt
On montre que e est minimal si :
+¥
a i = ( x, f i ) = ò–¥ x × f i* dt Equ(2.5)
On dit que le système est complet si quelque soit x ( t ) : lim e = 0
T®¥
2.5.4. Théorème de Parseval
L’énergie du signal x ( t ) est égale à la somme des énergies de chacune de ses com-
posantes. Ce résultat très important est très utilisé en traitement du signal.
n
2 2
x = å ai Equ(2.6)
i=1
Démonstration :
2
Rappel : A – B = ( A – B ) ( A – B ) * = AA * + BB * – AB * – A * B
P. NAYMAN 8 CLASSIFICATION DES SIGNAUX
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
17. 2 2
ˆ
e = x–x = ò x – å a i × f i dt
ˆˆ ˆ ˆ
e = ò xx* + x x* – xx* – x x* dt
2 ˆ 2 ˆ ˆ
e = x + x – ò xx* dt – ò x x* dt
ˆ
x = å ai f i
ˆ 2 ˆˆ
x = ò x x* dt
ˆ 2 2
x = ò å ai f i å a*j f*j dt
i j
= å ai
0 si i¹j
Rappel : ò f i f *j dt =
1 si i = j
2 2
e = x + å a i – ò x å a* i f * i dt – ò x* å ai f i dt
i i
2 2
e = x + å ( ai – ò xa* i f * i dt – ò x* a i f i dt )
2 2
e = x + å ( ai – a* i ( x, f i ) – a i ( f i, x ) )
(f i,x) = ò f i x* dt
(x*,f* i) = ò x* f i dt
donc : (f i,x) = (x*,f * i)
2 2
e = x + å ( a i – a* i ( x, f i ) – a i ( x*, f * i ) )
2 2
e = x + å [ a i – a*i (x,f i) – a i (x*,f * i) ]
2 2 2 2
e = x – å ( x, f i ) + å [ a i + ( x, f i ) – a* i ( x, f i ) – a i ( x*, f * i ) ]
2 2 2
e = x – å ( x, f i ) + å a i – ( x, f i )
e est minimale si : "i a i = ( x, f i )
2 2
e min = x – å ai
i
D’où l’inégalité de Bessel-Parseval :
2 2
å ai £ x Equ(2.7)
i
P. NAYMAN 9 CLASSIFICATION DES SIGNAUX
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
18. Le système est complet ou total si "i :
2 2
å ai = x Equ(2.8)
i
C’est l’égalité de Parseval.
P. NAYMAN 10 CLASSIFICATION DES SIGNAUX
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
19. 3. SÉRIES DE FOURIER
Les séries de Fourier découlent naturellement de la théorie des fonctions orthogo-
nales en considérant des fonctions exponentielles.
ikWt 2
Soit y k une fonction de la forme y k ( t ) = e avec : W = -- p .
-
T
yk est une fonction orthogonale telle que
+T ¤ 2 +T ¤ 2 +T ¤ 2
ijWt – ikWt i ( j – k )Wt
ò y j ( t )y* k ( t ) dt = ò e ×e dt = ò e dt
: –T ¤ 2 –T ¤ 2 –T ¤ 2
i ( j – k )Wt +T ¤ 2
e 2 T
= ---------------------
- = ------------------- sin ( j – k )W --
- -
i ( j – k )W ( j – k )W 2
–T ¤ 2
T
( yj, yk ) = ------------------ sin ( j – k ) p
p(j – k)
( y j, y k ) = T si j = k (la fonction n‘est pas normée).
0 si j ¹ k
La fonction yk est donc orthogonale mais pas normée.
