Marcos Marcelino Mazzucco
2009
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE
PROCESSOS QUÍMICOS -
ASPECTOS TEÓRICOS E
EXEMPLOS COM GNU OCTAVE
...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE
PROCESSOS QUÍMICOS -
ASPECTOS TEÓRICOS E
EXEMPLOS COM GNU OCTAVE
Este material foi desenvolvido ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
ÍNDICE
1 INTRODUÇÃO.............................................................
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
4.7.4 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS COM GNU OCTAVE...............................
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
7.2.1 CONTROLE PROPORCIONAL.....................................................
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
12.5 EXIBIRFT...................................................................
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
1 INTRODUÇÃO
A busca de sistemas para automatização e controle de tarefas é p...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
conhecido e, além disso, a interação entre eles é determinante do sucesso de ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
2 INSTRUMENTAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS
- Marcos Marcelino Mazzucco -
7
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
2.1INTRODUÇÃO
Para sistemas de controle a aplicação em campo depende de eleme...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
- Temperatura: os mais comuns são termopares (sensor da tensão (mV) produzida...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
A manipulação de fluxos materiais é tarefa comum em processos químicos e pode...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
As figuras que seguem foram extraídas de Chemical Engineers' Handbook (Robert...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
- Marcos Marcelino Mazzucco -
12
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
- Marcos Marcelino Mazzucco -
13
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
2.4.2 INVERSOR DE FREQÜÊNCIA
De uma geração mais avançada de dispositivos fin...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
do sinal devem ser considerados. Sinais neste formato são, normalmente, trans...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Transdutor pt100/I: recebe um sinal de um sensor pt100 (ohm) e retransmite em...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
sinal indicando o caminho deve ser seguido e depois é enviado/recebido o sina...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Fonte: Chemical Engineers' Handbook
- Marcos Marcelino Mazzucco -
18
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
2.9SIMBOLOGIA
Para representar as funções dos instrumentos na planta usa-se a...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Sinal hidráulico
I/P
Transdutor/conversor corrente para pressão
I/V
Transduto...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Detalhamento da simbologia ISA (fonte: Process Control Fundamentals)
Para uma...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Água friaÁgua fria
Vapor saturado
AT TT
Produtos(Conc, Temp)
Reagentes(Conc, ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Água
Vapor d’água sat.
F1
F2
F3
F21
F22
F31
F32
F4
Condensado saturado
V3L3
V...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Os produtos polialquilados são indesejáveis devido ao baixo preço de mercado....
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
O reator opera em fase gasosa, empregando paládio como catalisador. As duas
p...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
6. [ENC-2001] Um reator de hidrogenação catalítica processará uma fração de p...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
b) Esquematize a instrumentação mínima necessária para manter constante a pre...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Função: retirar (separar) o CO2 do solvente líquido por aumento de temperatur...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
– A válvula VG02 está sendo controlada pelo nível do tambor de refluxo. Isso ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
(A) produção da unidade será controlada de forma muito eficiente pelo medidor...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
3 MODELAGEM DE PROCESSOS QUÍMICOS
- Marcos Marcelino Mazzucco -
31
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
O modelo de um processo corresponde à representação matemática dos sistemas
p...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Em um sistema estipulado, os balanços procedem a partir dos princípios de
con...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
K: Energia Interna por unidade de massa (ou molar)
WS: Fluxo de energia na fo...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Trata-se de um tanque continuamente alimentado com líquido, cujo nível deste ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Observe que a mudança na representação do modo de escoamento produziu uma
equ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Considerando que não há acúmulo das energias cinética e potencial, admitindo ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
3.1.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM CSTR COM TROCA TÉRMICA
vA0,CA0
vA1,CA1, T1
T...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
E=∑=
n
i
ii EN
1
Negligenciando as mudanças nas energias cinética e potencial...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
∑ ∑∑ =Θ=≅ PSAPiiAiPiiPi CCCCCCCC 000
onde, CPS é a capacidade calorífica da s...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
aumento de capacidade. Em cada estágio da coluna será considerado contato per...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Para o terceiro estágio:
AfAA
A
x
L
aG
xx
L
aG
dt
dx
++−= )1(32
3
τ
Onde:
L
a...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
QTTCTTC
dt
dT
VC refzzPrefzP
V
P +−−−=





∆ ∆+
∆
)()( vv ρρρ
QTTC
dt
...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
hS= coeficiente de transferência de calor do condensado(exterior)
h= coeficie...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
)(
1
)()(
)1()()(
jzjP
Q
jzjz
S
jz
TT
z
TT
Adt
dT
−+
∆
−
−=
−
τ
v
)(
1
)(
1
)...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
3. (ENADE 2008) Pseudocódigo é uma forma genérica de se escrever um algoritmo...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
(A) (B) (C)
(D) (E)
- Marcos Marcelino Mazzucco -
47
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
4 TRANSFORMADA DE LAPLACE E LINEARIZAÇÃO DE
SISTEMAS
- Marcos Marcelino Mazzu...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
A modelagem matemática (dinâmica) de processos recai em E.D.O.s que estão
suj...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
L(dn
f(t)/dn
t)=sn
F(s)-sn-1
f(0)-...dfn-1
/d n-1
(0)
L( ∫
t
dttf
0
)( )=F(s)...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
sen(ωt+φ)
22
)sen()cos(
ω
φφω
+
+
s
s
e-a/t
sen(ωt)
22
)( ω
ω
++ as
(a, ω:rea...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
A Tabela 4.1 é utilizada nas mudanças de domínio t→s e s→t, sendo necessário ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Onde: S é a função degrau definida como S(t-θ)=0 para t<θ e S(t-θ)=1 para t≥θ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
f(t) F(s)
e-a/t
sen(ωt)
22
)( ω
ω
++ as
Assim:
F(s)= 22
)( ω
ω
++ as
O mesmo ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
O seguinte algoritmo representa a inversão da transformada:
algoritmo inversã...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
c1+c2=1
3c1+2c2=1
Resolvendo c1 e c2 no sistema de equações resultante:
c1=-1...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
0
2
2
1 =+
c
c
2
1
4
3 2
1 =+
c
c
A solução é c1=-1; c2=2
No GNU Octave o sis...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
22 =c
A solução é c1=-1; c2=2.
4.7.2 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
3
4
2
32
13
)21(
)11(
)21(
)11(
21
)11(
)21(
1
+−
+−
+
+−
+−
+
+−
+−
+=
+−
cc...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Exercício: Obtenha a solução no domínio do tempo.
4.7.3 EXPANSÃO EM FRAÇÕES P...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
( ) ( )
( )














+
+++−
+






+
= 22
321
1
A...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
( )




















+
+
+
+
=










...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS






+
+
+
+−
+
=
1
1
1
A
)(
2
2222
ss
sK
sY
P
PP
P
P
P
P
τ
τ
ω
τ
ωτ
τ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
A subrotina fracoes_parciais(...,...), faz interface com a subrotina residue(...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Para o caso da expansão em frações parciais com raízes múltiplas a lista de r...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
4.7.4.1 Multiplicação de polinômios com GNU Octave
Na expansão em frações par...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
4.7.4.2 Adição de polinômios com GNU Octave
Para somar dois polinômios pode-s...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
4.7.4.3 Potenciação de polinômios com GNU Octave
A subrotina polypower(<<poli...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
A tabela de aplicação do operador de Laplace também pode ser aplicada para
re...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Obs.: A subrotina rats(...) determina a forma racional de um número (1,66667=...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
1
3
3
3
2
3
5
y(0)
0
4
3
==−=
⋅−
e
Para praticar melhor vamos resolver outro ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
( )
( )6116
1
23
+++
=
ssss
sY
( )
( )( )( )321
1
+++
=
ssss
sY
Resolvendo co...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Da tabela:
f(t) F(s)
e-bt
bs +
1
A
s
a
( ) 6/12/12/16/1 23
+−+−= −−− ttt
eeet...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
4.9LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS
A linearização de sistemas consiste em uma aproxi...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
2
)4(
)2(
2
4
),(
−
+−−≅
x
yyxf
Então a EDO linearizada fica:
5
2
)4(
)2(
2
4...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
%end;
%>>modelo linear
h=y(3);
dh3dt=(v1-h*1/Rv)/A;
%end;
%>>sistema de equaç...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Os gráficos, a seguir, foram obtidos a partir do programa anterior.
- Marcos ...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
4.10RELAÇÕES ÚTEIS
( )
))sen()(cos( btjbtee attbja
+=+
cos(-bt)=cos(bt) ;b>0
...
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
4.11EXERCÍCIOS
1. Linearize as seguintes funções:
a)
A
RT
E
AA CeCTfr
A
−
== ...
