A DIVINA PROPORQÁO,
0 NÚMERO DE OURO
E A ESPIRAL LOGARÍTMICA
NO UNIVERSO
r i m a n d o _Jscc-v
D * Anemia Pavanaense Je O ...
" Q U A N T O M A I S L E M D S , M A I S S A B E -
M O S G?UE N A D A S A B Í A M O S "
A DBSERVAGÁD E A IMAGINAGÁD
N O S...
nclinei-me na perscrutagao Je toaos os
seqredos Jo l^Jniverso e volte i á minina solidao,
invejando os ceqos que encontrei...
Na vida do homem
a impossibilidade e a incompreensibilidade
podem durar
dias, meses, anos e até séculos (teorema de FERMAT...
Plano geral:
1. Instantes que parecem tolos
2. Prolegómenos
3. O grandioso livro do mundo
4. Da razáo e da propor^áo
5. Da...
1. - Instantes que parecem tolos
1.1 - Há certos momentos...
1.2 - Dádivas de PITÁGDRAS e EUCLIDES
1.3 - Que ventura
1 . 4...
De um modo geral, na humanidade, ha sempre muito
de imaginagao copiadora e repetidora e pouco de imagina-
gao criadora (de...
infecciosa e transmissível da febre puerperal e a forma de
combaté-la; LISTER, no dia 12 de agosto do verao de 1<365,
real...
¡nvengoes e experimentales.
Que nobres momentos, aínda distantes da comple-
xidade (que constituí a parte decorativa da ci...
1.2 - Dádivas de PITÁDDRAS e EUCLIDEB
Feliz momento, aparentemente tolo, aquele em que
sáculos antes de CRISTO, PITÁGDRAS ...
1.3 - Que ventura
Que ventura ter nae>cdo, depois destes gigantes,
para poder saborear estes conhecimentos, que sao verda-...
1.5 - Mensagem
Todo Wvro deve conter uma mensagem, neste bate-
papo informal entre o autor e o leitor. E este livro
(esque...
1.6 - Esbozo simples
Trata-se de um esbogo simples
(Esbozo: ensaio, resumo, sinopse, caricatura).
Simples - o que resulta ...
1.7 - Quatro vertentes
Pelo menos quatro vertentes devem estar reunidas
para dar o entendimento da visao global da fonte d...
1.8 - Filosofía, ciencia, arte e poesía.
A ciencia, empreendimento inacabado, urna pequenina
janela para o conhecimento ra...
fazer ginástica de intelecto, nem tao pouco fazer mala-
barismos de raciocinio. Tudo e muito simples e de fácil
compreenea...
Que a m a t e m á t i c a e um vasto dlcionário de
sinónimos ( H A D E W A R D ) e em tudo entra apenasmente
como instrume...
coberta da radioatividade? A gravitagao e maga de
NEWTDN? A S descobertas científicas do detetive cien-
tífico chamado ARQ...
1.14 - Idéias simples/
E verdadeiramente surpreendente saber que os gran-
des tesouros da ciencia nasceram de idáias simpl...
2.- Prolegómenos
2.1 - A Revoluto científica
2.1 - Do telescopio ao microscopio
2.3-0 infinito (infinitude)
2.4 - Espirali...
Se fores capaz de olhar dentro das sementes do tem-
po e dizer que grao irá crescer e qual morrerá, aponte-os
para mim. ( ...
Aquelas impulsionadas por novos instrumentos, nos
últimos quinhentos anos, podemos catalogar em vinte fun-
damentáis, dent...
dos pesquisadores ou urna disciplina napoleónica ou em
outros casos urna liberdade tolstoiana.
Caqui a dez mil anos, trint...
GeraImente se usa a Quarta-dimensao como
sinonimode misterioso, miraculoso, "supranatural", incom-
preensível e incognoscí...
O que funciona bem ja e obsoleto.
<l>
Na ciencia clássica privilegíava a ordem, a estabilida-
de. Na atual, o papel primor...
Um dos modos de entender o mundo: a ciencia.
Nao há departamentos estanques no universo.
<!>
0 espado e construya0
do pens...
EINSTEIN: O tempo e ilusao.
Nos humanos, observadores limitados.
Nova ciencia - ñas últimas décadas a física dos
processos...
Na China & no Japao, "natureza" significa "o que
existe por si mesmo".
A vida so e possívei num universo longe do equilibr...
A mecánica quántica comegou em 1923 com a tese
de doutoramentó do físico francés Louis DE BROGUE.
Os positivistas tinham a...
Urna ideia simples por mais fecunda que seja, as
vezes leva um tempo surpreendentemente longo para de-
senvolver-se por co...
2.2 - Do Telescopio ao Microscopio
Na amplitude de um livro táo pequeño, só ha-
verá instantáneos, náo retratos.
A abstrag...
de o microscopio ótico de A N T O N V A N
L E E W E N H D E C K (1673), ao microscopio ótico de
ZACHARIAS JANSEN e os mais...
Circunferencia da Terra no equador: 4 0 . 0 6 7 , 9
quilómetros.
Diámetro: comprlmento medio: 12.739,7
quilómetros.
Área d...
Táquions: a possíveI existencia de partículas mais
velozes que a luz.
A física dinamarquesa LENE VESTERGAARD
HAU produziu ...
Sirio: urna das estrelas mais próximas, f¡ca cerca de
53 milhoes de quilómetros, ou seja, quase nove anos-luz.
Um raio de ...
táncias sao formadas de átomos, que se podem agrupar
formando moléculas e ¡ons.
0 total de átomos no universo que, inciden...
Com o microscopio ótico de campo escuro ou de con-
traste de fase podem ser vistos os microorganismos do
grupo dos PPLO - ...
2.3 - O Infinito (Infinitude)
Os homens, observadores limitados
Virtude ou quimera, o sonho do infinito há de
atrair-me se...
Devemos pensar no infinito nao como urna figura de
linguagem, mas como algo relacionado com a realidade.
Vensar no infinit...
A "infinidade" continua tao misteriosa como sem-
pre. Por mais vezes que se subtraia um da infinidade, res-
tará um número...
Em Confissoes, SANTO AGOSTINHO sentenci-
ava quando faziam perguntas: "Que fazia Deus antes de
criar o ceu e a terra? — Es...
2.4 - Espiralidade. Lei, regra ou norma
Há pouca dúvida que a espirilidade está se tor-
nando mais e mais universalmente r...
Nao há, ñas matemáticas, nenhuma definigao da
Quarta dimensao. Se Imaginamos agora o movimento de
um cubo no espago (a3), ...
qualquer figura resultante do movimento, tal como urna
hélice, por exemplo, exige quatro coordenadas.
<t>
O material de co...
A tridimensionalidade do tempo e completamente
análogo á do eepago. Nao medimos o espago por meló de
cubos, medimos llnear...
1. Movimento lento, invisível como movimento. Por exemplo
o movimento do ponteiro das horas de um relógio.
2. Movimento vi...
todo, e cada momento do tempo contem o espago todo:
quando tu do está em todo lugar e sempre.
0 espago celeste e vazio par...
para depois).
0 misterio do tempo: antes - agora - depois.
A "eternidade" á urna extensao infinita do tempo,
enquanto "ete...
A espirilidade, que traduz energía e crescimento,
foi vista inicialmente como um problema artístico, mais
tarde como um pr...
mero real nao possa ser indefinidamente mais elevado.
A galaxia Andromeda se encontra a 750.000 anos
luz de distancia.
Sob...
aínda que apresenta divisoes secundarias, tém crescido
como um tubo continuo.
Os chifres dos carneiros, cabras, antílopes,...
Norma: para KELSEN á a expressao da idéia de
que algo deve acontecer. Há dois conceitos de norma:
1. A norma como criterio...
2.5 - Todo. Razáo Áurea
todo = 80
¡ 
parte maior= 50 parte menor = 30
/ / / 
(Representagao simbólica da divisao áurea)
1....
Na divisáo áurea a razáo entre o todo e o segmen-
to maior, e a razáo entre o segmento maior e o segmen-
to menor, sao exp...
4. A geometría, em geral, passa ainda por ser a ciéncia
do espago. (CDUTURAT).
5. A geometría faz com que possamos adquiri...
Verdade:
Quando dizemos na verdade, referimo-nos ao
objeto tal como e ou se afigura ser, segundo a sua natu-
reza.
A Geome...
O físico se nos assegura que a gota ¿Tagua, em
absoluta liberdade colocada em perfeito equilibrio toma
a forma matemáticam...
hexagonais dos flocos de neve, a espiral dos caramujos,
os cubos dos crlstais minerais, ... e a simetría do próprio
homem ...
2.8 - A textura da harmonía e da beleza
Alma! O estado divino da materia ( L E Q N I , L.).
Os homens que fugiram da verda...
Belo, o que agrada ver (quod visum placet); To-
MÁS DE AGJUINO descreve o belo como aquilo que agra-
da á vista (quae visa...
2.9 - A natureza nao é matemáticamente exata.
Vida.
PLATAA:
- Deus e o grande geometral
- Deue> geometriza sem cessar!
- P...
vada por si mesma, tais as numerosas satisfaces
e, júbilos que essa ciencia nos proporciona. Ja os
gregos possuiam em grau...
Matemática: urna curta frase para indicar um pro-
cesso que e realmente longo e complexo.
COCDK: A natureza abomina a mate...
Nada que e simplesmente e matemáticamente cor-
reto pode mesmo exibir ambas as características de VIDA
e ATRATIVO DE BELEZ...
3. O Grandíssimo Livro do Mundo
3.1 - O livro do mundo
3.2 - A mundividéncia
3.3 - Caminhando atentamente
3.4 - Tres siste...
formando um todo ordenado e harmonioso. Sin.: Mundo e
Cosmo (JOLIVET). Universalismo, á a visáo do todo, da
grandeza e vas...
A cosmología - a filosofía da natureza ( W O L F e
com ele a filosofía alema do sáculo XVIII: "A ciéncia do
mundo e do uni...
1917 - EINSTEIN (considerares sobre o Univer-
so, como um Todo).
: o universo nao mais como infinito, mas como finito
e to...
4o - o campo de encontro ou de uriificagao de certas
técnicas de investigado.
E mais, os axiomas:
- "A natureza nao faz na...
das as variadas formas, indiferente as concepgoee dos ho-
mens, simples para uns, complexo para outros, adicionado
diariam...
tas e artistas); um grande número que procura sorver do
seu conhecimento através de outros, sem nunca haver lido
diretamen...
Há ainda a ressaltar a curiosidade (inata ou cria-
da) e a paixao com que muitos procuram, devotamente,
haurir o nectar do...
Urna vez que se abandona a observagao empírica,
como urna das fontes de verdade, se está a um passo do
misticismo.
Aquilo ...
e male* maravillados ficaremos aínda.
Subíndo e descendo montanhas e vales, o emara-
nhado abafante de urna floresta, nos ...
Continuemos a nossa caminhada e vamos
embebedar-nos com a s linhas curvas dos gansos
canadianos em seu manso deslizar na s...
as figuras conchóides, as cardióides variadíssimas das
folhas, os alvéolos de um favo de mel, o dangar orientado
de uma ab...
aranha; os maravilhosos ninhos enfeitados do Ploceus
baya, fluorescentes ou iluminados, feitos de barro e in-
crustados de...
fior de maracujá. É admirável a simetría pentagonal como
estao dispostos os elementos dessa flor.
<l>
Chamamos a atengao p...
guinte teorema da geometría plana: a soma dos ángulos
de um triángulo á igual a dois ángulos retos ou seja, 150°
Mas... "a...
A geometría de RIEMANN "e aplicável a um objeto
muito familiar - a esfera, onde um plano que passa pelo
centro de urna esf...
3.5 - A matemática da Harmonía
e do Belo na Natureza.
Matemática: conjunto das ciencias que tém por
objeto o estudo da qua...
que acrescentava, "a beleza e um privilegio da natureza".
Este mesmo belo que fez SCHILLER dizer: "a ver-
dade é para o sa...
feliz enlace de duas entidades que permitía urna aprecia-
gao do belo, tanto no imperio da natureza como no domi-
nio da a...
f:- e até a perpectiva, a geometría do artista.
<i>
Dois pensamentos de COGK: (The curves of the life):
1° - o que realmen...
4 . Da razao e da proporgao
4.1 - Malba Tahan
4.2 - Da razao
4.3 - Da razao
4.4 - Da proporgao
4.5 - O ponto de ouro e o n...
4.2 - Da razáo
(L. Ratio, de Reor, Ratus, estabelecer urna reíagao,
pensar).
0 termo razáo tem muitos significados fundame...
Indica-se por urna das seguintes maneiras:
- a
b
= a:b
= a/b
e le-se: a razao de a para b.
Os números (a) e (b) sao os ter...
a, b, c, d estao em proporgao
2 4
3 6 ou 2:3::4:6
e le-se 2 está para 3 assim como 4 está para 6.
a c
b d
a:b::c:d
(a, b, ...
Assim, tambem:
A e o 1o
termo;
f3 e o 2o
termo
C á o 3o
termo
D e o 4o
termo.
Propriedade fundamental das proporgoes: em t...
21 : X = 7 : 9 21X = 6 3
6 3
x =
21
Froporgao continua: ñas proporgoes
3 6 : 12 = 12 : 4
3 : 9 = 9 : 27
9 : 6 = 6 : 4
vemo...
4.5 - O ponto de ouro e o número de ouro
0 ponto de ouro permite a divisao assimétrica mais
lógica de um segmento de reta ...
3- Unir A com D
4Tra$ar o arco de círculo f3E, com centro em D.
5Com A como centro, a partir de E descrever o
arco de círc...
As duas razoes principáis sao iguais.
Quando as duas razoes segmentarias sao iguais
diremos: A divisáo do segmento AB foi ...
Quando ao número Fl subtraímos urna unidade, te-
remos:
1.613= 1 0,61(5
1.615
Para que um retángulo seja harmonioso é nece...
QuaI o porque da beleza na divisao em media e ex-
trema razao?
Até hoje, filósofos e matemáticos nao conseguiram
explicar ...
Crescimento de uma colonia de coelhos
Meses Casais adultos Casais jovens Total
1 1 1 2
2 1 2 3
3 2 3 5
4 3 5 8
5 5 8 13
6 ...
o quadrado do termo medio 21 = 441
o produto dos outros dois 13 X 3 4 = 442.
Na serie observa-se a alternancia: +1 e -1 un...
5 . Da divina proporgao e do número de ouro
5.1 - Conceitos
5.2 - A divina proporgao
5.3 - O ponto e número de ouro
5.4 - ...
P L A T Á O ( " T Í M E O ) : Mas & impossível combinar
duas coisas sem urna terceira: é preciso que exista entre
elas um ...
5.3 - Ponto e número de ouro
Todo = Parte maior
Parte maior Parte menor
Ponto de ouro: & o ponto que neste caso divide a r...
Que é um número algébrico incomensurável, trivial a pri-
meira vista, mas possui características quase únicas
entre todos ...
