Matemática Financeira 02

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Matemática Financeira 02

  1. 1. Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos Material de Apoio (Portal Atlas) 5a Edição SÃO PAULO EDITORA ATLAS S.A. – 2008
  2. 2. 2 Matemática Financeira • Mathias e Gomes Capitalização contínua Admitamos uma importância de $ 1.000,00, que pode ser aplicada por 1 ano à taxa de 12% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização: – anual – semestral – trimestral – mensal – diária Vejamos o montante que resulta em cada uma das hipóteses de capitalização: Capitalização Montante ($) Anual 1.120,00 Semestral 1.123,60 Trimestral 1.125,51 Mensal 1.126,83 Diária 1.127,47 Constatamos que o valor do montante aumenta à medida que aumentamos o nú- mero de capitalizações de uma dada taxa nominal. À primeira vista parece, inclusive, que o valor do montante cresce indefinidamente, à medida que as capitalizações vão sendo feitas com maior freqüência. Vejamos então o que ocorre quando admitimos uma capitalização horária: Ch = 1.000 × ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ 24 365 0,12 1 24 365 Ch ≅ 1.000 (1 + 0,000013699)8760 Ch ≅ 1.127,49 Este resultado nos permite inferir que o valor do montante não cresce indefini- damente com a freqüência de capitalização, tendendo para um limite. E, de fato, se admitirmos uma capitalização infinitamente grande, ou seja, que a capitalização seja feita em intervalos de tempo infinitesimais, teremos o montante como sendo: C ≅ $ 1.127,50
  3. 3. Material de Apoio (Portal Atlas) 3 Cálculo do montante em capitalização contínua Seja: Cnk = C0 ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 kn i k Cnk = C0 Fazendo-se: k’ = k i temos: Cnk = C0 1 1 k ni k ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ' ' Cnk = C0 ⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 nik k ' ' Se: k k→ ∞ ⇒ → ∞' Então: C’n = →∞ →∞ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ = +⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ' 0 ' ' 1 lim( ) lim 1 ' nik nk k k C C k C’n = C0 1 lim 1 nik k k→ ∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ' ' ' Demonstra-se em cálculo que: 1 lim 1 k k k→ ∞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ' ' = e Onde e é um número irracional que serve de base para os logaritmos naturais ou neperianos (e = 2,718281828459...) Portanto, tem-se: C’n = C0 eni A taxa i é chamada taxa instantânea e a notação comumente adotada é a letra grega δ (delta). Escrevemos então.) C’n = C0 enδ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 k i ⋅ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ k ni i
  4. 4. 4 Matemática Financeira • Mathias e Gomes O conceito de capitalização contínua perde muito do seu significado nas aplica- ções práticas, e por isto raramente é usado. Porém, existem ocasiões em que se admite que os fluxos monetários não são devidos ou recebidos em dado instante, mas que se encontram distribuídos no tempo. É o caso, por exemplo, da geração de lucro na operação de uma empresa, que ocorre ao longo do ano e que pode ser associado a um fluxo uniforme. O mesmo se dá com o desgaste dos equipamentos (depreciação) e, como as entradas de caixa são constituídas de lucros gerados mais depreciação, po- demos dizer que este é um fluxo que pode ser considerado uniformemente distribuído no tempo. Neste caso, e no tratamento matemático de certos modelos decisórios, o conceito de capitalização contínua é muito útil. Exemplo: Calcular o montante que resulta quando $ 1.000,00 são aplicados à taxa de juros de 12% a.a. por um prazo de 4 anos e com capitalização contínua. Comparar o resultado obtido com o resultante da aplicação nas mesmas condições em juros compostos. Resolução: Capitalização contínua C’n = C0 enδ onde: C0 = 1.000,00 n = 4 anos δ = 12% a.a. Então: C’n = 1.000,00 e 4 x 0,12 C’n = 1.000,00 e 0,48 In (C’n ) = In (1.000,00) + 0,48 In (C’n ) = 6,907755 + 0,48 In (C’n ) = 7,387755 ∴ C’n ≅ $ 1.616,07 Nota: É comum indicarem-se os logaritmos na base e por In e os logaritmos na base 10 por log. Capitalização em juros compostos: Cn = C0 (1 + i)n onde: C0 = 1.000,00 n = 4 anos i = 12% a.a.