INTRODUÇÀı
Introducao controle processos.odt
Introducao controle processos.odt
Introducao controle processos.odt
Introducao controle processos.odt
Introducao controle processos.odt
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  1. 1. Marcos Marcelino Mazzucco 2009 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS - ASPECTOS TEÓRICOS E EXEMPLOS COM GNU OCTAVE INSTRUMENTAÇÃO INDUSTRIAL MODELAGEM DE SISTEMAS TRANSFORMADA DE LAPLACE CONTROLE FEEDBACK GNU OCTAVE
  2. 2. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS - ASPECTOS TEÓRICOS E EXEMPLOS COM GNU OCTAVE Este material foi desenvolvido para acompanhar a disciplina Instrumentação e Controle de Processos, ministrada pelo professor Dr. Marcos Marcelino Mazzucco. O uso não autorizado deste material incorre em violação dos direitos autorais, estando sujeito às penalidades previstas na legislação em vigência. Acompanha este material os software livres GNU Octave e MED disponíveis em www.octave.org e www.eqm.unisul.br/prof/marcos. Marcos Marcelino Mazzucco Última atualização de conteúdo 20/02/2009 Última revisão 20/02/2009
  3. 3. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ÍNDICE 1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................5 2 INSTRUMENTAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS.....................................................................7 2.1 INTRODUÇÃO................................................................................................................................8 2.2 SINAIS DE ENTRADA E SAÍDA...........................................................................................................8 2.3 SENSORES...................................................................................................................................8 2.4 ELEMENTO FINAL DE CONTROLE.......................................................................................................9 2.4.1 VÁLVULAS DE CONTROLE........................................................................................................10 2.4.2 INVERSOR DE FREQÜÊNCIA.....................................................................................................14 2.5 TRANSMISSÃO DE DADOS...............................................................................................................14 2.6 TRANSDUTORES E TRANSMISSORES..................................................................................................15 2.7 CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS..............................................................................................16 2.8 HARDWARE DE CONTROLE.............................................................................................................16 2.9 SIMBOLOGIA...............................................................................................................................19 2.10 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................21 3 MODELAGEM DE PROCESSOS QUÍMICOS.............................................................................31 3.1 MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS...............................................................................................32 3.1.1 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE ESTOQUE DE LÍQUIDO..................................................34 3.1.2 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE AQUECIMENTO POR VAPOR.............................................36 3.1.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM CSTR COM TROCA TÉRMICA........................................................38 3.1.4 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA COLUNA DE ABSORÇÃO...............................................................40 3.1.5 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA TROCADOR DE CALOR DUPLO TUBO...............................................42 3.2 SOLUÇÃO NUMÉRICA COM MATLAB E OCTAVE.....................................................................................45 3.3 EXERCÍCIOS...............................................................................................................................45 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE E LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS.......................................48 4.1 DEFINIÇÃO.................................................................................................................................49 4.2 PROPRIEDADES...........................................................................................................................49 4.3 OPERAÇÕES NO DOMÍNIO S............................................................................................................49 4.4 TEOREMAS DOS VALORES INICIAL E FINAL.........................................................................................52 4.5 TRANSLAÇÃO DA FUNÇÃO NO TEMPO ..............................................................................................52 4.6 TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA....................................................................................................53 4.7 COMO OPERAR A TRANSFORMA INVERSA..........................................................................................54 4.7.1 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES DISTINTAS........................................55 4.7.2 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES MÚLTIPLAS.......................................58 4.7.3 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA TERMOS QUADRÁTICOS SEM RAÍZES REAIS (RAÍZES COMPLEXAS).....60 - Marcos Marcelino Mazzucco - 1
  4. 4. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4.7.4 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS COM GNU OCTAVE..................................................................63 4.8 SOLUÇÃO DE EDOS COM COEFICIENTES CONSTANTES..........................................................................68 4.9 LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS...........................................................................................................74 4.10 RELAÇÕES ÚTEIS......................................................................................................................78 4.11 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................79 5 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS.......................................................................81 5.1 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA..........................................................................................................82 5.1.1 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA COM UMA ENTRADA E UMA SAÍDA..................................82 5.1.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA COM DUAS ENTRADAS E UMA SAÍDA...............................85 5.1.3 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E AS FORMAS GANHO/CONSTANTE DE TEMPO E ZEROS- PÓLOS.......................................................................................................................................89 5.2 SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM......................................................................................................91 5.2.1 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA DEGRAU DE MAGNITUDE M:..................92 5.2.2 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA IMPULSO DE MAGNITUDE M:..................93 5.2.3 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA SENOIDAL:........................................95 5.2.4 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA PULSO RETANGULAR DE MAGNITUDE M:...99 5.3 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM...................................................................................................101 5.3.1 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM A UMA ENTRADA DEGRAU DE MAGNITUDE M:................103 5.3.2 CARACTERÍSTICAS DAS RESPOSTAS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM.............................................109 5.4 SISTEMAS DE ALTA ORDEM E OUTROS ELEMENTOS DINÂMICOS............................................................112 5.4.1 AVANÇO-RETARDO..............................................................................................................114 5.4.2 RESPOSTA INVERSA............................................................................................................116 5.4.3 TEMPO MORTO OU ATRASO POR TRANSPORTE.........................................................................117 5.5 SISTEMAS DE ALTA ORDEM - MODELOS APROXIMADOS.........................................................................121 5.6 PÓLOS E ZEROS.......................................................................................................................123 5.7 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................124 6 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS..............................................................................................129 6.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................................130 6.2 OBTENÇÃO DE MODELOS POR REGRESSÃO.....................................................................................130 6.3 OBTENÇÃO DE MODELOS POR ANÁLISE GRÁFICA..............................................................................140 6.3.1 MODELOS DE PRIMEIRA ORDEM............................................................................................140 6.3.2 MODELOS DE PRIMEIRA ORDEM + TEMPO MORTO E O MÉTODO DE SUNDARESAN E KRISHNAWAMY......142 .............................................................................................................................................145 6.3.3 MODELOS DE SEGUNDA ORDEM + TEMPO MORTO.....................................................................147 7 CONTROLE FEEDBACK...........................................................................................................153 7.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................................154 7.2 CONTROLADORES FEEDBACK........................................................................................................155 - Marcos Marcelino Mazzucco - 2
