Aula 2 : BioestatísticaCaroline GodoyTurma: Graduação em Educação Física
Última aula• O que é estatística/bioestatística?• Tipos de variáveis: Quantitativas e Qualitativas;• Apresentação dos dado...
Noções de Cálculo de Probabilidades• Curiosidade: A palavra probabilidade deriva do  Latim probare que significa provar ou...
Noções de Cálculo de Probabilidades1) Espaço Amostral• Considerando que se deseja realizar um  experimento com n possíveis...
Noções de Cálculo de Probabilidades1) Espaço Amostral• Exemplo 1: Lançamento de uma moeda             S={“cara”; “coroa”} ...
Noções de Cálculo de Probabilidades2) Evento• Evento é qualquer subconjunto do espaço  amostral de S, como por exemplo o e...
Noções de Cálculo de Probabilidades2) Evento• Evento é qualquer subconjunto do espaço  amostral de S, como por exemplo o e...
Noções de Cálculo de Probabilidades2) Evento• Exemplo 3: Considerando o espaço amostral do  lançamento de um dado tem-se o...
Noções de Cálculo de Probabilidades2.1) Evento Impossível•   O conjunto vazio também é um subconjunto de    S, portanto, t...
Noções de Cálculo de Probabilidades2.2) Evento Certo• O conjunto S é subconjunto de si próprio,  portanto S também é um ev...
Noções de Cálculo de Probabilidades2.3) Evento Complementar• Evento complementar ou A é tal que                    A = S–A...
Noções de Cálculo de Probabilidades2.4) Evento Mutuamente Exclusivo  Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos  quando ...
Noções de Cálculo de Probabilidades3) Probabilidade de um Evento• Considerando S o espaço amostral e A um  evento qualquer...
Noções de Cálculo de ProbabilidadesExercícios1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3,   4, 5, 6}, determine a proba...
Noções de Cálculo de Probabilidades4) Soma de Probabilidades• É calculada pela fórmula: P ( A B)           P( A)      P(B)...
Noções de Cálculo de ProbabilidadesExercícios3. Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6},   qual é a probabilidade...
Noções de Cálculo de Probabilidades5) Probabilidade condicional eindependente• Para dois eventos quaisquer A e B de um esp...
Noções de Cálculo de Probabilidades5) Probabilidade condicional eindependente• Teorema de Bayes                     P( A B...
Noções de Cálculo de ProbabilidadesExercício4. Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas.   Calcule a probabilida...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos•   Vimos variáveis quantitativas e qualitativas;•   Os conc...
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Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta•   Variável aleatória discreta é aquela e...
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Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. D.• Alguns conceitos devem ser aprendidos antes de  f...
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Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. D.2. Variância de uma v.a. significa o quanto os dad...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. D.Exemplo cont.: Suponha que tem-se interesse em estu...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Modelo de distribuição Bernoulli• Caract...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades  Variável Aleatória Discreta   • Modelo de distribuição Bernoulli   ...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Modelo de distribuição Bernoulli• Mais C...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Modelo de distribuição Bernoulli• Exempl...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta • Modelo de distribuição Binomial • Carac...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Modelo de distribuição Binomial• Caracte...
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Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Outras distribuições:  ▫ Distribuição Hi...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Contínua• Variável aleatória contínua é aquela em ...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. C.• Alguns conceitos devem ser aprendidos antes de  f...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. C.2. Variância de uma v.a. significa o quanto os dad...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. C.•   Resumo             E( X )      (X )            ...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos (f.p.) V.A.C.•   Uma variável aleatória é uma quantidade X ...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos (f.d.a.) V.A.C.•   A Função Distribuição Acumulada é defini...
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos (exemplo) V.A.C.•   Exemplo:
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  1. 1. Aula 2 : BioestatísticaCaroline GodoyTurma: Graduação em Educação Física
  2. 2. Última aula• O que é estatística/bioestatística?• Tipos de variáveis: Quantitativas e Qualitativas;• Apresentação dos dados: Gráficos para diferentes tipos de variáveis, tabelas;• Tipos de frequências (absoluta e relativa);• Medidas de tendência central: Média, Moda, Mediana;• Medidas de variabilidade (dispersão): Desvio padrão, Variância, Coeficiente de Variação, Quantis;
  3. 3. Noções de Cálculo de Probabilidades• Curiosidade: A palavra probabilidade deriva do Latim probare que significa provar ou testar;• Outras palavras estão associadas à palavra probabilidade tais como: ▫ Sorte; ▫ Risco; ▫ Incerteza; ▫ Duvidoso...
