18
1.1Viagens com
GPS
19
Conceitos-chave nesta secção:
OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
20
Ténis que dispõem de um r...
21
	 	 OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
1	 Qual das cidades a...
OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
22
O sistema GPS é um exempl...
23
	 	 OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
O uso do GPS alterou
...
OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
24
1	 Desceva dois exemplos ...
25
	 	 OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
1	 Na foto acima da q...
OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
26
1	 Que significa dizer qu...
27
	 	 OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
1	 Qual foi a velocid...
OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
28
A magnitude da velocidade...
29
	 	 OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
Gráficos posição-temp...
OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
30
O GPS de um atleta inform...
31
	 	 OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
1	 Um vector é indepe...
OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
32
Velocidade: magnitude ver...
33
	 	 OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
Como calcular a veloc...
OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
34
Velocidade num “instante”...
35
	 	 OK	 	 Necessito de rever esta página...	 	 Necessito de apoio para compreender esta página...
Velocidade média e ra...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Viagens com gps

191 visualizações

Publicada em

GPS

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
191
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
1
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Viagens com gps

  1. 1. 18 1.1Viagens com GPS
  2. 2. 19 Conceitos-chave nesta secção:
  3. 3. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 20 Ténis que dispõem de um receptor de GPS e de um emissor de rádio que informa permanentemente qual é a posição dos seus portadores... Pode ser utilizado para os pais saberem em que local se encontram os filhos (utilizando uma página na Internet) e pode até ser programado para produzir um sinal sonoro se se afastarem demasiado... 1 “Invente” uma possível utilização para um GPS que seja útil para um técnico florestal. 2 Os relógios do sistema GPS têm de ter elevada precisão. Explique porquê em duas ou três frases. 3 Que precisão aproximada deveria ter o sistema GPS para que pudesse ser utilizado adequadamente numa bola de futebol para saber quando era ou não golo? O sistema GPS (“Global Positioning System”, Sistema de Posicionamento Global) permite a localização de qualquer objecto na Terra com elevada precisão (incerteza de poucos metros, ou menor). Foi desen- volvido pelo Ministério da Defesa dos Estados Unidos da América e está disponível desde a década de 1980 para uso não militar, em todo o mundo. Na década de 2000, generalizou-se a utilização do GPS em automó- veis, depois de se ter igualmente generalizado o seu uso na ajuda à navegação no mar e no ar. O sistema inclui um conjunto de dezenas de saté- lites em órbita terrestre, que emitem radiação elec- tromagnética (microondas) que é recebida pelos apa- relhos receptores na Terra. A recepção dos sinais de pelo menos quatro satélites, em simultâneo, permite aos aparelhos de recepção calcular a posição na Terra, bem como a magnitude e a direcção da velocidade, no caso do aparelho receptor estar em movimento. A ciência e a tecnologia que estão na base do sistema GPS é extremamente complexa. Por exemplo, exige relógios que conseguem distinguir mi- lésimos de milionésimo de segundo. Só com relógios tão precisos é possível calcular o tempo que demora os sinais entre os satélites e os receptores na Terra, quando se percorre distâncias pequenas. É enorme a importância actual do GPS, desde a sua utilização militar (nos mísseis, por exemplo) e na navegação (onde praticamente substi- tuiu todos os processos anteriores de fazer navegação) até à elaboração e verificação de mapas, passando pela determinação da velocidade e dis- tância percorrida por atletas até ao controlo de pessoas idosas com risco de perdas de memória (ou de crianças e jovens pelos pais, ver imagem ao lado). E todos os anos surgem novas aplicações do GPS, à medida que os circuitos receptores diminuem de tamanho e de preço. Funcionamento e aplicações do sistema GPS À esquerda: um GPS utilizado principalmente para navegação no mar e em passeios pedestres. À direita, um GPS para uso em automóveis. Um dos circuitos de recepção mais utilizados nos aparelhos de GPS (circuito Sirf III). Conhecendo a distância a vários satélites, bem como a posição dos satélites, é possível determinar a posição do receptor na Terra.