  5. 5. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 7.2.1 CONTROLE PROPORCIONAL...................................................................................................156 7.2.2 CONTROLE INTEGRAL..........................................................................................................157 7.2.3 CONTROLE PROPORCIONAL E INTEGRAL...................................................................................158 7.2.4 CONTROLE DERIVATIVO.......................................................................................................159 7.2.5 CONTROLE PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVO..................................................................159 7.3 PID DIGITAL............................................................................................................................160 7.4 CODIFICANDO UM CONTROLADOR PID NO GNU OCTAVE..................................................................161 7.5 RESPOSTA DE UM PROCESSO A UM CONTROLADOR PID....................................................................162 7.6 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE CONTROLE FEEDBACK....................................................163 7.6.1 DIAGRAMA DE BLOCOS........................................................................................................163 7.6.2 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA EM MALHA FECHADA..................................................175 7.6.3 EXERCÍCIO........................................................................................................................176 7.6.4 RESPOSTA DE UM SISTEMA AOS CONTROLADORES P E PI ..........................................................176 7.6.5 DIAGRAMA DE BLOCOS COM GNU OCTAVE.............................................................................181 7.6.6 EXERCÍCIO........................................................................................................................202 8 ANÁLISE DE ESTABILIDADE..................................................................................................203 8.1 CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE.................................................................................................204 8.1.1 EXERCÍCIO- DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DO CONTROLADOR..................................................218 8.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH...........................................................................................218 8.3 MÉTODO DA SÍNTESE DIRETA.......................................................................................................228 9 SINTONIA DE CONTROLADORES PID....................................................................................231 9.1 CRITÉRIO DA RESPOSTA TRANSIENTE..............................................................................................232 9.1.1 RELAÇÕES DE SINTONIA DE COHEN-COON...............................................................................233 9.1.2 RELAÇÕES DE SINTONIA BASEADAS NA INTEGRAL DO ERRO...........................................................236 9.1.3 RELAÇÕES DE SINTONIA DE ZIEGLER - NICHOLS.........................................................................243 9.2 SINTONIA MANUAL .....................................................................................................................253 9.3 ANÁLISE DA RESPOSTA FREQUENCIAL DE SISTEMAS............................................................................253 9.4 EXERCÍCIO FINAL......................................................................................................................254 10 CONSIDERAÇÕES FINAIS.....................................................................................................256 11 REFERÊNCIAS........................................................................................................................258 12 ANEXO 1- SUBROTINAS .......................................................................................................259 12.1 FRACOES_PARCIAIS..................................................................................................................259 12.2 POLYMULT..............................................................................................................................260 12.3 POLYADD...............................................................................................................................261 12.4 POLYPOWER...........................................................................................................................262 - Marcos Marcelino Mazzucco - 3
  6. 6. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 12.5 EXIBIRFT................................................................................................................................263 12.6 DEGRAU_UNITARIO...................................................................................................................264 12.7 PRIMEIRA_ORDEM....................................................................................................................265 12.8 GERAR_DADOS .......................................................................................................................266 12.9 SUNDARESAN_KRISHNAWAMI ......................................................................................................267 12.10 SINGLE_LOOP.......................................................................................................................268 12.11 COHEN_COON.......................................................................................................................270 12.12 ITAE................................................................................................................................271 12.13 ZIEGLER_NICHOLS..................................................................................................................272 - Marcos Marcelino Mazzucco - 4
  7. 7. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 1 INTRODUÇÃO A busca de sistemas para automatização e controle de tarefas é progressiva e abrange todos os segmentos da vida moderna, de tarefas domésticas até grandes produções industrias. Registros históricos indicam que os egípcios criaram o primeiro sistema de controle, um regulador de nível para um relógio d’água. A revolução industrial somente tomou impulso com o desenvolvimento de mecanismos de controle automático, desde que o controle manual não é viável em processos massivos de produção. Para as máquinas a vapor os reguladores de nível, temperatura e pressão são dispositivos indispensáveis. No período de 1600 a 1800 os sistemas de controle ganharam importância. A partir de 1800 estudos matemáticos impulsionaram a arte de controlar processos. Nos séculos 19 e 20, seguindo necessidades dos meios de comunicação, navegação de aviões, navios, foguetes e a pressão das guerras novos problemas apresentaram-se e assim novas estratégias de controle foram desenvolvidas. O controle digital surgiu e redirecionou as atenções. Hoje, certamente, a demanda de muitos produtos não seria atendida se processos manuais fossem utilizados. Mesmo que uma grande quantidade de pessoas pudesse produzir o mesmo volume de bens que um processo automático, a qualidade e as características do produto obtido não seriam mantidas durante o tempo. Assim, o objetivo de automatizar um processo é aumentar sua capacidade ou eficiência ou diminuir sua periculosidade (Mazzucco, 2003). A automatização deve ser distinguida do controle do processo, cujo objetivo é assegurar uma quantidade (temperatura, pressão, composição, etc.) em um determinado valor (set point ou referência) ou intervalo pela manipulação de alguma variável. Podemos destacar alguns tipos de variáveis que possuem atribuições formais em controle de processos: variável medida, variável controlada e variável manipulada e perturbações. A variável medida pode coincidir com a controlada, mas isto não é uma regra. Por exemplo, pode-se medir a temperatura e pressão de um gás em um duto, estimar a vazão e controlá-la manipulando, através de uma válvula, o fluxo de massa. Um sistema de controle consiste, ao menos, por: processo(s), sensor(es), controlador(es), e atuador(es). Estes elementos constituem uma malha de controle. Cada elemento possui um comportamento dinâmico mais ou menos importante que deve ser - Marcos Marcelino Mazzucco - 5
  8. 8. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS conhecido e, além disso, a interação entre eles é determinante do sucesso de uma proposta de controle. Para formalizar os conteúdos descritos, este material pretende fornecer os conceitos essenciais de controle de processos. Desde modelagem de sistemas até análise de problemas no domínio e Laplace. Desde controle feedback até análise de estabilidade. Para completar o conteúdo serão apresentados os equipamentos típicos utilizados na indústria química para permitir a aplicação das estratégias estudadas, tópico este que será tratado a seguir. - Marcos Marcelino Mazzucco - 6
  9. 9. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 2 INSTRUMENTAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS - Marcos Marcelino Mazzucco - 7
  10. 10. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 2.1INTRODUÇÃO Para sistemas de controle a aplicação em campo depende de elementos elétricos, eletrônicos, mecânicos ou pneumáticos que permitam que o processo e o sistema de controle possam interagir de forma compor uma estrutura entrada/saída. Atualmente, muitos destes dispositivos são baseados em equipamentos eletrônicos, sendo divididos e duas categorias, os digitais e os analógicos. Na indústria química a maioria dos elementos de medição e os elementos finais de controle são instrumentos analógicos. Destacam-se as seguintes classes de equipamentos em um sistema de controle: Instrumentos de medição (sensores), elementos finais de controle, transdutores, controladores, indicadores e registradores. 2.2SINAIS DE ENTRADA E SAÍDA Tipicamente, na indústria química até meados de 1950, a transmissão de sinais era realizada por via pneumática, sinais típicos de sensores como temperatura e pressão eram conduzidos por via pneumática. Da mesma forma, atuadores como válvulas pneumáticas eram a base dos elementos finais de controle e daí a utilização esta forma de sinal. Assim tanto controladores como registradores foram desenvolvidos para atuar por via pneumática. Atualmente as válvulas pneumáticas correspondem aos representantes mais presentes dos pneumáticos na indústria química. Em alguns projetos onde existe o risco de explosão ainda são utilizados equipamentos pneumáticos. O padrão de transmissão de dados por via pneumática estabelece a faixa de trabalho de 3- 15psig. A partir de 1960, com o desenvolvimento mais intensivo da indústria de eletrônicos, os sinais passaram a ser transmitidos, também, por meio de cabos elétricos em duas formas: corrente (mA) ou tensão (VCC, VDC). Os padrões estabelecidos são: Corrente contínua: 1-5mA, 4-20mA, 10-50mA Tensão contínua: 0-5VDC, 1-5VDC, ±5VDC, ±10VDC 2.3SENSORES Os sensores são os elementos responsáveis por permitir a quantificação da variável que se deseja medir. Os sensores típicos da indústria são: - Marcos Marcelino Mazzucco - 8
  11. 11. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS - Temperatura: os mais comuns são termopares (sensor da tensão (mV) produzida pela junção de dois metais como níquel, platina, cobre, etc.), termoresistores (sensor resistivo, também conhecido como RTD: resistance-temperature detector, fabricado a partir de materiais como platina, níquel e níquel-cobre) e termistrores (sensor resistivo, também conhecido como NTC- negative temperature coefficient, fabricado a partir de material semicondutor, tais como óxidos de cobalto, magnésio e níquel e sulfetos de cobre, alumínio e ferro. A resistência neste sensor diminui com a temperatura). -Pressão absoluta e diferencial: os mais comuns são tubo de Bourdon, diafragma. -Velocidade de fluxo, fluxo de massa, fluxo volumétrico: tanto para líquidos como gases duas estratégias podem ser utilizadas para medir fluxo: turbina e queda de pressão. No caso da turbina os pulsos gerados podem ser modulados ou totalizados através de um contador (counter) para produzir um sinal de fluxo. No caso da queda de pressão, esta deve ser obtida através de uma placa de orifício ou um tubo de Venturi e determinadas as medidas das pressões antes e após o acessório. A vazão é proporcional a raiz quadrada da queda de pressão. As placas de orifício devem garantir uma queda de pressão de 50,8cm (20in) de coluna d'água até 5,08mca (200in). Medições por via magnética, térmica, vórtice e Coriólis também são muito utilizadas. -Nível de líquido: pressão diferencial e bóias são as formas mais simples de medir nível de líquido. -Viscosidade: a queda de pressão é a forma mais simples de inferir a viscosidade. -pH: é uma medida facilmente realizada através de eletrodos de potencial. -Condutividade, Absorção de ultravioleta e infravermelho: são medidas importantes que podem ser utilizadas para inferir composição ou em combinação com outras medidas para fornecer variáveis não mensuráveis. -Umidade: para sólidos ou gases são necessárias técnicas diversas. Uma forma simples é medir a condutividade e traduzi-la em unidade. 2.4ELEMENTO FINAL DE CONTROLE Os elementos finais de controle agrupam todas as variáveis que podem ser manipuladas. Neste caso temos o ajuste direto ou indireto da variável deseja. O caso de manipular a vazão de um fluido por ser realizada diretamente restringindo o fluxo de massa. No caso de manipular a temperatura de uma mistura, é necessária a intervenção em outra variável como a vazão, por exemplo. Resistências elétricas podem ser utilizadas como elementos para quantificar energia e portanto regular temperatura em alguns processos. - Marcos Marcelino Mazzucco - 9
