1. Quarto Capítulo
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
Introdução
A distribuição de freqüências é um arranjo tabular dos diversos valores de uma variável em
grupos, classes, intervalos ou níveis com as respectivas informações de cada grupo.
Para a construção de uma distribuição de freqüência, devemos conceituar:
· Dados Brutos;
· Rol;
· Amplitude Total;
· Números de Classes (Sturges);
· Intervalos de Classes;
· Distribuição de Freqüências;
· Elementos de uma Distribuição de Freqüências;
· Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüências.
Dados brutos
São aqueles que não foram numericamente arranjados, isto é, são
aqueles que ainda não foram colocados em uma ordem de
grandeza.
Dado bruto é um conjunto desorganizado de observações, de
informações. É um conjunto não trabalhado. É um monte de
informações sem uma seqüência lógica.
Rol
É o arranjo dos dados brutos em uma ordem de grandeza
crescente ou decrescente. O rol é um conjunto de números
trabalhados, organizados ou lapidados.
Observe a aplicação conceitual abaixo:
Aplicação Conceitual 001

2. Em uma amostra de 10 funcionários da Empresa Slow Grill, em abril, encontramos os salários,
em reais:
600, 800, 1000, 1500, 1100, 1400, 1200, 900, 1100 e 700.
Observe que este conjunto numérico está desorganizado em função de uma ordem crescente
ou decrescente de grandeza. Colocando-o em uma ordem crescente de grandeza, teremos o
seu rol:
600, 700, 800, 900, 1000, 1100, 1100, 1200, 1400 e 1500.
Amplitude total
É a diferença entre os valores extremos de um
conjunto, definido em uma ordem de grandeza. A
diferença entre o maior e o menor valor de um
conjunto define a amplitude total ou o comprimento do
conjunto numérico.
AT = Vmáx - Vmin
A amplitude total é o primeiro passo para definir a sensibilidade de um conjunto, pois aquele
que apresentar a menor amplitude será um conjunto mais concentrado, mais homogêneo e
menor risco.
Aplicação Conceitual 002
Os salários de uma amostra de dez funcionários da Empresa Star Girl foram:
600, 700, 800, 900, 1000, 1.100, 1.100, 1.200, 1.400 e 1.500.
Qual é o valor da amplitude total?
A amplitude total será a diferença entre os valores extremos assumidos pela variável salários,
onde:
Valor máximo = 1500 Valor mínimo = 600
Logo: AT = Vmáx - Vmin AT = 1500 - 600 = 900.
Aplicação Conceitual 003
Sejam os valores da variável X:

3. 6, 10, 12, 14, 17, 20 e 24.
A amplitude total desta variável será:
AT = Vmáx - Vmin AT = 24 - 6 = 18.
Número de classes (Sturges)
Para determinar o número de classes, com as quais vamos
trabalhar, adotaremos o seguinte modelo:
K = 1 + 3,3 Log n
Onde o K representa o número de classes e o n é o tamanho
da população.
Usando Sturges por meio do logaritmo neperiano. Logo:
K = 1 + 3,3 Ln n / Ln 10 ou K = 1 + 1,43 Ln n.
O número de classes de uma distribuição não deve ser menor que 5 e nem maior que 12.
Intervalo de classes
O intervalo de classe, na medida do possível, deverá ser
regular, isto é, igual em todas as classes o que
facilitará os cálculos posteriores. O intervalo de cada classe
é a razão da progressão aritmética, sendo definido por:
h = AT / K
Aplicação Conceitual 005

4. Em uma amostra de 100 funcionários da Empresa Tecovan, com sede em Belo horizonte, em
fevereiro de 2.004, encontrou-se o menor salário de R$ 800,00 e o maior de R$ 2.400,00.
Calcule a amplitude total, o número de classes e o intervalo de classes.
A amplitude total dos salários desta população será de:
AT = Vmáx - Vmin AT = 2.400 - 800 = 1.600
O Número de classes ou o número de níveis salariais desta Empresa será de:
K = 1 + 3,3 Log n
Então: K = 1 + 3,3 Log 100 K= 1 + 3,3 x 2 = 7,6 K = 8
Ou K = 1 + 3,3 Ln 100 / Ln 10 O =7,6 K = 8
Ou K = 1 + 1,43 Ln 80 = 7,6 K = 8
O intervalo de cada grupo ou nível salarial será de h = AT / K = 1.600 / 8 h = 200
Os oito níveis salariais desta Empresa serão construídos através de uma progressão aritmética
cujo 1º termo será 800 e razão 200. Logo a progressão aritmética formada pelos intervalos
800, 1.000, 1.200, 1.400, 1.600, 1.800, 2.000, 2.200, 2.400 define os níveis salariais da
empresa.
Observe que o 1º nível salarial da Empresa será de 800 a 1.000; o 2º nível de 1.000 à 1.200; o
3º nível de 1.200 à 1.400; e assim sucessivamente, de tal forma que o último nível será de
2.200 à 2.400.
Aplicação Conceitual 006
Em fevereiro deste ano, realizamos uma
pesquisa sobre o tempo de serviço dos 100
funcionários da empresa Pacífico Sul e encontramos
um funcionário com o menor tempo de serviço de 16
meses e outro com o maior tempo de serviço da
empresa, tendo 64 meses de serviço prestados.