Considérons x ( t ) comme étant :
+¥
x(t) = å Ck Y k
k = –¥
+¥
ikWt
x(t) = å Ck e
k = –¥
Comme, par définition : C k = ( x, Y k ) (fonction orthogonale), on obtient :
+T ¤ 2
1 – ikWt
C k = --
T
- ò x ( t )e dt Equ(3.1)
–T ¤ 2
Considérons les fonctions x ( t ) réelles :
+T ¤ 2
1 ikWt
C* k = --
- ò x ( t )e dt
T
–T ¤ 2
d’où :
C* k = C –k Equ(3.2)
Si l’on pose :
P. NAYMAN 11 SÉRIES DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
20. ij k
Ck = rk e
– ij k ij –k
rke = r–k e
–1 +¥
ikWt ikWt – i kWt
x(t) = å Ck e et å Ck e = å C –k e alors :
k k = –¥ k=1
+¥ +¥
ikWt – i kWt
x ( t ) = C0 + å Ck e + å C –k e
k=1 k=1
+¥
ij k ikWt – i j k – i kWt
x ( t ) = C0 + å ( rke e + rk e e )
k=1
+¥
x ( t ) = C0 + å 2rk cos ( kWt + jk )
k=1
+¥
x ( t ) = C0 + å 2rk [ cos kWt cos jk – sin kWt sin jk ]
k=1
La partie réelle de C k est r k cos j k
La partie complexe de C k est ir k sin j k
D’après l’équation 3.1 :
+T ¤ 2
1
r k cos j k = --
T
- ò x ( t ) cos kWt dt
–T ¤ 2
+T ¤ 2
2
2r k cos j k = --
T
- ò x ( t ) cos kWt dt = a k
–T ¤ 2
+T ¤ 2
1
de même : ir k sin j k = --
T
- ò x ( t ) ( – i sin kWt ) dt
–T ¤ 2
+T ¤ 2
2
– 2 r k sin j k = --
T
- ò x ( t ) sin kWt dt = b k
–T ¤ 2
P. NAYMAN 12 SÉRIES DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
21. +¥
comme : x ( t ) = C 0 + å 2rk [ cos kWt cos jk – sin kWt sin jk ]
k=1
+¥
x ( t ) = C0 + å [ ak cos kWt + bk sin kWt ] Equ(3.3)
k=1
+T ¤ 2
2
a k = --
T
- ò x ( t ) cos kWt dt Equ(3.4)
–T ¤ 2
+T ¤ 2
2
b k = --
T
- ò x ( t ) sin kWt dt Equ(3.5)
–T ¤ 2
+T ¤ 2
1
C 0 = --
T
- ò x ( t ) dt Equ(3.6)
–T ¤ 2
C 0 représente la valeur moyenne de x ( t ) .
+¥
Comme : x ( t ) = C 0 + å [ ak cos kWt + bk sin kWt ]
k=1
Le terme h k ( t ) = a k cos kWt + b k sin kWt représente l’harmonique de rang k de la
fonction x ( t ) . L’harmonique de rang 1 s’appelle le fondamental.
2 2
Ak = a k + b k est l’amplitude de l’harmonique.
kW
kW sa pulsation et ------ sa fréquence.
-
2p
ak bk
Si l’on pose sin j k = ----- et cos j k = ----- alors l’harmonique de rang k se met sous
Ak Ak
la forme :
h k ( t ) = Ak sin ( kWt + j k ) Equ(3.7)
j k représente la phase de l’harmonique k.
P. NAYMAN 13 SÉRIES DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
22. 3.1. Energie du signal
Le théorème de Parseval donne directement l’énergie du signal :
+¥ +¥
2 2 ikWt
x = å Ck x(t) = å Ck e
k = –¥ k = –¥
+¥
2 2 2
x = C0 + 2 å Ck Equ(3.8)
k=1
3.2. Conditions de convergence
La série de Fourier converge vers x ( t ) si les conditions suivantes sont respectées :
• La fonction x ( t ) ne présente pas de discontinuité de seconde espèce.
• Si la fonction x ( t ) est continue la série converge vers x ( t ) .
• Si la fonction présente une discontinuité de première espèce au point t 0 , la série
- +
converge vers : [ x ( t 0 ) + x ( t 0 ) ] ¤ 2
• Si la fonction présente une discontinuité de seconde espèce, la série diverge.
Dans ce cas la fonction x ( t ) n’est pas décomposable en série de Fourier.
Les figures suivantes, montrent les 3 cas possibles pour la fonction x ( t ) .
• continue (figure 3.1),
• discontinuité de première espèce (figure 3.2),
• discontinuité de seconde espèce (figure 3.3).
