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Função afim 2013-2014
Exemplo:
A empresa “Limpopó” aluga máquinas para a limpeza de alcatifas. O aluguer de
cada máquina tem um preço, por hora, de 4€, acrescido de uma taxa fixa de 3€
, isto é, a partir do momento em que a pessoa aluga a máquina tem de pagar 3€.
Função: y = kx + b
1

Tempo
Preço

2

7
4+3
4 1+3
k

x

4

11
8+3
4

3
15
12 + 3
4 3+3

19
16 + 3
4 4+3

2+3

5

6

23
27
24 + 3
20 + 3
4 5+3 4 6+3

b

Em todos os casos, a primeira parcela varia com o tempo e a segunda é fixa (3€).
Qual é a expressão algébrica desta função?
f ( x)
Declive da reta

4x

3

ou

f ( x)

3 4x

Ordenada na origem

Uma função cuja expressão algébrica é do tipo y =kx +b (em que k e b são
números quaisquer) designa-se por função afim.
Representação gráfica:
Para representar graficamente, marca-se os pontos dados na tabela num referencial.

y = 4x + 3
1

2

3

4

5

6

Custo
c
(euros)

Custo (euros)

Tempo
t
(horas)

7

11

15

19

23

27

Tempo (horas)

A reta intersecta o eixo vertical (eixo OY) no ponto de coordenadas (0,3) e não
na origem do referencial.
Exemplo:
Considera as seguintes funções do tipo y = kx + b.
h(x) = 2x , i (x) = 2x + 3, j(x) = 2x - 5
- Num mesmo referencial, representa graficamente
as três funções.
- Qual é a posição relativa das retas que
representam as funções?
- Indica as coordenadas dos pontos de interseção
de cada uma das retas com o eixo das
ordenadas.

Conclusão:
- Funções afins cujas expressões algébricas tenham o mesmo declive são

representadas graficamente por retas paralelas.
Exemplo:

Conclusão:
- O gráfico de uma função afim y = kx + b é uma reta cuja representação gráfica
pode ser obtida a partir da deslocação da representação gráfica de y = kx
paralelamente a si própria para cima ou para baixo dependendo do sinal de b.
Qual é a influência da variação do parâmetros k e b na reta que
representa a função afim y=kx +b.

Parâmetro k : declive da reta
Nota:
- Qualquer ponto do eixo Ox (eixo das abcissas) tem ordenada zero.
Logo, as coordenadas são do tipo (x,0).

- Qualquer ponto do eixo Oy (eixo das ordenadas) tem abcissa zero.

Logo, as coordenadas são do tipo (0,y).
Exemplo:
Considera as seguintes funções do tipo y = kx + b.
h(x) = x + 3 , i(x) = -3x + 3, j(x) = 2x + 3
- Num mesmo referencial, representa graficamente
as três funções.
- Qual é a posição relativa das retas que
representam as funções?
- Indica as coordenadas dos pontos de interseção
de cada uma das retas com o eixo das ordenadas.

Conclusão:
As funções afins, y = kx + b, com a mesma ordenada na origem correspondem a
retas que têm um ponto comum: o ponto de coordenadas (0,b).
Qual é a influência da variação do parâmetros k e b na reta que
representa a função afim y=kx +b.

Parâmetro b : ordenada na origem
- O parâmetro b na expressão y = kx + b chama- se ordenada na origem e é a
ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas.

- O gráfico da função y =kx + b é uma reta que interseta o eixo das ordenadas
no ponto de coordenadas ( 0, b).
Função: y = kx + b
f(x) = 2x
f(x) = 2x – 1
f(x) = 2x + 2

As funções:

f(x) = 2x
f(x) = 2x + 2
f(x) = 2x – 1
são crescentes porque k= 2,
isto é, o declive é maior
que zero ( k 0).
As retas são paralelas
porque têm o mesmo
declive (k).
Função: y = kx + b
f(x) = 2x
f(x) = 2x – 1

A função:
f(x) = 2x
tem por gráfico uma reta que
passa pela origem, logo é de
proporcionalidade direta.