  12. 12. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A manipulação de fluxos materiais é tarefa comum em processos químicos e pode ser realizada através de válvulas ou pelo controle de velocidade em motores de corrente contínua ou alternada. 2.4.1 VÁLVULAS DE CONTROLE Válvulas de controle são equipamentos presentes na maioria dos processos químicos e consistem de três partes: válvula, atuador e posicionador. Requerem uma série de especificações para serem utilizadas, sendo as mais comuns dos tipos globo e esfera. Os mecanismos de atuação podem ser elétricos ou pneumáticos, sendo os últimos mais utilizados. Os mecanismos pneumáticos são, basicamente, constituídos por um diafragma conectado a uma mola e uma haste (plug). Em um dos lados do diafragma existe uma câmara onde é injetado ar comprimido que pressiona a mola no sentido de movimentar a haste para abrir ou fechar a válvula. Assim o atuador é dito ar-abre (A-O) ou ar-fecha (A-C). A forma de atuação pode ser utilizada de acordo com o controlador (ação direta ou ação reversa) ou por considerações de segurança. Os posicionadores são os elementos que regulam a pressão (3-15psig) exercida sobre o diafragma de um atuador de forma a posicioná-lo em uma fração de sua faixa de trabalho. Os sinais de entrada destes equipamentos são em tensão ou corrente. Em uma válvula o fluxo é alterado na proporção v=CV.f.(∆P/gs)1/2 . A constante CV ou coeficiente da válvula é definido pelo fabricante. Dependendo do projeto da válvula resulta f (característica da válvula) que representa a relação entre quanto a haste do atuador é movimentada (0≤ L ≤1) e quanto o fluxo é alterado. Desta função resulta uma classificação destes dispositivos em linear (f=L), Abertura rápida ou raiz quadrada (f=(L)1/2 ) e igual percentagem (f=RL-1 ). - Marcos Marcelino Mazzucco - 10
  13. 13. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS As figuras que seguem foram extraídas de Chemical Engineers' Handbook (Robert H. Perry e Don W. Green, Mc Graw Hill). - Marcos Marcelino Mazzucco - 11
  14. 14. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS - Marcos Marcelino Mazzucco - 12
  15. 15. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS - Marcos Marcelino Mazzucco - 13
  16. 16. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 2.4.2 INVERSOR DE FREQÜÊNCIA De uma geração mais avançada de dispositivos finais de controle, os inversores ou variadores de freqüência representam uma excelente solução para o controle de velocidade de motores. Incorporando possibilidades como comunicação analógica (4- 20mA) e serial (RS232), configuração ampla, controle PID, feedback, reversão de direção, agenda de set-point (set-point schedule), indicador configurável, etc. permite um eficiente controle de velocidade de motores trifásicos, mesmo em linhas monofásicas. Os controle de vazão e nível em correntes bombeadas pode ser realizado por este dispositivo sem o uso de válvulas de controle. 2.5TRANSMISSÃO DE DADOS A transmissão de dados por via pneumática acontece através de tubos PVC ou polietileno de 1/4 ou 3/8 de diâmetro com paredes rígidas, onde os efeitos de propagação - Marcos Marcelino Mazzucco - 14
  17. 17. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS do sinal devem ser considerados. Sinais neste formato são, normalmente, transmitidos por até 200m de distância, respeitadas as condições do meio. A transmissão elétrica de dados é mais flexível que a anterior e quase imune aos efeitos dinâmicos da linha de transmissão. Cabos blindados contendo múltiplos fios são disponíveis para transmissão analógica enquanto para transmissão digital cabos do tipo par-trançado, cabo paralelo são usados, além dos blindados. A transmissão de dados na forma de corrente (4-20mA) deve ser preferida pois na forma de tensão (V) os dados são mais facilmente corrompidos. Cuidados especiais devem ser tomados, entre eles aterrar os cabos em apenas uma das extremidades, utilizar aterramento adequado, conectar adequadamente cabos, bem como cabos e equipamentos (terminações). Os efeitos mais comuns, resultantes de problemas na transmissão são: defasagem (biasing), ruído (noise) e atenuação. A transmissão digital torna-se mais vantajosa em grandes instalações onde muitos equipamentos estão conectados com grande tráfego de dados. Os protocolos mais utilizados são o serial (RS232 e RS585), o ethernet, e especializados como Fieldbus e o profibus. A tecnologia HART que utiliza sinais analógicos (4-20mA e digitais (1200bps) está presente em muitas aplicações. 2.6TRANSDUTORES E TRANSMISSORES Na prática a nomenclatura de transmissores, sensores e transdutores é confusa. Alguns profissionais de processos referem-se indistintamente aos casos, contudo isto não parece adequado, desde que o sinal de um elemento sensor nem sempre é passível de ser transmitido de forma adequada. É requerido assim um transmissor para exercer as funções de converter o sinal em outra forma, linearizá-lo e retransmiti-lo. Em certos casos o transdutor seria representado por um elemento sensor, uma pequena unidade de processamento de sinal e um transmissor. Os transdutores mais comuns são: Transdutor V/I: recebe um sinal em tensão (1-5VDC, por ex.) e retransmite em corrente (4-20mA, por ex.). Transdutor I/V: recebe um sinal em corrente (4-20mA, por ex.) e retransmite em tensão (1-5VDC, por ex.). Transdutor I/P: recebe um sinal em corrente (4-20mA, por ex.) e retransmite em pressão (3-15psig, por ex.). Transdutor de pressão: recebe um sinal em pressão e retransmite em corrente ou tensão. Corresponde ao próprio sensor de pressão na maioria dos casos. - Marcos Marcelino Mazzucco - 15
  18. 18. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Transdutor pt100/I: recebe um sinal de um sensor pt100 (ohm) e retransmite em corrente. Transdutor Termopar/I: recebe um sinal de um termopar (mV), realiza a compensação da junção (referência) e retransmite em corrente. SCR (silicon-controlled rectifier). recebe um sinal em corrente contínua e varia a potência aplicada a um elemento de aquecimento. 2.7CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS Algumas características devem ser consideradas quando da definição de um equipamento, são elas: -Faixa (range) e span: a faixa compreende os limites do intervalo de trabalho, enquanto span é o intervalo de trabalho (limite superior - limite inferior). -Exatidão (Accuracy): diferença entre o valor medido e o valor real ou padrão aceito. Pode ser expressa na forma do valor absoluto da diferença do valor medido, na forma de percentual do valor medido, na forma de percentual do limite superior de medição e na forma de percentual do span (mais comum). -Resolução: menor alteração na entrada que resulta em uma mudança na saída do transdutor. -Precisão: distância entre os valores medidos que pode ser observada com base em uma certa resolução. -Repetibilidade: diferença entre medidas para as mesmas condições em um processo. 2.8HARDWARE DE CONTROLE PLC ou CLP (controlador lógico programável): atualmente, consiste de um sistema de sequenciamento digital microprocessado com capacidade para implementar funções boolenas (OR, AND, NOT, XOR, etc.) dispondo, também de funções matemáticas (exp, seno, log, etc.), temporizadores, contadores, comunicação via RS232, RS485 e ethernet. Os CLPs mais sofisticados implementam inclusive controladores contínuos como PID, onde é permitida interação entre o PID e as funções lógicas implementadas. Pode ser programado através de linguagens de programação como C, PASCAL, BASIC, FORNTRAN, Assembler ou através de diagramas lógicos conhecidos como ladder diagrams. Mutiplexador: dispositivo que permite direcionar (chavear) uma entrada ou saída de um dispositivo multiplicando sua capacidade. Neste dispositivo, primeiro é enviado um - Marcos Marcelino Mazzucco - 16
  19. 19. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS sinal indicando o caminho deve ser seguido e depois é enviado/recebido o sinal para este. Placas ou cartões A/D e D/A: responsáveis por realizar a interface entre um computador digital e um sinal analógico. Possuem precisão numérica limitada dada pela quantidade de bits utilizada na representação dos dados. Uma placa com precisão de 12bits pode representar um sinal na faixa de 4-20mA (span=16) com 16/(212 -1)= 0,0039mA de resolução. Assim se um elemento sensor é utilizado para medir temperatura na faixa de 0-1 000°C, a precisão da medida será 0,24°C, ou seja, "não existe" diferença entre T=25,1 e 25,2°C. Computadores e Sistemas digitais: a crescente capacidade computacional e a produção em série de computadores permitiram à indústria em geral a expansão e sofisticação dos sistemas de automatização e controle com custo reduzido. Deste fato resultaram complexas redes de comunicação permitindo um acompanhamento rigoroso do processo e ajuste contínuo dos objetivos de controle. Também resulta deste fato a grande quantidade de informações disponibilizada aos operadores e engenheiros de processos. A aplicação de sistemas digitais no controle de processos implica na substituição/adequação de muitos sistemas, principalmente os ditos de nível 0 como sensores e atuadores, para os quais o princípio de operação é intrinsecamente analógico. Porém conduz a um complexo acoplamento de mecanismos constituindo um sistema de controle distribuído (DCS- Distributed Control System), que consiste, justamente de sistemas microprocessados interligados por uma rede digital. Os sistemas interligados são representados por sensores, atuadores, CLPs, Registradores, Indicadores, Multiplexadores, Interfaces Homem-máquina, servidores, estações de controle, controladores, terminais de programação, unidades de backup, etc. - Marcos Marcelino Mazzucco - 17
  20. 20. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Fonte: Chemical Engineers' Handbook - Marcos Marcelino Mazzucco - 18
  21. 21. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 2.9SIMBOLOGIA Para representar as funções dos instrumentos na planta usa-se a notação ISA com um círculo contendo duas letras ou três letras. A primeira letra corresponde a variável de processo e a segunda e a terceira correspondem a um modificador de função ou a função do dispositivo (T= transmissor, C=controlador, I=indicador). Também é possível identificar a malha de controle inserindo um número abaixo das letras para indicá-la. Os símbolos mais frequentemente utilizados em diagramas de controle de processos químicos são: Medição Símbolo Significado TT Transmissor de temperatura (Temperature Transmitter) PT Transmissor de pressão (Pressure Transmitter) LT Transmissor de nível (Level Transmitter) AT Transmissor de composição (Analysis Transmitter) FT Transmissor de fluxo (Flow Transmitter) Atuação Símbolo Significado Válvula de controle com acionamento pneumático por diafragma Válvula de controle com acionamento por solenóide Válvula de controle com acionamento por pistão Válvula de controle com ajuste manual Bomba Transmissão/retransmissão Símbolo Significado Linha de transmissão elétrica linha de transmissão pneumática Sinal indefinido - Marcos Marcelino Mazzucco - 19
  22. 22. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Sinal hidráulico I/P Transdutor/conversor corrente para pressão I/V Transdutor/conversor corrente para tensão Controle/Indicação Símbolo Significado TC Controlador de temperatura (Temperature controller) PC Controlador de pressão (Pressure controller) FC Controlador de fluxo (Flow controller) TI Indicador de temperatura PI Indicador de pressão FI Indicador de fluxo Exemplo de identificação (fonte: Process Control Fundamentals) Exemplo de simbologia (fonte: Process Control Fundamentals) - Marcos Marcelino Mazzucco - 20