  4. 4. 21 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 1 Qual das cidades assinaladas na figura tem latitude sul? E a longitude dessa cidade é este ou oeste? 2 Estime um valor aproximado, em graus, para a longitude de Londres. Fundamente a resposta. 3 Estime um valor aproximado (às dezenas) para a latitude de Londres, sabendo que a latitude de Lisboa é N39º. A determinação da posição de um objecto pode ser feita utilizando as chamadas coordenadas de posi- ção que não são mais do que quantidades físicas que medem distâncias e, ou, ângulos. Para posições na superfície terrestre costu- mam-se utilizar dois ângulos e uma distância, as chamadas coordenadas geográficas: • a latitude, que é um ângulo medido no me- ridiano do lugar a partir do equador, para norte ou para sul; varia de 0º a 90º norte ou de 0º a 90º sul (0º a 90º N e 0º a 90º S); • e a longitude, um ân- gulo medido no para- lelo do lugar, para oeste ou para este, a partir do meridiano de referência (meridiano que passa por Greenwich, uma locali- dade perto de Londres, na Inglaterra); varia de 0º a 180º oeste ou de 0º a 180º este (0º a 180º W e 0º a 180º E); • a altitude, que é a distância do objecto ao nível médio do mar. Os ângulos das coordenadas geográficas medem-se em graus (º). Um grau é a fracção 1/90 de um ângulo recto. Cada grau tem 60 minutos de arco (60’) e cada minuto de arco tem 60 segundos de arco (60’’). Com frequência, em vez de se usar segundos de arco, utili- zam-se fracções decimais do minuto. Por exemplo, as coordenadas geográ- ficas do farol do Cabo da Roca (o ponto mais ocidental da Europa, na foto), são N38°46.9’, W9°29.8’, 165 m. Isto significa que: a latitude do farol é 38 graus e 46,9 minutos norte; a longitude do farol é 9 graus e 29,8 minutos oeste; a altitude do farol é 165 m. Posição na Terra e coordenadas geográficas Pólo Norte Pólo Sul (latitude = 0°) Meridiano de Greenwich (longitude = 0°) A Este ângulo mede a latitude do lugar A OESTE ESTE Este ângulo mede a longitude do lugar A Eixo de rotação da Terra Meridiano que passa no lugar A Paralelo que passa no lugar A Equador Hemisfério norte Hemisfério sul Pólo Norte Pólo Sul Equador (latitude = 0°) Meridiano de Greenwich (longitude = 0°) Lisboa Moscovo Londres Rio de Janeiro Norte (N) Sul (S) Oeste (W) Este (E)
  5. 5. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 22 O sistema GPS é um exemplo de como a ciência pura e abstracta pode vir a ter aplicações inesperadas tempos depois... De facto, quem diria que as ideias de Galileu e Newton, sobre o movimento dos objectos na Terra e nos céus, poderiam ter utilidade prática trezentos anos depois...? Quem diria que a teorias matemáticas muito complexas desenvolvidas no século XIX e as teorias de Einstein, desenvolvidas no princípio do século XX, acerca da natureza do espaço e do tempo, poderiam ter utilidade prática algumas dezenas de anos depois...? Ao lado, com as órbitas à escala, pode observar-se uma imagem da constelação de 28 satélites em 6 planos orbitais. Cada um dá uma volta à Terra duas vezes por dia a uma altitude de 20200 km à velocidade de 11265 km/h. Cada satélite tem um relógio atómico e comunica com um conjunto de estações de observação terrestres. Os receptores necessitam de receber os sinais de quatro satélites para determinar as suas próprias coordenadas. Para tal, o receptor calcula a distância a cada um dos quatro satélites pelo intervalo de tempo entre o instante local e o instante em que os sinais foram enviados. Conhecendo as localizações dos satélites a partir dos sinais dos satélites, o receptor pode situar-se na intersecção de quatro calotes, uma para cada satélite. Nas imagens ao lado, pode observar-se um percurso de carro sobreposto no Google Earth (earth.google.com), visto em perspectiva e visto directamente na vertical. A precisão do GPS permite distinguir em que lado (esquerda/direita) se vai numa estrada...
