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Antes de começarmos a matéria propriamente dita, vamos rever rapidamente alguns conceitos
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  1. 1. 1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS – UNICAMP CENTRO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA – CESET ST302 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I PROF. MILTON GIACON JÚNIOR
  2. 2. 2 Apresentação. Estas notas de aula, têm a finalidade de auxiliar ao aluno, no acompanhamento da matéria de Resistência dos Materiais no dia a dia da escola. Nela procuramos apresentar a matéria de uma forma resumida e clara. Constam resumos da teoria e alguns exemplos de exercícios resolvidos Não é nossa pretensão apresentar aqui um tratado sobre a matéria, mas simplesmente tentar derrubar aquela imagem corrente, que coloca Resistência dos Materiais como complicada e de difícil compreensão. O que ocorre é que devido ao despreparo do aluno nas matérias básicas, fica de fato difícil ao aluno acompanhar o desenrolar da matéria sem uma devida dedicação, pois são necessários conceitos firmes nas áreas de Física e Matemática, principalmente, além de uma boa dose de atenção e bom senso. A finalidade de uma boa escola, é desenvolver no aluno a capacidade de se virar sozinho e não ficar dependente de professores, ou se ater somente àquilo que há nos cadernos e livros ou nos exemplos resolvidos em sala, mas prepará-lo para o dia a dia profissional, onde todos os dias sua capacidade será testada na solução de problemas inesperados que se apresentem diariamente e cuja solução dependa exclusivamente da sua própria iniciativa e onde o profissional deve às vezes estudar matérias que se apresentam até publicadas em outras línguas . Juntos nós chegaremos lá. Boa Sorte.
  3. 3. 3 Antes de começarmos a matéria propriamente dita, vamos rever rapidamente alguns conceitos bastantes importantes para nós. FORÇA : É uma grandeza vetorial, caracterizada pôr sua direção, intensidade e sentido. MOMENTO : De uma força F em relação a um ponto O é um vetor tal que a sua intensidade é igual ao produto do módulo da força pela sua distância ao ponto º BINÁRIO : RESULTANTE DE FORÇAS : MOMENTO RESULTANTE : ∑∑M = 5 x 2 – 4 x 2 – 4 x 1 = - 2 tfm Z F 0 2 1 2 10 o ZZ 2 M = F.z - F.z M = F( z - z )= F.z o F Z M = F . zM = F . z o Z F F 1 F 2 3 F 4 F 2F F1 F3 4FR 5t4t 4 1n 2m 2m 0
  4. 4. 4 CONDIÇÕES DE EQUILIBRIO : ∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ⇒ ∑F = 0 ∑M = 0 Todos estes conceitos apresentados acima, já devem ser do conhecimento da maioria dos alunos que já os viram em Física ou Matemática, porém os que se apresentam a seguir, já são de um conhecimento mais restrito à área técnica e portanto devemos nos ater mais a eles, pois se tratam de conceitos novos e com os quais os alunos devem já ir se habituando. Vejamos então alguns deles: BARRA : Elemento da estrutura que transmite apenas esforços de tração e compressão. CHAPA : Elemento que serve para transmitir todos os esforços existentes nas estruturas. NÓ : É uma articulação através da qual , unem-se duas ou mais barras pela extremidade. VÍNCULO : Apoios e articulações pelos quais são unidas as chapas entre si ou com a chapa terra Veremos no transcorrer do curso que barras e chapas são desenhadas de maneiras distintas. Porém os nós e os vínculos recebem a mesma representação, devendo ficar bem claro que a diferença é o fato de uma une peças