  4. 4. Noções de Cálculo de Probabilidades1) Espaço Amostral• Considerando que se deseja realizar um experimento com n possíveis resultados, cada valor de n é chamado ponto amostral e S é o conjunto de todos os resultados possíveis chamado de espaço amostral da experiência. ... (n) S
  5. 5. Noções de Cálculo de Probabilidades1) Espaço Amostral• Exemplo 1: Lançamento de uma moeda S={“cara”; “coroa”} S• Exemplo 2: Lançamento de um dado: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 3 5 2 4 6 S
  6. 6. Noções de Cálculo de Probabilidades2) Evento• Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de S, como por exemplo o evento A do espaço amostral de S: ... (n) A S• onde A está contido em S.
  7. 7. Noções de Cálculo de Probabilidades2) Evento• Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de S, como por exemplo o evento A do espaço amostral de S: ... (n) B A S• onde A e B estão contido em S.
  8. 8. Noções de Cálculo de Probabilidades2) Evento• Exemplo 3: Considerando o espaço amostral do lançamento de um dado tem-se o evento “número ímpar”: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} A 1 3 5 2 4 6 S A={1, 3, 5}
  9. 9. Noções de Cálculo de Probabilidades2.1) Evento Impossível• O conjunto vazio também é um subconjunto de S, portanto, também é um evento;• O conjunto vazio é chamado evento impossível, pois nunca ocorre.• Exemplo 4: Sair o número 7 no lançamento de um dado é um evento impossível. S {1, 2, 3, 4, 5, 6} A ou A
  10. 10. Noções de Cálculo de Probabilidades2.2) Evento Certo• O conjunto S é subconjunto de si próprio, portanto S também é um evento; S é chamado de evento certo, pois sempre acontece.• Exemplo 5: Sair o número 1 a 6 no lançamento de um dado é um evento certo. S {1, 2, 3, 4, 5, 6} A {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  11. 11. Noções de Cálculo de Probabilidades2.3) Evento Complementar• Evento complementar ou A é tal que A = S–A• Exemplo 6: No lançamento de um dado, o evento complementar do evento “número ímpar” é o evento “número par”. A = { 1, 3, 5} A = {2, 4, 6}
  12. 12. Noções de Cálculo de Probabilidades2.4) Evento Mutuamente Exclusivo Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando A B (lê - se : A e B igual a conjunto vazio)• Exemplo 7: No lançamento de um dado: A: Sair número par. B: Sair número ímpar. A B Pois se sair um número par não há como sair um número ímpar e vice - versa.
  13. 13. Noções de Cálculo de Probabilidades3) Probabilidade de um Evento• Considerando S o espaço amostral e A um evento qualquer, a probabilidade de um evento é dada por: n( A ) P( A) n(S )
  14. 14. Noções de Cálculo de ProbabilidadesExercícios1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:a) A: um número primo.b) B: um número múltiplo de 3.2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de obter um múltiplo de 3?
  15. 15. Noções de Cálculo de Probabilidades4) Soma de Probabilidades• É calculada pela fórmula: P ( A B) P( A) P(B) P( A B) ouOnde :P( A B ) é a probabilidade de ocorrer o evento A ou BP(A) é a probabilidade de ocorrer o evento AP(B) é a probabilidade de ocorrer o evento BP(A B) é a probabilidade de ocorrer o evento A e B e
  16. 16. Noções de Cálculo de ProbabilidadesExercícios3. Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3?
  17. 17. Noções de Cálculo de Probabilidades5) Probabilidade condicional eindependente• Para dois eventos quaisquer A e B de um espaço amostral S, sendo P(B)>0, definimos a probabilidade condicional de A dado B, P(A|B), como sendo P( A B)P( A | B) OU P ( A B) P( B) P( A / B) P( B)• A e B são ditos independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer.• Se A independe de B, então: P ( A B) P( B) P( A)
  18. 18. Noções de Cálculo de Probabilidades5) Probabilidade condicional eindependente• Teorema de Bayes P( A B) P( A).P( B | A) P( A | B) P( B) P( B)
  19. 19. Noções de Cálculo de ProbabilidadesExercício4. Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas. Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2 bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.5. Suponhamos que 10.000 bilhetes sejam vendidos em uma loteria e 5.000 em outra. Cada um tendo apenas um ganhador. Um homem tem 100 bilhetes em cada. Qual a probabilidade de que ele ganhe alguma coisa?
  20. 20. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos• Vimos variáveis quantitativas e qualitativas;• Os conceitos para variáveis quantitativas são muito mais ricos do que para variáveis qualitativas;• O conhecimento de modelos probabilísticos para variáveis quantitativas é muito importante e as variáveis para as quais iremos construir modelos serão chamadas variáveis aleatórias (v.a.);• As aulas que seguirão serão dedicadas para variáveis quantitativas.