A divina proporção - O número de ouro por Cavanha (dentista e professor)
A divina proporção - O número de ouro por Cavanha (dentista e professor)
A divina proporção - O número de ouro por Cavanha (dentista e professor)
A divina proporção - O número de ouro por Cavanha (dentista e professor)
A divina proporção - O número de ouro por Cavanha (dentista e professor)
A divina proporção - O número de ouro por Cavanha (dentista e professor)
A divina proporção - O número de ouro por Cavanha (dentista e professor)
A divina proporção - O número de ouro por Cavanha (dentista e professor)
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  1. 1. A DIVINA PROPORQÁO, 0 NÚMERO DE OURO E A ESPIRAL LOGARÍTMICA NO UNIVERSO r i m a n d o _Jscc-v D * Anemia Pavanaense Je O ^ ontologia D o C entro de | etvas do Pavana 2000 OOOOOOOOOOf^OOflJOOOOOOOO
  2. 2. " Q U A N T O M A I S L E M D S , M A I S S A B E - M O S G?UE N A D A S A B Í A M O S " A DBSERVAGÁD E A IMAGINAGÁD N O S DAD A DPDRTUNIDADE DE VER GRANDES CDISAS NAS CDISAS PEQUEÑAS. ÜM GRÁD DE AREIA E UMA GOTA D ' Á G U A , Q U AN D O OBSERVADOS, PERDERAM SUA INSIGNIFICANCIA.
  3. 3. nclinei-me na perscrutagao Je toaos os seqredos Jo l^Jniverso e volte i á minina solidao, invejando os ceqos que encontrei pelo caminho. ( • M A R KHAYYAN, 1 • 5 • ) que nós vemos é Lelo; ^ a i s Lelo aínda o que sabemos; C 3 m a r a v i l l o s o reside, no e n t a n t o , aquilo que ainaa nao compreenaemos (NIELB STENSEN, 1 6 3 B - 1 6 S 6 ) dominios do misterio p r o m e t e m / s mais Lelas experiencias! (ALBERT EINSTEIN, 1 3 7 9 - 1 9 5 5 )
  4. 4. Na vida do homem a impossibilidade e a incompreensibilidade podem durar dias, meses, anos e até séculos (teorema de FERMAT -380 anos) mas sao condigóes transitorias. Nada no universo é insignificante! (VDN SCHILLER)
  5. 5. Plano geral: 1. Instantes que parecem tolos 2. Prolegómenos 3. O grandioso livro do mundo 4. Da razáo e da propor^áo 5. Da divina proporgáo e do número de ouro 6. Da espiral logarítmica 7. O grande arquiteto: a Natureza 8. A última página 9. Alguns exemplos.
  6. 6. 1. - Instantes que parecem tolos 1.1 - Há certos momentos... 1.2 - Dádivas de PITÁGDRAS e EUCLIDES 1.3 - Que ventura 1 . 4 - BACHELARD 1.5 - Mensagem 1.6 - Esbozo simples 1.7 - Quatro vertentes 1.8 - Filosofía, ciencia, arte e poesía 1.9 - Livro simples 1.10 - Espa^o-tempo 1.11 - Momento da grande cria^áo 1 . 1 2 - PASCAL 1.13 - Iluminares repentinas 1.14 - Idéias simples 1.1 - Há certos momentos Há certos momentos e como sao numerosos, na his- toria da humanidade, que se afiguram desassisados. Há determinados pensamentos que surgem como lin- das flores em charcos lodosos e fétidos; há outros, que se parecem mais a jazigos de insensatez. Há certas experien- cias que parecem ingenuas, e de tao simples, mal se pode- riam chamar de experiencias. Há muitas obser/afdes (e devemos centuplicar as observares) que parecem insigni- ficantes. 6
  7. 7. De um modo geral, na humanidade, ha sempre muito de imaginagao copiadora e repetidora e pouco de imagina- gao criadora (devemos ataviar a imaginagao criadora). "A imaginafáo é mais importante que o conhecimen- to", nos diz judiciosamente ALBERT EINSTEIN. Mas, devemos acrescentar, a imaginagao criadora, a habilidade de visualizar (ou ver mentalmente), prever e gerar idéias, e nao aquela vadia, viciosa, com sinais evidentes de bolor cerebral. Cada avanzo da ciencia, procede de urna nova ousa- dia da imaginado ( W A L T E R WAEMY). Dizemos isto porgue, "nao poucas das mais impor- tantes idéias contemporáneas foram aventadas, de um modo vago, as tentativas, e sugeridas como um sonho, por pensadores de outras eras ( T R A T T N E R ) . Instante aparentemente tolo é aquele em que um NEWTCDN cometa a formular a Lei da Oravltagao Univer- sal, de pois de ver na paisagem de urna estampa, a queda de um fruto; GALILEU GALILEI ("Pescobri um novo mun- do ao ver que é o Sol, e nao o homem, o centro do Univer- so") contemplando um lampadario oscilante, na Catedral de Pisa, concebe a lei do isocronismo das oscilagoes pendulares; GALVANI, na contragao violenta da parte trazeira de urna ra pendurada, por um gancho de cobre, na balaustrada de ferro, descobre a eletricidade por contato, e abre caminho para VOLTA descobrir, em 1799, a pilha eletrica; SEMMELWEISS (0 salvador das maes, 0 Anjo das Paridas), reconheceu, em 1347, antes mésmo das cé- lebres descobertas de PASTEUR e KOCH, a natureza 7
  8. 8. infecciosa e transmissível da febre puerperal e a forma de combaté-la; LISTER, no dia 12 de agosto do verao de 1<365, realiza a primeira intervengo cirúrgica antisséptica; BANTING, "jovem cirurgiao, académicamente Ignorado, recruta fanático da ciencia", em maio de 1921 juntamente com o seu auxiliar BEST, descobrea insulina; MINDT, em 1926, com a administrado de grandes cuantidades de fí- gado, chega ao misterio do combate a anemia perniciosa; s c H A U D i N , em 21 de margo de 1925, descobre a causa do horror pálido, ou seja, a sífilis; NIELS FINSEN, se tor- na o pioneiro da medicina pela máquina; DERSTED admi- ra a oecWagao de urna bússola, quando se aproxima de urna corrente eletrica; GRAMME constrói o primeiro induzido de dínamo; JACDBI, O coeeorde TSF; JDLIOT-GURIE O rádium artificial; RDENGTEN, OS raios X; PIERRE e M A R I E C U R I E , O radium natural e plutonio; LEEWENHOECK, O primeiro microbio e o espermatozoide; PASTEUR, a primeira vacina; FLEMING, na magia do bolor a penicilina; orando urna oamponee>a chamou a aten- gao de JENNER para o fato de que os homens que orde- nhavam as vacas, e que houvessem contraído as "bexigas de vaca", nao estavam sujeitas á variola; ACHARD,descobriu a forma de retirar agúcar da beter- raba; o cozinheiro APPERT, inventou um prooeeeo para a oonservagao de alimentos; BRAILLE, simplificou a escrita e a leitura para cegos. Aquele certo momento em que... Seria um nunca maisterminar, relataros instantes aparentemente tolos nos 10.000 anos de descobertas, 8
  9. 9. ¡nvengoes e experimentales. Que nobres momentos, aínda distantes da comple- xidade (que constituí a parte decorativa da ciencia). Tao fecundos, que sao capazes de dinamizar o intelecto huma- no por sáculos e sáculos. Instantes que tornam o homem senhor dos mistários da crlagao. Momentos que tiram a materia da opacldade. Instantes que inspiram, engrande- cen! e tornam o homem verdaderamente um homem. Instantes que, nao raro, adormecen] anos e sáculos, a espera de alguám, de um bibliómano, de um enamorado de laboratorio, ou talvez...para serem redescobertos de tempos em tempos. Instantes que representam marcos de fama e honrarla para a humanidade. Felizes momentos, aparentemente tolos, germes de genialidade, frutos de tao poucos, para o aproveitamento de tantos que neles encontram mananciais de inspirado e posteriores desenvolvimentos e aplicares. 9
  10. 10. 1.2 - Dádivas de PITÁDDRAS e EUCLIDEB Feliz momento, aparentemente tolo, aquele em que sáculos antes de CRISTO, PITÁGDRAS viu a razao áu- rea no pentágono estrelado; que permitiu a EUCLIDES a divisáo de urna reta em media e extrema razao. Esta for- mulado portentosa, que faz a sua reapari^ao na Idade Media com a chamada serie de FIBONACCI e na Renas- cenga com LUCAS PACCIOLI e LEONARDO DA VINCI, reavivada nos meados do sáculo XIX por ZEYSING e ago- ra muito mais dilatada por COOK,THOMPSON, BHYKA e HUNTLEY. A forma ampliada como a conhecemos hodiernamente consumiu sáculos de observares e com- provagoee incessantes. Tudo isso que a seu respeito conhecemos hoje, foi outrora extremamente nebulento e serve para compreen- der EMERSON, quando dizia: a fungao do genio e indicar aos espíritos menores os caminhos que eles devem seguir. E PITÁGORAS e EUCLIDES irdicaram-ros> o ca- minho, o caminho da divina proporgao, o caminho do núme- ro de ouro. Caminho este que um JOHANNES KEPLER (1571-1630) certa vez sobre ele assim se expressou: A Geometría tem dois grandes tesouros: um é o teorema de PITÁGORAS; o outro, a divisáo de urna linha em extrema e média razao. O primeiro podemos comparar a urna medi- da de ouro; o segundo, nós podemos chamar de urna jóia preciosa. 10
  11. 11. 1.3 - Que ventura Que ventura ter nae>cdo, depois destes gigantes, para poder saborear estes conhecimentos, que sao verda- des simples, e, compreensível de todos. Sim, repitamos, todos os problemas sao simples, depois de resolvidos. 1 . 4 - B A C H E L A R D lnflamar-se por urna escola onde o mestre se torna verdadeiramente um aluno e por urna cultura científica que coloca sem cessar o verdadeiro sabio em situagao de es- colar, sao tragos dominantes de alguns dos ensinamentos do grande poeta, cientista e filósofo de ciencias GASTDN BACHELARD. E mais, insurgir-se contra a ideia do sa- ber fechado e acabado, e a favor do clamor de que á preci- so renovar o espirito ao contato de urna experiencia nova. Dos seus ensinamentos e exemplo pessoal in- ferimos que devemos ser perpetuos estudantes, e porque nao dizer, eternos principiantes, Que a verdade e filha da discussao e nao da simpatía coletiva ou individual. Que o repouso da intuigao, a felicidade da contemplagao, o dogmatismo de um saber definitivo, sao ingredientes hu- manos que paralisam a ciencia. 11
  12. 12. 1.5 - Mensagem Todo Wvro deve conter uma mensagem, neste bate- papo informal entre o autor e o leitor. E este livro (esquematizado, simplificado, exaltaba0 da natureza,...), podemos assegurar, contem duas mensagens: A primeira - de que a "verdade" so pode ser filha da observad0 » da discussao e da experimentad0 . mas nun- ca da simpatía. A segunda - que o múltiplo, a variedade, ao invés de desencorajar a razao, serve ao máximo, para estimulá-la e constituí-la. Conscientemente, nossa i n t e n d 0 foi a de, principi- ante nos meandro5 da divina proporgao, do número de ouro eda espiral logarítmica, repetir com HEIDEGER: quando um homem (poeta, artista, cientista ou filósofo) olha para um grao de areia, este perde sua insignificancia, porque foi visto por alguém que sabia ver e enxergar. 0 POETA dá mobilidade ao mundo. 0 ARTISTA, torna-o prenhe de forma e colorido; 0 CIENTISTA, penetra no ámago de sua constitui- d o ; 0 FILÓSOFO, descreve o arranjo harmonioso do Cosmos, de acordo com o sistema de proporgoes, como urna composifao "sinfónica" regrada por urna "simetría di- námica". 12
  13. 13. 1.6 - Esbozo simples Trata-se de um esbogo simples (Esbozo: ensaio, resumo, sinopse, caricatura). Simples - o que resulta de um estudo aprofundado do complexo. Nao confundir com simplificado. Trata-se de apresentar alguma coisa viva, dinámica, um quesito de urna das facetas do Universo (Universo = "tudo que há" — • RTEGA Y GASSET); alguma coisa com características próprias, que cresce e se desenvolve dian- te de nos todos os dias, e que em certas ocasioes simula repouso (o repouso so e admissível quando se estuda o movimento). Tenta-se mostraralguma coisa viva no Universo (des- de as galáxias em seu movimento e expansao) aparente- mente em repouso e morto. Trata-se de apresentar, ñas coisas animadas, algo que define a vida, o movimento do crescimento, que mesmo na desigualdade, apresenta-se com a malor igualdade. (Te- oría do CAOS). "Nao é a esperanza da ciencia dissipar os reais mis- terios. O misterio amplia-se todos os dias". A cada ques- tao respondida surgem 10 novas questoes ( H E N R I PDINCARÉ). 13
  14. 14. 1.7 - Quatro vertentes Pelo menos quatro vertentes devem estar reunidas para dar o entendimento da visao global da fonte do de- senvolvimento harmonioso: - filosofía - ciencia - arte - poesia - arte e poesia: a manifestado do sonho da natu- reza. Isto significa nao perder o contato com a Natureza, os elementos primeiros, de onde provém todas as vertentes, isto e, o realismo do Universo. Saber ver as leis da Natureza (a unicidade dentro da variedade); saber colocar diante desta janela comum de todas as ciencias (a filosofía); saber olhar como ideali- zou e trabalhou o artesao do Universo (Deus e a arte). E, finalmene, saber dizé-lo (fazendo uso do pequeño dlcloná- rio humano, tao pobre de palavras para descrever tudo de grandioso que vemos diante de nos). Seria exigir muito de um so homem, ter tantas ca- racterísticas reunidas. Mas este homem existe. Existe sim, naquele que tem dentro de si a mae inquietude. Para aquele que admite, que alám de certo limite, o instrumento nao pode dar nada, quer se trate de microscopio, telescopio, espetroscópio, etc.. 14
  15. 15. 1.8 - Filosofía, ciencia, arte e poesía. A ciencia, empreendimento inacabado, urna pequenina janela para o conhecimento racional do Universo (Ver Enci- clopedia da Ignorancia). A filosofía, a janela ampia que permite ver, ao mes- mo tempo, atraves de todas as janelas, dando a visao unificada do mundo. A arte, mostrando que dentro de todos os seus objetos, a Natureza sonha. E a poesía, que nao é um jogo, mas urna forga da Natureza, que elucida o sonho das coisas, á a forga da condensagao das imagens. 1.9 - Livro simples Um livro simples, para gente simples, onde se conta o jogo simples da aventura científica, que ajude a analisar as imagens do mundo onde vivemos e que ajude a satisfa- zer o prazer da descoberta individual (um importante ele- mento de cultura humana). Tudo o que se disser, nao passa de urna pequeña amostragem do suntuoso mostruário do Universo; e ad- vertir, que todo o Universo ai está a espera de alguem que o analise, que o saiba ler. 0 Mundo e um curioso álbum de imagens gratuitas, e nao urna loja de curiosidades ¡soladas. Todos podem lé-lo. Nao á necessário ser genio, nem 15