  5. 5. Material de Apoio (Portal Atlas) 5 Nestas condições: C4 = 1.000,00 (1,12)4 C4 ≅ $ 1.573,52 Como se esperava o montante obtido quando se fez capitalização contínua (1.616,07) é maior que o obtido através de juros compostos (1.573,52). Este fato torna conveniente a determinação de uma taxa de juros efetiva que permita fazer-se a equivalência entre a capitalização contínua e a composta. Obs.: Um outro modo de visualizar-se o processo de capitalização contínua é o racio- cínio feito através de juros simples. Seja: J = Cin Em um período muito pequeno (Δn), podemos escrever que o juro (ΔJ), que tam- bém é um valor pequeno, é dado por: ΔJ = Ci Δn Por exemplo, aplicando-se $ 1.000,00 à taxa de juros simples de 10% a.a., por 1 dia, teremos: ΔJ = 1.000 × 0,10 × 1 365 = $ 0,27 Sabemos que o montante, em juros simples, é dado por: N = C (1 + in) N = C + Cin Nestas condições, um acréscimo pequeno no montante (ΔN) pode ser expresso do seguinte modo: ΔN = Ci Δn Fazendo-se com que o acréscimo seja cada vez menor, até tomar-se infinitesimal- mente pequeno o período de capitalização (dn), teremos também acréscimos infinite- simais ao montante (dN), já que ambos são proporcionais: dN = Cidn Como o diferencial do montante é um acréscimo infinitesimal ao capital, podemos fazer: dC = Cidn dC C = idn d (InC) = idn
  6. 6. 6 Matemática Financeira • Mathias e Gomes Para obter o valor do montante temos de integrar esta expressão. Ou seja, temos de calcular a soma de seus infinitos termos e, nestas condições, estaremos fazendo uma capitalização contínua. A integração deve ser feita entre o principal (C0 ) e o mon- tante (C’n) para o primeiro membro e entre a data de aplicação (zero) e de recebimen- to (n) para o segundo membro: =∫ ∫0 ' 0 ( ) C n n C d lnC idn In (C’n ) – In (C0 ) = in In ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠0 'nC C = in = ' inn o C e C ∴ C’n = C0 ein Taxa efetiva em capitalização contínua Já foi visto que: if + 1 = 1 k i k ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ onde i é a taxa de juros nominal e if é a taxa efetiva. Temos: if + 1 = Fazendo: k i = k’ temos: if + 1 = 1 1 k i k ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ' ' No limite, fazendo-se k’ → ∞, colocamos if = δ, que é a taxa de juros instantânea: ' 1 1 lim 1 ik k k δ → ∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ + = + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ' ' ei Portanto: δ = ei – 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 k i ⋅ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ k i i
  7. 7. Material de Apoio (Portal Atlas) 7 Podemos escrever também: δ + 1 = ei In (δ + 1) = Inei i = In (δ + 1) Deste modo, pode-se calcular a taxa efetiva (δ) que resulta quando se capitaliza uma taxa nominal (i) de modo contínuo e vice-versa. Exemplo: Dada a taxa de juros nominal de 12% a.a., determinar a taxa efetiva instantânea. Resolução: δ = ei – 1 δ = e0,12 – 1 δ ≅ 1,1275 – 1 δ ≅ 0,1275 ou δ ≅ 12,75% a.a. Obs.: Existe também um outro problema: dada a taxa efetiva (i), poderemos querer determinar a taxa instantânea (δ) que lhe seja equivalente. Sendo: if + 1 = 1 k i k ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 + ( )= + 1/ 1 k f i i k i k = (1 + if )1/k – 1 i = k [(1 + if )1/k – 1] 1/ [(1 ) 1] 1 k fi i k + − = Portanto: →∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥+ − δ = = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1/ (1 ) 1 lim (1 ) 1 k f k i In i k Logo: δ = In (1 + if )