  23. 23. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Detalhamento da simbologia ISA (fonte: Process Control Fundamentals) Para uma descrição completa da simbologia de instrumentação pode ser consultado o guia da Instrument Society of America (ISA). 2.10EXERCÍCIOS 1. Para uma ilustração mais completa segue uma figura retirada de Mazzucco (2003) para um sistema para polimerização de estireno. Refaça esta ilustração com a simbologia apresentada. 2. No diagrama abaixo indique a função de cada instrumento numerado e a natureza dos sinais de medição e controle (elétrico, pneumático, analógico, digital, etc.), bem como a possível faixa de operação e transmissão de cada instrumento. - Marcos Marcelino Mazzucco - 21
  24. 24. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Água friaÁgua fria Vapor saturado AT TT Produtos(Conc, Temp) Reagentes(Conc, Temp) ACI/P A/D Computador Controlador D/A I/P I/P Reator Trocador de calor 1 2 3 4 5 6 7 3. No fluxograma da coluna de destilação abaixo o engenheiro esqueceu de completar os instrumentos necessários para compor a malha de controle. Faltou: Na corrente de alimentação o controle do fluxo de entrada para evitar a inundação da torre. Na saída da coluna faltou o controle de nível no tambor de refluxo. Na base faltou o controle de nível. Também faltou incluir o controle de pressão na coluna através do vapor d'água utilizado no refervedor. Faltou incluir instrumentos para indicar a temperatura e a pressão no topo e na base da coluna, bem como para indicar os fluxos de líquido nas saídas da coluna e na alimentação. Faça a proposta de instrumentação e controle da coluna completando o fluxograma abaixo. - Marcos Marcelino Mazzucco - 22
  25. 25. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Água Vapor d’água sat. F1 F2 F3 F21 F22 F31 F32 F4 Condensado saturado V3L3 V2L2 (vapor benzeno+tolueno) 98,9%benzeno 45% benzeno + 55%Tolueno (liq. benzeno+tolueno) 1,5%benzeno Tambor de refluxo 4. [ENC-1998] O fluxograma abaixo representa, de modo resumido, uma unidade para a produção de etilbenzeno a partir de benzeno e etileno. A reação de alquilação do benzeno produz, no entanto, não apenas etilbenzeno: reações sucessivas produzem o benzeno di e trialquilado. - Marcos Marcelino Mazzucco - 23
  26. 26. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Os produtos polialquilados são indesejáveis devido ao baixo preço de mercado. Para minimizar a produção dos polialquilados, opera-se o reator com excesso de benzeno, convertendo os polialquilados em etilbenzeno: Note que quanto maior o excesso de benzeno empregado no reator, mais elevada será a conversão em etilbenzeno. Com base nessas informações: (i) ...; (ii) considerando a alimentação da coluna A constante, esquematize a forma mais simples de controlar essa coluna (malha(s) de controle) de modo a garantir a sua operação estável, mantidas constantes a pressão e a temperatura de operação da mesma. Resposta esperada: 5.[ENC-2000] O fluxograma abaixo representa, de modo simplificado, um processo para produção de acetato de vinila, a partir de etileno (C2H4) e ácido acético (C2H4O2): - Marcos Marcelino Mazzucco - 24
  27. 27. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O reator opera em fase gasosa, empregando paládio como catalisador. As duas principais reações que ali ocorrem são: Reações secundárias, não descritas, produzem acetato de etila e compostos de elevada massa molar (resinas) gerados pela polimerização do acetato de vinila, na descarga do reator. Os gases que deixam o reator são resfriados e alimentados a uma coluna lavadora, que separa os componentes condensáveis (água, acetatos, resinas e ácido acético) dos incondensáveis (dióxido de carbono, etileno e oxigênio). A solução obtida no fundo da lavadora é fracionada em uma coluna de destilação. A coluna de destilação fraciona a solução que deixa o fundo da lavadora. Além do produto principal (acetato de vinila), obtêm-se: - acetato de etila: tem valor comercial, segue para tancagem e é vendido. - ácido acético: é reciclado para o processo. A corrente de água e o produto de fundo da coluna devem ser descartados. a) ... b) A corrente de água contém ainda 1% molar de ácido acético como contaminante. A neutralização do ácido torna-se imperativa antes do seu descarte. Supondo a utilização de um tanque de neutralização de operação contínua, esquematize a instrumentação necessária à sua operação automática. Resposta esperada: - Marcos Marcelino Mazzucco - 25
  28. 28. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 6. [ENC-2001] Um reator de hidrogenação catalítica processará uma fração de petróleo a 5 x 106 Pa e 440o C. O hidrogênio será alimentado em grande excesso, contendo 4% de CH4, impureza que não toma parte na reação. O efluente do reator deverá ser resfriado até 220o C, condensando os compostos subcríticos da mistura, para então ser submetido a uma expansão súbita (“flash”). A expansão adiabática promoverá a separação dos não- condensáveis (H2 e CH4) da fase líquida (produto da reação). Para o reaproveitamento do hidrogênio em excesso, parte da fase gasosa deverá ser recomprimida e reciclada para o reator (veja o fluxograma abaixo). a) ... - Marcos Marcelino Mazzucco - 26
  29. 29. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS b) Esquematize a instrumentação mínima necessária para manter constante a pressão na descarga do tambor de “flash”. Resposta esperada: A pressão na descarga do tambor de "flash" poderá ser controlada por uma válvula que regule a vazão de descarga na purga: 7.[ENC 2002] No processo de produção de etanol por fermentação de açúcar, tem sido sugerido o aproveitamento do dióxido de carbono gerado na fermentação, como alternativa para melhorar a economia do processo. O fluxograma abaixo representa uma proposta para uma unidade de recuperação de CO2. Forneça o nome e a função de cada um dos oito itens indicados no fluxograma. Resposta esperada: 1. Absorvedora ou coluna de absorção. Função: remover o O2 e N2 da mistura de gases (CO2 + O2 + N2 + H2O + etanol) retirada da dorna de fermentação, por absorção do CO2 em um solvente líquido. 2. Trocador de calor. Função: reduzir a temperatura do solvente líquido, de modo a aumentar a solubilidade do CO2, para tornar possível a operação de absorção. 3. Coluna de esgotamento (stripping) do CO2. - Marcos Marcelino Mazzucco - 27
  30. 30. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Função: retirar (separar) o CO2 do solvente líquido por aumento de temperatura. 4. Compressor. Função: aumentar a pressão do gás para permitir a condensação a temperaturas tecnicamente viáveis. 5. Trocador de calor. Função: reduzir a temperatura do gás comprimido, facilitando a compressão do segundo estágio. 6. Coluna de adsorção. Função: retirar a umidade da mistura gasosa, evitando a formação de gelo no trocador seguinte. 7. Controlador de nível. Função: manter o selo líquido no fundo da torre absorvedora. 8. Válvula de segurança e alívio. Função: impedir danos físicos provocados pela elevação da pressão acima dos níveis preestabelecidos nos equipamentos. 8.[ENC-2003] Uma empresa está planejando instalar uma coluna de destilação para recuperar ácido acético de uma corrente de rejeito, objetivando reduzir o seu passivo ambiental. Uma firma de consultoria submeteu o fluxograma de engenharia simplificado, apresentado abaixo. O engenheiro revisor identificou dois erros graves que inviabilizam tecnicamente o projeto, assinalando-os no fluxograma. Apresente as razões que levaram o engenheiro a apontar esses dois erros. Resposta esperada: - Marcos Marcelino Mazzucco - 28
  31. 31. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS – A válvula VG02 está sendo controlada pelo nível do tambor de refluxo. Isso impede que se possa estabilizar a vazão do refluxo (em conseqüência, a razão de refluxo) em um valor adequado para a separação desejada, tornando o controle da qualidade do produto de topo impraticável. – A corrente de fundo da coluna de destilação é de líquido saturado. Nessas condições, a instalação de uma válvula de controle na sucção da bomba poderá provocar a cavitação na bomba. 9. [ENADE-2008] Propõe-se um novo processo para produzir 1,2-butadieno a partir do butano. Emprega-se para isso um reator que opera em fase líquida, com catalisador na forma de partículas sólidas muito finas, dispersas no líquido, operando a 80 oC e 9 bar. A figura abaixo mostra o fluxograma do processo. Memorial Descritivo: Butano é alimentado ao reator pela corrente 1. No reator ocorre a reação: C4H10 −>C4H6 + 2H2 com conversão de 60% da carga. A descarga é feita pela evaporação dos produtos e do reagente, que deixam o reator pela corrente 2, de modo a evitar operações para a recuperação do catalisador. O condensador parcial TC1 condensa e resfria parte da descarga. O vaso V1 separa a fase líquida do hidrogênio formado. A fase líquida é separada na destiladora T1, obtendo-se no fundo o 1,2-butadieno com pureza de 98% molar. O butano é recuperado no topo da torre e reciclado para o reator. A destiladora opera a uma pressão de 2,7 bar. Analisando o processo proposto, constata-se que a: - Marcos Marcelino Mazzucco - 29
  32. 32. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS (A) produção da unidade será controlada de forma muito eficiente pelo medidor de vazão instalado na corrente de butadieno que deixa o fundo da torre destiladora. (B) corrente 3, que descarta o hidrogênio formado na reação a partir do vaso V1, sairá saturada com butano e 1,2-butadieno, o que exigirá a instalação adicional de uma torre lavadora (scrubber) para reduzir as perdas desses compostos. (C) pressão de operação da torre destiladora, sabendo-se que a saturação do butano a 2,7 bar ocorre a 28o C, está adequada ao uso de água como fluido de resfriamento do condensador de topo, como proposto no fluxograma. (D) válvula de controle instalada na tubulação que deixa o fundo da torre e que controla o nível do selo líquido está na posição correta. (E) destiladora pode ser substituída por um tambor flash, que permitirá a separação do 1,2-butadieno na pureza desejada (98% molar), com evidente economia no capital investido e na energia empregada na separação. Resposta esperada: O item correto é a letra B. - Marcos Marcelino Mazzucco - 30
  33. 33. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 3 MODELAGEM DE PROCESSOS QUÍMICOS - Marcos Marcelino Mazzucco - 31
  34. 34. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O modelo de um processo corresponde à representação matemática dos sistemas por este contidos. Isto não significa que o comportamento de um sistema deve ser conhecido com exatidão, mas apenas com precisão suficiente para a proposta em que este está inserido. Em processos químicos, estão envolvidas transformações físicas e químicas. Desta forma, o modelo deve considerar aspectos relevantes como cinética química, efeitos das transferências de calor, massa e quantidade de movimento, termodinâmica, relações empíricas e efeitos físicos como dissipação elétrica, mecânica, etc. É oportuno ressaltar que nem sempre o modelo mais preciso é o mais adequado para todas as situações. Também deve ser considerado que para certos propósitos os modelos fenomenológicos (teóricos) podem ser substituídos por modelos empíricos e estatísticos. A modelagem matemática, de acordo com a forma, é útil em casos diversos, destacando-se: Simulações de comportamento em situações variadas, treinamento de operadores, análise de risco (manual de segurança), otimização das condições de operação, projeto de sistemas de controle e controladores, ajuste de controladores e alterações no processo. 3.1MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS A modelagem fenomenológica de processos químicos está baseada nos princípios de conservação da massa, energia e quantidade de movimento. Estas quantidades são determinadas, entre outras, a partir de medidas de características físicas e químicas como densidade, concentração, temperatura, fluxo volumétrico, velocidade linear, pressão, capacidade calorífica, condutividade térmica, etc.. Os modelos de processos químicos podem abordar casos em regime permanente (estado estacionário) ou em estado transiente. Os modelos dinâmicos (estado transiente) são descritos por um sistema de uma ou mais equações diferenciais ordinárias ou parciais e equações algébricas. Os sistemas estáticos, por sua vez podem ser caracterizados pelos mesmos tipos de equações, porém excluindo-se a dependência do tempo. As equações baseadas nos princípios de conservação (balanços), em processos químicos, requerem também equações ditas constitutivas, onde estão contemplados efeitos como taxa de reação, equilíbrio termodinâmico, taxas de transferência de calor, massa e quantidade de movimento, taxa de crescimento microbiano, estimativas populacionais, etc. - Marcos Marcelino Mazzucco - 32