  6. 6. 23 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... O uso do GPS alterou completamente, na década de 1990, como se faz navegação, isto é, como se determina a posição de um objecto no mar, no ar ou em terra e como se determina para onde deve aponta a velocidade desse objecto quando se pretende atingir um determinado lugar. Ao lado, pode observar um percurso no mar, perto de Cascais, registado em perspectiva e na vertical, no Google Earth, e registado numa carta náutica digital (em baixo). O registo na carta náutica inclui ainda a magnitude da velocidade: o código de cores utilizado na trajectória representa as velocidades mais elevadas a vermelho e as mais baixas a amarelo. No site do Programa Ciência Viva, na página do projecto Latitude e Longitude, Instrumentos e Medição, www.cienciaviva.pt/latlong, existem textos e actividades sobre o GPS e sobre a história dos instrumentos de navegação, nomeadamente os utilizados nas viagens dos descobrimentos portugueses nos séculos XIV e XV. Essa página pode ser um bom ponto de partida quer para a construção de instrumentos simples quer para a realização de outros trabalhos sobre as tecnologias e a ciência da navegação. http://www.cienciaviva.pt/latlong
  7. 7. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 24 1 Desceva dois exemplos de movimentos com trajectória rectilínea. 2 Descreva dois exemplos de movimentos com trajectória circular. 3 Será possível utilizar apenas uma coordenada cartesiana para descrever a posição de um objecto em movimento circular? Fundamente a resposta. 4 O comprimento da trajectória é sempre igual à distância percorrida? Fundamente a resposta, utilizando exemplos adequados. Em certas situações como, por exemplo, para descre- ver a posição numa zona relativamente pequena, não é prático utilizar as coordenadas geográficas latitude, longitude e altitude. No século XVII, o filósofo e ma- temático René Descartes inventou outro modo de des- crever a posição através das chamadas coordenadas cartesianas. As coordenadas cartesianas definem-se num re- ferencial cartesiano, que é apenas um sistema de eixos perpendiculares entre si e que começam num certo ponto, a chamada origem do referencial. A ori- gem representa­‑se por O. Os eixos do referencial são convencionalmente designados por eixos Ox, Oy e Oz (ou eixos dos xx, dos yy e dos zz). Para certos movimentos como, por exemplo, o mo- vimento de um projéctil, que ocorre num plano vertical, são necessários apenas dois eixos para descrever as po- sições do projéctil. E se o movimento for segundo uma linha recta, então basta apenas um eixo para descrever a posição nessa linha. Já a posição de uma mosca, com uma trajectória curvilínea irregular, necessita de três ei- xos para ser correctamente descrita. Posição num referencial e coordenadas cartesianas O y x O O x Para descrever a posição da mosca no espaço é necessário utilizar três coordenadas (duas coordenadas horizontais e uma coordenada vertical). Para descrever a posição de um projéctil no espaço pode utilizar-se duas coordenadas (uma coordenada horizontal e uma coordenada vertical). Para descrever a posição da pessoa numa linha recta pode utilizar-se uma única coordenada horizontal.
  8. 8. 25 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 1 Na foto acima da queda da esfera, a foto evidencia que a esfera move-se cada vez mais depressa. Porquê? 2 Quantas coordenadas são necessárias para descrever a posição da esfera? Porquê? 3 Admita que coloca a origem do referencial no ponto em que a esfera atinge o chão e que o eixo Oy aponta para cima. Nesse caso, quanto vale a coordenada da esfera no instante em que atinge o solo? O tempo é uma grandeza física que se pode medir com relógios. Não é fácil definir o tempo de outro modo. Santo Agostinho, um filósofo que vi- veu há mais de 1500 anos, escreveu “se não me perguntarem o que é o tempo, eu sei o que é, mas se me perguntarem então já não sei o que é o tempo...”