f(x) = 2x + 2
As funções:
f(x) = 2x + 2
f(x) = 2x – 1
têm por gráfico uma reta que
não passa pela origem, logo
não são de proporcionalidade
direta.
Função: y = kx + b
f(x) = 2x
Para passar da função:
f(x) = 2x
para a função:

f(x) = 2x + 2

f(x) = 2x + 2
basta deslocar o gráfico da
função:
f(x) = 2x
paralelamente
a
si
próprio, até ao ponto de
coordenadas (0,2).
Função: y = kx + b
f(x) = 2x
Para passar da função:

f(x) = 2x – 1

f(x) = 2x
para a função:
f(x) = 2x -1
basta deslocar o gráfico da
função:
f(x) = 2x
paralelamente
a
si
próprio, até ao ponto de
coordenadas (0,-1).
Função: y = kx + b

f(x) = 2x + 2

A reta que define a
função:
f(x) = 2x + 2
intersecta o eixo das
ordenadas
(eixo
vertical) no ponto de
coordenadas (0,2), 2 é
a ordenada na origem.
Função: y = kx + b
f(x) = 2x – 1

A recta que define a
função:
f(x) = 2x - 1
intersecta o eixo das
ordenadas
(eixo
vertical) no ponto de
coordenadas (0,-1), -1
é a ordenada na
origem.
Função: y = kx + b
As funções:
f(x) = -0,5x
f(x) = -0,5x + 3
f(x) = -0,5x

f(x) = -0,5x – 2

f(x) = -0,5x + 3
f(x) = -0,5x – 2
são decrescentes porque
k=-0,5, isto é, o declive
é menor que zero (k 0).
As retas são paralelas
porque têm o mesmo
declive (k).
Função: y = kx + b
A função:
f(x) = -0,5x

f(x) = -0,5x

f(x) = -0,5x +
3

tem por gráfico uma reta que
passa pela origem, logo é de
proporcionalidade direta.

As funções:
f(x) = -0,5x + 3

f(x) = -0,5x – 2

f(x) = -0,5x – 2
têm por gráfico uma reta que
não passa pela origem, logo
não são de proporcionalidade
direta.
Função: y = kx + b
Para passar da função:
f(x) = -0,5x

f(x) = -0,5x + 3
f(x) = -0,5x

para a função:
f(x) = -0,5x + 3
basta deslocar o gráfico da
função:
f(x) = -0,5x
paralelamente
a
si
próprio, até ao ponto de
coordenadas (0,3).
Função: y = kx + b
Para passar da função:
f(x) = -0,5x
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f(x) = -0,5x

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f(x) = -0,5x + 3

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intersecta o eixo das
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função:

f(x) = -0,5x - 2

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intersecta o eixo das
ordenadas
(eixo
vertical) no ponto de
coordenadas (0,-2) e
-2 é a ordenada na
origem.
Gráficos das funções do tipo y = kx+b
- A representação gráfica duma função do tipo y = kx + b, com k e b constantes,
é uma reta que interseta o eixo das ordenadas em (0,b) e é paralela à reta que
representa a função y = kx.
- O gráfico da função y=kx+b sofre um deslocamento de b unidades, no eixo das
ordenadas, relativamente ao gráfico de y=kx, a função de proporcionalidade
direta.
Determinação do declive de uma reta
Função constante
Uma função definida por uma expressão algébrica do tipo
y= b, sendo b uma constante, é uma função constante.
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela
ao eixo das abcissas que corta o eixo das ordenadas no
ponto (0, b).

Exemplo:
Nota:

- Uma função do tipo y = b, chama-se função constante porque qualquer que
seja o objeto, a sua imagem é sempre a mesma.

- Numa reta horizontal, que corresponde a uma função constante (y=b), o
declive é zero.
Casos particulares da função afim
- Todas as funções lineares (do tipo y = kx) são funções afins, em que b = 0.

Representa uma situação de proporcionalidade direta e tem por gráfico uma reta
que contém a origem do referencial.
- Todas as funções constantes (do tipo y = b) são funções afins, em que k = 0,
cujo gráfico é uma reta horizontal que contém o ponto (0,b).

-

O gráfico de uma função afim não linear e não constante é uma reta que não
passa pela origem do referencial e não é horizontal.