  35. 35. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Em um sistema estipulado, os balanços procedem a partir dos princípios de conservação.           −           +                     −                     =           Sistemano Consumo de Sistemano Geração de massa decorrentesdas ouasvizinhanç ra asSistema pa do cia deTransferên massa decorrentesdas oueirasdas front travésSistema a para o cia deTransferên no Sistema Acúmulo de }...{}...{ }...{}...{ }...{ Para massa e energia temos: F1 F2 Sistema dE/dt= ∆E=∆U(t)+ ∆K(t)+ ∆P(t) dm/dt ∆U=U(t)-U(t-∆t) ∆K=K(t)-K(t-∆t) ∆P=P(t)-P(t-∆t) Q W saídasii n ientradasii n i S HFHFWQ dt dE 11 .. == ∑−∑+−= ; com [ ] dt PKUmd dt dE )( ++ = ∑∑ −+−= SWQHFHF dt dE 2211 221121 )( vv ρρ ρ −==−= dt Vd FF dt dm ∫+−= V iii i dVrFF dt dm 21 Onde Fj: Fluxo de massa (ou molar) ou vazão mássica de uma corrente (massa/tempo) Fij: Fluxo de massa ou vazão mássica da espécie i numa corrente j (massai/tempo) ri: Taxa de reação química da espécie i (massa ou mols de i/Volume.tempo) V: Volume do Sistema m: Massa do Sistema mi: Massa da espécie i no Sistema vj: Fluxo volumétrico ou vazão volumétrica da corrente j (volume/tempo) ρj: densidade da corrente j H: Entalpia por unidade de massa (ou molar) K: Energia cinética por unidade de massa (ou molar) P: Energia potencial por unidade de massa (ou molar) - Marcos Marcelino Mazzucco - 33
  36. 36. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS K: Energia Interna por unidade de massa (ou molar) WS: Fluxo de energia na forma Trabalho de eixo (work shaft) Q: Fluxo de energia na forma de Calor. Destacam-se, neste caso duas equações constitutivas: - Transferência de calor: Q= U.ATC.(Tvizinhanças-Tsistema) - Cinética da reação ∏ − = k n k RT E i k A CeAr . onde: U: Coeficiente global de transferência de calor ATC: Área para transferência de calo A= Fator de freqüência ou pré-exponencial. EA=Energia de Ativação da reação. R= Constante dos gases ideais T=Temperatura em escala absoluta Ck= Concentração mássica ou molar da espécie k nk= ordem da reação em relação a espécie k É claro que esta representação é geral e portanto não contempla muitos casos de engenharia, por isso serão desenvolvidos modelos para alguns casos típicos de processos químicos. 3.1.1 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE ESTOQUE DE LÍQUIDO F1 F2 h D - Marcos Marcelino Mazzucco - 34
  37. 37. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Trata-se de um tanque continuamente alimentado com líquido, cujo nível deste (h) depende dos fluxos de entrada e saída. Por sua vez, o fluxo de saída depende do nível de líquido no tanque. Balanço de Massa Global no interior do tanque: 21 FF dt dm −= 2211 )( vv ρρ ρ −= dt Vd 2211 )()( vv ρρ ρ ρ ρρ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ dt dV dt dV V V 2211 vv ρρρ −= dt dV 21 vv −= dt dh A ; com A= πD2 /4 A equação de Bernoulli para o escoamento em uma restrição descreve a vazão na saída do tanque em proporção à pressão exercida na restrição (válvula): 2/1 22 )( PPCV −=v Considerando descarga livre: P=Patm+ρgh Assim: 2/1 2 )( ghPPC atmatmV ρ+−=v ( ) A ghC dt dh V 2/1 1 )(ρ− = v Ao invés da equação de Bernoulli o escoamento na saída poderia ser representado através da analogia com a lei de Ohm para circuitos elétricos onde a diferença de potencial é diretamente proporcional ao produto da corrente elétrica pela resistência oferecida pelo elemento considerado. Neste caso, sendo RV a resistência ao escoamento oferecida pela válvula: h=v2RV (U=IR na eletricidade) v2= h/RV h ARAdt dh V 11 −= v - Marcos Marcelino Mazzucco - 35
  38. 38. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Observe que a mudança na representação do modo de escoamento produziu uma equação diferencial não linear no primeiro caso e uma linear no segundo. As implicações disto serão discutidas oportunamente. 3.1.2 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE AQUECIMENTO POR VAPOR F1 F2 F3 F4 h D Trata-se de um tanque de aquecimento encamisado onde é utilizado vapor d'água saturado como fonte de energia. O vapor deixa a camisa como condensado saturado em uma temperatura T4. Balanço de Massa Global no interior do tanque: 21 FF dt dm −= 2211 )( vv ρρ ρ −= dt Vd 2211 )()( vv ρρ ρ ρ ρρ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ dt dV dt dV V V 2211 vv ρρρ −= dt dV 21 vv −= dt dh A ; com A= πD2 /4 ( ) A dt dh /21 vv −= Balanço de energia no interior do tanque: ∑∑ −+−= SWQHFHF dt dE 2211 - Marcos Marcelino Mazzucco - 36
  39. 39. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Considerando que não há acúmulo das energias cinética e potencial, admitindo fluido incompressível e trabalho desprezível: QHFHF dt mHd +−= 2211 )( QHFHF dt mdH dt Hdm +−=+ 2211 Com CP=cte: ( ) ( ) QTTCFTTCF dt dT mC dt dm TTC refPrefPPrefP +−−−=+− )()()( 222111 ( ) ( ) QTTCFTTCF dt dT mC dt dh ATTC refPrefPPrefP +−−−=+− )()()( 222111ρ Substituindo o balanço de massa e fazendo Tref=0: QTCFTCF dt dT mCTC PPPP +−=+− 22211121 )( vvρ QTCTCTC dt dT AhC PPPP +−−−= )( 2122221111 vvvv ρρρρ Com ρ=ρ1=ρ2; CP= CP1= CP2; T=T2: QTCTTC dt dT AhC PPP +−−−= )()( 21211 vvvv ρρρ QTTC dt dT AhC PP +−= )( 11vρρ )/()/()( 11 PAhCQAhTT dt dT ρ+−= v Incorporando a equação para transferência de calor, Q= UATC(T4-T): Ah C TT dt dT P T)-(T A )( 4 TC 11 ρ U +− = v - Marcos Marcelino Mazzucco - 37
  40. 40. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 3.1.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM CSTR COM TROCA TÉRMICA vA0,CA0 vA1,CA1, T1 T0 vA2, T2 vA3, T3 CA, T Trata-se de um reator químico em regime de operação contínua, perfeitamente agitado, onde ocorre uma reação A→B, de primeira ordem. A reação é exotérmica, assim o reator é resfriado por uma correntede FA2 a uma temperatura T2. O nível de líquido no tanque é constante bem como a densidade da mistura. Balanço de Massa Global no interior do tanque: 0= dt dm (densidade e nível constantes) Balanço Molar para a espécie A: VrFF dt dN AAA A +−= 10 VrCC dt dC V AAA A +−= 1100 vv ( ) AAA A rCC Vdt dC +−= 1100 1 vv Balanço Molar para a espécie i qualquer em relação ao reagente limite A: iiAi i FFVr dt dC V −+−= 0ν onde: νi=coeficiente esteq. de i / coeficiente esteq. de A: (+) prod., (-) reag. )(0 XFF iiAi ν+Θ= ; com Θi=Fi0/FA0 Balanço de energia no interior do tanque: s saídas I i ii entradas I i ii WQHFHF dt dE −+−= ∑∑ == 11 ; com (Fi=Civ) A energia total do sistema é a soma dos produtos das energias específicas, Ei, das várias espécies no volume do sistema pelo número de mols destas espécies. - Marcos Marcelino Mazzucco - 38
  41. 41. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS E=∑= n i ii EN 1 Negligenciando as mudanças nas energias cinética e potencial e mantendo a energia interna U, obtemos a entalpia Hi. E=∑ ii EN = ∑i iiUN = ∑ − )ˆ( iii VPHN Onde Vi é o volume molar (L/gmol) Diferenciando em relação ao tempo e substituindo na equação do balanço de energia: ∑ ∑ ∑ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ t VNP t Ni H t H N ii i i i )ˆ( =∑ ∑− saídaiientradaii HFHF +Q Considerando que não há acúmulo das energias cinética e potencial, admitindo fluido incompressível e trabalho desprezível: =−+∑ ∑ dt dP V dt dC VH dt dT VCC i ipii QHFHF iiii +−∑ ∑00 , com (Fi0=Ci0v0) Como o balanço molar para a espécie i, negligenciando a variação da pressão total e considerando o caso de nenhuma mudança de fase, a equação fica: ( ) ∑ ∑∑ ∑∑∑ −+=−+−+ iiiiiiiiAiiipi HFHFQHFHFVrH dt dT CCV 000ν Rearranjando: )()( 00 VrHHHFQ dt dT CCV AiiiiiiPi −−−−= ∑∑∑ ν Como Hi =CPi(T-Tref) e Fi0=FA0Θi , T1=T; CA1=CA e admitindo CP médio: ∑∑ == −∆−−Θ−= n i ARipiiA n i iPi VrHTTCFQ dt dT CCV 1 00 1 )()( onde: 0 0 i T T pi pi TT dTC C i − = ∫ dTCTHTH T T pR o RR R ∫ ∆+∆=∆ )()( ∑∑ −=∆ reagentes i Pii produtos i Piip CCC νν Para uma reação em fase líquida a seguinte aproximação é freqüentemente realizada: - Marcos Marcelino Mazzucco - 39
  42. 42. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ∑ ∑∑ =Θ=≅ PSAPiiAiPiiPi CCCCCCCC 000 onde, CPS é a capacidade calorífica da solução. Com esta aproximação, assumindo que todas as espécies entram com a mesma temperatura T0, incorporando a equação para transferência de calor e considerando mistura perfeita na camisa, Q= UATC(T3-T): . 0030 )()()( VrHTTCFTTA dt dT VCC ARPSATCPSA −∆−−−−= U PSA A RT E R PSA TC CC CAeH V TT VCC TTA dt dT A 0 00 0 3 )()( − ∆ − − − − = vU 3.1.4 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA COLUNA DE ABSORÇÃO L G xf y3 L x3 G y2 L x2 G y1 L G x3 yf L xi+1 G yi L xi G yi-1 i Trata-se de uma coluna de absorção de três estágios onde é injetado um gás na base e um dos componentes deste é absorvido em um líquido, cuja corrente é alimentada no topo. G e L representam os fluxos molares das respectivas correntes, bem como yf e xf representam as frações molares do componente absorvido nas correntes de gás e líquido, respectivamente. Este equipamento é, freqüentemente, associado em série para - Marcos Marcelino Mazzucco - 40
  43. 43. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS aumento de capacidade. Em cada estágio da coluna será considerado contato perfeito, de forma que o componente absorvido esteja em equilíbrio nas correntes de gás e líquido que deixam cada estágio. Balanço de massa global (mols) GLGL dt dN ff −−+= Considerando densidade constante (invariável com a mudança de concentração) e nível de líquido constante em cada estágio: 0= dt dN Balanço molar para o componente absorvido (A) no estágio i: AiAiiAiA Ai GyLxGyLx dt dN −−+= −+ )1()1( )()( )1()1( AiiAAiiA Ai yyGxxL dt dN −+−= −+ Da condição de equilíbrio: yAi=axAi+b Como NAi=NxAi )()( )1()1( baxbaxGxxL dt dx N iiAAiiA Ai −−++−= −+ )1()1( )( +− ++−= iAAiiA Ai LxaGLxaGx dt dx N Como N=ρV/Mol e L=ρv/Mol, dividindo a equação por L: )1()1( )1( +− ++−= iAAiiA Ai x L aG xx L aG dt dx L N Para o primeiro estágio: )()( 112 1 AAfAA A yyGxxL dt dx N −+−= )( 112 1 baxy L G xx dt dx L N AAfAA A −−+−= )()1(12 1 by L G L aG xx dt dx AfAA A −++−=τ Para o segundo estágio: 321 2 )1( AAA A x L aG xx L aG dt dx ++−=τ - Marcos Marcelino Mazzucco - 41
  44. 44. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para o terceiro estágio: AfAA A x L aG xx L aG dt dx ++−= )1(32 3 τ Onde: L aG = fator de Stripping L G = razão gás-líquido τ=tempo médio de residência As equações para os três estágios são combinadas pois a composição em um estágio depende dos estágios adjacentes. 3.1.5 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA TROCADOR DE CALOR DUPLO TUBO vapor (TS) condensado (TS) z z=0 z=L Fluido v ; Tz(0,t) Fluido v ; Tz(L,t) Trata-se de um trocador de calor tipo duplo tubo com operação em contracorrente. A corrente quente é caracterizada por vapor saturado numa temperatura TS e a corrente fria é sujeita a um perfil de temperatura ao longo do comprimento do tubo (z) e ao longo do tempo. Para tornar mais realística esta modelagem, será assumido que a resistência térmica na parede do tubo interno é significante, de forma que a temperatura da parede não possa ser admitida nem como TZ nem como TS e exista um perfil de temperatura na parede ao longo do tempo e do comprimento (z), ou seja, TP=TP(z,t). Balanço de energia no conteúdo do tubo interno: QHH dt dH zzz V +−=      ∆+ ∆ vv ρρ - Marcos Marcelino Mazzucco - 42
