Máquinas de turing com memória limitada

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Apresentação nos seminários de teoria da computação

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Máquinas de turing com memória limitada

  1. 1. Redução via Histórias de Computação em Máquinas de Turing com memória limitada Pós Graduação em Ciência da ComputaçãoPós Graduação em Ciência da Computação Aluno: Carlos Eduardo DantasAluno: Carlos Eduardo Dantas
  2. 2. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada ObjetivosObjetivos • Apresentar as reduções por histórias de computação e as Máquinas de Turing com memória limitada; • Provar que o problema Accept é decidível para este tipo de máquina; • Provar via redução por histórias de computação que o problema Empty é indecidível para este tipo de máquina.
  3. 3. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Revisão - redutibilidadeRevisão - redutibilidade • Uma redução é uma maneira de converter um problema em outro, onde a solução para o segundo problema seja usada para resolver o primeiro. • A ≤ B ( A se reduz a B) • Resolver A não pode ser mais difícil que resolver B • Se B for decidível, A também será. • Se A for indecidível, B também será
  4. 4. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Redução via Histórias deRedução via Histórias de ComputaçãoComputação • O método da história de computação é uma técnica para provar que ATM é redutível a certas linguagens; • Esse método é útil quando o problema a ser mostrado como indecidível envolve testar a existência de algo; • Por exemplo, a indecidibilidade do 10º problema de Hilbert: testar a existência de raízes inteiras em um polinômio.
  5. 5. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Redução via Histórias deRedução via Histórias de ComputaçãoComputação • A história de computação para uma MT sobre uma entrada é a seqüência de configurações pelas quais MT passa a medida em que ela processa a entrada; • Uma configuração é como uma fotografia instantânea no meio de sua computação; • Uma configuração é constituída do estado do controle, posição da cabeça e conteúdo da fita.
  6. 6. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Redução via Histórias deRedução via Histórias de Computação - DefiniçãoComputação - Definição • Seja M uma MT e w uma cadeia de entrada. • Uma história de computação de aceitação para M sobre w é uma seqüência de configurações, C1, C2,...,Cn, onde: • C1 é a configuração inicial de M sobre w, • Cn é uma configuração de aceitação de M, e • Cada Ci segue de Ci-1 conforme as regras de M. • Uma história de computação de rejeição para M sobre w é definida similarmente, exceto que Cn é de rejeição.
  7. 7. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Redução via Histórias deRedução via Histórias de Computação - DefiniçãoComputação - Definição • Histórias de computação são seqüências finitas. • Se M não pára sobre w, nenhuma história de computação de aceitação ou de rejeição existe para M sobre w. • MTs determinísticas têm no máximo uma história de computação sobre qualquer entrada; • Provas de indecidibilidade usando o método de história de computação podem ser usadas em máquinas de turing com memória limitada.
  8. 8. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Máquinas de Turing comMáquinas de Turing com memória limitadamemória limitada • Também são chamados de Autômato Linearmente Limitado (ALL); • Tipo restrito de Máquina de Turing na qual à cabeça de leitura-escrita não é permitido mover-se para fora da parte da fita contendo a entrada.
  9. 9. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Definição formalDefinição formal • = Conjunto de estados; • = alfabeto de entrada; • = alfabeto da fita, onde {<,>} E ; • = função de transição; • = estado inicial; • = estado de aceitação; • = estado de rejeição, onde t != r.
  10. 10. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada RestriçõesRestrições • A Máquina M não pode modificar os caracteres {<,>} por nenhum outro, nem mover a fita para fora das extremidades {<,>}; • Resolve apenas problemas que requerem memória que possa caber dentro da fita usada para a entrada; • Para uma entrada de comprimento n, a quantidade de memória disponível é linear em n.
  11. 11. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Poder computacionalPoder computacional • Os decisores para AAFD,AGLC,EAFD e EGLC são todos ALLs; • Toda LLC pode ser decidida por um ALL.
  12. 12. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada O problemaO problema AALL • AALL= {<M,w>| M é um ALL que aceita a cadeia w}; • Observa-se que a descrição é semelhante ao AMT; • Com o método da diagonalização, foi provado que AMTé indecidível; • Será provado que AALLé decidível.
  13. 13. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada LemaLema • Seja M um ALL com q estados e g símbolos no alfabeto de fita. Existem exatamente qngn configurações distintas de M para uma fita de comprimento n. • M tem q estados; • O comprimento de sua fita é n; • A cabeça pode estar em uma das n posições, e gn cadeias possíveis de símbolos de fita aparecem sobre a fita.