  16. 16. fazer ginástica de intelecto, nem tao pouco fazer mala- barismos de raciocinio. Tudo e muito simples e de fácil compreeneao e comprovagao. É também um livro que ensina o quanto devemos aos homens do pae>e>ado, longínquo ou próximo, que com seus sentidos de observagao, tornaram o mundo mais conheci- do. Que quanto mais nos aprofundamos na análise da Na- tureza, mais aprendemos a admirá-la e respeitá-la. 1.10 - Espa^o-tempo Espago-tempo: - dos poetas e artistas; - dos dentistas; - dos filósofos - e dos que sabem o que seja, mas que na hora de definir, nao sabem dizé-lo (sabem para dentro). 1.11 - Momento da grande cria^áo Com TOMÁS DE AQUINO aprendemos que a cien- cia deve ser considerada como um presente precioso que Deus deu ao homem para penetrar nos segredos de sua obra. Com WILLIAM COWPER, que a variedade é o tem- pero da vida. Que as relagoes invariáveis entre fenómenos que va- riam sao as leis da natureza. 16
  17. 17. Que a m a t e m á t i c a e um vasto dlcionário de sinónimos ( H A D E W A R D ) e em tudo entra apenasmente como instrument o de trabalho. Que a ciencia e a poesia do intelecto ( D U R R E L L ) e serve para urna melhor compreensao do mundo das molé- culas, dos átomos, dos eletrons, dos protons... bem como do mundo macroscópico, ou seja, fenomenológico. Que o "número nao tem significado, pois e apenas um símbolo criado pelo espirito humano para caracterizar os diferentes estados de urna grandeza científica". E, finalmente, que cada vez que penetramos na inti- midare de um assunto, vamos as suas origens, ou faze- mos urna descoberta, estamos entrando na intimidade de Deus, estamos pensando como Deus no momento da gran- de criafaa 1.12 - Pascal Podemos, dizia BLAISE PASCAL, ter tres objetivos principáis no estudo da verdade: - descobrí-la, quando a buscamos; - demonstrá-la quando a possuimos; - discerní-la do que e falso, quando a examinamos. 1.13 Iluminares repentinas Seráo as "iluminares repentinas" de F. JOLIQT filhas do acaso? Assim se poderá qualificar a descoberta acidental da penicilina? A descoberta dos Raios-X? A des- 17
  18. 18. coberta da radioatividade? A gravitagao e maga de NEWTDN? A S descobertas científicas do detetive cien- tífico chamado ARQUIMEDES? A vacina de JENNER? A bomba atómica do século XIX (uráia), por WHDELLER. A batata cozida como meio de issolamento de germes, por KOCH? Lembremos que ñas mais gloriosas conquistas da ciencia sempre labutaram homens em nobre solidao. Entre os bilhoes de seres humanos, apenas uns poucos possuí- ram a faculdade de descobrir relagoes que os olhos nor- máis nao véem, e que a razao advinha. Acrescentaríamos o que disse CLAUDE BERNARD: nao se vé senao aquilo que se suspeita. Será pois, necessário, o binomio: olho-razao. Temos muitas formas de encarar o acaso: os aci- dentes que determinam grandes descobertas; o acaso das reflexoes; os acasos felizes; os minúsculos acasos; o sus- peitar o imprevisto; a descoberta estava "no ar", e o aca- so, que com tanta freqüéncia vem em auxilio dos que se ajudam a si mesmos. Por acaso, talvez digáis, mas lebrai-vos de que, no campo da observagao, o acaso favorece somente aos espí- ritos preparados (Louis PASTEUR). 18
  19. 19. 1.14 - Idéias simples/ E verdadeiramente surpreendente saber que os gran- des tesouros da ciencia nasceram de idáias simples e as ideias simples surgem ao descobrir a ordem, onde nao se percebia mais que a desordem. Mote de um dos livros de MAYER: - Simplex Veri Sigillum - A simplicidade e o selo da verdade. 19
  20. 20. 2.- Prolegómenos 2.1 - A Revoluto científica 2.1 - Do telescopio ao microscopio 2.3-0 infinito (infinitude) 2.4 - Espiralidade. Lei, regra ou norma. 2.5 - Todo. Razáo áurea 2.6 - A geometría ideal e a realidade 2.7 - A geometría e a matemática na natureza 2.8 - A textura da harmonia e da beleza 2.9 - A natureza nao é matemáticamente exata 2.10 - Unidade e diversidade 2.11 - As leis da natureza evoluem? 2.12 - Probabilidade e acaso 2.13 - Padráo espiral "a moda" 2.14 - Há segredos na natureza? 2.15- Natural e natureza. Natura 2.16-0 homem perante o universo. 2.1- A Revolugáo Científica Quando nao ha revolugao científica em anda- mento, a ciencia continua a progredir(?) em velhas dire^oes. (FREEMAN D Y S O N ) . o 20
  21. 21. Se fores capaz de olhar dentro das sementes do tem- po e dizer que grao irá crescer e qual morrerá, aponte-os para mim. ( W I L L I A M SHAKESPEARE). O Em toda investigagao temos tres resultados possí- veis: - acreditamos ter encontrado a resposta; - acreditamos ser impossível encontrar a resposta; - continuamos buscando. O Vivemos em urna época onde as vozes de ontem agonizam e as vozes de amanha balbuciam. ( S E X T O EMPÍRICO — FILÓSOFO CÉTICO DOS SÉCULOS II- I I I ) . ( E . LEVI ÑAS ). <E> "Senear a natureza em seus detalhes mais íntimos tem sido a busca incessante do homem" ( S T E V E N WEINBERG). Isto conduziu o homem a estabelecer dois caminhos bem distintos, que em última análise constituem as revolugoes científicas: aquelas revolugoes impulsiona- das por novos instrumentos e aquelas impulsionadas pelo estabelecimento de novos conceitos. Ambas sao o funda- mento do progresso científico de nossos dias. 21
  22. 22. Aquelas impulsionadas por novos instrumentos, nos últimos quinhentos anos, podemos catalogar em vinte fun- damentáis, dentre as quais salientamos como marcos prin- cipáis: a revolugao galileana ajando da invengao do telesco- pio, aWndo novos horizontes no dominio da astronomía; a invengao do microscopio simples que permitiu a LEWENHDECK iniciar o conhecimento do mundo vivo de pequeñas dimensoes; a difragao dos raios X, que na decada de 1950, com WATSON e CRICK, permitiu a visao da es- trutura de macromoleculas na biología. Permitem os novos instrumentos que o homem faga a descoberta de coisas novas, e que prece>am ser explicadas. Como por exemplo os raios X por R O E N G T E N em 18-95, os computadores eletrónicos (verdadeíros instrumentos ¡ntelectuaís), os ban- cos de memoria, nos anos 60; o mundo maravilhoso das partículas W e Z, bem como o microscopio eletrónico e de tunelamento e os supercondutores de alta temperatura. E aquelas descobertas resultantes de novos con- ceitos, isto é, a explicagao de coisas antigas de maneiras novas. Nos últimos quinhentos anos, alem da revolugao quántica na década de 20, as revolugoes conceituais de C D P E R N I C G , N E W T O N , D E S C A R T E S , D A R W I N , PASTEUR, KOCH, MAXWELL, FREUD, EINSTEIN, EIBENBERG, F E R M I , . . . E o futuro? Este terá grandes oportunidades, herdeiro da gran- de bagagem científica atual, com novos conceitos e novos instrumentos, em todas as áreas da ciencia, mas exigindo 22
  23. 23. dos pesquisadores ou urna disciplina napoleónica ou em outros casos urna liberdade tolstoiana. Caqui a dez mil anos, trinta mil anos, ainda haverá pes- soas a explorar de algum modo os segredos da natureza. Como "nossas teorías atuais tém urna validade li- mitada e sao tentativas incompletas", outros ERNEST TRATTNER aparecerao para contar em novos Arquitetos de Idéias, as novas teorias que surgirao. Nao serao mais: CDPÉRNICQ com A Teoria do Sistema Solar; HUTTDN, com a teoria da Estrutura da Terra; DALTDN com A Teo- ria da Estrutura da Matéria; LAVOISIER, com A Teoria doFogo; RUMFDRD, com a Teoria do Calor; HUYGENS, com A Teoria da Luz; MALTHUS, com A Teoria da Popu- lado; SCHWANN, com A Teoria da Célula; DARWIN, com A Teoria da Evolugáo; MARX, com A Teoria da Inter- pretado Económica da Historia; PASTEUR, com A Teo- ria da Doen5a; F R E U D , com A Teoria da Mente; CHAMBERLIN, com A Teoria da Origem de Nosso Pla- neta; BOAS, com A Teoria do Homem; EINSTEIN, com A Teoria da relatividade. <l> A ciencia e a tentativa de compreender a relativida- de. E urna atividade quase religiosa, na mais ampia acepgao da palavra. ( G E O R G E WALD). 0 23
  24. 24. GeraImente se usa a Quarta-dimensao como sinonimode misterioso, miraculoso, "supranatural", incom- preensível e incognoscível, como urna especie de definifao geral do mundo "supra-físico. É comum que tecnologías vitoriosas comecem como passatempo. Se buscamos novos rumos para a ciencia, devemos procurar por revolufoes científicas. <f> A ciencia dominante no sáculo XXI será a biología: engenharia genática e ectogénese. <J> Hoje em dia, as duas novas tecnologías que viram o mundo de cabera para baixo: a tecnología do computador, lanzada por VON N EWMANN e a tecnología da engenha- ria genática, lanzada por WATSDN e CRICK. Ambas percorrem caminhos eeparadoe. 4> A ciencia trabalha para o mal quando seu efeito á proporcionar brinquedos para os ricos, e trabalha para o bem quando seu efeito á satisfazer as necessidades dos pobres. 24
  25. 25. O que funciona bem ja e obsoleto. <l> Na ciencia clássica privilegíava a ordem, a estabilida- de. Na atual, o papel primordial das flutuagoes e da instabi- lidade. Assim, as leis da natureza ganham um novo sentido - doravante, as leis fundamentáis exprimem possibilida- des e nao mais certezas. A natureza apresenta-nos ao mesmo tempo proces- sos irreversíveis e processos reversíveis, mas os primeiros sao a regra, e os segundos, a excegao. A distingao entre processos reversíveis e irreversíveis e introduzida na termodinámica pelo conceito da entropía. A vida so e possível num universo longe do equilibrio. 0 futuro nao e dado. Vivemos o fim das certezas. (DESCARTES). EINSTEIN afirmou que aprendera muito mais com DOSTOIEWSKI do que com qualquer físico. <t> 25
  26. 26. Um dos modos de entender o mundo: a ciencia. Nao há departamentos estanques no universo. <!> 0 espado e construya0 do pensamento. Os átomos nao tém contornos bem definidos. <t> Táquion - significa "coisa que anda depressa". Aci- ma da velocidade da luz(?). O aprimoramento produz urna complexidade maior, e, portanto, mais informales. No sáculo XVII a Europa Ocidental come^ou a desen- volver urna nova forma de olhar a natureza. 0 futuro á dado ou está em perpátua construgao? 0 tempo á a dmeneao fundamental de nossa exis- tencia. 26
  27. 27. EINSTEIN: O tempo e ilusao. Nos humanos, observadores limitados. Nova ciencia - ñas últimas décadas a física dos processos de nao-equilibrio (novos conceitos como auto- organizagao e as estruturas dissipativas) - que sao hoje amplamente utilizadas em áreas nao só da cosmología, mas até a ecología e as ciencias sociaís, paseando pela química e pela biología. Na ciencia clássica privilegiava a ordem, a estabili- dade. Agora o papel primordial das flutuagoes e da insta- bilidade. Assim, as leis da natureza ganham um novo mun- do. Doravante, as leis fundamentáis exprimem possibilida- des e nao mais certezas. A mecánica newtoniana foi destronada no século XX pela mecánica quántica e pela relatividade. 4> A natureza é um autómato que podemos controlar, pelo menos em principio. <¡> 27
  28. 28. Na China & no Japao, "natureza" significa "o que existe por si mesmo". A vida so e possívei num universo longe do equilibrio. A ciencia e um diálogo com a natureza. <i> A ideia fundadora de EINSTEIN consistiu em as- sociar a gravitapao á curvatura do espafo-tempo. <l> Tres razoes para acreditar em algo. Elas se cha- mam: tradigao, autoridade e revelafaa A ciencia, como empreendimento, busca explicarfe- nomenos e regularidades do universo empírico. Sob o pres- suposto de que leis naturais sao uniformes no espado e no tempo: 1o - o Caos reinava e a lei era inimaginável; 2o - após milhares de anos - a natureza tinha mui- tas regularidades que podiam ser registradas, analisadas, previstas e exploradas: o caos dera lugar a um mundo pre- ciso como um relógio; 3o com o advento da mecánica quántica, o mundo passou de engrenagem precisa a lotería cósmica. 28
  29. 29. A mecánica quántica comegou em 1923 com a tese de doutoramentó do físico francés Louis DE BROGUE. Os positivistas tinham a matemática e a ciéncia como fontes supremas da verdade. <l> Precisamos distinguir entre a verdade, que é objetiva e absoluta, e a certeza, que e subjetiva. Mas as vezes o texto científico mais claro e o mais desonesto. <l> HENRI POINCARÉ: pequeñas diferengas ñas con- digoes iniciáis produzem efeitos muito grandes nos fenó- menos fináis. Um pequeño erro nos primeiros produzirá um erro enorme nos últimos. Quando alguem atinge o ponto de equilibrio como or- ganismo vivo, ja está morto. Na ciéncia as descobertas mais importantes sao freqüentemente as mais inesperadas. A razao é que a nature- za e muito mais inventiva, sutil e elegante do que os humanos. 29
  30. 30. Urna ideia simples por mais fecunda que seja, as vezes leva um tempo surpreendentemente longo para de- senvolver-se por completo. A ciencia e urna atividade nobre capaz de gerar urna feroz lealdade. <t> DICKERSDN: A ciencia, fundamentalmente, é um jogo. E é um jogo com urna regra definitiva e definidora. Reg ra: vejamos ate que ponto e em que medida podemos explicar o comportamiento do universo físico e material em termos de causas puramente físicas e materiais, sem In- vocar o sobrenatural. = A ciencia deve utilizar causas naturais e explicar alguma coisa referindo-se apenas a lei natural. <i> 0 homem tem de ser livre para procurar o E3EM, o VERDADEIRO e o E3EL0> E cada vez mais curioso. 30
  31. 31. 2.2 - Do Telescopio ao Microscopio Na amplitude de um livro táo pequeño, só ha- verá instantáneos, náo retratos. A abstragáo e a imaginado sáo de excepcional importáncia porque permitem descobrir, pela meditagáo, as relagóes variáveis entre fenóme- nos que variam, isto é, as leis da natureza. Caminhemos desde os aglomerados e galaxias ate os microbios, os virus (piratas biológicos) e os átomos. Fortanto, caminhemos desde o infinitamente gran- de até o infinitamente pequeño. Do infinitamente grande ao infinitamente pequeño encontra-se o cofre do saber humano. Dentro destes extremos encontra-se o livro da natureza em suas manifestares macroscópicas e micros- cópicas, tais como se apresentam diante dos olhos e inteli- gencia dos homens. Para o lado do infinitamente grande contamos com o auxilio do telescopio ótico (instrumento ótico para ver objetos distantes - inventado em 1608 por (?) HANS LIPPERSHEY, ZACHARIAS JANSEN DU JAMES METIUS, do rádio telescopio (depois da Segunda Guerra Mundial), os captadores de radagdes X e gama, e as pode- rosas cameras do supertelescópio espacial HUBBLE. Para o lado do infinitamente pequeño o microscopio (instrumento para produzir imagens ampliadas de objetos que sao muito pequeños para serem vistos com os olhos desarmados na visao da distancia de 25 centímetros. Des- 31