  45. 45. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS QTTCTTC dt dT VC refzzPrefzP V P +−−−=      ∆ ∆+ ∆ )()( vv ρρρ QTTC dt dT zCA zzzP z PS +−=∆ ∆+ )(vρρ )()( zzPVTCzzzP z PS TTAhTTC dt dT zCA −+−=∆ ∆∆+vρρ )( )( zzP zzz P z PS TT z zDh z TT C dt dT CA − ∆ ∆ + ∆ − = ∆+ π ρρ v Aplicando o limite quando ∆z→0: )( zzP z P z PS TTDh z T C t T CA −+ ∂ ∂ −= ∂ ∂ πρρ v onde: ρ= densidade do fluido As= área da seção transversal (πD2 /4) D= diâmetro do tubo interno (exceto espessura do casco) TP= temperatura na parede h= coeficiente de transferência de calor do fluido v= fluxo volumétrico (volume/tempo) )( zzP PS z S z TT CA Dh z T At T −+ ∂ ∂ −= ∂ ∂ ρ πv O termo Dh CA PS π ρ é o tempo característico de aquecimento do fluido (τQ): )( 1 zzP Q z S z TT z T At T −+ ∂ ∂ −= ∂ ∂ τ v Balanço de energia no casco do tubo interno: )()()()()( zzPzPSeS P PPPSP TTDhTTDh t T CA −−−= ∂ ∂ ππρ onde: ρ(P)= densidade do material do tubo As(P)= área da seção transversal (πDe 2 /4-πD2 /4) De= diâmetro externo do tubo interno (com espessura do casco) TP= temperatura na parede TS= temperatura do condensado (saturado) CP(P)=capacidade calorífica do material do tubo - Marcos Marcelino Mazzucco - 43
  46. 46. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS hS= coeficiente de transferência de calor do condensado(exterior) h= coeficiente de transferência de calor do fluido (interior) )()( )()()()()()( zzP PPPSP zPS PPPSP eSP TT CA Dh TT CA Dh t T −−−= ∂ ∂ ρ π ρ π )( 1 )( 1 zzP Pz zPS SP P TTTT t T −−−= ∂ ∂ ττ Resumo: as duas equações resultantes representam os perfis de temperatura no fluido frio e nas paredes do tubo interno. )( 1 zzP Q z S z TT z T At T −+ ∂ ∂ −= ∂ ∂ τ v )( 1 )( 1 zzP Pz zPS SP P TTTT t T −−−= ∂ ∂ ττ As equações são dependentes e constituem um problema de valor de contorno. Assim, é requerido que se conheça as condições de contorno. Estas condições podem ser obtidas considerando operação em estado estacionário: )( 1 0 zzP Q z S TT z T A −+ ∂ ∂ −= τ v )( 1 )( 1 0 zzP Pz zPS SP TTTT −−−= ττ desta forma isolando TP na última equação, substituindo na anterior e resolvendo a equação diferencial ordinária resultante obtém-se Tz e TP em z=0 e em z=L. Com as condições iniciais definidas e lembrando que Tz= Tz(z,t) e Tw= Tw(z,t) temos Tz(0,0) e Tz(L,0). A solução numérica das e.d.p. (equação diferencial parcial) pode ser obtida pela discretização destas em z de forma que um sistema de e.d.o. (equação diferencial ordinária) será obtido. A discretização pode ser efetuada aproximando a derivada parcial e z pelo método das diferenças finitas: z TT z T jzjzz ∆ − = ∂ ∂ − )1()( Isto equivale a dividir, longitudinalmente, o tubo resolvendo as e.d.o. resultantes para cada fração de tubo obtendo assim ao final de cada integração a temperatura de cada seção que corresponde a condição inicial da seção seguinte. A solução das e.d.o. para a última fração fornecem Tz(L,t) e Tw= Tw(L,t). As equações discretizadas ficam: - Marcos Marcelino Mazzucco - 44
  47. 47. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS )( 1 )()( )1()()( jzjP Q jzjz S jz TT z TT Adt dT −+ ∆ − −= − τ v )( 1 )( 1 )()()( )( jzjP Pz jPS SP jP TTTT dt dT −−−= ττ Observe que para N divisões no tubo serão obtidas 2N e.d.o. e que a precisão desta solução numérica é tanto maior quanto maior for o valor de N. Este modelo difere dos anteriores por constituir um modelo a parâmetros distribuídos, enquanto os anteriores correspondem a modelos a parâmetros concentrados. 3.2SOLUÇÃO NUMÉRICA COM MATLAB E OCTAVE Os exemplos apresentados podem ser resolvidos com GNU Octave através das subrotinas lsode(...) e ode45(...). No MathWorks Matlab a subrotina ode45(...) pode ser utilizada. Nos dois pacotes de solução numérica os procedimentos são idênticos. No exemplo anterior foi utilizado GNU Octave . 3.3EXERCÍCIOS 1. Desenvolva a solução numérica para o modelo do trocador de calor duplo tubo. 2. Entre os exemplos trabalhados está o modelo de esvaziamento e enchimento de um tanque de estoque de líquido. No modelo trabalhado, a área da seção transversal é constante. Faça o modelos para um tanque cônico: - Marcos Marcelino Mazzucco - 45
  48. 48. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 3. (ENADE 2008) Pseudocódigo é uma forma genérica de se escrever um algoritmo, da forma mais detalhada possível, utilizando-se uma linguagem simples, nativa a quem o escreve, de modo a ser entendida sem necessidade de se conhecer a sintaxe de uma linguagem de programação específica. Apresenta-se abaixo o pseudocódigo de um algoritmo capaz de resolver equações diferenciais da forma , freqüentemente encontrada em problemas de modelagem em engenharia. Uma forma equivalente, e algumas vezes complementar, ao pseudocódigo, utilizada para se representar um algoritmo é o diagrama de fluxos (fluxograma). Que fluxograma representa, de modo mais preciso, o pseudocódigo descrito acima? - Marcos Marcelino Mazzucco - 46
  49. 49. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS (A) (B) (C) (D) (E) - Marcos Marcelino Mazzucco - 47
  50. 50. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE E LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS - Marcos Marcelino Mazzucco - 48
  51. 51. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A modelagem matemática (dinâmica) de processos recai em E.D.O.s que estão sujeitas às soluções analítica ou numérica. Quando as equações que descrevem um sistema são equações diferenciais lineares é conhecida uma ferramenta matemática chamada Transformada de Laplace que permite a solução rápida e simplificada destas. A ferramenta consiste em transformar uma E.D.O em uma equação algébrica (E.A.) em um domínio transformado chamado Domínio de Laplace onde a equação é resolvida. Obtida a solução neste domínio transformado procede-se a operação inversa e a solução no domínio do tempo é obtida. 4.1DEFINIÇÃO O domínio de Laplace ou domínio s é obtido pela transformação de uma função f(t), no domínio do tempo, pela integração da função f(t) multiplicada por e-st , com t0=0 e t=∞. ( ) ∫ ∞ − == 0 )()()( dtetfsFtf st L F(s) representa a função f(t) transformada para o domínio de Laplace e L é o operador de Laplace. O operador inverso de Laplace L-1 (F(s)) transporta a função F(s) para o domínio original (tempo). 4.2PROPRIEDADES Para que uma função f(t) seja transformada usando o operador de Laplace é requisito básico que a função seja contínua para t>0. Além disso a transformada de Laplace é uma operação linear, ou seja satisfaz o princípio geral da superposição: L(af1(t)+bf2(t))=[aL(f1(t))]+ [bL(f2(t))]=aF1(s)+bF2(s) onde f1 e f2 são funções no tempo e a e b são constantes. 4.3OPERAÇÕES NO DOMÍNIO S As regras básicas para operações no domínio s são: L(f1(t) + f2(t))=F1(s) + F2(s) L(f1(t) - f2(t))=F1(s) - F1(s) L(af(t))= aF(s) L(f(t-θ))=e-θs F(s) L(df(t)/dt)=sF(s)-f(0) L(d2 f(t)/d2 t)=s2 F(s)-sf(0)-df/dt(0) - Marcos Marcelino Mazzucco - 49
  52. 52. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS L(dn f(t)/dn t)=sn F(s)-sn-1 f(0)-...dfn-1 /d n-1 (0) L( ∫ t dttf 0 )( )=F(s)/s Tabela 4.1- Transformadas de Laplace f(t) F(s) observação )(tδ 1 impulso unitário função delta de Dirac S(t) S(t)=0 para t<0 e S(t)=1 para t≥0 s 1 degrau unitário a s a (a: constante) t 2 1 s rampa unitária tn-1 ( ) n s n !1− e-bt bs + 1 crescimento exponencial 1-e-bt )( bss b + decaimento exponencial e-t/τ (1/τ) 1 1 +sτ (tn-1 e-bt )/(n-1)! n bs )( 1 + com n>0 tn-1 e-t/τ /(τn (n-1)!) n s )1( 1 +τ (e-bt - e-at )/(a-b) ))(( 1 bsas ++ (e-t/τ 1- e- t/τ 2)/(τ1-τ2) )1)(1( 1 21 ++ ss ττ (c-a)/(b-a)ea t+ (c-b)/(a-b)e-b t ))(( )( bsas cs ++ + 1/τ1(τ1-τ3)/(τ1-τ2)e-t/τ 1+ 1/τ2(τ2-τ3)/(τ2-τ1)e-t/τ 2 )1)(1( 1 21 3 ++ + ss s ττ τ 1-e-t/τ )1( 1 +ss τ sen(ωt) 22 ω ω +s senóide cos(ωt) 22 ω+s s co-senóide - Marcos Marcelino Mazzucco - 50
  53. 53. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS sen(ωt+φ) 22 )sen()cos( ω φφω + + s s e-a/t sen(ωt) 22 )( ω ω ++ as (a, ω:real) senóide amortecida e-a/t cos(ωt) 22 )( ω++ + as as (a, ω:real) co-senóide amortecida )1/sen( 1 1 2/ 2 ζτ ζτ τζ − − − te t 12 1 22 ++ ss ζ ττ (0≤|ζ|<1) 1+(τ1e-t/τ 1-τ2e-t/τ 2)/( τ2-τ1) )1)(1( 1 21 ++ sss ττ ( τ1≠τ2) )1/sen( 1 1 1 2/ 2 ζτψ ζ τζ −+ − − − te t )12( 1 22 ++ sss ζ ττ (0≤|ζ|<1) ) 1 (tan 2 1 ζ ζ ψ − = − )1/sen( 1 )1/cos(1 2 2 2/ ζτ ζ ζ ζττζ − − +−− − t te t )12( 1 22 ++ sss ζ ττ (0≤|ζ|<1) 1+(τ3-τ1)/(τ1-τ2)e-t/τ 1+ (τ3-τ2)/(τ2-τ1)e-t/τ 2 )1)(1( 1 21 3 ++ + sss s ττ τ ( τ1≠τ2) e-at /((b-a)(c-a))+ e-bt /((c-a)(a-b))+ e-ct /((a-c)(b-c)) ))()(( 1 csbsas +++ (e-at -e-bt )/(b-a) ))(( 1 bsas ++ df()/dt sF(s)-f(0) Equação Diferencial Ordinária (EDO) de 1a ordem dn f()/dtn 0 1 1 0 2 2 0 2 1 ... )0()( = − − = − − = − − − −− −− t n n t n n t n nn dt fd dt fd s dt df s fssFs = ∑ − = = − − − − −− 1 1 0 1 1 )0()( n i t in in i nn dt fd s fssFs EDO de ordem n ∫ t dttf 0 )( F(s)/s integral - Marcos Marcelino Mazzucco - 51
  54. 54. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A Tabela 4.1 é utilizada nas mudanças de domínio t→s e s→t, sendo necessário primeiro obter formas para f(t) e F(s) que nela se enquadrem. Tabelas mais completas podem ser obtidas em livros de cálculo. 4.4TEOREMAS DOS VALORES INICIAL E FINAL O valor de uma função f(t) quando t→∞, ou seja, )(lim)( tfy t ∞→ =∞ pode ser determinado, no domínio de Laplace com Re(s)≥0 (parte real de s) para todo s, pela expressão: )(lim)( 0 ssFy s→ =∞ Da mesma forma o valor inicial de uma função f(t) quando t→0, ou seja, )(lim)0( 0 tfy t→ = pode ser determinado, no domínio de Laplace, pela expressão: )(lim)0( ssFy s ∞→ = Obs.: Re(s)≥0 para todo s é a condição para que a função sF(s) seja contínua. Caso a função não seja limitada, no domínio do tempo, o teorema não pode ser aplicado. Observa-se isto se, ao menos, uma das raízes do denominador de F(s) for positiva ou for um número complexo com parte real nula e parte imaginária positiva ou for um número complexo com parte real positiva e parte imaginária com qualquer sinal. Estes teoremas não podem ser aplicados se f(t) não for assintótica. 4.5TRANSLAÇÃO DA FUNÇÃO NO TEMPO A translação do tempo (time delay) consiste em um atraso no aparecimento da resposta de uma função após um estímulo (entrada). Em engenharia de processos é, mais comumente, referida como tempo morto (dead time). O tempo morto, na maioria dos processos químicos, é caracterizado pelo atraso de transporte resultante do escoamento de fluidos em tubos. Matematicamente, uma função f(t) atrasada no tempo em θ unidades de tempo pode ser representada por: g(t)=f(t-θ)S(t-θ) - Marcos Marcelino Mazzucco - 52
  55. 55. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Onde: S é a função degrau definida como S(t-θ)=0 para t<θ e S(t-θ)=1 para t≥θ Assim a transformada de f(t-θ) fica: L(g(t))=L(f(t-θ)S(t-θ))=e-θs F(s) 4.6TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA De forma diferente da translação no tempo, a translação da transformada aparece no domínio de Laplace e não possui o mesmo significado. A translação da transformada é o resultado da existência de funções exponenciais no domínio do tempo. Ou seja: L(e-at f(t))= F(s+a) Esta definição é extremamente útil na determinação da transformada inversa. Por exemplo: determinar a transformada inversa de 2 )( 1 )( as sF + = . Solução: ( )       + = −− 2 11 )( 1 )( as LsFL Da tabela: f(t) F(s) (tn-1 e-bt )/(n-1)! n bs )( 1 + Assim: f(t)= (t2-1 e-at )/1! f(t)= te-at O mesmo resultado seria obtido pela translação da transformada: te as Lentãot s Lse at−−− =      + =      2 1 2 1 )( 1 )( 1 De forma semelhante, quando no domínio do tempo aparece e-at f(t) a transformada deste produto pode ser obtida a partir da transformada de f(t), L(f(t)), fazendo s=s+a no domínio de Laplace. Por exemplo: Determinar a transformada de f(t)= e-at sin(ωt). Solução: ( ) ( ))sen()( teLtfL at ω− = Da tabela: - Marcos Marcelino Mazzucco - 53