  8. 8. 8 Matemática Financeira • Mathias e Gomes Exemplo: Sendo dada a taxa de juros efetiva de 12% a.a., determinar a taxa ins- tantânea que lhe é equivalente. Resolução: δ = In (1 + if ) δ = In (1 + 0,12) ≅ 0,1133 δ ≅ 11,33% a.a. O número e O número e, sendo irracional (como o número π), só pode ser expresso precisa- mente como o limite de uma série infinita e convergente ou como o limite de uma fração contínua. O leitor poderá obter o valor de i e com a precisão desejada através da série seguinte: = + + + + + + 1 1 1 1 1 1 . . . 1! 2! 3! 4! 5! e Exemplo: e = 1 + 1 1! = 2 e = 1 + + = 1 1 2,5 1! 2! e = 1 + + + ≅ 1 1 1 2,67 1! 2! 3! e = 1 + + + + ≅ 1 1 1 1 2,7083 1! 2! 3! 4! E procedendo deste modo, poder-se-á obter o valor de e com a aproximação de- sejada. 1.2 Inflações elevadas e hiperinflação Quanto mais elevada é a taxa de inflação, maior é a necessidade de indicadores que permitam fazer a correção da perda do valor da moeda. As forças econômicas que causam inflações elevadas num país (da ordem de 20% a 30% ao ano) tendem a ser instáveis. Como resultado, podemos ter uma taxa de in- flação em elevação constante ou, então, uma taxa oscilante. Neste último caso, a taxa de inflação pode ser de 30% a.a., num dado ano e passar para 100% no ano seguinte, para cair a 50% no terceiro ano. Nestas condições, é impossível fazer previsões, o que torna necessário usar o jul- gamento ou apelar para indicadores físicos, como a quantidade de insumos requerida para a produção de um dado bem, por exemplo.
  9. 9. Material de Apoio (Portal Atlas) 9 A América Latina tem-se caracterizado por uma “cultura inflacionária”, onde as inflações elevadas têm sido mais a norma do que a exceção. Como pode ser visto no Quadro 1. Quadro 1 Inflação na América Latina. País Período Taxa anual equivalente Argentina 1947-1960 1960-1974 27% a.a. 27% a.a. Brasil 1947-1960 1960-1974 16% a.a. 36% a.a. Chile 1947-1960 1960-1971 31% a.a. 25% a.a. Uruguai 1949-1960 1960-1970 11% a.a. 49% a.a. Fonte: Jones (1982). Quando a taxa de inflação passa a crescer de modo explosivo, diz-se que existe uma hiperinflação. Nestas condições, os preços passam a crescer por um fator de 10, de 100 ou mais em um único ano. Diz-se que um país está em hiperinflação quando a taxa de inflação ultrapassa a marca dos 50% num mês e fica acima deste percentual por vários meses seguidos. Esta, pelo menos, têm sido a experiência histórica recente. O Quadro 2 contém algumas das hiperinflações conhecidas. Quadro 2 Incidência da hiperinflação. País Período (19XX) Taxa média mensal Número de meses de hiperinflação Áustria out./21 a ago./22 47,1% 11 Alemanha ago./22 a nov./23 322% 16 China (Xangai) ago./48 a abr./49 400% – China (Chunking) ago./48 a abr./49 298% – Grécia nov./43 a nov./44 365% 13 Hungria mar./23 a fev./24 46% 10 Hungria ago./45 a jul./46 19.800% 12 Polônia jan./23 a jan./24 81,4% 11 Rússia dez./21 a jan./24 57% 26 Fonte: Jones (1982) e Cagan (1973).