  21. 21. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos Variável Aleatória DiscretaVariáveis quantitativas Variável Aleatória Contínua
  22. 22. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Variável aleatória discreta é aquela em que podemos contar os valores;• Exemplo 1: O lançamento de um dado nos dá valores de 1 a 6 e nunca 2,444 por exemplo v.a. discreta finita• Exemplo 2: Número de carros que chegam num pedágio. Não sabemos a quantidade mas não pode chegar 0,5 carro. v.a. discreta infinita
  23. 23. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Mais exemplos:- número de acidentes numa semana;- número de caras em cinco lançamento de moeda;- número de defeitos em sapatos;- número de falhas numa safra;-número de terremotos;- número de jogos empatados;- número de livros numa estante.
  24. 24. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos (f.p.) V. A. D.• Uma variável aleatória é uma quantidade X associada a cada possível resultado do espaço amostral• A função de probabilidade é a função p ( xi ) que cada valor de xi associa sua probabilidade
  25. 25. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos (f.d.a.) V. A. D.• A Função Distribuição Acumulada é definida para cada x por: F ( x) P( X x)• Ou seja, A função de nome "F" é igual à probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor inferior ou igual a determinado x. Note que, via de regra, para cada x, a função F assumirá um valor diferente.
  26. 26. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos (exemplo) V. A. D.• Exemplo:
  27. 27. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. D.• Alguns conceitos devem ser aprendidos antes de falarmos sobre distribuições discretas;1. Esperança Matemática (Valor Esperado)  é soma dos produtos dos valores assumidos pela variável pelas respectivas probabilidades da variável assumir tais valoresAssim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn,então o valor esperado de X, denotado por E(X)= x édefinido por: nE( X ) x1P( X 1 x1 )  xn P( X n xn ) xi P( X i xi ) i 1
  28. 28. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos V. A. D. Exemplo: Suponha que tem-se interesse em estudar a composição de famílias de esportistas com três filhos, quanto a sexo. Seja a v.a. de interesse e a tabela de probabilidades: X= número de meninos x 0 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/9E( X ) x1 P( X x1 ) x2 P( X x2 ) x3 P( X x3 ) x4 P( X x4 ) 1 3 3 1 12 3 0 1 2 3 8 8 8 8 8 4
  29. 29. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. D.2. Variância de uma v.a. significa o quanto os dados variam em relação a média.Assim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn,então a variância da v.a. X é dada por: por definiçãoVar ( X ) E( X X )2( x1 X ) 2 P( X x1 )  ( xn X ) 2 P( X xn ) n 2 Var( X ) xi X P( X x) i 0
  30. 30. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. D.Exemplo cont.: Suponha que tem-se interesse em estudar acomposição de famílias de esportistas com três filhos,quanto a sexo. Seja a v.a. de interesse e a tabela deprobabilidades: 3 E( X )X= número de meninos 4 x 0 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/9 3 2 Var ( X ) X X P( X x) i 0 3 2 1 3 2 3 3 2 3 3 2 1 3 (0 ) (1 ) (2 ) (3 ) 2 8 2 8 2 8 2 8 4
  31. 31. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Modelo de distribuição Bernoulli• Características: ▫ Permitem apenas 2 resultados tipo sucesso (1) ou fracasso (0); ▫ p a probabilidade de sucesso, 0 < p <1 ▫ Exemplos: 1. Um artigo esportivo é classificada como boa ou defeituosa; 2. O resultado de um exame médico de um atleta do esporte para detecção de uma doença é positivo ou negativa. 3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; 4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6; 5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa
  32. 32. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Modelo de distribuição Bernoulli • Mais Características: x 0 1 p x (1 p)1 x ; x 0,1 f ( x) P( X x) P(X=x) 1-p p 0; c.cNotação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli.Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:E(X)=p 0, se x 0Var(X)=p-p2=p(1-p) F ( x) 1 p se 0 x 1 1 se x 1
  33. 33. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Modelo de distribuição Bernoulli• Mais Características:
  34. 34. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Modelo de distribuição Bernoulli• Exemplo: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. SejaX: nº de bolas verdes Calcular E(X), Var(X) e determinar P(X)
  35. 35. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta • Modelo de distribuição Binomial • Características: ▫ “n” repetições independentes de ensaios de Bernoulli geram uma Binomial; ▫ Teríamos de 0 a n sucessos, onde ▫ Então a função de probabilidade é: n nº total de repetiçõesdo experim ento y nº de sucessos ocorridosem n repetições n yP(Y y ) p (1 p) n y , onde y 0,1,2,3,...,n y n n! y y!(n y )!E (Y ) npV (Y ) np(1 p) ▫ Y = nº de sucessos ocorridos em “n” repetições independentes do experimento do tipo Bernoulli. Y~Bin(n,p)
  36. 36. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Modelo de distribuição Binomial• Características: p=0,1 p=0,3• N=10 e 0.4p variando 0.20 P(X=x) P(X=x) 0.2 0.00 0.0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 x x p=0,5 p=0,8 0.20 P(X=x) P(X=x) 0.15 0.00 0.00 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 x x
  37. 37. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Modelo de distribuição Binomial• Características: p=0,1 p=0,3• N=20 ep variando 0.15 0.20 P(X=x) P(X=x) 0.00 0.00 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 x x p=0,5 p=0,8 0.15 P(X=x) P(X=x) 0.00 0.10 0.00 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 x x
  38. 38. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Exemplo Binomial: Suponha que nascimento de menino e menina dos atletas seja igualmente prováveis e que o nascimento de qualquer criança não afeta a probabilidade do sexo do próximo nascimento. Determine a probabilidade de nascer :• a)Exatamente 4 meninos em 10 nascimentos.• b)Ao menos 4 meninos em 10 nascimentos .• c)No máximo um menino em 10 nascimentos.