  32. 32. de o microscopio ótico de A N T O N V A N L E E W E N H D E C K (1673), ao microscopio ótico de ZACHARIAS JANSEN e os mais modernos, inclusive o eletrónico, e tambám os aceleradores atómicos que per- mitem detectar a danga dos elétrons. Mas para penetrar neste Universo há a necessida- de, sobretudo, de inspiraba0 , vontade, paciencia e traba- Iho, e, muito mais ainda, um requisito fundamental j á alertado no sáculo XV por LEONARDO DA VINCI (1452- 1519) -(um genio ñas artes e sabio ñas ciencias): a ob- servado ¡solada á incompleta e pobre quando nao a acom- panha a faculdade criadora (esta a chave que permite abrir os segredos da natureza). <t> Universo - mundo, terra, orbe, cosmos. = o conjunto de todas as coisas existentes, conside- rado como formando um conjunto ordenado e harmonioso; = o conjunto de tu do quanto existe incluindo-se a Terra, os astros, as galaxias e toda a matária dissemina- da no espado; = tudo quanto há ( O R T E G A Y GASSET). <í> A expressao bíblica firmamento á testemunho da crenga primitiva de o cáu ser um objeto firme, urna subs- tancia sólida. No dizer de DMAR KAHYAN, urna grande ta$a emborcada sobre a Terra. 32
  33. 33. Circunferencia da Terra no equador: 4 0 . 0 6 7 , 9 quilómetros. Diámetro: comprlmento medio: 12.739,7 quilómetros. Área de sua superficie: 316.692.550 quilómetros quadrados. Velocidade da Terra em sua marcha ao redor do sol: 23.700 quilómetros por segundo, ou seja, aproximadamente um décimo da velocidade da luz. Em um ano percorre 940.265.000 quilómetros. A luz viaja no vacuo a urna velocidade de 299.792,5 quilómetros por segundo. Em números redondos 3 0 0 . 0 0 0 quilómetros por segundo. 3 0 0 . 0 0 0 quilómetros = em um segundo = um se- gundo luz 13.000.000 quilómetros = em um minuto - um mi- nuto luz. 1.030.000.000 quilómetros = em urna hora = hora luz. 2 5 . 9 2 0 . 0 0 0 . 0 0 0 quilómetros em vinte e quatro horas = vinte e quatro horas luz. 9 4 6 . 3 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 quilómetros = em um ano luz. Distancia do centro galático (Via Láctea) até nos = 3 0 . 0 0 0 anos luz. A distancia do Sol á Terra pode ser expressa como igual a urna Unidade Astronómica (abreviada para U.A.). Urna U.A. = 150.000.000 de quilómetros. 33
  34. 34. Táquions: a possíveI existencia de partículas mais velozes que a luz. A física dinamarquesa LENE VESTERGAARD HAU produziu um conglomerado de átomos hipergelados e sobre eles fez rcdr um feixe de luz. Ao passar por este bloco, a luz é súbitamente desacelerada. A pesquisadora espera em breve reduzir a velocidade da luz, para até 6 0 km/por hora. 4) Distancia dos planetas. Distancia média do Sol. Planetas Milhoes de km U.A Hora-luz Mercurio 57,9 0,387 0,0535 Venus 108,2 0,723 0,102 Terra 149,5 1,0 0,137 Marte 227,9 1,524 0,211 Jupiter 778,3 5,203 0,722 Saturno 1428,0 9,539 1,321 Urano 2872,0 19,182 2,26 Netuno 4498,0 30,058 4,26Plutao 5910,0 39.518 5,47 Sistema solar: diámetro extremo: 1 trilhao de quilómetros. Para cruzar esta distancia, um raio de luz levaría quarenta dias. Assim o diámetro do sistema solar como superior a um mes-luz. 4> 34
  35. 35. Sirio: urna das estrelas mais próximas, f¡ca cerca de 53 milhoes de quilómetros, ou seja, quase nove anos-luz. Um raio de luz que viaja do Sol á Terra em oito minutos, e do Sol ao remoto Plutao em cinco horas e meia, só poderla chegar as estrelas mais próximas após urna viagem de muitos anos. Constelagoes: Orion, Persev, Cassiopeia, Cisne, Aguia, Sagitario, Centauro e Carina. A galaxia Andrómeda é sem dúvida notável por ser o mais longínquo objeto discernível a olho nú. As nebulosas: algumas pareciam ter urna estrutu- ra marcadamente espiral. Sol: meramente urna estrela. <t> Átomo: Química: "A estrutura individual que cons- tituí a unidade básica de qualquer elemento químico. Sis- tema energético estável, formado por um núcleo positivo que contém neutrons e prótons, e cercado de elétrons; a menor quantidade de urna substancia elementar que tem as propriedades químicas de um elemento". Todas as subs- 35
  36. 36. táncias sao formadas de átomos, que se podem agrupar formando moléculas e ¡ons. 0 total de átomos no universo que, incidentalmente é^mnmmMMMimMMMjmmmm^ 3 X 10(74). O universo nao é urna estrutura compacta de átomos - na verade ha apenas um átomo para cada me- tro cúbico de espago ( G E O R G E GAMOW). <t> A vida microscópica: "...observei urna multidao de pequeños animais vivos, mais de mil, movendo-se em um volume igual ao de um pequeño grao de areia... (VON L E E W E N H O E C K ) . Os "animálculos" de VON LEEWENHOECK e os germes de PASTEUR e KOCH. A unidade estrutural e funcional: a célula ("Omnis cellula" - t o d a célula provém de outra célula (R. WlRCHOW, 1353). <i> Microorganismos unicelulares e microorganismos pluricelulares (animais e vegetáis) As dimensoes de alguns protozoários ciliados nao ultrapassam 3 0 0 0 miera, como Aspidisca Costata. Paramecium caudatum: 2 5 0 miera. Stewntor Poesele: 1200micra. 36
  37. 37. Com o microscopio ótico de campo escuro ou de con- traste de fase podem ser vistos os microorganismos do grupo dos PPLO - organismos da pleuropneumonia com 0.1 á 0.5 miera de diámetro (e o limite do microscopio ótico). Microorganismos: Eucariotas - tais como os protozoários (animais inferiores), algas, fungos, levedu- ras (vegetáis inferiores). Procariotas - Bacterias, Picktsias, Microorganismos do grupo PPLO e virus (des- cobertos por DIMITRI IVANDWSKI-BEIJERINK): da variola (300nm), do herpes (130nm) e da febre aftosa (24nm). Serao os virus, os piratas biológicos, "vivos" ou ape- nas "meras substáncias químicas". Será a vida no seu ni- vel mais simples e basilar? Sao ¡números os misterios do mundo da virología: da vulgar constipaba0 á doen^as mor- tais como a variola, a raiva, a febre amarela, a aids e o cancer (?).Gripe, varicela, sarampo, papeira, hepatite, polimielite e outras mais. 37
  38. 38. 2.3 - O Infinito (Infinitude) Os homens, observadores limitados Virtude ou quimera, o sonho do infinito há de atrair-me sempre ( E R N E S T RENAN). Nao se pode partir do infinito, nem se pode chegar lá. Nao há respostas definitivas. Digamos com SARTRE: "Recomecemos". "0 símbolo matemático a representa, é claro, a infi- nidade. É a imagem de urna curva matemática chamada lemniscata e foi usada pela prlmeira vez para simbolizar a infinidade em 1656, em Arithmetic Infinitorum de JOHN WALLIS". A palavra grega para infinidade era Apeiron, que significa "sem limites". "Há aproximadamente 2.500 anos, ao propor seu famo- so paradoxo envolvendo Aquiles e a Tartaruga, o filósofo ZENÁO DE ELÉIA tocou no cerne de um dos mais du- radouros e enigmáticos problemas da ciencia: como defi- nir o infinito". 38
  39. 39. Devemos pensar no infinito nao como urna figura de linguagem, mas como algo relacionado com a realidade. Vensar no infinito é pensar no incomensurável den- tro de um corpo de conhecimento que se baseia na capa- cidade de medir. <t> Existirao outros universos iguais a este que conhe- cemos? Ou há um número infinito de universos iguais a este. 0 infinito e hoje algo tao desconcertante quanto no tempo de ARISTÓTELES. 0 primeiro a examinar o conceito do infinito em de- talhes foi o filósofo grego ZENAO (há 2.500 anos). O infinito continuava tao enigmático como sempre quando GALILEU O equiparou ao "incompreensível". <t> Para H A W K I N G O universo nao teve comego. Tampouco havia tres dimensoes de espago e urna de tem- po, como há hoje. 39
  40. 40. A "infinidade" continua tao misteriosa como sem- pre. Por mais vezes que se subtraia um da infinidade, res- tará um número infinito. <l> "No entanto, encontramos o conceito do infinito a cada passo na filosofía e na ciencia moderna e, ocasio- nalmente, na literatura. Na linguagem cotidiana, a pala- vra infinito continua sendo usada como sinónimo de "o que está alám da compreensao humana". Quando encon- trado um contexto científico ou filosófico, contudo, o infi- nito nao pode ser eludido com tanta facilidade. Ciencia e filosofía, afinal de contas, sao tentativas de compreen- der o mundo". <i> Constata-se que nao é tao fácil responder a per- guntas sobre a infinidade quando elas est ao situadas num cenário do mundo real. <i> Até hoje os cientistas nao sabem realmente se o tempo é finito ou infinito. Infinidade e eternidade sao con- ceitos estreitamente relacionados. 0 silencio eterno desses espatos infinitos me ame- dranta. ( B L A I S E PASCAL). 40
  41. 41. Em Confissoes, SANTO AGOSTINHO sentenci- ava quando faziam perguntas: "Que fazia Deus antes de criar o ceu e a terra? — Estava preparando o inferno para gente que faz este tipo de pergunta. Dictionary of Scientific and Technical Terms: Infini- to - (math.) maior que qualquer número fixado. Infinidade (ADD) - Qualquer número maior do que o número máximo que um computador e capaz de guardar em qualquer registro. Math.: o conceito de um valor maior do que qual- quer valor finito. <t> ABBAGNANO: 1. 0 infinito matemático é a dispo- sigao ou a qualidade de urna grandeza. 2. 0 infinito teológi- co que é a a ilimitagao de potencia. 3. 0 infinito metafísico que e a ausencia de acabamento. 41
  42. 42. 2.4 - Espiralidade. Lei, regra ou norma Há pouca dúvida que a espirilidade está se tor- nando mais e mais universalmente reconheci- da como uma das grandes leis cósmicas. (THEDDDRE ANDREA COOK). Nao ver a natureza como um mero catálogo. Mas sim, uma sucessáo dinámica, viva. E nada que é vivo é simplesmente matemática. Em cada objeto orgánico há um fator que engana a matemática. Sao conhecidas as tres dimensoes do espado: com- primentó, largura e altura. Enguanto que a Quarta dimen- sao e inacessível a nossa percepgao. Todo o conceito sobre a Quarta Dimensao que ex- poremos a seguir e devido a P. D. DUSPENSKY. Diz-se, por vezes, e podemos ate encontrar tais afirmagoes na literatura , que LDBATCHEWSKY "des- cobriu" a Quarta Dimensao. Durante os últimos vinte anos (1921), a descoberta da "Quarta dimensao" tem sido com freqüéncia atribuida a EINSTEIN OU MINKOWSKI. 42
  43. 43. Nao há, ñas matemáticas, nenhuma definigao da Quarta dimensao. Se Imaginamos agora o movimento de um cubo no espago (a3), que forma terá o rastro deixado por tal movimentó, isto e, a figura a4, "a misteriosa". <i> As formas dos corpos vivos, das flores, das sa- mambaias vivas, sao criadas de acordo com os mesmos principios, embora numa ordem mais complexa. 0 contor- no de urna árvore que aos poucos vai se expandindo em ramos e rebentos e, por assim dizer, um diagrama da Quar- ta dimensao, a a4. 0 mesmo as árvores desfolhadas no invernó... as formas artísticas da natureza (Art Forms in Nature - KARL BLASSFEDT, 1 9 2 9 ) . Que forma tem o mundo? 0 mundo e um caos ou um sistema? 0 mundo se formou acidentalmente ou foi criado de acordo com um piano? 0 espago físico nao podia estar alojado no espago geométrico e continuamente colocado alem dele. 0 espago geométrico so podia ser considerado como espago físico, se se fechasse os olhos ao fato de que tudo está imóvel no espago geométrico, de que ele nao contém nenhum tem- po necessário para o movimento e de que o cálculo de 43
  44. 44. qualquer figura resultante do movimento, tal como urna hélice, por exemplo, exige quatro coordenadas. <t> O material de conetrugao de novae hipóteses sobre o espado permaneceu nos trabalhos dos matemáticos: GAUSS, LDBATCHEWSKY, SACCHERI, BQLIAY e sobretudo RIEMANN, que, em meados do sáculo XIX, já cone>derava a questao da possibilidade de urna compreen- sao totalmente nova do espado. <i> A tendencia fundamental de EINSTEIN á encarar a Matemática, a Geometria e a Física, como um todo. A quarta coordenada leva em conslderagao o tem- po. 0 espado nao á mais considerado separadamente. 0 espago-tempo tetradimensional permite o movimento. 0 tempo á a medida do movimento. Se representar- mos o tempo por urna linha, entao, a única linha que satis- fará todas as exigencias do tempo será urna espiral. Urna espiral á urna "linha tridimensional", porassim dizer, isto á, urna linha que precisa de tres coordenadas para sua cons- trugao e designadlo. <i> 44
  45. 45. A tridimensionalidade do tempo e completamente análogo á do eepago. Nao medimos o espago por meló de cubos, medimos llnearmente em diferentes diregoes, e fazmos exatamente o mes mo com o tempo, embora no tempo so possamos medir duas das tres coordenadas a saber, a duragao e a velocidade: a dlregao do tempo para nos á urna quantidade, mas urna condlgao absoluta. Se tentarmos unir as tres coordenadas do tempo em um todo, obteremos urna espiral. $ Isso explica, de ¡mediato, porque a "Quarta coorde- nada á insuficiente para descrever o tempo. Embora se admita que seja urna linha curva, sua curvatura perma- nece indefinida. So t r e s coordenadas, ou a "linha tridimensional". Isto e, a espiral dá urna descrigao ade- cuada do tempo. 0 tempo é o limite de nossos sentidos. 0 espado hexadimensional é a realidade, o mundo tal como e. Encarar o mundo como um mundo de seis coorde- nadas. Nao se pode pensar no movimento sem ter compre- endido sua divisao em quatro tipos. Estes quatro tipos sao: 45