  10. 10. 10 Matemática Financeira • Mathias e Gomes Na hiperinflação, o valor da moeda cai rapidamente porque a população perde a confiança na mesma. Isto pode ocorrer, por exemplo, se o governo gasta mais do que arrecada e passa a emitir moeda para financiar o seu déficit orçamentário. Pode ser também que o governo esteja se financiando com títulos, porém estes títulos perderam a credibilidade e a população só aceita ficar com os títulos por um prazo muito curto. O importante, qualquer que seja a causa, é que uma situação de hiperinflação pro- voca uma fuga para ativos reais, como ouro, dólar e bens (terrenos, automóveis etc.). Correção monetária Histórico A correção monetária, ou indexação, foi introduzida no Brasil pela equipe econô- mica do governo que se iniciou em 1964. A idéia era corrigir ou minorar as distorções que a inflação provocava na economia e, com isto, garantir a colocação de títulos da dívida pública. A Introdução da correção monetária foi, então, um instrumento auxiliar na estratégia gradualista de combate à inflação. Porque, segundo se dizia, uma políti- ca ortodoxa de combate à inflação (tratamento de choque) seria política inviável para a nossa economia na época. Primeiramente foram criadas as Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional (ORTN), que desempenharam um papel importante no financiamento não inflacionário do déficit federal, pois foi restabelecida a confiança nos títulos da dívida pública. De- pois, foram estabelecidas normas para a correção monetária dos débitos fiscais, do ati- vo imobilizado, das depreciações, do capital de giro, dos títulos da dívida pública etc. Foi criado o Banco Nacional da Habitação (BNH, já extinto) para operar financia- mentos habitacionais com fundos do FGTS (Fundo de Garantia do Tempo de Serviço). O BNH também começou a operar empréstimos com correção monetária, o que con- tribuiu para generalizar a idéia de indexação da economia. No início, os coeficientes de correção eram estabelecidos pelo Conselho Nacional de Economia, que depois foi extinto. A partir de 1967 os coeficientes passaram a ser fixados pelo Ministério do Planejamento, também depois extinto. Ao longo do tempo, todo o processo de correção acabou, de certo modo, vincu- lado aos índices de variação das ORTN. A variação das ORTN passou a desempenhar o mesmo papel que já desempenhava o índice 2 (o IGP-DI: índice geral de preços – dis- ponibilidade interna) como medida de inflação. O próprio valor da Unidade Padrão de Capital (UPC), do BNH, ficou definido como o valor da ORTN do mês inicial de cada trimestre civil. A UPC passou a ser a unidade-padrão para os cálculos de financiamentos e amor- tizações do Sistema Financeiro Habitacional (SFH), ou seja, do sistema ligado ao BNH. Por outro lado, a ORTN passou a ser a unidade-padrão para os financiamentos feitos para o setor industrial pelo Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico (o BNDE
  11. 11. Material de Apoio (Portal Atlas) 11 que, depois passaria a ser BNDES, com o “S” significando “Social”) e pelos demais bancos repassadores. A partir de agosto de 1968 foi introduzida a taxa flexível de câmbio, também conhecida como processo de minidesvalorização cambial. Com isto, a taxa cambial, que mede a relação entre o cruzeiro e as outras moedas, passou a variar em intervalos curtos e não regulares de tempo. Nestas condições, as mudanças nos valores da taxa de câmbio passaram a compensar, aproximadamente, as diferenças entre as inflações interna e externa. Uma medida da inflação externa é dada pela inflação americana. Uma medida melhor da inflação externa pode ser obtida considerando-se uma média ponderada das inflações dos principais países com os quais o Brasil mantém comércio: Estados Unidos, Comunidade Econômica Européia e Japão. Assim, a indexação acabou difundindo-se por toda economia brasileira, o que introduziu mais um complicador em nosso já complexo quadro de regulamentação. Indexação e decisões econômicas Em 1985, algumas correntes de economistas teorizaram que a inflação brasileira era “inercial”, ou seja, perpetuada pelos próprios mecanismos de indexação difundi- dos na economia nos últimos 20 anos. Estas idéias obtiveram uma aceitação imediata entre os políticos e a elite, por- que prometiam um ajuste indolor. Foi um grande experimento econômico, que se consubstanciou nos chamados planos de ajuste heterodoxos ou, mais popularmente, “congelamentos”. No período de 1985/1990 tivemos seis Ministros da Fazenda, dez Presidentes do Banco Central cinco planos de ajustes, com resultados duvidosos, porque a inflação voltou a subir depois de cada plano (v. Gráfico 1). Tivemos também, no período, quatro unidades Monetárias diferentes. Em cada plano foram introduzidas regras novas de indexação, como as “tablitas”, regulamen- tações sobre as regras de correção dos contratos, mudanças nos critérios para cálculo dos índices etc. A ORTN foi substituída pela OTN (Obrigação do Tesouro Nacional) que, por sua vez, foi substituída pelo BTN (Bônus do Tesouro Nacional). O custo social destes planos ainda não foi estimado. Deve-se dizer que a correção monetária foi extinta em janeiro de 1989, para ser reintroduzida logo em seguida com a retomada da inflação. Foi extinta novamente em fevereiro de 1991 e, em seu lugar, foi colocada a TR (Taxa Referencial de Juros) e a TRD (Taxa Referencial de Juros Diária) como indicadores da taxa de juros semelhantes à prime rate americana e à LIBOR inglesa. Porém, quem abrisse o jornal em dezembro de 1991 encontraria uma enorme variedade de indexadores como: o INPC do IBGE, o IGP e o IGP-M da FGV, o IPC da FIPE, o ICV do DIEESE, o ICVM da Ordem dos Economistas, a TR e a TRD, a cotação do dólar (no câmbio oficial, no turismo e no paralelo), a cotação do ouro, a BTNF atualizada pela TRD etc.