sujeitas somente esforços de tração e compressão e a outra peças sujeitas a todos os tipos de esforços que ocorram na estrutura. Com a utilização das peças descritas acima, poderemos representar através de um desenho, qualquer tipo de estrutura, devendo porém tomar cuidado de utilizar as representação específica para cada caso. Vejamos então a representação das ligações das estruturas com o solo (chapa terra ), que por ligarem chapas denominam-se VINCULOS . VINCULAÇÃO DAS ESTRUTURAS: 1. APOIO MÓVEL 2. APOIO FIXO. 0 X Y F2 3F F4 1F R OU OU R R OU
  5. 5. 5 3. ENGASTE: Vejamos como funciona : Exemplo : Calcule os valores das rações de apoio. 1) 2) 3) Ficando claro como as estruturas se ligam e como ocorrem as ligações entre elas , deveremos estudar agora quais os efeitos que as cargas externas provocam internamente nas estruturas e para isso vamos estudar os esforços solicitantes, que são o resultado interno das cargas externas. ESFORÇOS SOLICITANTES Suponhamos, uma viga (chapa ) sujeita a varias cargas e suportada por dois apoios, um fixo e outro móvel como no desenho abaixo. M H P 3tf 3m 2m PnP4P32PP1 R 3 1R 2R 3tf 3tf 3tf 2m2m2m2m 2m 2m 424tf 45°
  6. 6. 6 Se no traço indicado, seccionarmos a peça, ela evidentemente cairá, o que não ocorria antes do seccionamento, indicando ocorrerem ali esforços que não permitiam a separação da mesmas. Estes esforços, denominam-se ESFORÇOS SOLICITANTES e representam aqueles esforços que ocorrem internamente às peças e são devidos à interação entre as partículas dos materiais que a compõe; interação esta que não permite a separação das partes sem que haja sobre elas um força de elevado valor. Na realidade, ocorrem ali, esforços atuando em todas as direções e que devem ser agrupados segundo algum critério para facilitar o nosso entendimento. Assim, agrupou-se estes esforços em várias categorias , associando-se a elas um tipo de carga específico, como vemos abaixo. FORÇA NORMAL : N é a resultante das forças horizontais que atuam na secção. FORÇA CORTANTE : Q é a resultante das forças verticais que atuam na secção. MOMENTO FLETOR : Mf ou M é a resultante dos momentos fletores atuando na secção MOMENTO TORÇOR: Mt é a resultante dos momentos torçores que atuam na secção. SIMPLIFICAÇÃO NO CASO PLANO: Com a finalidade de facilitar nosso trabalho, vamos agrupar as cargas, conforme o plano em que atuam e estudá-las . Verificamos que os esforços Mf, Q e N atuam no plano de cargas ( do papel ) e Mt no plano perpendicular a ele. Estudaremos inicialmente os três primeiros e oportunamente Mt. Deveremos ainda separá-las conforme os tipos de apoios, vejamos portanto a CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS: Para a equação B = 3C + 2N onde B - no. de barras da estrutura C - no. de chapas da estrutura N - no. de nós da estrutura. Quando ocorrer: B < 3C + 2N ⇒ Estrutura Hipostática B = 3C + 2N ⇒ Estrutura Isostática B > 3C + 2N ⇒ Estrutura Hiperestática ESTRUTURA HIPOSTÁTICA: Quando o numero de reações de apoio é menor que o número de equações de equilíbrio R3 1R P1 4PP2P 3 2R Pn N Q Mt Mt F 1 2 F R1 R1