1
0,5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
-0,5
-1
Figure 3.1: fonction continue
x( t )
x ( t0+ )
x ( t0- )
0 t0 t
Figure 3.2: discontinuité de première espèce
P. NAYMAN 14 SÉRIES DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
23. x(t) si t = t0 x ( t ) ® -¥
+
pas de série de Fourier possible
0 t0 t
Figure 3.3: discontinuité de seconde espèce
3.3. Simplifications
Certaines simplifications peuvent êtres apportées aux formules selon que la fonc-
tion est paire ou impaire.
Si x ( t ) est impaire : x ( t ) = – x ( – t )
C 0 = 0 , la valeur moyenne est nulle.
ak = 0
4 T¤2
b k = -- ò x ( t ) sin kWt dt
-
T 0
Si x ( t ) est paire : x ( t ) = x ( – t )
4 T¤2
C 0 = -- ò x ( t ) dt
-
T 0
4 T¤2
a k = -- ò x ( t ) cos kWt dt
-
T 0
bk = 0
3.3.1. Spectre unilatéral et bilatéral
Le spectre d’un signal est donné, à la fois, par les fréquences positives et les fré-
quences négatives. On parle dans ce cas de spectre bilatéral.
Considérons les séries de Fourier réelles, par exemple développées en séries de si-
nus et cosinus. Le spectre est composé uniquement de fréquences positives, on parle dans
ce cas de spectre unilatéral. L’amplitude des raies d’un spectre unilatéral est le double de
celles du spectre bilatéral.
3.4. Phénomène de Gibbs
Ce phénomène est à la base de l’étude de la convergence du développement en série
de Fourier d’une fonction f ( x ) discontinue en x = x 0
La fonction f ( x ) peut être décomposée en 2 fonctions (figure 3.4) :
• une fonction continue h ( x ) ,
• une fonction discontinue g ( x )
P. NAYMAN 15 SÉRIES DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
24. .
f( x)
B
A
0 x0 x
Figure 3.4 : discontinuité d’une fonction
Le problème consiste à faire l’étude de la convergence de la fonction g ( x ) (figure
3.5) telle que :
g(x) = 1 si 0<x<p
g ( x ) = –1 si –p < x < 0
g(x)
1
–p +p
0 x
-1
Figure 3.5 : fonction discontinue g(x)
g ( x ) est une fonction impaire.
+¥
g ( t ) = C0 + å [ ak cos kWt + bk sin kWt ]
k=1
4 T¤2
Avec : C 0 = 0 , a k = 0 et b k = -- ò g ( x ) sin kWt dt
-
T 0
4- p –2
comme W = 2p = 2p = 1 b k = ----- ò sin kt dt = ----- cos kt 0
p
-----
- -----
- -
T 2p 2p 0 kp
Seuls les termes impairs existent : k = 2n – 1 avec : n = 1, 2¼
4
bk = -----------------------
( 2n – 1 )p
Considérons la série :
On peut remarquer que pour x = p , g ( x ) = 1 et :
--
-
2
P. NAYMAN 16 SÉRIES DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
25. 4 sin x sin 3x sin ( 2n – 1 )x
g ( x ) = -- --------- + ------------- + ¼ + ------------------------------
- - -
p 1 3 2n – 1
p sin x sin 3x sin ( 2n – 1 )x
S n ( x ) = -- g ( x ) = --------- + ------------- + ¼ + ------------------------------
- - -
4 1 3 2n – 1
p = 1–1+1–¼
--
- -- --
- -
4 3 5
3.4.1. Etude de l’évolution de Sn(x)
¢
S n ( x ) = cos x + cos 3x + ¼ + cos ( 2n – 1 )x
inx – i nx
cos nx = e + e -
-------------------------
2
¢ 1 ix –i x i ( 2n – 1 )x – i ( 2n – 1 )x
S n ( x ) = -- [ e + e + ¼ + e
- +e ]
2
ix –ix
¢ 1 æ e – e -ö ix –i x i ( 2n – 1 )x – i ( 2n – 1 )x
S n ( x ) = -- ç -------------------- ÷ [ e + e + ¼ + e
- +e ]
2èe – e ø
ix –ix
1 - 2nix – e –2nix ] = 1 ----------------
-- sin 2nx
¢
S n ( x ) = ---------------------------- [ e - -
2(e – e )
ix – ix 2 sin x
1 x sin 2nz
S n ( x ) = -- ò ---------------- dz
- -
2 0 sin z
kp
Les maxima et minima de S n ( x ) sont donnés par sin 2nx pour x = -----
-
2n
S n ( x ) subit des oscillations autour de la valeur y = p
--
-
4
P. NAYMAN 17 SÉRIES DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
26. Cherchons la limite de S n ( x ) quand n ® +¥ et z®0 :
1 x sin 2nz 1- p sin y
S n ( x ) = -- ò ---------------- dz = ----- ò ------------- dy
- - -
2 0 sin z 4n 0 y-
sin -----
2n
1 p sin y
S n ( x ) = -- ò --------- dy
- -
2 0 y
Rappel : le développement en série entière de sin y
3 5
sin y = y – ---- + y - – ¼
y - ----
3! 5!