. Um objecto em movimento evidencia a pas- sagem do tempo. Tempo e movimento são, pois, conceitos intimamente associados. O conceito de movimento é mais facilmente definido: há movi- mento quando há mudança de posição. Como representar numa folha de papel um ob- jecto em movimento, se qualquer imagem no papel está necessariamente parada? Há várias formas de o fazer, como já se fez na página anterior: o trace- jado do caminho da mosca no espaço sugere por onde a mosca se moveu... e as várias representa- ções da bala de canhão sugerem que a bala esteve em várias posições! A trajectória de um objecto em movimento é o conjunto de todas as posições do objecto à medida que o tempo passa. Há trajectórias “simples”, como as trajectórias rectilíneas e as trajectórias circu- lares, mas a maioria das trajectórias são bastante complexas. Algumas trajectórias curvilíneas, como a trajectória do movimento de um projéctil em cer- tas condições, são descritas matematicamente, sem dificuldade. Uma forma muito prática de representar um objecto em movimento, numa folha de papel, é através da chamada representação estrobos- cópica: neste tipo de representação, o objecto é representado em várias posições de tal modo que entre duas posições sucessivas passa sempre o mesmo intervalo de tempo. Utilizando uma lâmpada estroboscópica (acende e apaga a interva- los de tempo constante) podem fazer-se fotografias estroboscópicas. Tempo, trajectória e representações do movimento Uma foto estroboscópica do movimento de queda livre de uma esfera. Entre cada duas imagens sucessivas decorre o mesmo intervalo de tempo. A trajectória da esfera é vertical. A esfera inicialmente estava atraída magneticamente ao suporte S, atracção essa que pode ser desligada utilizando um interrutor. Quando o interruptor é desligado, inicia-se a contagem do tempo no relógio digital R. A contagem do tempo termina quando a esfera bate na placa P (a colisão envia um sinal ao relógio). Uma lâmpada estroboscópica. P R S
  9. 9. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 26 1 Que significa dizer que uma variável é função de outra variável? 2 Em geral, utiliza-se o eixo Oy para representar um eixo vertical. Poder-se-á utilizar um eixo Ox em vez de Oy? Porquê? 3 Alguns alunos mais distraídos confundem a trajectória de um objecto em movimento com o gráfico da posição desse objecto em função do tempo. Como é que explicaria a um desses “distraídos” que essa confusão não tem “lógica”? Um bom modo de representar o movimento de um objecto é utilizar gráficos e tabelas que mostrem os valores da distância percor- rida e da posição em função do tempo, num referencial conveniente. Vejamos alguns exemplos para o mo- vimento de queda de uma pequena esfera (os valores foram ob- tidos com o modelo matemático que será estudado adiante). Distância percorrida pela esfera na queda, em função do tempo decorrido desde o início da queda. Referencial com eixo Oy apontando para baixo, com origem no ponto de partida. Posição no eixo Oy, em função do tempo decorrido desde o início da queda. Referencial com eixo Oy apontando para cima, com origem no solo. Posição no eixo Oy, em função do tempo decorrido desde o início da queda. A altura do ponto de partida, acima da origem O, era de 1,400 m. Gráficos e tabelas da distância percorrida e da posição em função do tempo O O y y x x
  10. 10. 27 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 1 Qual foi a velocidade da pessoa entre 100 s e 120 s no percurso referido acima? Fundamente a resposta. 2 No percurso total, ida e volta, qual foi a distância percorrida? 3 Distância percorrida e distância ao ponto de partida têm sempre o mesmo valor? Fundamente a resposta, dando exemplos adequados. Como calcular a velocidade, quando a velocidade é constante 85 s – 10 s = 75 s 105 m – 0 m = 105 m 205 m – 105 m = 100 m 190 s – 125 s = 65 s Primeira parte do percurso: afastando-se da praia... Segunda parte do percurso: aproximando-se da praia... (Nota: como a posição determinada pelo GPS tem um pequeno erro, a trajectória sobreposta no Google Earth ficou um pouco deslocada em relação ao percurso efectivamente realizado). O movimento de queda livre é um movimento em que a velocidade aumenta à medida que o tempo passa (até atingir o solo, claro). Outros movimentos podem decorrer com velococidade constante, ou aproxima- damente constante. A foto ao lado mostra um percurso a pé, aproxi- madamente rectilíneo, feito com um GPS num pontão numa praia: o movimento iniciou-se na praia, foi-se até ao final do pontão e regressou-se. Mas, como se pode ver no gráfico, nem sempre se esteve em movimento... O gráfico representa a distância percorrida, a partir do ponto de partida, em função do tempo decorrido. O movimento iniciou-se 10 s depois de se começar a registar os dados: durante os primeiros 10 s, a distân- cia percorrida foi, pois, nula... A seguir, durante 75 s, entre 10 s e 85 s, a pessoa andou 105 m e depois esteve cerca de 40 s parada no extremo do pontão... Ao fim de 125 s, voltou para o ponto de partida, demorando um intervalo de tempo menor do que no percurso de ida (na volta demorou 65 s, quando tinha demorado 75 s na ida). No percurso de ida, a velocidade foi apro- ximadamente cons- tante (por exemplo, em cada 10 s percorreu sempre a mesma dis- tância). A magnitude da velocidade, no per- curso de ida, vale 105 m 1,4 m/s 75 s Quando a velocidade é constante, basta di- vidir a distância percorrida pelo tempo gasto para obter a magnitude da velocidade. N