  12. 12. 12 Matemática Financeira • Mathias e Gomes A complexidade decorrente desta multiplicidade de índices faz com que seja reco- mendável um exame cuidadoso de qualquer operação financeira sujeita a indexação. Gráfico 1 INFLAÇÃO / IGP – E OS PLANOS NO BRASIL Plano Cruzado (%) 100 80 60 40 20 0 J M J S D M J S D M J S D M J S D M J S D M J S 86 87 88 89 90 91 Plano Bresser Flexibilização Plano Verão Plano Collor I Liberação de preços Plano Collor II Funaro 27/2/86 Bresser 29/4/87 Mailson 5/1/88 Zélia 15/3/90 Marcilio 10/5/91
  13. 13. Tabelas Financeiras As tabelas financeiras apresentadas a seguir se destinam à complementação do aprendizado, ou seja, são auxiliares na resolução dos problemas e exemplos pro- postos, sendo portanto muito simplificadas, quer quanto às taxas apresentadas, quer quanto ao número de períodos considerados. (1 + i)n = montante de 1, à taxa i pelo prazo n Cálculo de montante e de valor atual Este fator é utilizado para cálculo do montante de um capital aplicado à taxa i pelo prazo n. Em termos genéricos, pode-se dizer que este fator é o elo entre o capital aplicado e o montante. 1º Exemplo: O capital de $ 2.000,00 é aplicado por 12 meses, à taxa de 0,5% a.m. Qual é o montante? Resolução: C0 = 2.000 i = 0,5% a.m. n = 12 meses Cn = ? Cn = C0 (1 + i)n Entrando na tabela para i = 0,5%, encontramos, para n = 12, o fator (1 + i)n = 1,061 678.
  14. 14. 14 Matemática Financeira • Mathias e Gomes Então: Cn = 2.000 (1 + 0,005)12 Cn = 2.000 (1, 061678) Cn ≅ $ 2.123,36 2º Exemplo: Quanto deve ser aplicado à taxa de 2% a.t. para que após 36 trimestres se tenha o montante de $ 12.000,00? Resolução: Cn = 12.000 i = 2% a.t. n = 36 trimestres C0 = ? Cn = C0 (1 + i)n C0 = (1 ) n n C i+ Para i = 2% e n = 36, temos: (1 + i)n = 2,039887 C0 = 12.000 2,039887 C0 ≅ $ 5.882,68 Cálculo de (1 + i)n para períodos não constantes na tabela Considerando a propriedade de, na multiplicação de potências de mesma base, somarem-se os expoentes, temos que: am + j = am . aj Deste modo pode-se calcular o fator para um dado n, tomando-se dois ou mais fatores cuja soma de períodos a que se referem seja igual a n. Exemplo: Calcular (1 + 0,02)70 Resolução: Na tabela de 2% temos o fator para n = 60 e para n = 72. O cálculo para n = 70 pode ser feito de diversos modos: a) 1,02)70 = (1,02)60 . (1,02)10 , visto que 70 = 60 + 10 (1,02)70 = (3,281031) (1,218994) ≅ 3,999557 b) (1,02)70 = (1,02)35 . (1,02)35 , visto que 70 = 35 + 35 (1,02)70 = (1,999890) (1,999890) ≅ 3,999560
  15. 15. Material de Apoio (Portal Atlas) 15 c) (1,02)70 = (1,02)72 . (1,02)– 2 , pois 70 = 72 – 2 (1,02)70 = 4,161140 1,040400 = 3,999558 Observação: A diferença entre os resultados se deve a aproximações nos valores ta- belados. (1 + i)1/k – Taxas equivalentes Para facilitar interpolações exponenciais no cálculo de períodos não inteiros, fo- ram tabeladas as taxas equivalentes mais usuais, sendo as taxas apresentadas em sua forma percentual. Exemplo: Calcular o montante referente à aplicação de $ 5.000,00 por 3 anos e 4 meses, à taxa de 20% a.a. Resolução: C0 = 5.000 i = 20% a.a. n = 3 anos e 4 meses Cn = ? Cn = C0 (1 + i)n Cn = 5.000 (1 + 0,20)3 (1+ iq ), onde iq = taxa equivalente quadrimestral Na tabela de 20%, tem-se: (1,20)3 = 1,728000 iq = 6,265857% a.q. Portanto, Cn = 5.000(1,728)(1,06265857) = $ 9.181,37 an i – Valor presente à taxa i de “n” anuidades unitárias, imediatas, postecipadas e periódicas O fator n i a é a soma de uma progressão geométrica de n termos e razão (1 + i)– 1 , sendo o 1º termo igual a (1 + i)–1 e o último (1 + i)– n . Portanto: n i a = 1 (1 ) n i i − − +
  16. 16. 16 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 1º Exemplo: Calcular o valor presente (valor ou preço a vista) de 24 prestações men- sais de $ 100,00, a taxa de 2,5% a.m. Resolução: Temos que: P = ? 0 1 2 3 22 23 24 Meses 100 100 100 100 100 100 R = 100 i = 2,5% a.m. n = 24 meses P = ? P = ⋅ n i R a P = ⋅ 24 2,5 100 a Na tabela de 2,5%, encontramos: 24 2,5 a = 17,884986 P = 100(17,884986) P = $ 1.788,50 2º Exemplo: Calcular o preço a vista de um carro que é vendido em 12 prestações trimestrais de $ 5.000,00, considerando-se que a taxa contratada fora de 8% a.t.? Resolução: R = 5.000 i = 8% a.t. n = 12 trimestres P = ? P = ⋅ n i R a P = ⋅ 12 8 5.000 a P = 5.000(7,536078= $ 37.680,39 3º Exemplo: Uma geladeira é vendida por $ 10.000,00 a vista ou em 12 prestações mensais de $ 1.065,52 sem entrada. Qual é a taxa de juros mensal cobrada?
  17. 17. Material de Apoio (Portal Atlas) 17 Resolução: P = 10.000 R = 1.065.52 n = 12 meses i = ? P = ⋅ n i R a 10.000 = ⋅ 12 1.065,62 i a 12 i a = 10.000 9,385089 1.065,52 = Procurando-se nas tabelas, tem-se: 12 4 a = 9,385074 Visto que 9,385074 ≅ 9,385089, pode-se concluir que a taxa cobrada é de 4% a.m. Variações do fator n i a O valor de n i a depende da taxa considerada e/ou do valor de n. Os efeitos indivi- duais podem ser analisados do seguinte modo: Variação na taxa de juros com n constante Seja n = 12 Então 12 0 a = 12,000000 12 5 a = 8,863252 12 10 a = 6,813692 12 50 a = 1,984585 Vemos, por conseguinte, que mantendo-se n constante, o fator n i a decresce com o aumento da taxa de juros. Graficamente vem: a n i n 0 i
  18. 18. 18 Matemática Financeira • Mathias e Gomes Variação em n com a taxa de juros constante Seja i = 10% Então: 6 10 a = 4,355261 12 10 a = 6,813692 24 10 a = 8,984744 48 10 a = 9,896926 Concluímos que, mantendo-se i constante, o fator n i a cresce com o aumento de n. a n i 1/i 0 n − ( ) 1 n i a – Prestações constantes, imediatas, postecipadas e periódicas para o valor atual igual a 1, considerando-se a taxa de juros i e n prestações O fator −1 ( )n i a nada mais é do que o inverso de n i a ,então: − − = = − + 1 1 ( ) 1 (1 ) nn i n i i a a i Portanto, se temos o valor atual (preço a vista) e queremos encontrar o valor da prestação, considerando-se a taxa i e o número de prestações n, basta multiplicar o valor atual pelo fator −1 ( )n i a 1º Exemplo: Qual é a prestação mensal de um carro, cujo preço a vista é de $ 50.000,00, se for contratada a taxa de 3,5% a.m. e o prazo for de 24 meses? Resolução: P = 50.000 i = 3,5% a.m. n = 24 meses −1 24 3,5 ( )a = 0,062273 R = −1 ( )n i P a R = 50.000(0,062273) = $ 3.113,65
