Pirâmides

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Aula teórica de pirâmides.

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Pirâmides

  1. 1. PIRÂMIDESDefinição Uma pirâmide é todo poliedro formado poruma face inferior e um vértice que une todasas faces laterais. As faces laterais de umapirâmide são regiões triangulares, e o vérticeque une todas as faces laterais é chamado devértice da pirâmide.
  2. 2. EXEMPLOS DE PIRÂMIDE
  3. 3. Nomenclatura: de acordo com o número dearestas da base nomeamos uma pirâmide comosegue: Base Nº de Arestas Nomenclatura Triângulo 3 Triangular Quadrilátero 4 Quadrangular Pentágono 5 Pentagonal Hexágono 6 Hexagonal
  4. 4. Pirâmide Triangular Pirâmide Quadrangular Pirâmide Hexagonal Pirâmide Pentagonal
  5. 5. ALTURA DA PIRÂMIDEA altura da pirâmide é a menor distância do vérticeao plano da base.
  6. 6. PIRÂMIDE RETA Quando a pirâmide é reta, a altura une o vértice ao centro da base.OBS:caso a altura não seja ortogonal pelo centro da base,dizemos que a pirâmide é oblíqua.
  7. 7. PIRÂMIDE REGULARDefiniçãoPirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular.OBS: numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
  8. 8. APÓTEMA DA PIRÂMIDEDefiniçãoDenominamos apótema de uma pirâmide regular, a altura do triângulo isósceles da face lateral.
  9. 9. EXEMPLO:
  10. 10. Relação entre a altura da prâmide (h), oapótema da base ab e o apótema dapirâmide a p . 2 2 2 ap ab h
  11. 11. Exemplo:1) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Calcule seu o aótema da base e do apótema da pirâmide. ab = 3 2 2 2 ap ab h 2 2 g 3 4 9 16 5m
  12. 12. ÁREAA área total AT de uma pirâmide é a soma da área da superfície lateral AS L com a área da base AB . AT ASL AB
  13. 13. VOLUMEO volume de uma pirâmide é sempre oproduto da área da base vezes a altura,dividido por três. AB . h V 3
  14. 14. EXEMPLOS2)Uma pirâmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Calcule seu volume e a área total. Solução. Observando os elementos na figura, temos: i) Volume: 2 AB .h 6 .4 (36).4 3 V pirâmide (12).(4) 48m 3 3 3 ii) Área total: g 32 42 9 16 5m AB (6)2 36m2 (6).(5) At Ab Al 36 60 96m2 AS L 4. 4 15 60m2 2
  15. 15. 3) Calcular a área da base, área lateral, área total e o volume da pirâmide quadrangular regular de apótema 5cm e apótema da base 2cm. Solução. Se o apótema da base mede 2cm, então a aresta da base mede 4cm. Observando os elementos na figura, temos: i) Áreas:h 52 22 21cm AB (4)2 16cm2 (4).(5) AT AB AS L 16 40 56cm2 AS L 4. 4 10 40cm2 2 ii) Volume: AB .h 16 .( 21) 16 21 V cm3 3 3 3
  16. 16. 4) Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular de área da base 288 3 m2 e apótema 13m. Solução. A área da base é o sêxtuplo da área de um triângulo equilátero com lado de mesma medida da aresta do hexágono. Temos: l2 3 Ab 6. l2 3 (4).( 288 ) 4 6. 288 3 l2 l 192 8 3m 4 6 Ab 288 3 O apótema do hexágono é a altura do triângulo equilátero. A altura da pirâmide é calculada com a relação de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa 13m. l 3 8 3 3 (8)(3)ap 12 m Ab .h 288 3 .(5) 2 2 2 V 96 3 .(5) 480 3m 3 3 3h 13 2 12 2 169 144 25 5m
  17. 17. TRONCO DE PIRÂMIDE
  18. 18. VOLUME DO TRONCOSendo V o volume da pirâmide maior e v ovolume da pirâmide menor temos: VTR V v
  19. 19. Relação entre o volume da pirâmide maior V e o volume da pirâmide menor v. 3 3 3 V H aB aP v h ab apaB - Apótema da base da pirâmide maior aP - Apótema da pirâmide maiorab - Apótema da base da pirâmide menor a p - Apótema da pirâmide maior

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