  11. 11. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 28 A magnitude da velocidade e o declive do gráfico da distância percorrida em função do tempo variação da grandeza no eixo horizontal variação da grandeza no eixo vertical 205 m – 150 m = 55 m 150 m – 105 m = 45 m 160 s – 125 s = 35 s 190 s – 160 s = 30 s 1 Descreva numa ou duas frases o que é o declive de uma linha num gráfico. 2 Qual é o declive da linha do gráfico entre 100 s e 110 s? Fundamente a resposta. 3 Qual é a magnitude da velocidade entre 100 s e 110 s? Fundamente a resposta. 4 O declive da linha entre 10 s e 20 s é maior/menor/igual [riscar o que estiver errado] ao declive da linha entre 20 s e 30 s. Que significado tem essa relação? magnitude da velocidade, entre 125 s e 160 s magnitude da velocidade, entre 160 s e 190 s Vejamos novamente os dados referentes ao movimento da página anterior, no pontão da praia. No regresso, depois de estar parada cerca de 20 s no final do pontão, a pessoa voltou, andando mais devagar... durante cerca de 35 s, até meio do pontão, e depois voltou a andar mais depressa, do meio do pontão até ao ponto de partida. Como se pode saber se anda mais de- pressa ou mais devagar apenas a partir do gráfico da distância percorrida em função do tempo? Para responder a este tipo de questões, calcula‑se o chamado declive da “linha” que representa a distância percorrida em função do tempo decorrido, para um determi- nado intervalo de tempo. O declive é o quociente entre a variação da grandeza no eixo vertical (neste caso, eixo da distância percorrida) e a variação da grandeza no eixo horizontal (neste caso, eixo do tempo decorrido). Calculemos então a magnitude da velocidade no percurso de volta, onde primeiro se andou mais devagar e depois um pouco mais depressa (entre 125 s e 160 s o declive é menor que entre 160 s e 190 s): variação da grandeza no eixo vertical declive variação da grandeza no eixo horizontal 45 m 1,3 m/s 35 s 55 m 1,8 m/s 30 s declive menor... declive maior...
  12. 12. 29 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... Gráficos posição-tempo e cálculo da velocidade 5 m – 60 m = – 55 m 60 m – 105 m = – 45 m 160 s – 125 s = 35 s 190 s – 160 s = 30 s 1 Sobreponha ao gráfico posição-tempo acima, o respectivo gráfico distância percorrida-tempo (indique com um nome adequado a linha correspondente ao novo gráfico). 2 No percurso de A para B, para onde aponta a velocidade? 3 No percurso de B para A, para onde aponta a velocidade? declive da linha correspon- dente ao intervalo de tempo entre 125 s e 160 s: declive da linha correspondente ao intervalo de tempo entre 160 s e 190 s: A distância percorrida por um objecto em movimento está sempre a aumentar. O mesmo não sucede necessariamente com a coorde- nada de posição. Por exemplo, no percurso estudado nas páginas anteriores, uma pessoa iniciou um movimento na praia, foi até ao extremo do pontão e voltou para trás até ao ponto de partida. A distância percorrida au- mentou ao longo do tempo (excepto quando se esteve parado, claro!) mas a coordenada de posição x no eixo Ox, que coincide com a trajectória, primeiro aumentou e depois diminuiu (ver representação do eixo ao lado sobre a foto: a origem O está no ponto de partida). O gráfico abaixo mostra essa coordenada x, em função do tempo decor- rido. A magnitude da velocidade pode ser calculada quer a partir do gráfico distância percorrida-tempo quer do gráfico posição-tempo. Se houver movimento, o declive obtido no gráfico distância percorrida- tempo é sempre positivo, porque a variação da distância percorrida é sempre positiva. Mas num gráfico posição-tempo, a variação da coordenada de posição pode ser positiva ou negativa, con- soante a coordenada aumente ou diminua. Assim, o declive da linha, num gráfico posição-tempo, pode ser negativo ou positivo. Note-se que isto não significa que “a velocidade possa ser negativa”! De facto, não há vectores negativos... Nas páginas seguintes vamos ver qual é o significado deste declive negativo. O x y 55 m 1,8 m/s 30 s - = - 45 m 1,3 m/s 35 s - = - N