  19. 19. Material de Apoio (Portal Atlas) 19 2º Exemplo: Um financiamento de $ 100.000,00 é concedido a uma firma, para ser pago em 4 prestações semestrais iguais, a taxa de 20% a.s. Qual é o valor das prestações? Resolução: P = 100.000 i = 20% a.s. n = 4 semestres ( 4 20 a )– 1 = 0,386289 R = −1 ( )n i P a R = 100.000(0,386289) R = $ 38.628,90 Variações do fator − ( ) 1 n i a De modo análogo ao apresentado no item anterior, pode-se analisar o efeito da taxa ou do número de períodos mantendo-se uma variável constante e variando ape- nas a outra. Assim: Variação na taxa de juros com n constante Seja n = 12 Então: −1 12 0 ( )a = 0,083333 −1 12 5 ( )a = 0,112825 −1 12 10 ( )a = 0,146763 −1 12 50 ( )a = 0,503884 Portanto, mantendo-se n constante, o fator −1 ( )n i a cresce com o aumento da taxa de juros. Graficamente tem-se: (a n i 1/n 0 i )–1
  20. 20. 20 Matemática Financeira • Mathias e Gomes Variação em n a taxa de juros constante Seja i = 10% Então: −1 6 10 ( )a = 0,229607 −1 12 10 ( )a = 0,146763 −1 24 10 ( )a = 0,111300 −1 48 10 ( )a = 0,101041 Concluindo-se que, mantendo a taxa constante, o fator −1 ( )n i a decresce com o aumento do número de períodos. (a n i i 0 n )–1 Nota: Constata-se que as conclusões do item 4.1 são o inverso das conclusões do item 3.1, o que é lógico, visto que −1 ( )n i a = 1 n i a n i s – Montante à taxa i de n prestações unitárias, imediatas, postecipadas e periódicas O fator n i s é a soma de uma progressão geométrica de n termos, sendo o 1º ter- mo igual a (1 + i)n – 1 , o último igual a 1 e a razão igual a (1 + i). Portanto: (1 ) 1n n i i i + − =s 1º Exemplo: Qual é o montante de 60 depósitos mensais de $ 200,00, se o banco pagar 2% a.m. sobre o saldo credor? Resolução: 0 1 2 3 200 58 59 200 200 200 200 200 60 Meses S = ?
  21. 21. Material de Apoio (Portal Atlas) 21 R = 200 i = 2% a.m. n = 60 meses S = ? 60 2 s = 114,051540 S = R ⋅ n i s S = 200 (114,051540) S = $ 22.810,31 2º Exemplo: Quanto deve ser depositado trimestralmente em uma instituição que paga 8% a.t. sobre o saldo credor, para que, ao efetuar o 36º depósito, o correntista possua $ 100.000,00? Resolução: S = 100.000 i = 8% a.t. n = 36 trimestres R = ? 36 8 s = 187,102148 S = R n i s R = ni S s R = 100.000 187,102148 R = $ 534,47 Variações do fator n i s O valor do n i s depende da taxa considerada e/ou do valor de n. Analisando os efeitos individuais, temos: Variação na taxa de juros com n constante Seja n = 12 Então: 12 0 s = 12,000000 12 5 s = 15,917127 12 10 s = 21,384284 12 50 s = 257,492676
  22. 22. 22 Matemática Financeira • Mathias e Gomes Conclui-se, portanto, que, mantendo o número de períodos constante, o fator n i s aumenta com o acréscimo nas taxas de juros. Graficamente, teríamos: n n is 0 i Variação em n com a taxa de juros constante Seja i = 10% Então: 6 10 s = 7,715610 12 10 s = 21,384284 24 10 s = 88,497327 48 10 s = 960,173337 Por conseguinte, mantendo-se a taxa de juros constante, o fator n i s aumenta com o aumento do número de períodos. No gráfico visualizaríamos: n is 0 n

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