2 4
--------- = 1 – y - + -------- – ¼
sin y - ---- y -
y 6 120
sin y
d’où l’intégrale de --------- :
-
y
3 5
p- p -
2S n ( x ) = p – ----- + -------- – ¼ » 1, 85
18 120
2
g ( x ) » -- ( 1, 85 ) = 1, 17 ¹ 1
-
p
sin y
La figure 3.6 représente la courbe de l’intégrale de --------- .
-
y
P. NAYMAN 18 SÉRIES DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
27. 1.17
g(x)
-1.17
Figure 3.6 : Sinus intégral
P. NAYMAN 19 SÉRIES DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
28. 4. TRANSFORMATION DE FOURIER
+¥
Soit x ( t ) une fonction du temps, nulle ou complexe telle que : ò x ( t ) dt < ¥
–¥
2
ou que le signal soit d’énergie finie ( x ( t ) fait partie de l’ensemble L ) :
+¥ 2
ò– ¥ x ( t ) dt < ¥
alors :
+¥
ˆ 2pint
x(t) = ò–¥ x ( n )e dn Equ(4.1)
n est la fréquence du signal x ( t ) .
+¥ – 2 pint
ˆ
x(n) = ò–¥ x ( t )e dt Equ(4.2)
et :
1 +T ¤ 2 – i kWt
C k = -- ò
- x ( t )e dt Equ(4.3)
T –T ¤ 2
ˆ
Les fonctions x ( t ) et x ( n ) sont transformées de Fourier l’une de l’autre.
ˆ
On utilise la notation : x ( t ) « x ( n ) pour exprimer cette relation.
Démonstration :
La décomposition en série de Fourier donne :
+¥
ikWt
x( t) = å Ck e
k = –¥
En utilisant l’équation 4.3 :
+¥
1 T¤2 – ikWt ikWt
x(t) = å -- ò
-
T –T ¤ 2
x ( t )e dt × e
k = –¥
Si : T ® ¥
1
-- ® dn
-
T
1
k æ -- ö ® nk
-
è Tø
P. NAYMAN 20 TRANSFORMATION DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
29. +¥ +¥
– 2pint 2pint
x(t) = ò– ¥ Dn ò
–¥
x ( t )e dt × e
+¥ 2pint +¥ – 2 pint
ˆ ˆ
d’où : x ( t ) = ò– ¥ x ( n )e dn et x ( n ) = ò–¥ x ( t )e dt
4.1. Les fonctions Rect et Tri
Les fonctions Rect et Tri (respectivement Rectangle et Triangle) seront largement
utilisées par la suite. Afin d’éviter toute confusion, il est nécessaire de bien les définir.
On définit la fonction :
t – centre
x ( t ) = Rect æ ---------------------ö
- Equ(4.4)
è largeur ø
x ( t ) = 1 si t Î centre – largeur , centre + largeur
-----------------
- -----------------
-
2 2
x ( t ) = 0 sinon.
x ( t ) est une fonction paire dont l’axe de symétrie est centre.