  13. 13. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 30 O GPS de um atleta informa que a magnitude da velocidade do atleta é, num certo instante, 20 km/h e a direcção é 295º (ver foto). 1 Para onde aponta a velocidade do atleta? 2 Que ângulo faz essa velocidade com o norte? E com o oeste? E com o noroeste? 3 Como se caracteriza a velocidade do atleta, utilizando os dois significados do termo velocidade? Já no ano anterior se usaram vectores para representar quantida- des físicas. Um vector é um “objecto matemático” que: • tem um determinado valor (esse valor designa-se por mag- nitude, mas também se usam os termos módulo e norma); • “aponta” para um certo lado. Vimos também que o lado para onde um vector aponta é de- signado internacionalmente por direcção do vector. Por exemplo, se a velocidade de um barco aponta para nordeste, diz-se que a sua velocidade tem a direcção nordeste ou 045 (faz um ângulo de 45º com o norte). Mas em Portugal utiliza-se frequentemente a convenção se- gundo a qual uma direcção é uma linha e cada linha tem dois sentidos. Usando esta linguagem, no caso de um barco a dirigir‑se para nordeste, diz-se que o barco se move numa direcção sudoeste-nordeste, sentido para nordeste. Dizer que uma direcção é uma linha com dois sentidos é uma linguagem um pouco mais “complicada” que a usada internacio- nalmente e irá, certamente, cair em desuso, porque é desneces- sária. E é pouco prático estar a identificar deste modo a direcção quando, por exemplo, se utiliza um GPS (onde a palavra direcção tem sempre o significado usado internacionalmente). Vectores, magnitude e direcção Este vector aponta na direcção sudoeste Significado utilizado internacionalmente para a palavra “direcção”, um exemplo: Significado utilizado em Portugal para a palavra “direcção”, um exemplo: Este vector tem direcção sudoeste-nordeste, sentido sudoeste Este vector aponta na direcção nordeste Este vector tem direcção sudoeste-nordeste, sentido nordeste
  14. 14. 31 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 1 Um vector é independente das suas componentes... As componentes é que dependem do vector. Explique o significado desta afirmação. 2 Em que condições é que as componentes escalares de um vector são ambas positivas e têm igual valor? 3 Em que condições é que a componente escalar de um vector segundo Oy é nula? 4 Em que condições é que a componente escalar de um vector segundo Ox é nula? Vectores e componentes vectoriais Uma ideia importante acerca dos vectores é que não há “vectores negativos”. Quando se coloca um sinal “menos” atrás da letra que representa o vector, está-se a indicar o vector simétrico (aponta para o lado oposto), não um vector negativo. Para se poder “fazer contas” com vectores, sem ser com regras gráficas como as que já vimos no ano anterior (por exemplo, a re- gra cabeça-contra-cauda ou a regra do paralelogramo), utilizam-se as chamadas componentes de um vector segundo um eixo. A componente vectorial de um vector segundo um eixo ob- tém‑se projectando o vector nesse eixo: Utilizando dois eixos perpendiculares, obtêm-se as componen- tes vectoriais do vector segundo cada um dos eixos. A cada com- ponente vectorial corresponde um número, positivo ou negativo, a chamada componente escalar. As componentes costumam ser representadas com um índice, que indica a que eixo de referem. As componentes escalares podem ser calculadas conhecendo a magnitude do vector e o ângulo com um dos eixos: O x vector componente do vector segundo o eixo Ox O x componente escalar do vector segundo o eixo Ox = + 8 unidades cálculo da componente, a partir do ângulo e da magnitude de v: a = 26,6º cálculo da componente, a partir do ângulo e da magnitude de v: ou: 90 – a cálculo da magnitude de v, a partir das componentes: Recorde que: componente escalar do vector segundo o eixo Oy = + 4 unidades 5 5  v  yv v­x = + 8 vy = + 4 vector soma vector soma Exemplo da aplicação da regra cabeça-contra-cauda: Como somar vectores Exemplo da aplicação da regra do paralelogramo:  yv v = + = 4 8 8 94 2 2 , unidades cos cos( º ) a a = = - = cateto adjacente hipotenusa cateto adjac v v x 90 eente hipotenusa cateto oposto hipotenusa = = = v v v v y y sina v vx = ´ = ´ = ´ = ´ = cos , cos , cos . º , , a a8 94 8 94 26 6 8 94 0 8944 8 v vy = ´ - = ´ - = ´ = ´ cos( º ) , cos( º . º) , cos , º , , 90 8 94 90 26 6 8 94 63 4 8 94 0 4 a 4472 4= v vy = ´ = ´ = ´ = sin , sin , º , , a 8 94 26 6 8 94 0 4472 4