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Função afim 2013-2014

  • 2. Exemplo: A empresa “Limpopó” aluga máquinas para a limpeza de alcatifas. O aluguer de cada máquina tem um preço, por hora, de 4€, acrescido de uma taxa fixa de 3€ , isto é, a partir do momento em que a pessoa aluga a máquina tem de pagar 3€.
  • 3. Função: y = kx + b 1 Tempo Preço 2 7 4+3 4 1+3 k x 4 11 8+3 4 3 15 12 + 3 4 3+3 19 16 + 3 4 4+3 2+3 5 6 23 27 24 + 3 20 + 3 4 5+3 4 6+3 b Em todos os casos, a primeira parcela varia com o tempo e a segunda é fixa (3€).
  • 4. Qual é a expressão algébrica desta função? f ( x) Declive da reta 4x 3 ou f ( x) 3 4x Ordenada na origem Uma função cuja expressão algébrica é do tipo y =kx +b (em que k e b são números quaisquer) designa-se por função afim.
  • 5. Representação gráfica: Para representar graficamente, marca-se os pontos dados na tabela num referencial. y = 4x + 3 1 2 3 4 5 6 Custo c (euros) Custo (euros) Tempo t (horas) 7 11 15 19 23 27 Tempo (horas) A reta intersecta o eixo vertical (eixo OY) no ponto de coordenadas (0,3) e não na origem do referencial.
  • 6. Exemplo: Considera as seguintes funções do tipo y = kx + b. h(x) = 2x , i (x) = 2x + 3, j(x) = 2x - 5 - Num mesmo referencial, representa graficamente as três funções. - Qual é a posição relativa das retas que representam as funções? - Indica as coordenadas dos pontos de interseção de cada uma das retas com o eixo das ordenadas. Conclusão: - Funções afins cujas expressões algébricas tenham o mesmo declive são representadas graficamente por retas paralelas.
  • 7. Exemplo: Conclusão: - O gráfico de uma função afim y = kx + b é uma reta cuja representação gráfica pode ser obtida a partir da deslocação da representação gráfica de y = kx paralelamente a si própria para cima ou para baixo dependendo do sinal de b.
  • 8. Qual é a influência da variação do parâmetros k e b na reta que representa a função afim y=kx +b. Parâmetro k : declive da reta
  • 9. Nota: - Qualquer ponto do eixo Ox (eixo das abcissas) tem ordenada zero. Logo, as coordenadas são do tipo (x,0). - Qualquer ponto do eixo Oy (eixo das ordenadas) tem abcissa zero. Logo, as coordenadas são do tipo (0,y).
  • 10. Exemplo: Considera as seguintes funções do tipo y = kx + b. h(x) = x + 3 , i(x) = -3x + 3, j(x) = 2x + 3 - Num mesmo referencial, representa graficamente as três funções. - Qual é a posição relativa das retas que representam as funções? - Indica as coordenadas dos pontos de interseção de cada uma das retas com o eixo das ordenadas. Conclusão: As funções afins, y = kx + b, com a mesma ordenada na origem correspondem a retas que têm um ponto comum: o ponto de coordenadas (0,b).
  • 11. Qual é a influência da variação do parâmetros k e b na reta que representa a função afim y=kx +b. Parâmetro b : ordenada na origem - O parâmetro b na expressão y = kx + b chama- se ordenada na origem e é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. - O gráfico da função y =kx + b é uma reta que interseta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas ( 0, b).
  • 12. Função: y = kx + b f(x) = 2x f(x) = 2x – 1 f(x) = 2x + 2 As funções: f(x) = 2x f(x) = 2x + 2 f(x) = 2x – 1 são crescentes porque k= 2, isto é, o declive é maior que zero ( k 0). As retas são paralelas porque têm o mesmo declive (k).
  • 13. Função: y = kx + b f(x) = 2x f(x) = 2x – 1 A função: f(x) = 2x tem por gráfico uma reta que passa pela origem, logo é de proporcionalidade direta. f(x) = 2x + 2 As funções: f(x) = 2x + 2 f(x) = 2x – 1 têm por gráfico uma reta que não passa pela origem, logo não são de proporcionalidade direta.