  46. 46. 1. Movimento lento, invisível como movimento. Por exemplo o movimento do ponteiro das horas de um relógio. 2. Movimento visívei. 3. Movimento rápido, orando um movimento se torna uma linha. Por exempio o movimento de um fósforo queimando sem chama e sendo agitado rápidamente no escuro. 4. Movimento tao rápido que nao deixa nenhuma impres- sao visual, mas produz efeitos físicos definidos. Por exem- plo o movimento da trajetória de uma bala. Fortanto, o "espado" ¿ homogéneo para mim: o quarto de dormir é tridimensional e o céu é bidimensional. Olho para fora da janela e vejo um trecho do céu com várias estrelas. 0 céu é bidimensional para mim. Minha in- teligencia sabe que o céu possui "profundidade" Mas meus sentidos diretos nao me dizem isso. Pelo contrário, negam a verdade disso. Na velha Física, o espado é sempre espado. E o tem- po é sempre tempo. Na nova Física, as duas categorías sao uma so, espafo-tempo. <l> A estrela de seis pontas que representava no mun- do antigo simbolismo é, na realidade, a representado do espa^o-tempo ou o "período das dimensoes", isto é, das tres dimensoes espaciais e da tres temporal's em sua uniao perfeita, onde cada ponto do espado contém o tempo 46
  47. 47. todo, e cada momento do tempo contem o espago todo: quando tu do está em todo lugar e sempre. 0 espago celeste e vazio para nos, isto é, exatamente o que a materia seria sem o tempo. O Sol, a Lúa, as Estrelas que vemos, sao secgoes transversais que nao vemos. Essas secgoes transversais nao se separam das espiráis por causa do mesmo principio em razao do qual a secgao transversal de urna maga nao se pode separar da maga. <t> 0 infinito e criado pela incomensurabilidade e no mundo matemático, a incomensurabilidade e criada pela incalculabilidade. Cada sistema que existe isoladamente tem seu pró- prio tempo. Mas o que significa "existir isoladamente?"E como pode haver sistemas ¡solados num mundo de espi- ráis relacionadas? Tudo que existe no mundo constituí um todo; nao pode haver nada isolado. 4> Alem do período de seis dimensoes, temos dimen- soes imaginárias, a sétima, a oitava e assim por diante. 0 tempo á considerado como medida do movimen- to. Assim, tomamos o "tempo" (que e a medida de antes 47
  48. 48. para depois). 0 misterio do tempo: antes - agora - depois. A "eternidade" á urna extensao infinita do tempo, enquanto "eternidade" significa realmente outra dimensao do tempo. A idáia do tempo como urna curva (nao urna linha reta) da Quarta dimensao muda completamente nossa concep^ao da vida. E m nossa concepgao com um a vida parece urna linha reta, trabada entre os movimentos do nascimento e da morte. Enguanto a Quarta dimensao e a extensao do tem- po a Quinta dimensao ou a eternidade. Para nos a Quarta dimensao está no mundo dos corpos celestes e vai atá no mundo das moléculas e áto- mos. O meu "agora" nao é o seu "agora". <t) Espiral - que tem a forma de espira ou de caracol. Geométricamente falando á urna curva plana gerada por um ponto móvel que gira em torno de um ponto fixo, ao mesmo tempo que dele se afasta ou se aproxima segundo urna lei determinada. 48
  49. 49. A espirilidade, que traduz energía e crescimento, foi vista inicialmente como um problema artístico, mais tarde como um problema biológico e mais recentemente como um problema cósmico ou universal. 0 ceu como vemos hoje é completamente diverso daquele Interpretado pelos babilonios ha mais de quatro mil anos. Nao que ele tenha se alterado profundamente, mas sim, alterou-se profundamente nossa compreensao. Senao vejamos: : dispomos de mais e poderosos meios de observa- gao; : em nossa galaxia podem existir cem milhoes ou mais de buracos negros; : a partir de 1970, foram encontradas varias fontes de raios X que muito provavelmente sao buracos negros. <í> O homem de hoje entenderá o mesmo céu de forma totalmente diversa. Se antes a abóboda celeste era um símbolo de permanencia, hoje ela representa o locus das maiores transformares que podemos imaginar. HUBBLE diferenciou tres classes de galáxias: es- piráis, elipsoides e irregulares. Sendo as espiráis de duas especies: a espiral comum e as espiráis barradas. Suspeitam os astrónomos que o número total de galáxias, ñas porgoes do Universo que podemos observar com os nossos melhores instrumentos, chegue a 100 b¡- Ihoes e, no presente, nao há razao para pensar que o nú- 49
  50. 50. mero real nao possa ser indefinidamente mais elevado. A galaxia Andromeda se encontra a 750.000 anos luz de distancia. Sob o ángulo de percentagem podemos dlzer que há 75% de galáxias que tem estrutura espiral; 2 0 1 sao esferoidais ou elipsoides (galáxias elípticas) e 5% de ga- láxias irregulares. No curso de seus estudos das galáxias HUBBLE descobriu que a malor parte das galáxias estava se deslo- cando rápidamente com reíagao a Terra e a galáxia da Via Láctea. As espiráis na natureza podem ser orgánicas e ar- tificiáis: as orgánicas como os chifres dos ruminantes, as conchas dos moluscos, na inflorescencia de um giras- sol, na folha cordiforme... Podem ser de configuragao permanente e configura- gao transitoria (posigao ou atitude). Entre as últimas ci- temos o cábelo ondeado, fibra de la, a tromba de elefante, o corpo de urna serpente, a cauda de um macaco, a cauda de um camaleao, etc.. Podem ser de constituidas por porgoes separadas como ñas flores do girassol e margarida, ou urna unidade indivisível como a concha de um caracol ou a concha de um Nautilus. As diminutas carapagas das foraminíferas sao estruturas compostas, formadas por camaras su- cessivas e separadas, enquanto que a concha do molusco, 50
  51. 51. aínda que apresenta divisoes secundarias, tém crescido como um tubo continuo. Os chifres dos carneiros, cabras, antílopes, e outros quadrúpedes portadores de chifres sao espiráis menos si- métricas, menos facéis de medir que a das conchas. R E I N E C K E , em 1fi>16>, havia declarado que o Nautilus era uma figura geométrica perfeitamente defini- da, cujas cámaras se sucediam em uma proporgao conti- nua ou constante. Gnomos: á a singular proprledade da similitude con- tinua, que observamos no cone e reconhecemos como ca- racterística da espiral logarítmica. Disse ARISTÓTELES que existem certas coisas que nao sofrem altera<?ao (exceto em tamanho) quando crescem. HERO de Alexandria defi- niu específicamente um gnomo (como já havia feito implíci- tamente ARisTÓTELEsJcomo quaIquerfigura que, ao ser juntada a outra figura qualquer, dá como resultado uma figura similar a original. <l> A descoberta da nebulosa espiral foi originalmente por Lord ROSSE. Do quadrado das distancias resulta uma elipse. Do cubo das distancias resulta uma espiral. 51
  52. 52. Norma: para KELSEN á a expressao da idéia de que algo deve acontecer. Há dois conceitos de norma: 1. A norma como criterio infalível para o reconheci- mento ou a realizaba0 de valores absolutos. Este é o conceito que foi elaborado pela filosofía dos valores que aínda é aceito pelas doutrinas absolutistas; 2. A norma como procedimento que garante o de- senvolvimento eficaz de urna determinada atividade. Para ACKERMANN norma á a regra. Leí: urna regra dotada da necessidade, entenden- do-se por necessidade: 1. a impossibilidade (ou a improbabilidade) que a coisa acontega de outra forma; 2. ou a for^a que garanta a realizafao da regra. A no^ao de lei e distinta daquela de regra e daque- la de norma. 52
  53. 53. 2.5 - Todo. Razáo Áurea todo = 80 ¡ parte maior= 50 parte menor = 30 / / / (Representagao simbólica da divisao áurea) 1. Kazao: a relagao entre o todo e a parte maior: 5 0 / 5 0 2. Razao: a relagao entre a parte maior e a parte menor: 5 0 : 3 0 As razoes segmentarias: 5 0 / 5 0 - 1.6 5 0 / 3 0 =1.6 (Representagao numérica da divisao áurea) Quando as duas razoes segmentárias sao iguais: A divisáo do segmento TODO foi feita em média e extrema razáo (EUGLIDES). 53
  54. 54. Na divisáo áurea a razáo entre o todo e o segmen- to maior, e a razáo entre o segmento maior e o segmen- to menor, sao expressas pelo número incomensurável: V 5 + 1 = O(fi) 2 O = 1,61803398874... 2.6 - A Geometría Ideal e a Realidade Geometría: ciencia matemática que estuda as reagoee> entre os pontos, as retas, as curvas, as superficies e os sólidos no espado. 1. A geometría estuda as figuras que o homem encontra na natureza. Os entes definidos pelos teóricos, na re- alidade, nao existem, mas tudo em matemática dá certo, certíssimo. ( M A L B A TAHAN). 2. A geometría é urna ciencia de todas as especies pos- síveis de espado. ( K A N T ) . 3. 0 espado é o objeto que o geómetra deve estudar. (POINCARÉ). 54
  55. 55. 4. A geometría, em geral, passa ainda por ser a ciéncia do espago. (CDUTURAT). 5. A geometría faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, esse hábito pode ser empregado, entao na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida! (JACQUES BERNOULLI). 6. 0 ceu deve ser necessariamente esférico, pois a esfe- ra, sendo gerada pela rotagao do círculo, é, de todos os corpos, o mais perfeito. ( A R I S T Ó T E L E S ) . Espago: = nem o espago dos nossos sentidos de percepgao; = nem o espago físico (o espago dos trabalhos de todos os dias); = nem o espago do filósofo; = o espago... Ideal: ^ É o que existe somente na ideia, o que nao tem existéncia fora de nós ( A N T E N O R NASCENTES). Imaginário: É o que depende das transformagoes que a imagi- nagao faz do que aprendeu pelos sentidos. Realidade: Quando dizemos na realidade, referimo-nos ao objeto, tal como é ou se afigura ser, segundo a sua na- tureza. 55
  56. 56. Verdade: Quando dizemos na verdade, referimo-nos ao objeto tal como e ou se afigura ser, segundo a sua natu- reza. A Geometría Ideal: existe somente em nossa ideia, na nossa visao (e toda imagem que se julga ver; fere ape- nas a imaginagao). Narealidade: Já o filósofo ARISTÓTELES (352-322 a C.) assim se referia as imperfeto®5 da geometría...em verdade as linhas nao sao as de que falam os geómetras. Pois ne- nhuma das coisas sensíveis e assim (rigorosamente reta ou curva). Realmente, a circunferencia nao toca a reta (tangente) num ponto, mas, segundo certo compri- mento, como dizia PITÁGORAS, raciocinando contra os geómetras. E continua: o ente matemático que a geome- tría estuda - a reta ideal, por exemplo - nao existe na natureza. Uma bolha de sabao está muito longe de ser a superficie idealizada pelo geómetra. SANTO AGOSTINHO (354-430) consideraba que so pelo espirito, as linhas geométricas podiam ser percebi- das. Em As Confissoes: Vi linhas tragadas pelos arquitetos tao finas como um fio de aranha. Mas as linhas geométri- cas nao sao a imagem dos que meus olhos carnais me re- velam. Para conhecé-las nao há necessidade alguma de se pensar em um corpo qualquer pois é so no espirito que as reconhecemos. 56
  57. 57. O físico se nos assegura que a gota ¿Tagua, em absoluta liberdade colocada em perfeito equilibrio toma a forma matemáticamente esférica. Engana-se o físico. 0 geómetra verificou, com o auxilio da fotografía, que o arco-iris apresenta irregularidades, que sao cau- sadas pela atmosfera. Mesmo as arestas dos cristais, oferecem um exem- plo de nao retas. A aresta de um cristal eó é aparente- mente ret i línea. Nem os raios luminosos sao retilíneos. A reta ideal nao existe na natureza. As figuras geométricas ideáis, nao existem na natu- reza. <i> A geometría sem números - T o p o l o g í a (POINCARÉ). 2.7 - A Geometría e a Matemática na Natureza "0 Céu deve ser necessariamente esférico, pois a esfera, sendo gerada pela rotagao do círculo, é, de todos os corpos, o mais perfeito" ( A R I S T Ó T E L E S ) . Dediquemo-nos, comodizia LEONARDO DA VINCI, cada vez com maior interesse, a examinar as manifesta- r e s da Natureza. Verificaremos que nao há na Natureza, nada suficientemente pequeño ou insignificante que nao merega ser visto pelo olho da geometría: sao os crístaís 57
  58. 58. hexagonais dos flocos de neve, a espiral dos caramujos, os cubos dos crlstais minerais, ... e a simetría do próprio homem e animais. As cores ñas espumas das cascatas banhadas pelo sol da manháo e da tarde, as cores das bolas de sabáo, as teias de aranhas esticadas entre ra- magens, as células de seis lados (hexagonais) dos favos de mel das abelhas... Há sim, urna "agradável geometría das cria^oes da natureza". Difícilmente encontraremos, senáo é impossí- vel, encontrar algo que nao se possa relacionar com a geo- metría. Dizia PLATÁD: Deus é um geómetra. Geometriza tudo. Referente a matemática na natureza, repetiremos PLATÁD: OS números governam o mundo. Desde PITÁEDRAS houve sempre a tendencia para a matematizafáo do universo. Mas, "a matemat¡za£á° teve seu apogeu no século XIX, cuando se acreditava que urna vez um problema tivesse sido formulado em termos mate- máticos, estava automáticamente resolvido" ( M A D D D X ) . Muito embora, "a matemática ser urna divina loucura do espirito humano ( A L F R E D NORTH WHITEHEAD) o con- ceito de "automáticamente resolvido" é parcialmente ver- dadero particularmente quando um dos elementos do pro- blema refere-se a "vida". 58
  59. 59. 2.8 - A textura da harmonía e da beleza Alma! O estado divino da materia ( L E Q N I , L.). Os homens que fugiram da verdade, mataram a be- leza. ( S E R R A L V O SDBRINHO, L.). A apreclagao da beleza em qualquer forma pode ser desenvolvida com a prática ( H U N T L E Y ) . No sáculo XII TOMÁS DE A Q U I N O formulou esta verdade fundamental da estética: "Os sentidos se delei- tam com coisas devidamente proporcionadas". Fragmentando a natureza ele perde o sentido do todo. (Todo: um conjunto qualquer de partes enquanto in- dependents da ordem ou da disposigaao das próprias par- tes; distingüe-se de totalidade que é um todo completo ñas suas partes e perfeito na sua ordem - Conceito aristotélico). "A ordem ou a disposigao, com finalidade organiza- da, das partes de um todo, por exemplo, do mundo, consti- tuí a harmonía". Disto valeu-se WHITEHEAD para expli- car a beleza, a verdade, o bem, assim como a liberdade e a paz e toda a grande aventura cósmica. Délo "é o que excita a admiragao por sua grandeza, nobreza, regularidade, boa proporgao e harmonía das par- tes, perfeigao possível (distinto de bonito, formoso, gentil, lindo). 59