  15. 15. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 32 Velocidade: magnitude versus componente escalar (positiva ou negativa) 160 s – 125 s = 35 s85 s – 10 s = 75 s 1 Calcule a componente escalar da velocidade no final da segunda parte do percurso, enquanto a pessoa se aproxima de terra, mais depressa. 2 Se o eixo Ox apontasse para terra, em lugar de apontar para o mar, que valores teriam as componentes escalares da velocidade, no percurso de ida e no percurso de volta? 3 Por que motivo não faz sentido dizer uma velocidade é negativa ou positiva? Explique o seu raciocínio, utilizando um ou vários exemplos. declive da linha correspondente ao intervalo de tempo entre 125 s e 160 s: declive da linha correspondente ao intervalo de tempo entre 10 s e 85 s: ida, velocidade aponta para o mar, vx = 1,4 m/s regresso, entre 125 s e 160 s, velocidade aponta para terra, vx = ­­– 1,3 m/s Na ida, a velocidade tem magnitude 1,4 m/s e aponta para o mar. Na volta, entre 125 s e 160 s, a velocidade tem magnitude 1,3 m/s e aponta para terra. No percurso estudado nas páginas anteriores, em que uma pessoa iniciou um movimento na praia, foi até ao extremo do pontão e voltou para trás até ao ponto de partida, a velocidade na primeira parte do percurso apontava para o mar e no regresso apontava para terra. Não faz qualquer sentido dizer que a velocidade primeiro era “positiva” e depois era “negativa” no regresso. De facto, a velo- cidade, bem como qualquer grandeza vectorial, nunca pode ser negativa ou positiva. A magnitude da velocidade é, sempre, positiva ou nula, mas a velocidade em si mesmo não é nem posi- tiva nem negativa! A linguagem correcta e sem ambiguidades que se deve utilizar é indicar a direcção sempre que necessário: por exemplo, podemos dizer que a direcção da velocidade apontava para o mar na primeira parte do percurso e no regresso apontava para terra. Mas se utilizarmos um referencial, como o da figura, em que o eixo Ox coincide parcialmente com a trajectória, podemos dizer que na primeira parte do percurso a velocidade tinha uma compo- nente escalar positiva segundo o eixo Ox e no regresso tinha uma componente escalar negativa, segundo esse mesmo eixo. Ora é precisamente esta componente escalar da velocidade que é calculada pelo declive da linha no gráfico da coordenada de posição x em função do tempo: O x y 45 m 1,3 m/s 35 s - = - N 105 m 60 m – 105 m = – 45 m 105 m 1,4 m/s 75 s
  16. 16. 33 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... Como calcular a velocidade, utilizando um gráfico, quando a velocidade não é constante 1 Verifique que a magnitude da velocidade no instante t = 30 s é (160 m – 40 m) / (36 s – 26 s) = 12 m/s. 2 Calcule a magnitude da velocidade no instante t = 34 s. 3 Identifique dois instantes, em posições distintas, em que a velocidade seja nula. Fundamente a resposta. Até agora calculámos a magnitude da velocidade, em intervalos de tempo em que a velocidade era constante (ou melhor, aproximadamente constante...). Mas também é possível calcular a magnitude da velocidade quando a veloci- dade está a aumentar ou quando está a diminuir. Os dados do gráfico abaixo foram obtidos com um GPS num carro que an- dou 135 m em linha recta durante 44 s: esteve parado cerca de 10 s, arran- cou... travou e voltou a parar durante poucos segundos, acelerou novamente e finalmente travou! Determinando o declive da linha tangente no gráfico, em diversos instantes, é possível calcular a velocidade nesses instantes. Por exemplo, no instante t = 24 s (note que a menor divisão no eixo do tempo vale 2 s e a menor divisão no eixo da distância vale 20 m/5 = 4 m), o declive da linha pode ser calculado utilizando os catetos do triângulo a verde, cuja hipotenusa é tangente à linha do gráfico nesse instante. A altura do tri- ângulo vale 60 m – 0 m = 60 m e a base vale 28 s – 21 s = 7 s. Assim, re- presentando a magnitude da velocidade nesse instante por v24, temos: t = 12 s t = 24 s t = 30 s t = 34 s 24 60 m 0 m 60 m 8,6 m/s 28 s 21 s 7 s v N Trajectória do carro durante 44 s, de A para B (distância 135 m). A velocidade do carro não foi constante. A B
  17. 17. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 34 Velocidade num “instante”: o significado físico 1 A largura da estrada da rotunda foto é de aproximadamente 20 m. Faça uma estimativa do erro do GPS, admitindo que o mapa do Google não tem erro... 2 Por que razão se afirmou na questão anterior que o mapa do Google não tem erro? Que origens pode ter o erro na trajectória numa foto como a da figura acima? 