5. Calcule a amplitude total, o número de classes e o valor do intervalo de classes para uma
distribuição de freqüências.
Em primeiro lugar, calcularemos amplitude total:
AT = 64 - 16 = 48 meses
A seguir definir o número ideal de classes, segundo Sturges, sendo definido por:
K = 1 + 3,3 Log n K = 1 + 3,3 Log 100 = 1 + 3,3 ( 2 ) = 7,6 K = 8
Vamos trabalhar com 8 classes / grupos / níveis e o valor do intervalo de cada classe será:
h = AT / K h = 48 / 8 = 6
Definindo o número de níveis e o valor do intervalo, vamos construir uma distribuição de
freqüências através de uma progressão aritmética cujo 1º termo é 16, a razão é 6 e o último
termo será 64.
As classes serão de 16 a 22, de 22 a 28, de 28 a 34, de 34 a 40, de 40 a 46, de 46 a 52, de 52 a
58, de 58 a 64 meses. O intervalo de 16 a 22 representa a primeira classe do conjunto e o
intervalo de 58 a 64 representa a última classe.
Após definidos o número de níveis e o valor do intervalo, vamos construir uma distribuição de
freqüências através de uma progressão aritmética cujo 1º termo é 16, a razão é 6 e o último
termo será 64. As classes serão de 16 a 22, de 22 a 28, de 28 a 34, de 34 a 40, de 40 a 46, de
46 a 52, de 52 a 58, de 58 a 64 meses. O intervalo de 16 a 22 representa a primeira classe do
conjunto e o intervalo de 58 a 64 representa a última classe.
O próximo passo será o de identificar quantos funcionários a empresa terá com um tempo de
serviço dentro dos respectivos intervalos.
Se os valores extremos de uma variável fossem 16 meses e o maior 67 meses, a amplitude
seria de 51 meses e o número de classes continua sendo o mesmo 8 e o intervalo de seria de
51/8 = 6,375.
Com este intervalo de 6,375, a nossa progressão ficaria muito complicada, motivo pelo qual
arredondamos o valor do intervalo para 6 e as classes serão de 16 a 22, de 22 a 28, de 28 a 34,
de 34 a 40, de 40 a 46, de 46 a 52, de 52 a 58, de 58 a 64 meses; de 64 a 70.
Observe que criamos uma classe para registrar o valor 67. Nos casos de uma distribuição de
freqüências, sempre é bom trabalhar com valores que nos levam a um entendimento mais
simples, mais fácil e de melhor visualização. Para atingir a este
objetivo, podemos redimensionar a razão da progressão
aritmética, o menor ou o maior valor do conjunto.
Distribuição de Freqüências

6. A distribuição de freqüências visa representar um grande conjunto de informações, sem perder
as suas principais características. Após a coleta de dados, é necessário sumarizar, sintetizar,
representar, expor o fenômeno com a finalidade de se obter as suas características
quantitativas, visando à descrição numérica do fenômeno.
A idéia fundamental para sumarizar um conjunto de observações constitui na criação de
grupos, classes ou níveis, com intervalos, geralmente regulares, contendo todas as
observações. Os níveis, grupos, classes deverão ser mutuamente exclusivas e todos os valores
deverão ser enquadrados, nos respectivos intervalos. Podemos definir a distribuição de
freqüências como um arranjo tabular de um conjunto em grupos, classes ou níveis com as suas
respectivas freqüências que representam o número de observações pertencentes a cada classe.
A distribuição de freqüência é uma série cujos dados numéricos relativos a um fenômeno estão
reunidos em intervalos de valores iguais ou não. Geralmente as distribuições de freqüências
são definidas por meio de uma progressão aritmética, embora possa ser utilizada a progressão
geométrica para a sua construção. Na distribuição de freqüências, os dados estatísticos estão
dispostos ordenadamente em linhas e colunas, permitindo-se assim sua leitura no sentido
horizontal e vertical e o tempo, o local e a espécie do fenômeno não variam. Uma tabela de
freqüência é uma tabela onde se procura fazer corresponder os valores observados da variável
em estudo e as respectivas freqüências. Estas tabelas de freqüências podem representar tanto
valores
individuais quanto valores agrupados
Aplicação Conceitual 007
Abaixo, temos uma distribuição de freqüências, relativa aos salários de uma amostra
de 100 empregados da construção civil, em fevereiro de 2007, em reais, em Belo Horizonte,
MG.
Salários da Construção Civil Pesada
Fevereiro/2007 – Belo Horizonte – Em Reais
Nº classes Salários Números
1ª 400 a 450 4
2ª 450 a 500 10
3ª 500 a 550 18
4ª 550 a 600 25
5ª 600 a 650 20
6ª 650 a 700 13
7ª 700 a 750 7
8ª 750 a 800 3
Total 100
Fonte: DRH