  • 14. Função: y = kx + b f(x) = 2x Para passar da função: f(x) = 2x para a função: f(x) = 2x + 2 f(x) = 2x + 2 basta deslocar o gráfico da função: f(x) = 2x paralelamente a si próprio, até ao ponto de coordenadas (0,2).
  • 15. Função: y = kx + b f(x) = 2x Para passar da função: f(x) = 2x – 1 f(x) = 2x para a função: f(x) = 2x -1 basta deslocar o gráfico da função: f(x) = 2x paralelamente a si próprio, até ao ponto de coordenadas (0,-1).
  • 16. Função: y = kx + b f(x) = 2x + 2 A reta que define a função: f(x) = 2x + 2 intersecta o eixo das ordenadas (eixo vertical) no ponto de coordenadas (0,2), 2 é a ordenada na origem.
  • 17. Função: y = kx + b f(x) = 2x – 1 A recta que define a função: f(x) = 2x - 1 intersecta o eixo das ordenadas (eixo vertical) no ponto de coordenadas (0,-1), -1 é a ordenada na origem.
  • 18. Função: y = kx + b As funções: f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x + 3 f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x – 2 f(x) = -0,5x + 3 f(x) = -0,5x – 2 são decrescentes porque k=-0,5, isto é, o declive é menor que zero (k 0). As retas são paralelas porque têm o mesmo declive (k).
  • 19. Função: y = kx + b A função: f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x + 3 tem por gráfico uma reta que passa pela origem, logo é de proporcionalidade direta. As funções: f(x) = -0,5x + 3 f(x) = -0,5x – 2 f(x) = -0,5x – 2 têm por gráfico uma reta que não passa pela origem, logo não são de proporcionalidade direta.
  • 20. Função: y = kx + b Para passar da função: f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x + 3 f(x) = -0,5x para a função: f(x) = -0,5x + 3 basta deslocar o gráfico da função: f(x) = -0,5x paralelamente a si próprio, até ao ponto de coordenadas (0,3).
  • 21. Função: y = kx + b Para passar da função: f(x) = -0,5x para a função: f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x - 2 basta deslocar o gráfico da função: f(x) = -0,5x – 2 f(x) = -0,5x paralelamente a si próprio, até ao ponto de coordenadas (0,-2).
  • 22. Função: y = kx + b A recta que define a função: f(x) = -0,5x + 3 f(x) = -0,5x + 3 intersecta o eixo das ordenadas (eixo vertical) no ponto de coordenadas (0,3), 3 é a ordenada na origem.
  • 23. Função: y = kx + b A reta que define a função: f(x) = -0,5x - 2 f(x) = -0,5x – 2 intersecta o eixo das ordenadas (eixo vertical) no ponto de coordenadas (0,-2) e -2 é a ordenada na origem.
  • 24. Gráficos das funções do tipo y = kx+b - A representação gráfica duma função do tipo y = kx + b, com k e b constantes, é uma reta que interseta o eixo das ordenadas em (0,b) e é paralela à reta que representa a função y = kx. - O gráfico da função y=kx+b sofre um deslocamento de b unidades, no eixo das ordenadas, relativamente ao gráfico de y=kx, a função de proporcionalidade direta.
  • 26. Função constante Uma função definida por uma expressão algébrica do tipo y= b, sendo b uma constante, é uma função constante. O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abcissas que corta o eixo das ordenadas no ponto (0, b). Exemplo:
  • 27. Nota: - Uma função do tipo y = b, chama-se função constante porque qualquer que seja o objeto, a sua imagem é sempre a mesma. - Numa reta horizontal, que corresponde a uma função constante (y=b), o declive é zero.
  • 28. Casos particulares da função afim - Todas as funções lineares (do tipo y = kx) são funções afins, em que b = 0. Representa uma situação de proporcionalidade direta e tem por gráfico uma reta que contém a origem do referencial. - Todas as funções constantes (do tipo y = b) são funções afins, em que k = 0, cujo gráfico é uma reta horizontal que contém o ponto (0,b). - O gráfico de uma função afim não linear e não constante é uma reta que não passa pela origem do referencial e não é horizontal.