  7. 7. 7 ESTRUTURA ISOSTÁTICA : Quando o número de reações de apoio é igual que o número de equações. ESTRUTURA HIPERESTÁTICA : Quando o número de reações de apoio e maior que o numero de equações( este caso será estudado em Estática) Trabalharemos, por enquanto, somente com problemas isostáticos, veremos os casos hiperestáticos oportunamente. Para a resolução das equações, deveremos seguir os seguintes passos: 1. Identificar os tipos de vínculos; 2. Isolar o sistema, locando forças e reações; 3. Escrever e montar as equações de equilíbrio estático da estrutura; 4. Efetuar os cálculos; 5. Substituir os valores numéricos das equações; 6. Efetuar a verificação dos cálculos; 7. Desenhar os diagramas. Vejamos como se escrevem as equações que serão utilizadas para o desenho dos diagramas. FORÇA CORTANTE E MOMENTO - EQUAÇÕES A viga está em equilíbrio sob a ação de P1 e P2 e das reações de apoio R1 e R2. Seccionando-se a viga em a-a, distante x de R1 deveremos introduzir Q e M para que haja equilíbrio. Assim: 1R 4R2R R 3 a P1 x R1 Q MM 1R L-x P2 b 1 R R 2 2 F 1 F 2 F 3 R R21R X P2 P1 Y a a a c x L 3R
  8. 8. 8 MOMENTO FLETOR (M): O momento M da figura é chamado Momento Fletor da secção a-a, (seu valor é obtido com a utilização da equação da estática M=0). O seu valor é produzido por todos os esforços que atuam na parte da viga, que se conservou em equilírio, depois que se abandonou a outra parte e que produzem momento em a-a . Deve-se sempre considerar apenas uma parte da viga , à esquerda ou à direita do ponto para o qual se deseja o valor de M. Neste caso o momento é calculado: Mc= R1.x – P1.(x-a) ou Mc= R2.(1-x) – P2.[(1-x) – b] CONVENÇÃO DE SINAIS: M > 0 tração nas fibras inferiores. M < 0 tração nas fibras superiores. FORÇA CORTANTE ( Q ): A força cortante Q é chamada Força Cortante da secção a-a ( seu valor é obtido com a utilização da equação da estática Fv = 0). O seu valor é obtido com a somatória de todas as componentes verticais que atuam à esquerda ou à direita de a-a . Aqui, também deveremos considerar apenas uma parte da viga, à esquerda ou à direita do ponto para o qual se deseja o valor de Q. Fv = 0 -Q + R1 – P1 = 0 Q = R1 – P1 CONVENÇÃO DE SINAIS: Exercícios: Escrever as equações para : ( desprezar o peso próprio) 1) 2) 3) Vamos ver as aplicações práticas. Traçar os diagramas de M, N e Q. para: 1) 2) 3) + _ X L q X P 1 2 X 3tf 3m 2m 424tf 45° 3tf 3tf 3tf 2m2m2m2m 2 m 2 m
  9. 9. 9 FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR - RELAÇÕES DIFERENCIAIS Quando vamos representar os diagramas, é usual que apareçam cargas distribuídas, devendo-se então lançar mão das relações diferenciais para que se entenda o procedimento. Equilibrando-se o elemento vem: ∑Fv = 0 Q – ( Q+ dQ) – pdx = 0. E daí - dQ – pdx = 0 de onde vem p = -dQ_ I dx ∑Mx = 0 M – ( M + dM ) + pdx . dx + ( Q + dQ).dx 0 2 0 M – M – dM + pdx2 + Qdx + dQdx Q = dM II 2 dx Derivando-se II em relação a x teremos : d2 M = dQ = -p d2 M = -p dx dx dx Obs.: Quando M é máx. ⇒ dM = 0 ⇒ Q=0. dx MOMENTO ESTÁTICO Momento estático: O momento estático de um elemento de área em relação a um eixo, situado no mesmo plano que a superfície considerada, é o produto da área do elemento pela sua distância ao eixo considerado. dMx = ydS dMy = xdS Momento estático: O momento estático de uma superfície de área em relação a um eixo, situado no mesmo plano que a superfície considerada, é a integral dos momentos estáticos de todos os elementos de uperfície finita. Mx = ∫dMx = y.dS My = ∫d My = xdS dx X dxX L pdx Q M X X Q+dQ M+dM Y X Y X0 0 X Y X Y
  10. 10. 10 CENTRO DE GRAVIDADE DE UMA SUPERFICIE PLANA Mx = y.S ⇒ y = Mx = 1 . ∫yds S S Exemplos : 1) Calcular a posição do C.G. 2) 3) 4) 5) 3 0 5 5 2 5 5 3 4 6 5 5 1 0 6 1 2 2 6 2 5 0 555 4 5 5 5 5 2 0 5 5 3 0 5 5 5 3 0 1 5 5 1 7

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