  14. 14. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada LemaLema • Ex: Seja M um ALL com q = 3 estados, g = 4 símbolos no alfabeto, e uma fita de entrada com comprimento n = 5, temos 15360 possíveis configurações distintas para a máquina M.
  15. 15. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Teorema:Teorema: AALL é decidívelé decidível • Como M é um ALL, a quantidade de fita é limitada, logo a repetição de uma configuração continuamente caracteriza um loop.
  16. 16. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Teorema:Teorema: AALL é decidívelé decidível • Prova: o algoritmo que decide AALL é como segue: • L = “Sobre a entrada <M,w>, onde M é um ALL e w é uma cadeia: 1. Simule M sobre w por passos ou até que ela pare; 2. Se M parou, aceite se ela aceitou e rejeite se ela rejeitou. Se ela não parou, rejeite”.
  17. 17. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Exemplo 1Exemplo 1 • = {q0,q1,qa,qr} • = {0} • = {0,<,>} • = • = q0 • = qa • = qr (q0,<) (q0,<,R) (q0,>) (qr,>,L) (q0,0) (q1,0,R) (q1,>) (qa,>,L) (q1,0) (q0,0,R)
  18. 18. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Exemplo 1Exemplo 1 • Segue a execução da máquina sobre a entrada w = 000. Segue o histórico de computação: • Para o input 000, = 4x3x33 = 324, logo, com 6 movimentos, a máquina parou antes do limite de passos, aceitando. q0<000> <qo000> <0q100> <00qo0> <000q1> <00qa0>
  19. 19. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Exemplo 2Exemplo 2 • = {q0,q1,qa,qr} • = {0} • = {0,<,>} • = • = q0 • = qa • = qr (q0,<) (q0,<,R) (q0,>) (qr,>,L) (q0,0) (q1,0,R) (q1,>) (q1,>,L) (q1,0) (q0,0,R)
  20. 20. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Exemplo 2Exemplo 2 • Segue a execução da máquina sobre a entrada w = 000. Segue o histórico de computação: • Para o input 000, = 4x3x33 = 324, logo, com 324 movimentos, a máquina parou no limite de passos, caracterizando um loop. q0<000> <0q10>> <qo000> <q10>>> <0q100> <q1>>>> <00qo0> <q1>>>> <000q1> <q1>>>> <00q10> <q1>>>>...
  21. 21. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Teorema: ETeorema: EALLALL é indecidívelé indecidível • Se AALL é decidível, como provar que EALL é indecidível? • EALL = {<M>|M é um ALL onde L(M) = empty}; • Deverá ser feita uma redução de ATM para EALL , contudo utilizando um método diferente, denominado de redução por história de computação.
  22. 22. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Teorema: ETeorema: EALLALL é indecidívelé indecidível • IDÉIA DA PROVA: Essa prova é por redução a partir de ATM. Se EALL fosse decidível, ATM também seria. • Suponha que EALL seja decidível. • Para uma MT M e uma entrada w podemos determinar se M aceita w construindo um certo ALL B e então testando se L(B) é vazia. • A linguagem que B reconhece compreende todas as histórias de computação de aceitação para M sobre w.
  23. 23. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Teorema: ETeorema: EALLALL é indecidívelé indecidível • Se M aceita w, L(B) contém uma cadeia e, portanto, é não vazia. Se M não aceita w, L(B) é vazia; • A construção de B se caracteriza por uma única cadeia, com as configurações separadas pelo símbolo #.
  24. 24. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Teorema: ETeorema: EALLALL é indecidívelé indecidível • Quando ALL B receber uma entrada x, B quebra x em cadeias C1#C2#...#Cn, e determina se Ci satisfaz as três condições de uma história de computação de aceitação: 1 - C1 é a configuração inicial para M sobre w. 2 - Cada Ci+1 segue ligitimamente de Ci. 3 - Cn é uma configuração de aceitação para M.
  25. 25. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada Teorema: ETeorema: EALLALL é indecidívelé indecidível • Com ALL B decidindo, é possível decidir ATM, pela redução abaixo, obtendo uma contradição: • MT R decide EALL. MT S decide AMT S = “Sobre a entrada <M,w>, onde M é uma MT e w, uma cadeia: 1 - Construa o ALL B a partir de M e w. 2 - Rode R sobre a entrada <B> 3 - Se R rejeita, aceite; se R aceita, rejeite.”
  26. 26. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada ConclusõesConclusões • Máquinas de Turing com memória limitada são poderosas como reconhecedores e o problema Accept pode ser decidível a partir destas; • Outros problemas como o Empty permanecem indecidíveis mesmo neste tipo de máquina, com memória limitada.
  27. 27. Máquinas de Turing com Memória LimitadaMáquinas de Turing com Memória Limitada ReferênciasReferências • [1] Sipser, Michael. Introdução à teoria da computação / Michael Sipser.Thomsom Learning, 2007; • [2] Martin, John . "Introduction to Languages and the Theory of Computation " , Tata McGraw-Hill, Third Edition; • [3] http://www.cs.uky.edu/~lewis/texts/theory/autom • [4] http://www.fit.vutbr.cz/~janousek/vyuka/vsl2/ne

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