  39. 39. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Discreta• Outras distribuições: ▫ Distribuição Hipergeométrica ▫ Distribuição Poisson
  40. 40. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Contínua• Variável aleatória contínua é aquela em que os valores pertencem a um intervalo de números reais;• Uma característica importante é que o valor é resultado de uma mensuração, então pode ser pensado como pertencendo a um intervalo ao redor do valor efetivamente observado;• Exemplo 1: quando dizemos que a altura de uma pessoa é 175 cm, estamos medindo sua altura usando como unidade de medida e portanto o valor é, na realidade, um valor entre 174,5 cm e 175,5 cm; Morettin e Bussab, 2006
  41. 41. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. C.• Alguns conceitos devem ser aprendidos antes de falarmos sobre distribuições contínuas;1. Esperança Matemática (Valor Esperado)  é a integral dos produtos dos valores assumidos pela variável por uma função de xAssim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn,então o valor esperado de X, denotado por E(X)= x édefinido por: E( X ) xf ( x)dx
  42. 42. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. C.2. Variância de uma v.a. significa o quanto os dados variam em relação a média.Assim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn, entãoa variância da v.a. X é dada por: Var( X ) ( x E ( X ))2 f ( x)dx 2 2 Var( X ) E ( X ) [ E ( X )]
  43. 43. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos V. A. C.• Resumo E( X ) (X ) 2 Var ( X ) DP( X ) (X )
  44. 44. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos (f.p.) V.A.C.• Uma variável aleatória é uma quantidade X associada a cada possível resultado do espaço amostral• A função de probabilidade é a função p ( xi ) que cada valor de xi associa sua probabilidade
  45. 45. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos (f.d.a.) V.A.C.• A Função Distribuição Acumulada é definida para cada x por: F ( x) P( X x)• Ou seja, A função de nome "F" é igual à probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor inferior ou igual a determinado x. Note que, via de regra, para cada x, a função F assumirá um valor diferente.
  46. 46. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesConceitos (exemplo) V.A.C.• Exemplo:
  47. 47. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Contínua• Modelo da Distribuição Normal• Características: ▫ Permite resultados dentro de um intervalo; ▫ Exemplos: 1. Valores de depósitos em um banco; 2. Valores das alturas de indivíduos de uma escola.
  48. 48. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Contínua• Modelo da Distribuição Normal• Características: ▫ Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição Normal com parâmetros e se sua 2 densidade for dada por 2 1 (x )2 / 2 2f ( x; ; ) e 2 2onde x ; e 0
  49. 49. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Contínua• Modelo da Distribuição Normal• Características: ▫ Curva Normal Simétrica: 0,4 Parâmetros: E( X ) 2 Var ( X )f(x) DP( X ) 2 0,0 X ~ N( , ) -2 0 2
  50. 50. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesVariável Aleatória Contínua• Modelo da Distribuição Normal• Características: ▫ Quando a média é zero e a variância é 1 temos uma distribuição Normal Padrão: Parâmetros: 0,4 E( X ) 0 Var( X ) 1f(x) Z ~ N (0,1) 0,0 -2 0 2 1 0 1
  51. 51. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidadesPróxima Aula• Amostragem;• Exercícios;• Início de Estimação de Parâmetros.

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