x(t) x(t)
1
1
t t
-1/2 +1/2 -T/2 +T/2
t-
x ( t ) = Rect ( t ) x ( t ) = Rect æ -- ö
è Tø
x(t) x(t)
1 1
t t
-2T -T T 2T
3T 3T
æ t + ----- ö - æ t – ----- ö -
2 2-
ç --------------÷
x ( t ) = Rect ç x ( t ) = Rect ç ------------- ÷
T ÷ ç T ÷
è ø è ø
Figure 4.1 : La fonction Rect
D’une manière analogue on définit la fonction Triangle comme étant :
t – centre
x ( t ) = Tri æ ---------------------------ö Equ(4.5)
è ( 1 ¤ 2 )Baseø
P. NAYMAN 21 TRANSFORMATION DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
30. x(t) x(t)
1 1
t t
-1 +1 -T +T
t-
x ( t ) = Tri ( t ) x ( t ) = Tri æ -- ö
è Tø
x(t) x(t)
1 1
t t
-5T/2 -T/2 T/2 5T/2
3T 3T
æ t + ----- ö - æ t – ----- ö -
2
ç --------------÷ 2-
ç ------------- ÷
x ( t ) = Tri x ( t ) = Tri ç
ç T ÷ T ÷
è ø è ø
Figure 4.2 : La fonction Tri
4.2. Exemple 1
ˆ
Soit la fonction x ( t ) dont la transformée de Fourier est x ( n ) (figure 4.3) telle que :
ˆ 1 si n £ B
x(n) =
0 si n > B
Figure 4.3 :Fonction rectangle
P. NAYMAN 22 TRANSFORMATION DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
31. +¥
2pint
x(t) = ò–¥ x ( n )e dn
+B 2pint +B 2piBt – 2piBt
= e –e
dn = e -
2pint
x(t) = ò– B 1×e ------------
2pit –B
-----------------------------------
2pit
-
sin 2pBt sin 2pBt
x ( t ) = ------------------- = 2B ------------------- = 2Bsinc(2Bt)
- -
pt 2pBt
sin px
Avec : sinc(x) = ------------- (sinus cardinal). -Voir la figure 4.4-
-
px
Figure 4.4 : sinus cardinal
4.3. Exemple 2
Soit :
x ( t ) = rect T ( t )
= 1 si t < T ¤ 2
T
= 0 si t ³ --
-
2
t – centre
La fonction rectangle peut être également notée : rect æ ----------------------- ö .
-
è largeur ø
P. NAYMAN 23 TRANSFORMATION DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
32. +T ¤ 2 – 2pint +T ¤ 2 2pinT ¤ 2 – 2 pinT ¤ 2
= e –e
dt = – e
ˆ – 2pint
x(n) = ò– T ¤ 2 1×e ------------------
2pin
-
–T ¤ 2
-----------------------------------------------
2pin
-
Figure 4.5 : Rect(t)
Figure 4.6 : Transformée de Fourier de la fonction Rect(t)
x ( n ) = ----------------- = T sin pnT = Tsinc(nT )
ˆ sin pnT - ---------------------
-
pn pnT
Réciproquement :
+¥
ˆ 2pint
x(t) = ò–¥ x ( n )e dn
+¥ 2pint
x(t) = ò–¥ Tsinc ( nT )e dn
On remarquera que pour t = 0 x( t) = 1
+¥
1 = ò–¥ Tsinc ( nT ) dn
Si l’on pose : x = pnT
1 +¥ sin x 2 +¥ sin x
1 = -- ò --------- dx = -- ò --------- dx
- - - -
p –¥ x p 0 x
P. NAYMAN 24 TRANSFORMATION DE FOURIER
TRAITEMENT DU SIGNAL
DEA MIP
33. +¥ sin x
p =
--
2
- ò0 --------- dx = Si ( x )
x
-
Cette fonction représente le sinus intégral (figure 4.7).
Figure 4.7 : Sinus intégral
4.4. La distribution de Dirac d ( t )
La distribution de Dirac est la limite de nombreuses familles de fonctions. Par
exemple, les fonctions suivantes ont pour limite une distribution de Dirac :
1
d( t ) = lim -- rect T ( t )
-
T ® 0T
1
d( t ) = lim -- tri T ( t )
-
T ® 0T
sin pBt
d( t ) = lim B ----------------
-
B®0 pBt
Propriété fondamentale :
+¥
ò–¥ ( d( t ) ) dt = 1 Equ(4.6)
4.5. Echantillonnage par la fonction de Dirac
Considérons le produit d’une fonction f ( t ) par une impulsion de Dirac (figure 4.8).
P. NAYMAN 25 TRANSFORMATION DE FOURIER
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