3 Se um carro andar 42 km numa hora às voltas na rotunda (que enjoo...!), que distância se desloca em relação ao ponto de partida? A velocidade de um objecto é uma grandeza vectorial que se refere a um “instante”. Por exemplo, quando dizemos que a velocidade de um carro é 42 km/h, num certo instante, isso indica que se o carro se mantiver àquela velocidade durante uma hora, deslocar-se-á para uma posição a 42 km, na direcção da velocidade. Na linguagem comum, a palavra velocidade refere-se muitas vezes ape- nas à magnitude da velocidade. Assim, de modo semelhante, quando não se tem em conta a direcção da velocidade, se dissermos que a velocidade de um carro é 42 km/h, num certo instante, isso indica que se o carro se man- tiver com aquela magnitude de velocidade, durante uma hora, percorrerá a distância de 42 km, qualquer que seja a trajectória (até pode andar às vol- tas!). Por vezes, estamos interessados apenas na distância percorrida. Nesse caso, a magnitude da velocidade é suficiente para se fazer cálculos. Mas, noutras situações, podemos estar interessados também em conhecer para onde se deu ou se vai dar a mudança de posição. Ora, isso só é possível se se conhecer a direcção da velocidade... Em percursos em terra firme, a mag- nitude da velocidade é, em geral, suficiente, porque os percursos não são em linha recta. Mas no mar e no ar, a direcção da velocidade é fundamental, porque os percursos podem ser em linha recta. N 263º, 42 km/h230º, 38 km/h 168º, 34 km/h 077º, 41 km/h 269º, 45 km/h 312º, 44 km/h Numa hora, o carro deslocar-se-ia 42 km nesta direcção, se a velocidade no instante 1 s se mantivesse constante... Numa hora, o carro percorreria a distância de 42 km, se a magnitude da velocidade no instante 1 s se mantivesse constante... A velocidade do carro, 1 s depois de se começar a medir o tempo, era de 42 km/h, na direcção 263º (apontava aproximadamente para oeste) Começou-se a medir o tempo aqui... (Nota: como a posição determinada pelo GPS tem um pequeno erro, a trajectória sobreposta no Google Earth ficou um pouco deslocada em relação ao percurso efectivamente realizado).
  18. 18. 35 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... Velocidade média e rapidez média: diferenças entre linguagem do dia a dia e linguagem física 1 Na linguagem comum, que significa velocidade média? 2 Na linguagem física, que significa velocidade média? 3 Na linguagem física, velocidade é uma grandeza que se refere a um instante. Por exemplo, num certo instante, a velocidade do carro valia 42 km/h e apontava para oeste. Que significado tem a velocidade num instante? Na linguagem do dia a dia, “velocidade média” indica a distância percorrida por unidade de tempo, em média. Por exemplo, num percurso feito à ve- locidade média de 80 km/h, em média, em cada hora, percorre-se 80 km. Claro que não se necessita de andar uma hora... nem percorrer 80 km...! Por exemplo, de se percorrer apenas 40 km, em meia hora, a “velocidade média” é de 40 km / 0,5 h = 80 km/h. Na linguagem rigorosa da Física, a velocidade de um objecto é uma gran- deza vectorial e refere-se a um instante, não a um intervalo de tempo. Por isso, a “velocidade média” da linguagem do dia a dia é algo com um signi- ficado diferente da linguagem física. Deste modo, é mais correcto falar em rapidez média em vez de velocidade média. A rapidez média diz respeito à distância percorrida, em média, por unidade de tempo. A distância percorrida é uma grandeza escalar (só interessa quanto vale): por isso, a rapidez mé- dia é também uma grandeza escalar. A palavra velocidade fica, assim, reservada para a grandeza vectorial, com o significado explicado na página anterior: por exemplo, um objecto com a velocidade de 80 km/h, movendo-se na direcção oeste, estará num ponto a 80 km, a oeste do ponto de partida, uma hora depois. Na linguagem da Física, velocidade média é, de facto, um vector: re- laciona um deslocamento (que é uma grandeza vectorial) com o tempo que demora esse deslocamento. Mas, como facilmente se compreende, esta defi- nição física de velocidade média pouca utilidade tem para percursos em terra firme, uma vez que os estes percursos são em geral linhas curvas e a mag- nitude do deslocamento é diferente da distância percorrida. Neste percurso, a distância percorrida foi de 508 m, em 43 s (registados no GPS). Portanto, a rapidez média no percurso foi 508 m / 43 s = 11,8 m/s , ou seja 0,508 km / (43/3600) h = 42,5 km/h. Para se calcular a velocidade média neste percurso (definida na linguagem rigorosa da Física), era necessário determinar a magnitude do deslocamento e dividir esse vector pelo intervalo de tempo que demorou o deslocamento... A grandeza velocidade média, tal como é definida rigorosamente na linguagem da Física, é pouco útil, principalmente quando os percursos não são rectilíneos. O vector deslocamento num certo intervalo de tempo une a posição inicial à posição final, nesse intervalo de tempo (vector representado a branco).

×