  60. 60. Belo, o que agrada ver (quod visum placet); To- MÁS DE AGJUINO descreve o belo como aquilo que agra- da á vista (quae visa placent), por conseguinte tem pon- to de partida a vivencia da beleza. Unidade na variedade: J . BRONOWSKI: Quando COLERIDGE experimentou definir a beleza, ele retornava sempre para um profundo pensamento: beleza, ele dizia, á a unidade na variedade. Ciencia nao á nada mais do que a procura em descobrir a unidade na variedade selvagem da natureza. Poesia, pintura, as artes, sao a mesma pes- quisa, na frase de COLERIDGE - unidade na variedade. Belo: a nogao do belo coincide com a nogao de objeto estático somente a partir do sáculo XVIII. Cinco conceitos fundamentáis: 1. 0 belo como m a n i f e s t a d o do bem. Teoria platónica do belo. 2. 0 belo como manifestaba0 da verdade. ( H E E E L ) . 3. 0 belo como simetría - ARISTÓTELES - o belo á constituido pela ordem, pela simetría e por uma grandeza capaz de ser abracada no seu conjunto por um só golpe de vista. 4. 0 belo como perfeigao sensível (com a qual nas- ceu a estática). 5. 0 belo como perfeigao expressiva. 60
  61. 61. 2.9 - A natureza nao é matemáticamente exata. Vida. PLATAA: - Deus e o grande geometral - Deue> geometriza sem cessar! - Por toda parte existe a geometría! - Os números qovernam o mundo! PAUL CARUS: Nao ha ciencia que fale das harmonías da na- tureza com mais beleza do que a matemática. A . F. RAMBAUD: 0 mundo é cada vez mais do- minado pela matemática. Os homens que fugiram da verdade mataram a beleza! WHITEHEAD, I.: A matemática e, muitas vezes, considerada urna ciencia difícil e misteriosa, em vir- tude dos numerosos símbolos que emprega. SANTIAGO RAMDN Y CAJAL: A natureza ins- pirada em movéis estritamente económicos. PEDRD TAVARES: A matemática nao e exclusi- vamente o instrumento destinado a explicagao dos fenómenos da natureza, isto e, das leis naturais. Nao. Ela possui tambám um valor filosófico, que aliás ninguém duvida; um valor artístico, ou melhor, es- tático, capaz de Ihe conferir o direito de ser culti- 61
  62. 62. vada por si mesma, tais as numerosas satisfaces e, júbilos que essa ciencia nos proporciona. Ja os gregos possuiam em grau elevado o sentimento da harmonía dos números e da beleza das formas ge- ométricas. LAMARCK: 0 fundamental no organismo á a diná- mica e nao, por certo, a anatomía, desde que a dina- mica decidirá a forma. D ' A R C Y THOMPSON: Forma - um diagrama de forjas. PI SUNER: Um puro criterio morfológico será sem- pre um criterio cadavérico, enquanto um critériofisi- ológico será vital. THEODORE ANDREA COOK: A natureza nao é matemáticamente exata. LEIBNITZ: A matemática é a honra do espirito humano. HILBERT: Ñas questoes matemáticas nao se com- preende a incerteza nem a dúvida, assim como tampouco se pode estabelecer distin^oes entre verdades medias e verdades de grau superior. CAUCHY: O S sinais + e - modificam a quantidade diante da qual sao colocados como o adjetivo mo- difica o substantivo. 62
  63. 63. Matemática: urna curta frase para indicar um pro- cesso que e realmente longo e complexo. COCDK: A natureza abomina a matemática. A na- tureza nao tem compartimentos estanques. Cada fenómeno afeta e á afetado por todo outro fenóme- no. Nos excluímos deliberadamente todas as ou- t r a s condigoes. Mas a natureza nao excluí. Um Nautilus crescendo no Pacífico e afetado por cada urna dos milhoes de estrelas que nos vemos - ou nao vemos - no universo. Mas nos examinamos so- mente a luz do que nos conhecemos. H. BEEL: Número e forma: qualquer que seja o seu ponto de vista, a matemática chegou aos nossos dias seguindo duas trajetórias principáis: o número e a forma. A primeira, abrangendo a aritmética e a álgebra, e a Segunda, a Geometría. Nem tudo que á vivo e simplesmente matemática. Em outras palavras, há em todo objeto orgánico um fator que engana a matemática, um fator que podemos des- crever somente como V I D A . 0 Nautilus á talvez o objeto natural que mais inti- mamente se aproxima da espiral logarítmica, mas e so- mente urna aproximagao. 0 Nautilus e vivo, e assim, ele nao pode ser exatamente expresado por qualquer con- c e p t o matemática. 63
  64. 64. Nada que e simplesmente e matemáticamente cor- reto pode mesmo exibir ambas as características de VIDA e ATRATIVO DE BELEZA. Há sutís variagoes que expres- sam sua personalidade característica, que o artista dá seu charme individual para cada coisa que ele cria e as criagoes da arte sao exato as rebelioes contra a simples fórmula matemática como sao os fenómenos da vida or- gánica. (fenómenos naturais, artísticos e arquitetónicos). Tudo que "tem vida" nao pode ser expressado rigo- rosamente pela matemática. Há variagoes pertinentes, nao-pertinentes, e um mundo délas que nem sempre sao percebidas pelo observador. I AM STEWART (Será que Deus joga dados?): Mas enquanto teoria suplanta teoria, paradigma derruba paradigma, uma coisa permanece inalterada: a relevancia da natureza. As leis da natureza matemática. Deus e um geómetra. EINSTEIN: Deus nao joga dados com o mundo. Deus é sutil, mas nao é maldoso. A natureza nao realiza exatamente as idéias matemáticas. 64
  65. 65. 3. O Grandíssimo Livro do Mundo 3.1 - O livro do mundo 3.2 - A mundividéncia 3.3 - Caminhando atentamente 3.4 - Tres sistemas de postulados 3.5 - A matemática da harmonía e do belo na Natureza e na Arte 3.1 - O Livro do Mundo Estamos ¿liante do maior livro, que contendo "tudo" (a totalidade ou universalidade do que existe), nada oculta a ninguám. Este á o grandíssimo livro do mundo. Mas urna advertencia: há que saber olhá-lo. Como diz GOLDQNI, O mundo é um belo livro, mas pouco útil para quem nao sabe fazer sua leitura. Mundo: (L. mundus, ordenado, harmonioso). Sin: Uni- verso ou Cosmo. Mundo: a totalidade das coisas existen- tes (qualquer que seja o significado de existencia). No dizer de CAMPANILLA, O mundo é o livro onde o espirito eterno escreveu seus pensamentos. Tudo quando existe no mundo, cresce ou míngua; tudo tem os seus limites, tudo tem as suas medidas. (ROJAS). Universo: (L. universus, que se reduz a um). 0 con- junto de todas as coisas existentes, considerado como 65
  66. 66. formando um todo ordenado e harmonioso. Sin.: Mundo e Cosmo (JOLIVET). Universalismo, á a visáo do todo, da grandeza e vastidáo cósmica, da universalidade, oposta á limita^áo miope e mesquinha a valores parciais ou a interesses particulares ( B R U G E R ) . - O universo nao é senao um vasto símbolo de Deus. CARLYLE). - O universo é um pensamento de Deus. (SCHILLER). -O universo é urna esfera infinita cujo centro se en- contra em todas as partes e a circunferencia em nenhuma. ( PAS cAL) . - Nada perece no universo; todas as coisas que nele acontecem nada mais sao que transformares. (PLTÁEORAS). - O universo desorienta-me, nao posso imaginar que existe relógio sem relojoeiros. ( V O L T A I R E ) . - Nada no mundo é insignificante. ( S C H I L L E R ) . Cosmo: (cosmos) - (G. kosmos, ordem). 0 mundo considerado como um todo ordenador e harmonioso. Observ.: as palavras latinas mundus (mundo) e universum (universo) expressam a mesma idéia. Para os filósofos gregos P L A T Á O e ARISTÓTELES, cosmos era o mundo enquanto ordem. Cosmos - mundo, foram os pitagóricos que pela prlmelra vez assim chamaram; mas TEOFRASTO atribuía a PARMÉNIDES e ZENÁO a HESÍODO. 66
  67. 67. A cosmología - a filosofía da natureza ( W O L F e com ele a filosofía alema do sáculo XVIII: "A ciéncia do mundo e do universo em geral enguanto é um ente com- posto e modificável" ABBAGNANG). <¡> No mais rápido e simples esquema que se possa fa- zer, assim poderao ser nomeadas a s concep^oes cosmológicas: f fase - a dos prá-socráticos, traduzida num aban- dono do mito e na tentativa de encontrar urna explicate racional ou natural do mundo. 2a fase - a da astronomía clássica e a da filosofía de PLATÁO e ARISTÓTELES. A consoWdagao da con- cepgao geocéntrica do mundo: EUDDXQ, HIPARCD e PTDLDMEÜ. 3a fase - em fins da Idade Media, a da astronomía heliocéntrica: CGPÉRNICD, GALILEO, KEPLER, GIORDANO BRUNO. 4a fase - iniciando-se na segunda década do sáculo XIX, a partir do empreño dos grandes telescopios e da teoria da relatividade de EINSTEIN. 67
  68. 68. 1917 - EINSTEIN (considerares sobre o Univer- so, como um Todo). : o universo nao mais como infinito, mas como finito e todavía nao limitado; : o espado do universo como um espago curvo e, precisamente elíptico, no qual uma linha reta, suficiente- mente prolongada, voltaria sobre si mesma e acabaría por fechar-se. -1930 - D E SITTER abandonou os modelos estáti- cos de EINSTEIN em favor dos modelos dinámicos: uni- verso em e x p a n s a o - E D D I N B T D N , 1 9 3 3 ; LEMAITRE, 1 9 5 D ; HUBBLE). 1 9 4 9 - B O N D I , GOLD, HQYLE. - universo evolucionista. O Natureza: Quatro elementos para definí-la. 1o - o principio do movimento ou a substancia; 2o - a ordem necessária ou a conexao causal; 3o - a exterioridade, enguanto contrapoeta a interioridade da consciéncia; 68
  69. 69. 4o - o campo de encontro ou de uriificagao de certas técnicas de investigado. E mais, os axiomas: - "A natureza nao faz nada em vao". - (Natura nihil fit frusta). - "A natureza e determinada de urna maneira absoluta" - (Natura determinatur ad unum). "A natureza nao age por saltos" - (Natura non facit saltus) 0 volume da natureza e o livro da ciencia (Goldsmith) Agrande mestra que nunca erra. ( F O R T E G U E R R I ) . Quando um homem nao observa a natureza, sem- pre ere poder melhorá-la. ( R U S K I N ) . Olhar as paisagens e o meu modo de conversar in- timamente com a Natureza. ( C O R R E I A JÚNIOR). E o grandioso livro do mundo, enigmático em seus bilhoes de anos, desafiante em toda a sua estrutura, esplendoroso em todas as suas cores, geometrizado em to- 69
  70. 70. das as variadas formas, indiferente as concepgoee dos ho- mens, simples para uns, complexo para outros, adicionado diariamente de mais urna página, e um livro de leitura fácil? Nao sabemos. Sinceramente nao sabemos, porque o julgamento dependerá da manelra com que se faga a leitura. Há os que léem somente o letreiro, o rótulo, o título; os que coneomem os seus dias folheando as gigantescas páginas, que sao numerosíssimas (nao infinitas, como se poderia pensar, mas finitas, porem sem limites); há os que se surpreendem so em ler os nomes dos volumosos capítu- los (como se fosse dado a alguém poder ler todos); os que na perturbaban do afogadilho e da superficialidade se apra- zam com minguados devaneios soltos; os coleclonadoree de sentenfas (entendíveis, nao entendíveis ou supostamen- te entendíveis); os capazes de urna leitura tao ampia e tao vasta que no final, nao poderia ser diferente, nos pre- senteiam com urna fórmula de duas letras e um expoente; os que se assombram diante do jogo das letras (por seu número, suas belezes e mutabilidades); os que se embasbacam com alguns sinais de admira<páo e de inter- rogado; há os que... Uns poucos procuram introduzir-se no ámago do li- vro (sao os genios - que ANTERG DE QUENTAL disse ser a paciencia, a vontade constante e a constante aten- gao, e que L A M A R T I N E em Premieres Meditations Poetiques disse magistralmente: Foi para a verdade que Deus fez o genio; e GDETHE sentenciava: a primeira e a última coisa que se pede ao genio é o amor á verdade; um sensato número petrificase em particularidades (cientis- 70
  71. 71. tas e artistas); um grande número que procura sorver do seu conhecimento através de outros, sem nunca haver lido diretamente; os que, por medo do esfor^o intelectual se satisfazem com a interpretagao dos outros; os que nunca seguiram os conselhos de LEONARDO DA VINCI; e de DESCARTES (que olhando para as suas dissecagoes cadavéricas disse: "Eis os meus livros"; e, finalmente, a grande maioria que nunca teve a indiscreto de abrí-lo. Cada um tem o seu modo de manusear o grandioso livro, de tratá-lo (conservando ou destruindo), e isto de- vendo-se principalmente a sua índole: de conhecer - "pensamento - índole científica e fi- losófica: o que trata mais de conhecer a natureza do que déla gozar; o que tem aversao as visoes brumosas e as obscuridades"; de sentir-"índole sentimental e artística: - Oh! Que linda e maravilhosa é a terra de Deus, e que bela coisa e serse nela um homem ( S C H I L L E R ) . de fazer - "a<pao - índole prática (quando a multipli- caba0 dos paes e dos peixes se desenvolve em única preo- cupafao no Mundo). Juntemos a isto a formagao cultural (científica, artística, filosófica, religiosa... e até da experiencia do viver individual. 71
  72. 72. Há ainda a ressaltar a curiosidade (inata ou cria- da) e a paixao com que muitos procuram, devotamente, haurir o nectar do grandioso livro do mundo - sao os genios, isto é, aqueles que procuram satisfazer o prazer da descobertta individual. Aqueles que, como as crian- gas, arrombam os tambores para encontrar o esconderl- jo do som, e terminam, quando verdadeiramente sábios, unindo-se em coro com SÓCRATES: a única coisa que sei é saber que nao nada sei. E finalmente. Concluir com PASCAL: a ciencia tem duas extremidades (genialidade e ignorancia) que se tocam... 3.2 - A Mundividéncia A mundividéncia, também batisada de cosmovisao (iconcepgao do universo), denota algo mais do que sim- plesmente "imagem do universo". E a compreeneao total da essencia, origem, valor, sentir e finalidade do mundo e da vida ( B R U G E E R ) , Contrariamente as fantasiosas concepgoes do uni- verso, do período que se pode chamar de pre-científica, hodiernamente a cosmovisao está cimentada e estruturada ñas ciencias de hoje. Ñas ciencias que reco- nhecem que a essencia do conhecimento é a generalizagao, e que a separagao dos fatores pertinentes e nao-pertinen- tes constituem o principio do conhecimento. E que a gene- ralizagao, mais ainda, e a natureza mesma da explicagao. 72