7. Os salários do pessoal da construção civil, envolvendo pedreiros, pintores, serventes,
bombeiros e carpinteiros, numa amostra de 100 empregados, em fevereiro deste ano, foram
reunidos em 8 grupos salariais, com salários variando de R$ 400,00 à R$ 799,99. O primeiro
nível salarial ou a primeira classe ou intervalo de salários é formado por 4 empregados que
têm salários variando de R$ 400,00 à R$ 449,99. Observe que 25 funcionários têm salários de
R$ 550,00 à R$ 599,99 e 18 funcionários têm salários de R$ 500,00 a R$ 549,99.
Elementos de uma Distribuição de Freqüência
Elementos de uma Classe
As classes ou níveis de uma distribuição de freqüência são os intervalos de variação de uma
variável e os valores extremos de uma classe são denominados de limites de classe. Estes
valores são denominados de limites inferior (Li) e superior (l) da classe.
Amplitude total da classe é a diferença entre os valores extremos da classe e a da distribuição
de freqüências é a diferença entre os valores extremos de uma distribuição de freqüência, isto
é, a diferença entre o maior limite superior e o menor limite inferior.
O ponto médio é o principal representante de uma classe. Para obtê-lo, somam-se os limites da
classe, dividindo o resultado por dois, ou seja: xi = (Limite sup + Limite inf) / 2
Analisando a Aplicação Conceitual do item anterior, o ponto médio da 1ª classe, isto é, o salário
médio dos integrantes do 1º nível salarial será igual a:
xi = (Limite sup + Limite inf) / 2 (400 + 450) / 2 = 425
Distribuição de Freqüência Relativa
A freqüência relativa de uma classe é a freqüência simples dessa classe dividida pelo soma de
todas as freqüências simples, assim: fr% = fi / n
Pela Aplicação Conceitual anterior, a freqüência relativa da 4ª classe da tabela anterior é (25 /
100) = 0,25. Pode-se dizer que 25% dos funcionários têm salários que variam de R$ 550,00 à
R$ 599,99. A soma das freqüências relativas é igual a 1 ou 100%.
Distribuição de Freqüência Acumulada
A freqüência acumulada de uma classe é a soma das freqüências anteriores ou posteriores,
inclusive a freqüência da respectiva classe. As freqüências acumuladas poderão ser crescentes
ou decrescentes. A distribuição de freqüência acumulada crescente, (fac) é obtida repetindo a
freqüência simples da 1ª classe a partir daí somar sucessivamente as demais freqüências,
obtendo as freqüências acumuladas de cada classe. Exprime-se a freqüência acumulada
“crescente”, através do limite superior de uma classe.
A distribuição de freqüência acumulada decrescente, (fad) é obtida repetindo a freqüência
simples da última classe e a partir daí, somar, sucessivamente, as demais freqüências, obtendo
as freqüências acumuladas de cada classe.
Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüências
Uma distribuição de freqüência poderá ser representada por um histograma, um polígono de
freqüência ou pelas ogivas de Galton. Estes gráficos são gráficos de análise, portanto só devem
ser feitos quando a variável for contínua. Se estivermos trabalhando com uma distribuição de

8. freqüências, a variável desta distribuição poderá ser considerada contínua não importando se
na prática for discreta.
Histograma de Freqüência x Polígono de Freqüência
Histograma de Freqüência é um conjunto de colunas sucessivas, justapostas com intervalos
nulos entre elas, cujas bases são registradas no eixo das abscissas, por meio dos limites
inferiores de cada classe; a altura e a largura de cada coluna são proporcionais à freqüência e
amplitude de cada classe.
O histograma é um gráfico de colunas, mas nem todos os gráficos de colunas definem um
histograma, porque no histograma, registramos no eixo dos x o limite inferior de cada classe e
no gráfico de colunas, registramos as categorias da variável.
Polígono de Freqüência é um gráfico de linha, mas nem todos os gráficos de linha são
polígonos de freqüências. Neste gráfico associamos cada ponto médio à sua respectiva
freqüência. O ponto médio é registrado no eixo das abscissas e a respectiva freqüência
simples/relativa no das ordenadas. Os segmentos de reta que ligam tais pontos definem o
polígono de freqüências abaixo.
Salários dos Funcionários da Empresa Daves Keller
Março/2007 – BH – Em Reais
Ogivas de Galton
Para a construção das ogivas de Galton, registramos no eixo X os limites inferiores da
distribuição e, no eixo dos Y, as respectivas freqüências acumuladas simples ou relativas. A
primeira linha parte do ponto (0,0) e define o gráfico da freqüência acumulada crescente e a
segunda linha parte do ponto (0,50) e define o gráfico da freqüência acumulada decrescente. A
este conjunto de linhas, denomina-se ogivas de Galton.
Salários dos Funcionários da Empresa Daves Keller
Belo Horizonte, Março/2006 – Em Reais