  73. 73. Urna vez que se abandona a observagao empírica, como urna das fontes de verdade, se está a um passo do misticismo. Aquilo que a maioria considera verdade, pode a qual- quer momento ser posto em discussao e esboroar-se como um castelo de areia. ( O M A R KHAYYAM). 3.3 - Caminhando atentamente. Caminhemos atentamente pelo espantoso mundo das linhas da natureza ("um homem pode viajar por todo o mundo e nao ver coisa melhor do que o seu jantar"). A abóboda do cáu se parece a urna taqa emborcada. Sob ela em vao erram os sábios. ( • M A R KHAYYAM) Desde o primeiro momento pressentimos que nada há de insignificante, de desprezível, de valor secundário. Tudo, mas tudo mesmo, exibe sua maravilha e seu misterio, quer seja no prodigioso mundo da vida, ñas coi- sas de nosso planeta ou, elevando os olhos para o ceu, o afogueado disco do sol na imensidao azul-celeste ou a pálida lúa como companheira dos miríades de corpos ce- lestes. Armemos os nossos olhos com os instrumentos que o homem inventou (do microscopio ao telescopio, do...ao...) 73
  74. 74. e male* maravillados ficaremos aínda. Subíndo e descendo montanhas e vales, o emara- nhado abafante de urna floresta, nos deliciosos, perfuma- dos e multicoloridosjardinsflorados, no contato com múl- tiplos animais, na visao microscópica celular e dos objetos inanimados (?), na visao telescópica do céu, na observagáo costeira de um barco que vem do horizonte (a transforma- gao de um minúsculo ponto do horizonte, agora grande)... e procuremos deparar com urna linha reta ( a D.4 dos Ele- mentos de EUCLIDES: "a linha reta é a que repousa igualmente sobre todos os seus pontos"). Esta mesma coisa que o padre MANDEL CAMPOS definía: "linha reta e a que corre díretamente de um termo a outro, isto é, sem torcer para nenhuma parte"; para aquilo que ARQUIMEDES sentenciava: "a mais breve que se pode tirar entre dois pontos", ou, a que PLATÁO ensinava: "cujos extremos fazem sombra ou escondem os interme- diarios". Serao tao escassos os possíveis exemplos (???), di- ante da fartura das linhas curvas, queja no final do primei- ro dia de nossa andanga podemos formular, e nao apres- sadamente, acreditamos - nao há linha reta no prodigioso mundo da natureza. Neste fantástico mundo da natureza so há li- nhas curvas (a linha curva e a menor distancia entre dois pontos - maiores detalhes estudar a teoria da relativi- dade de EINSTEIN), tao variadas e harmoniosas que justificam o ensinamento de PLATÁO: Deus é o grande geómetra; Deus geometriza sem cessar! 74
  75. 75. Continuemos a nossa caminhada e vamos embebedar-nos com a s linhas curvas dos gansos canadianos em seu manso deslizar na superficie de um lago; com as curvas da imponente arma^ao de um ganso macho; com o 5 do pescofo das garbas reais; com a forma de um chapéu de chuva das medusas; com a s linhas das multiformes teias de aranha; a concha do caracol que cres- ce anualmente cerca de dois e meio milímetros; as curvas do voo de urna garfa, parecendo "desafiar as leis da gra- vidade"; as elegantes linhas da cauda do pássaro-lira; as curvas maravilhosas e multicoloridas das borboletas, com o colorido do leque armado pelo pavao com suas ¡nume- ras espiráis de ARGJUIMEDES; com a espiral de ARGJUIMEDES naquela poslgao da cobra enrodilhada; na disposifao daqueles ramos de urna gigantesca samam- baia; com os saca-rolhas vivos, com o copo de leite... Agora, diante de nosso potente microscopio estamos observando urna veloz ameba, em suas modlflcagoee de forma para o seu deslocamento (a matemática da dlstorgao de PDINCARÉ); urna paramecia, de um fungo, algas azúis, flagelados, e nos seus interiores as organelas vitáis... De nossa estufa de cultura a 37°C retiramos as vistosas placas de PETRI contendo as imaginosas e multifárias colonias de fungos e bacterias... ... a disposifao dos graos de um girassol (com as espiráis dextrógiras e levógiras, ou seja a spira mirabilis), os moluscos (iluminados de espirito geométrico - PAUL VALERY), OS feixes de curvas espiraladas dos caramujos, 75
  76. 76. as figuras conchóides, as cardióides variadíssimas das folhas, os alvéolos de um favo de mel, o dangar orientado de uma abelha operarla, em sua colméia, Indicando a orien- tado e a quantidade onde as companheiras podem en- contrar o alimento para a colméia; a radiografía de um feto no útero materno com sua forma espiralada (e a volta na velhice); a forma da cabega humana e dos animais (as de- f o r m a r e s cartesianas); o arqueamento das costelas; e até mesmo um tipo (a familia é muito grande) de catenaria num varal de quintal... Olhemos para o mundo da natureza e procuremos as linhas retas. Onde encontrá-las? Sim, sé encontra- mos naquilo que é feito pelo homem, e sé pelo homem. Varece até que se pode diferengar o natural do artificial. É sem dúvida pasmoso observar o produto do labo- rioso artesanato dos animais. Admiremos, por exemplo, as formas a r q u i t e t ó n i c a s dos ninhos das aves passeriformes, desses "recipientes" que colherao os fru- tos da ansia da vida e do amor, aquecidos com o calor do próprio corpo (33 á 44°C). 0 ninho do Joao-de-barro, que possui até divisoes internas, com uma sala de incu- bagao e com sua abertura de entrada dirigida sempre no sentido contrario áquele dos ventos que predominam na regiao;já a Erna (Rhea americana) e a Narceja, com seus ninhos feitos de palha e gravetos; o da Gavina (Sterna paradisea), que nada mais é do que uma escavagao feita na areia; os Beija-Flores (Colibrí ou Chupamel) que cons- troem seus ninhos minúsculos com musgos e escassos raminhos, cuja fixidez é feita por meio dos fios de teias de 76
  77. 77. aranha; os maravilhosos ninhos enfeitados do Ploceus baya, fluorescentes ou iluminados, feitos de barro e in- crustados de vagalumes vivos. De um modo geral, os ni- nhos sao em forma de prato, de tigela, de cesta, com a abertura voltada para o céu. E um exemplo tambem nos é dado pela Philetairus socius, da África do Sul, que che- gam a fazer tantos ninhos em urna só árvore, que esta pode romper sob seus pesos. Onde se encontra a linha reta? Um dos grandes genios da humanidade - RENÉ DESCARTES - concebeu a Geometría Analítica, onde pro- ceden a fusáo, em urna técnica da Aritmética, da Algebra e da Geometría. Com sua técnica visualizou: 1o os núme- ros como pontos de um gráfico; 2o as ecuagoe5 como formas geométricas, e formas geométricas como equa- foes. No dizer de BERGAMINI, procedeu a um feliz casa- mento de curvas e quantidades (do círculo, da elipse, da parábola, da hemiscata de BERNOUILLI, da folio do pró- prio DESCARTES, da limaron de PASCAL, da rosa de GRANDI...). 4> "A Geometría, disse PLATÁO, existe por toda a parte. No disco do sol, na folha da tamareira, no arco-iris, no diamante, na estrela-do-mar, na teia de aranha e até a forma geométrica mais perfeita que se pode observar na 77
  78. 78. fior de maracujá. É admirável a simetría pentagonal como estao dispostos os elementos dessa flor. <l> Chamamos a atengao para urna observagao realmente impressionante: "As simetris de ordem impar so sao encontradas nos seres dotados de vida. A sime- tría Inorgánica so apresenta a simetría par". ( M A L B A TAHAN). Deus é o grande geómetra! Deus geometriza sem cessar! PLATÁO 3.4 - Tres sistemas de postulados A forma da Terra, embora achatada nos polos, para as conslderagoes que iremos fazer será considerada esfé- rica. A forma esférica da Terra pode ser revelada de vári- as maneiras (como aquelas que nos tem demonstrado a Nasa). E é precisamente simples. Basta para tanto, que alguém vá em frente em linha reta, até volver ao seu ponto de partida. Com isso, esse alguém descreveu um círculo máximo da esfera, isto é, um círculo cujo plano passa pelo centro da esfera. Isto nunca acontecería fosse a Terra pla- na, além do que veria o elefante e a tartaruga dos nossos irmaos do passado. Se a Terra fosse plana, poderíamos lógicamente con- cluir com a Geometría Euclidíana, na formagao do se- 78
  79. 79. guinte teorema da geometría plana: a soma dos ángulos de um triángulo á igual a dois ángulos retos ou seja, 150° Mas... "aquilo, porem, que um habitante da Terra cha- ma de linha reta - o mais curto caminho entre dois pontos - para um observador de fora nao e senáo um círculo máxi- mo; em resumo, as linhas mais curtas, que o morador as superficie chama de retas, mostram-se de fora como sen- do linhas curvas" ( F R E U D E N T H A L ) . E os outros dois postulados? Vejamos. Somente mais de dois mil anos depois de E U C L I D E S , um alemáo ( R I E M A N N ) , um russo (LDBACHEVSKY) e um húngaro ( B O L Y A I ) apresenta- ram urna nova geometría: a esférica, diante da qual pu- deram dizer: "por qualquer ponto do plano, pode passar duas linhas paralelas e outra dada", ferindo dessa ma- neira o que havia dito EUCLIDES, em seu famoso postu- lado: "por um ponto de um plano, pode-se trabar urna, e apenas urna, linha paralela a outra linha dada". Na geometría de LOBACHVSKY E BDLYAI (DÉ- CADA DE 1 8 3 D ) , CDM OS ESTUDOS FEITOS NUMA SUPER FÍCIE EERADA PELA REVOLUGÁO DE UMA CURVA COMNHECIDA COMO TRATRIZ, EM TORNO DE UMA LINHA HORIZONTAL (NUMA "SUPERFÍCIE DE DUPLA TROMPA", COMO CHAMOU E.T. BELL FI numa pseudo-esfera "como denominou BELTRAMI as li- nhas paralelas nunca se encontram, mas se assintoticamente, isto e, a distáncia entre elas diminuí a proporgao que elas se prolongam. E mais: nesta superficie a soma dos ángulos de qualquer triángulo é menor que 130° 79
  80. 80. A geometría de RIEMANN "e aplicável a um objeto muito familiar - a esfera, onde um plano que passa pelo centro de urna esfera corta a superficie em um círculo má- ximo. ( K A S N E R e NEWMAN). Qualquer número de per- pendiculares pode ser tragado de um ponto apropriado, sobre urna linha reta dada. Aínda mais, a soma dos ángu- los de qualquer triángulo e maior do que 130°, na geo- metría de RIEMANN. RIEMANN frisou aínda a impor- tante distingo entre infinito e ilimitado; assim, o espado pode ser finito, embora ilimitado. <i> "Nossa esperiéncia á que o espado á finito, mas ¡li- mitado, e que as linhas retas que podemos trabar na superficie onde vivemos nao podem, Jamais, ser retas e sim curvas"; o espado á antes curvo que reto. ( K A S N E R E NEWMANN). "O mapa alemao do sáculo XV, tragado segundo re- gras estabelecidas por PTOLOMEU no ano 150, á um dos primeiros mapas conhecidos a usar linhas curvas de latitude e longitude para localizar pontos na Terra. Na Geometría Analítica desenvolvida no sáculo XVII foram usadas "grades" semelhantes para localizar pontos em urna superficie plana". 80
  81. 81. 3.5 - A matemática da Harmonía e do Belo na Natureza. Matemática: conjunto das ciencias que tém por objeto o estudo da quantidade ( J O L I V E T ) , das rela- goes, do possível e das construgoes possíveis. (ABBAGNAND). Matemáticas puras: Ciencias dos números (arit- mética, álgebra, cálculo das fungoes, análise) e ciencias das figuras (geometría). ( J O L I V E T ) . Matemáticas aplicadas: as que estudam a quanti- dade de certos oorpoe determinados (mecánica, mecáni- ca celeste). ( J O L I V E T ) . Harmonía: disposifáo bem ordenada entre as par- tes de um todo: proporgao, ordem, simetría. A unidade na variedade (sin: proporgao). A ordem ou disposigao, com finalidade organiza das partes de um todo. (ABBAGNAND). Belo: 0 que agrada (quod visum placet), isto é, que é objeto de intuigao intelectual e fonte de prazer. Recomenda BACHELARD, A poética do espago, aos filósofos e cientistas, que jamais se esquegam dos poetas. E quando BACHELARD le os poetas, nao á para se esquecer dos filósofos e dos cientistas, mas para compreende-loe mais profundamente, a partir do seu in- terior. E isto porque "a poesía é a música dos sentimien- t o s ( M A N T E G A Z Z A ) , é a "divina música da alma" (CAMPDAMDR) e poetas "sao aqueles que amam e sen- tem uma grande verdade e sabem dizé-la"( B AI LEY). E do belo? "0 belo é o esplendor da verdade", dizia PLATÁD, 81
  82. 82. que acrescentava, "a beleza e um privilegio da natureza". Este mesmo belo que fez SCHILLER dizer: "a ver- dade é para o sabio o que a beleza e para o coragao sensível". E SHAKESPEARE afirmar: "a beleza persua- de os olhos dos homens por si mesma, sem necessitar de orador". Mas nao seria o belo "o reflexo da Divindade so- bre a terra? ( J O S É DE ALENCAR). / ^ "E difícil julgar a beleza, por ser ela um enigma" afiangava DOSTOIEVSKY em seu diario, e fazendo um apanhado sobre o belo vemos que realmente pode ser vis- to passando através de um prisma cerebral: 1o - o belo como manifestado do bem (e a teoria platónica); Z° - o belo como manifestagao da verdade (propria da idade romántica); 3o - o belo como simetría (escola aristotélica); 4o - o belo como perfeigao sensível (com esta dou- trína nasce a Estática); 5o o belo como perfeigao expressiva ou acabamen- to da expressao. Púas fórmulas medievais foram apresentadas para conceituar a beleza: :- a de TOMÁS DE AOUINO que dízia: o belo á aquilo que agrada a vista (quae visa placet); :- e a de ALBERTO MAGNO: O resplendor da forma (splendor formae). Quando TOMÁS DE AQUINO no sáculo XIII afir- mou que "os sentidos se deleitam com as coisas devida- mente proporcionadas", estava exprlmindo urna relagao direta e importante entre a beleza e a matemática. Um 82
  83. 83. feliz enlace de duas entidades que permitía urna aprecia- gao do belo, tanto no imperio da natureza como no domi- nio da arte e do homem. O belo no mundo mineral, no mundo vegetal e no mundo animal. a:- por exemplo as espiráis (que sao as formas fa- voritas da natureza - lembrar GOETHE) tanto nos ve- getáis, como nos animais e no universo visível; b:- mas a verdade é a de que a sabia natureza é pluriforme na crlagao de formas geométricas: círculos, triángulos de LOBACHEVSKY e de RIEMANN, hexá- gonos, esferas, etc. Poderíamos dizer: "A agradável geo- metría das crlagdee da natureza". c:- "A matemática misteriosa das espiráis na Na- tureza". Os vários tipos de espiráis, as parábolas, as catenárias, os ovoides, etc. A relagao com a sucessao de FIBONACCI (curiosamente relacionada com a Botáni- ca e a Zoología); d:- urna regra de ouro para a arquitetura do mun- do: a proporfao, a secgao áurea, o número de ouro, a divisao de urna linha em média extrema razao - a divina proporgao, o número PHI (nos pentágonos, círculos e decágonos, no retángulo áureo, etc.); e:- o patrimonio que a natureza oferece para as artes (pintura, poesia, desenho, escultura, música, ballet, etc.); 83
  84. 84. f:- e até a perpectiva, a geometría do artista. <i> Dois pensamentos de COGK: (The curves of the life): 1° - o que realmente eu quero dizer é que a simples matemática como nos temos até aquí desenvolvido, ela nao pode nunca expressar a toda complexidade do fenó- meno natural; 2o - examinando as formas de vida natural ñas conchas, ñas plantas, ñas estruturas corpóreas de ho- mens e animais, a forma espiral é certamente um fator com um em urna multidáo de fenómenos aparentemente muitíssimo diferentes. E um pensamento de GHYKA: ... na natureza viva e na arte, que é sua emanará0 , ressona indifinidamente esta lei do número (PIERO DELLA FRANCESCA, ALBERTI, LEONARDO DA V I N C I , J A C O P O DA B A R B A R I , B R A M A N T E , RAFAEL, MIGUEL ANGELO, VIGNOLA). Indispensável a aqueles que com o cinzél, o pincel e a corda deviam criar ou fixar as formas. 84
  85. 85. 4 . Da razao e da proporgao 4.1 - Malba Tahan 4.2 - Da razao 4.3 - Da razao 4.4 - Da proporgao 4.5 - O ponto de ouro e o número de ouro 4.6 - Da sucessáo de Fibonacci 4.1 - Malba Tahan e Ghyka MALBA TAHAN: A Matemática é um amontoar continuo, maravilhoso, de surpresas, de problemas vivos e curiosos, de teorías espantosas, de subtilezas filosófi- cas que nos deslumbram. G HYKA: 0 segmento retilíneo determinado por dois pontos e em Geometría, em Mecánica e em Arquitetura, o elemento mais simples a que se podem aplicar as idéias de medida, comparagao, relagao. A operagao mais fácil a que conduzem estes conceitos é a eleigao de um terceiro ponto qualquer, paeeando da unidade á dualidade para chegar a enfrentar-se com a Froporgao. 85
  86. 86. 4.2 - Da razáo (L. Ratio, de Reor, Ratus, estabelecer urna reíagao, pensar). 0 termo razáo tem muitos significados fundamen- tals, como: - guia autónomo do homem; - fundamento ou razáo do ser; - é o motivo, fundado ou nao, alegado para justificar urna agao (ANTENOR NASCENTES); -argumento ou prova-, - e, de relafáo n o sentido matemático. É dentro deste último significado que fixaremos nos- sa atengao. 4.3 - Da razáo Razáo: e o quociente obtido pela divisáo das medi- das de duas grandezas, expressas na mesma unidade; ou ainda, urna coxnparagao quantitativa entre duas coisas ou agregados pertencentes a mesma especie ou especies. Fortanto, a razáo entre duas grandezas é o quociente dos números que medem essas grandezas, numa mesma uni- dade. Isto significa que, a razáo do número (a) para o número (b), sendo b diferente de zero, é o quociente de a por b. 86
  87. 87. Indica-se por urna das seguintes maneiras: - a b = a:b = a/b e le-se: a razao de a para b. Os números (a) e (b) sao os termos da razao, sendo (a) o antecedente e (b) o consecuente. Razao inversa: a razao entre o número de elemen- tos de dois conjuntos A e 13, p. ex. e de <3para 5, ou seja 3:5 ou 3/5. A razao inversa, de [3 para A e 5:8» ou 5/3. 4.4 - Da proporgao Em Matemática, proporgao e urna igualdade entre duas razoes ou relagoes, ou seja, orando duas razoes sao iguais, temos um proporgao: a o b d : se a/b= old, as quatro unidades 87
  88. 88. a, b, c, d estao em proporgao 2 4 3 6 ou 2:3::4:6 e le-se 2 está para 3 assim como 4 está para 6. a c b d a:b::c:d (a, b, c, d = 0) (a) e (d) sao chamados extremos e (b e (c) sao cha- mados meios da proporgao a e d - extremos e b e c = meios = termos da proporgao (uma proporgao possui sempre 4 ter- mos) 88
  89. 89. Assim, tambem: A e o 1o termo; f3 e o 2o termo C á o 3o termo D e o 4o termo. Propriedade fundamental das proporgoes: em toda proporgao o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim: 3 6 = 3x 10 = 5x 6 5 10 a o = - a-b~ c:d (a,b,c,d = O) Pelo visto 3 6 4 9 nao formam uma proporgao. Cálculo do termo desconhecido de uma igualdade ou proporgao: basta aplicar a propriedade fundamental. Assim p. ex.: X 9 7 21 89
  90. 90. 21 : X = 7 : 9 21X = 6 3 6 3 x = 21 Froporgao continua: ñas proporgoes 3 6 : 12 = 12 : 4 3 : 9 = 9 : 27 9 : 6 = 6 : 4 vemos que os meios sao iguais. Estas proporgoes sao chamadas continuas. Numa proporgao continua, o último termo chama-se terceira proporcional dos outros dois e o meio com um chama-se media proporcional ou media geométrica dos números que formam os extremos. Assim: 36:12=12:4 4 = é a terceira proporcional de 3 6 e 12 12 = é média proporcional ou média geométrica de 3 6 e 4 Podemos, também, resolver gráficamente ou geo- métricamente urna proporgao: 90
  91. 91. 4.5 - O ponto de ouro e o número de ouro 0 ponto de ouro permite a divisao assimétrica mais lógica de um segmento de reta dentro do principio do mí- nimo esforgo ou lei de economia dos conceitos. Há somente um ponto, e somente um, e por isto cha- mado ponto de ouro, aqui designado por C, num segmento de reta A3, onde os componentes AC, C3 e A3 satisfazem o enunciado aciima. Obtem-se a seguinte proporgao A C B Obtém-se desta forma a divisáo de uma reta "em média e extrema razáo" ( E U C L I D E S ) , OU seja, a divisao (e so- mente uma divisao desta forma é possível) de um compri- mento (todo -A3) em duas partes desiguais (AC e C3), de tal modo que a razao entre a maior (AC) e a menor (Cf3) e igual a razao entre a maior (AC) e o comprlmento total (A3). Vejamos as duas construgoes geométricas deste enunciado: 1. Tragar a reta A3 2. Levantar a perpendicular 3D = A3 AC ou C3 2 91
  92. 92. 3- Unir A com D 4Tra$ar o arco de círculo f3E, com centro em D. 5Com A como centro, a partir de E descrever o arco de círculo EO. 6. O é o ponto de ouro . foi denominada: - Divina proporgao: Paccioli - Secgáo divina: Kepler - Secgáo áurea: da Vinci O = é o ponto de ouro. A razao por qüociente é denominada razao geomé- trica. A razao geométrica entre dois segmentos, AO e 013 é um número puro, um número abstrato. No caso recebe o nome de número de ouro. As duas razoes sao denominadas razoes segmentarias principáis: f razao: entre o todo (AI3) e a parte maior (AC); 2a razao: entre a parte maor (AO) e a parte menor (013). Ex. Parte maior = 5 0 Parte menor = 3 0 Todo = &0 As razoes segmentarias sao: 80 : 5 0 =1.6 5 0 : 3 0 =1.6 92
  93. 93. As duas razoes principáis sao iguais. Quando as duas razoes segmentarias sao iguais diremos: A divisáo do segmento AB foi feita em média e extrema razao ( E U C L I D E S ) . Na divisao áurea a razao entre o todo e o segmen- to maior, e a razao entre o segmento maior e o segmento menor, e expressa pelo número incomensurável: V5_±L= 1613033939 2 ou mais abreviadamente 1.616... Esse número é representado pela letra grega fi (mai- úscula) (O) como fizeram BARRA E SCHOOLING. 0 número de ouro, que na "sociedade dos números" tem "uma personalidade, uma invariante notável e e o mais interessante de todos os números algébricos incomensu- ráveis". Fi = 1.616 Duas propriedades do número FI: as identidades dos números decimals. FI (O) = V 5 + 1 = 1.616 2 Se juntarmos 1 ao número obtemos o quadrado de FI: 1 + 1.616= 1.616 X 1.616 - 2.616... 93
  94. 94. Quando ao número Fl subtraímos urna unidade, te- remos: 1.613= 1 0,61(5 1.615 Para que um retángulo seja harmonioso é necessá- rio que a altura seja o segmento áureo da base; é o retángulo áureo ou retángulo módulo. Encontramos o retángulo áureo - T I M E R D I N G - no formato da maior parte dos livros, jornais, revistas, cartoes postais, selos, etc., etc.. P A C C I O L I observou que o título posto na lombada de um livro, de um modo geral, corresponde a secgao áu- rea. "Apreenta-se a secgao áurea em várias figuras geo- métricas. Assim, o lado do decágono regular convexo é o segmento áureo interno do raio. O lado do decágono regu- lar estrelado é o segmento áureo externo do raio. A cons- t r u y o do decágono regular (convexo ou estrelado) de- corre da divisáo do raio em média e extrema razáo. O pentágono regular tem, também, a sua construfáo rela- cionada com o ponto de ouro. O triángulo é chamado de sublime, quando, sendo ¡sóceles, tem por base o segmen- to áureo do lado". ( M A L B A T A H A N ) . Qual a razáo desea preferencia dos artistas pelo ponto de ouro? 94
  95. 95. QuaI o porque da beleza na divisao em media e ex- trema razao? Até hoje, filósofos e matemáticos nao conseguiram explicar o extraordinário mistério do sectio divina. 4.6 - Da sucessáo de Fibonacci (1175-1250) A seqüéncia de F I B O N A C C I . "Em 1202, FIBONACCI [Leonardo Pisano, frecuentemente chama- do Fibonacci) formulou e resolveu o seguinte problema: os coelhos se reproduzem rápidamente. Admitimos que um par de coelho adultos produza um casal de coelhos jo- vens todo mes, e que os coelhos recám-nascidos se tor- nem adultos em dois meses e produzam, por sua vez, nes- sa época, um outro casal de coelhos. Comegando com um casal adulto, de que tamanho estará a colonia após o primeiro, segundo, terceiro, etc. meses? Durante o primeiro mes nasce um casal, de forma que agora existem dois casais. Durante o segundo mes, o casal original produziu outro par. Um mes mais tarde, tan- to o par original quando o primeiro casal naecido produ- ziram novos casais, de forma que agora existem dois ca- sais adultos e tres casais jovens.(E. B A T S C H E L E T ) 95
  96. 96. Crescimento de uma colonia de coelhos Meses Casais adultos Casais jovens Total 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 5 4 3 5 8 5 5 8 13 6 8 13 21 7 13 21 34 8 21 34 55 9 34 55 89 10 55 89 144 A sucessao de FIBONACCI, em análise e tambem chamada de serie de L A M É . 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144... Toma-se os números iniciáis 0 e 1 que sao básicos e constituem os primeiros termos. A partir do 3o termo a regra de formagao á a seguinte: "cada termo é a soma dos dois que o prece- dem". Singularidades: 1a - tomando-se, nessa sucessao fibonaciana, tres ter- mos consecutivos, o termo medio ao quadrado, excede de uma unidade o produto dos outros dois. Assim: 96
  97. 97. o quadrado do termo medio 21 = 441 o produto dos outros dois 13 X 3 4 = 442. Na serie observa-se a alternancia: +1 e -1 unidade. 2a - formamos as fragoes ordinarias sucessivas com ter- mos da sucessao: 1, 2 , 3 , 5 , 6 ,13 , 21, 3 4 , 55 , 39... 2, 3 , 5 , 3 ,13 , 21 , 3 4 , 55 , 39 , 144 3 a - 5 : 3 = 1.6 3:5 = 1.6 13:3 = 1.6 21 : 13 = 1.6 e assim por diante. 97
  98. 98. 5 . Da divina proporgao e do número de ouro 5.1 - Conceitos 5.2 - A divina proporgao 5.3 - O ponto e número de ouro 5.4 - O número de ouro aparece 5.5 - Da divina proporgao e do número de ouro no universo 5.6 - As curvas matemáticas nos animais e ñas plantas 5.7 - Divisáo áurea no corpo humano 5.1 - Conceitos COLERIDGE: A beleza é a unidade na variedade.! KEPLER (1 5 7 L - 1 6 3 D ) : A geometría tem dois grandes tesouros: um Á o teorema de P Y T H A G O R A S : O outro, a divisao de uma reta em extrema e media razao ( E U C L I D E S ) . 0 pñmeiro nos poderemos comparar a uma medida de ouro; o segundo, nos podemos chamar uma jóia preciosa. 98
  99. 99. P L A T Á O ( " T Í M E O ) : Mas & impossível combinar duas coisas sem urna terceira: é preciso que exista entre elas um vínculo que os una. Nao há melhor vínculo que o que faz de si mesmo e das coisas que une um todo único e idéntico. Agora bem, tal e a natureza da proporgao. P Y T H Á G O RAS : A ordem e a harmonía da Natu- reza pode ser achada na ciéncia dos números. 5.2 - A divina proporgao Considerando um segmento retílineo, podemos dividí- lo em duas partes exatamente iguais. Será neste caso urna divisao simétrica: A C 3 Este mesmo segmento de reta A3, podemos dividi- lo em dois segmentos desiguais. Neste caso o número de divisdes assimétricas possíveis é, naturalmente, infinito. A! C 13 Mas há urna divisao assimetrica particular, única, de um segmento de reta, e somente urna, que nos conduz á seogao áurea: consiste em dividir um comprlmento em duas partes desiguais de tal modo que a razao entre a parte maior e a parte menor seja igual a razao entre a parte maior e o todo. Obtem-se assim a proporgao que PACCIDLI cha- mou de proporgao divina, K E P L E R de secgáo divina e L E O N A R D O DA VINCI de secgáo áurea, secgáo dourada. 99
  100. 100. 5.3 - Ponto e número de ouro Todo = Parte maior Parte maior Parte menor Ponto de ouro: & o ponto que neste caso divide a reta em duas partes desiguais. Número de ouro: determinagao do número de ouro. A = A + B B A B A / / / E, dividindo por B os dois termos do segundo membro (o que nao altera o seu valor) teremos A = X, donde X= X + 1 13 X Ou seja X2 = X + 1 ou X2 - X - 1 = O, Equafáo de segundo grau em X, cujas raízes sáo: X= 1 + - V5 , isto á 2 = urna raiz positiva x 1 = + V5 + 1 2 = urna ra iz negativa x 2 = V5 - 1 2 A V5 +1 = 1,61503396375 B 2 100
  101. 101. Que é um número algébrico incomensurável, trivial a pri- meira vista, mas possui características quase únicas entre todos os números desta classe. / E designado pela letra grega O (phi) Phi = V5 + 1 1,615... 2 Phi = V5 -1 0,613... 2 Phi = V5 + 5 = 2.613... 2 "Vé-se, pois, que o Phi, é o número de ouro, e é na Sociedade dos Números, uma personalidade, uma invariante notável, e o mais interessante de todos os nú- meros algébricos incomensuráveis". 5.4 - O número de ouro aparece MALBA TAHAN: Apresenta-se a segao áurea em várias figuras geométricas. Assim, o lado do decágono regular convexo é o segmento áureo interno do raio. O lado do decágono regular estrelado é o segmento áureo externo do raio. A construgao do decágono regular (convexo ou estrelado) decorre da divisao do raio em média e extre- ma razao. O pentágono regular tem, também, a sua cons- trugao relacionada com o ponto de ouro. O triángulo é chamado sublime, quando, sendo ¡sóceles, tem por base o segmento áureo do lado". O número de ouro aparece ( M A L B A TAHAN): 101

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