  56. 56. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS f(t) F(s) e-a/t sen(ωt) 22 )( ω ω ++ as Assim: F(s)= 22 )( ω ω ++ as O mesmo resultado seria obtido pela translação da transformada: ( ) ( ) 22 22 )( )sen( )sen( ω ω ω ω ω ω ++ = += + = − as teL assfazer então s tLse at Outro exemplo: 18,0 3 )( 2 ++ = ss sY Vamos alterar a forma do denominador da equação completando o quadrado da equação do segundo grau: 4,0 222 84,0 3 84,0)4,0( 3 18,0 3 )( +→+ = ++ = ++ = ssssss sY         + = −− 84,0 84,0 84,0 3 )( 2 14,0 s Lety t sen(ωt) 22 ω ω +s ))84,0(( 84,0 3 )( 4,0 tsenety t− = 4.7COMO OPERAR A TRANSFORMA INVERSA Dado que uma função F(s) pode ser separada em funções parciais na forma F(s)=F1(s) + F2(s)+...+Fn(s), a transformada inversa de Laplace pode ser obtida a partir das transformas das funções ou frações parciais, ou seja: F(s) =F1(s) + F2(s)+...+Fn(s) L-1 (F(s))= L-1 (F1(s)) + L-1 (F2(s))+...+ L-1 (Fn(s)) f(t)= f1(t) + f2(t) +...+ fn(t) - Marcos Marcelino Mazzucco - 54
  57. 57. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O seguinte algoritmo representa a inversão da transformada: algoritmo inversão <<Expandir a função F(s) em uma série de frações parciais>> <<Determinar todas as constantes da série de frações parciais>> <<Determinar a transformada inversa de cada uma das frações parciais>> <<Compor a função no domínio do tempo>> fim Problemas de controle de processos envolvem, freqüentemente, problemas na forma chamada zero-pólo: ∏ ∏ = = − − == N n n M m m ps zsK 1 1 )( )( P(s) Z(s) F(s) ; com N≥M Para este modelo as frações parciais podem ser obtidas de acordo com os pólos (raízes do denominador) da equação. 4.7.1 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES DISTINTAS Para raízes distintas, reais ou complexas a seguinte expansão pode ser realizada: ∑ ∏ ∏ = = =       − = − − == N n n n N n n M m m ps c ps zsK 1 1 1 )( )( P(s) Z(s) F(s) Ex.: determinar a transformada inversa da função F(s)=(s+1)/[(s+2)(s+3)]. A expansão em frações parciais fica: 32)3)(2( )1( F(s) 21 + + + = ++ + = s c s c ss s Para determinar as constantes c1 e c2 pode-se utilizar três métodos: 1°Método-Multiplicação/Inspeção: Multiplicar os dois lados da equação pelo denominador no lado esquerdo da equação: )3)(2( 32)3)(2( )3)(2)(1( 21 ++      + + + = ++ +++ ss s c s c ss sss )2()3()1( 21 +++=+ scscs )23()(1 2121 ccsccs +++=+ Comparando os coeficientes dos dois termos da equação: - Marcos Marcelino Mazzucco - 55
  58. 58. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS c1+c2=1 3c1+2c2=1 Resolvendo c1 e c2 no sistema de equações resultante: c1=-1 ; c2=2 Portanto: 3 2 2 1 )3)(2( )1( F(s) + + + − = ++ + = ssss s A transformada inversa fica:       + +      + − = −− 3 2 2 1 f(t) 11 s L s L       + +      + −= −− 3 1 2 2 1 1f(t) 11 s L s L Da tabela: f(t) F(s) e-bt bs + 1 tt ee 32 21f(t) −− +−= 2° Método-Substituição: substituir dois valores de s na equação e resolver o sistema de equações resultante para ci: 32)3)(2( )1( F(s) 21 + + + = ++ + = s c s c ss s Para s=-1: 3121)31)(21( )11( 21 +− + +− = +−+− +− cc 2 0 2 1 c c += Para s=1: 3121)31)(21( )11( 21 + + + = ++ + cc 4312 2 21 cc += 4 3 2 1 4 3 6 3 2 1 2 1 c c c c +=⇒+= O sistema de equações é: - Marcos Marcelino Mazzucco - 56
  59. 59. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 0 2 2 1 =+ c c 2 1 4 3 2 1 =+ c c A solução é c1=-1; c2=2 No GNU Octave o sistema é resolvido facilmente: #GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #(c)Marcos Marcelino Mazzucco A=[1 1/2 ; 1 3/4]; B=[0 ; 1/2]; AB Obs.: A transformada inversa foi desenvolvida anteriormente. 3° Método-Heaviside: o método da expansão de Heaviside consiste em: algoritmo Heaviside inicio para <<cada uma das parcelas do denominador (s+pn)>> fazer <<Multiplicar os dois lados da equação pela parcela (s+pn)>> <<Na equação resultante, fazer s=-pn >> <<Determinar a constante que resta>> fim para fim 32)3)(2( )1( F(s) 21 + + + = ++ + = s c s c ss s 3 )2( 2 )2( )3)(2( )2)(1( 21 + + + + + = ++ ++ s sc s sc ss ss 3 )2( )3( )1( 2 1 + + += + + s sc c s s 32 )22( )32( )12( 2 1 +− +− += +− +− c c 11 −=c 3 )3( 2 )3( )3)(2( )3)(1( 21 + + + + + = ++ ++ s sc s sc ss ss 2 1 2 )3( )2( )1( c s sc s s + + + = + + 2 2 23 )33( )23( )13( c c + +− +− = +− +− - Marcos Marcelino Mazzucco - 57
  60. 60. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 22 =c A solução é c1=-1; c2=2. 4.7.2 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES MÚLTIPLAS Para raízes múltiplas, reais ou complexas a seguinte expansão pode ser realizada: ∑∑ +−= − = − + − == N RNn r n n RN n n n n ps c ps c sP sZ sF 11 )()()( )( )( onde: rn é o expoente da parcela (s-pn) e assume valores 1, 2, 3,... (rn= n-(N-R)) N= Número total de pólos R= Número de pólos repetidos (múltiplos) N-R= Número de pólos simples Ex.: 3 4 2 321 3 )2()2(21)2)(1( 1 F(s) + + + + + + + = ++ = s c s c s c s c ss N=4; R=3 ; N-R=1 Para determinar 2 constantes podemos utilizar o método de Heaviside: Multiplicando os dois lados da equação por (s+2)3 : 3 3 4 2 3 3 3 2 3 1 3 3 )2( )2( )2( )2( 2 )2( 1 )2( )2)(1( )2(1 + + + + + + + + + + + = ++ + s sc s sc s sc s sc ss s 43 2 2 3 1 )2()2( 1 )2( )1( 1 cscsc s sc s +++++ + + = + Com s=-2: 43 2 2 3 1 )22()22( 1 )22( )12( 1 ccc s c ++−++−+ + +− = +− 14 −=c Multiplicando os dois lados da equação F(s) por (s+1): 3 4 2 321 3 )2( )1( )2( )1( 2 )1( 1 )1( )2)(1( )1(1 + + + + + + + + + + + = ++ + s sc s sc s sc s sc ss s 3 4 2 32 13 )2( )1( )2( )1( 2 )1( )2( 1 + + + + + + + + += + s sc s sc s sc c s Com s=-1: - Marcos Marcelino Mazzucco - 58
  61. 61. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 3 4 2 32 13 )21( )11( )21( )11( 21 )11( )21( 1 +− +− + +− +− + +− +− += +− ccc c 11 =c Para determinar as 2 constantes restantes vamos substituir dois valores de s na equação e resolver o sistema de equações resultante para ci: 3 4 2 321 3 )2()2(21)2)(1( 1 F(s) + + + + + + + = ++ = s c s c s c s c ss Para s=1: 3 4 2 321 3 )21()21(2111)21)(11( 1 + + + + + + + = ++ cccc 2793254 1 4321 cccc +++= 27 1 932 1 54 1 32 − +++= cc 27 1 2 1 54 1 93 32 +−=+ cc Para s=0: 32 32 3 )20( 1 )20(2010 1 )20)(10( 1 + − + + + + + + = ++ cc 8 1 42 1 8 1 32 −++= cc 8 2 1 42 32 +−=+ cc Resolvendo o sistema resultante no GNU Octave: 27 1 2 1 54 1 93 32 +−=+ cc 8 2 1 42 32 +−=+ cc Código: #GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #(C)Marcos Marcelino Mazzucco,Dr. A=[1/3 1/9 ; 1/2 1/4]; B=[1/54-1/2+1/27 ; -1+2/8]; AB A solução é c2=-1; c3=-1. - Marcos Marcelino Mazzucco - 59
  62. 62. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Exercício: Obtenha a solução no domínio do tempo. 4.7.3 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA TERMOS QUADRÁTICOS SEM RAÍZES REAIS (RAÍZES COMPLEXAS) Para termos quadráticos com raízes, apenas, complexas a seguinte expansão pode ser realizada: Ds CsC Ds sF + + = + = 2 21 2 1 )( Exemplo: 3 8 4 62 34)3)(4( 506 )( 2 3 2 21 2 2 + + + +− = + + + + = ++ + = ss s s C s CsC ss s sF O exemplo que segue mostra como aplicar a transformada inversa na equação       +      + = 22 A 1 )( ω ω τ ss K sY P P , resolvendo-a através de dois métodos de expansão: ( )221 1A )( ω τ τ ω +      + = ss K sY P P P Expandindo em frações parciais considerando as raízes distintas: ( ) ( )               − + + +       + = is C is C s CK sY P P P ωω τ τ ω 321 1 A )( Determinando as constantes (distintas) pelo método de Heaviside: 22 2 1 1 ωτ τ P P C + = i C P P ωωτ τ 22 22 + −= i C P P ωωτ τ 22 23 +− = Rearranjando a equação expandida: - Marcos Marcelino Mazzucco - 60
  63. 63. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ( ) ( ) ( )               + +++− +       + = 22 321 1 A )( ω ωω τ τ ω s isCisC s CK sY P P P ( ) ( ) ( ) ( )               + − + + + +       + = 22 23 22 321 1 A )( ω ω ω τ τ ω s iCC s sCC s CK sY P P P Substituindo as constantes: 12222 22 2 2232 + −= +− + + −=+ ωτ τ ωωτ τ ωωτ τ P P P P P P ii CC 12222 222223 + −=        + −− +− =− ωτ ωτ ωωτ τ ωωτ τ P P P P P P i ii CC ( ) ( )               +         + − +         + − +       +         + = 22 22 22 22 2 22 2 11 1 1A )( ω ω ωτ ωτ ω ωτ τ τ ωτ τ τ ω s i i s s s K sY P P P P P P P P P ( ) ( ) ( )               + + + −       + + = 222222 11 A )( ω ω ω ωτ τ ωτ ωττ τ ss s s K sY P P P PP PP ( ) ( ) ( ) ( )      + + + − ++ = 2222 2 22 1 1 1 1 A )( ωω τ τ τ ωτ ω ss s s K sY P P P P P A mesma solução poderia ser obtida considerando a expansão específica para raízes complexas apenas: ( )221 1A )( ω τ τ ω +      + = ss K sY P P P Sendo: Ds CsC Ds sF + + = + = 2 21 2 1 )( - Marcos Marcelino Mazzucco - 61
  64. 64. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ( )                     + + + + =               +      + = P P P P P P s C s CsCK ss K sY τ ωτ ω ω τ τ ω 1 A 1 1A )( 3 22 21 22 Multiplicando os dois lados da equação (parte entre colchetes) pelo denominador do lado esquerdo: ( ) ( )               +      +       + ++      + + + = 22322 22 21 1 1 1 1 ω τ τ ω τω ss s C ss s CsC P P P ( ) 1 1 )( 22 321 =++      ++ ω τ sCsCsC P 12 3 2 3 2 2 12 1 =+++++ ω ττ CsC C sCs C sC PP 100)()()( 22 3 2 2 12 31 ++=+++++ ssC C sC C sCC PP ω ττ Analisando os coeficientes: C1+C3=0 C1/τP+C2=0 C2/τP+C3ω2 =1 Assim: C1+C3=0 → C1=-C3 C1/τP+C2=0 → C2= C3/τP C2/τP+C3ω2 =1 C3=τP 2 /(1+τP 2 ω2 ) C2=τP/(1+τP 2 ω2 ) C1=-τP 2 /(1+τP 2 ω2 ) Retornando à função Y(s): ( )                     + + + + + +        + − =               +      + = P P P P P P P P P P P P P ss s K ss K sY τ τ ωτ τ ω ωτ τ ωτ τ τ ω ω τ τ ω 1 111A 1 1A )( 22 2 22 2222 2 22 - Marcos Marcelino Mazzucco - 62
  65. 65. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS       + + + +− + = 1 1 1 A )( 2 2222 ss sK sY P PP P P P P τ τ ω τ ωτ τ τ ω       + + + − ++ =      + + + +− + = 2222 2 22 2 2222 1 1 1 A 1 1 1 A )( ω ω ω ωτ τ ωτ ωττ τ ω τ ωτ ω ss s s K ss sK sY P P P P P P PP P P As equações obtidas pelas duas formas de expansão são iguais, sendo que a solução no domínio do tempo é: f(t) F(s) observação sen(ωt) 22 ω ω +s senóide e-t/τ (1/τ) 1 1 +sτ cos(ωt) 22 ω+s s co-senóide ( ) ( )         +− + = − )sen()cos( 1 1 A )( 2 22 tte K ty P t P P P ωωτ ω τ ωτ ωτ τ ( )         +− + = − )sen()cos( 1 A )( 22 tte K ty P t P P ωωτ ωωτ ωτ τ 4.7.4 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS COM GNU OCTAVE A subrotina residue(<<poli. numerador>>, <<poli denominador>>) de GNU Octave realiza a expansão em frações parciais da razão de dois polinômios. A subrotina residue(...) expande a razão de dois polinômios na forma: ∑ ∑= = − + − = n n I i iI ie n n sk ps c sP sZ n 1 1)()( )( A subrotina residue(...) retorna, em ordem, os valore de [c, p, k, e] na equação anterior. Ex.: 65 1 F(s) 2 ++ + = ss s Código: #Software: GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #Autor:Marcos Marcelino Mazzucco [c,p,k,e]=residue([1,1],[1,5,6]) - Marcos Marcelino Mazzucco - 63
  66. 66. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A subrotina fracoes_parciais(...,...), faz interface com a subrotina residue(...,...) e foi escrita para acompanhar este material, realizando a expansão e apresentando o resultado na forma de texto. A subrotina está disponível em http://www.eqm.unisul.br/prof/marcos e está apresentada no apêndice 1. Os parâmetros requeridos são os mesmos da subrotina residue e, adicionalmente, um parâmetro do tipo texto (string) pode ser utilizado para que o resultado seja apresentado, também, na forma de texto. Matlab dispõe da subrotina printsys(...,...,...) para exibir a função algébrica que representa um sistema. Com Octave pode ser utilizada a subrotina tfout(...,...,..). No apêndice 1 está a subrotina exibirft(...,...,...) que também pode ser utilizada para esta finalidade. Código: #Software: GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #Autor:Dr. Marcos Marcelino Mazzucco fracoes_parciais([1,1],[1,5,6],'s'); [c,p,k,e]=fracoes_parciais([1,1],[1,5,6]),'s') - Marcos Marcelino Mazzucco - 64
  67. 67. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para o caso da expansão em frações parciais com raízes múltiplas a lista de retorno da subrotina residue, [c, p, k, e], apresentará os graus das parcelas do denominador no parâmetro “e”: 3 3 2 214 2343 )2()2(21820187 1 )2)(1( 1 F(s) + + + + + + + = ++++ = ++ = s c s c s c s c ssssss [c,p,k,e]=residue([1],[1,7,18,20,8]) - Marcos Marcelino Mazzucco - 65
  68. 68. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4.7.4.1 Multiplicação de polinômios com GNU Octave Na expansão em frações parciais, se os polinômios no numerador e no denominador estiverem na forma zero-polo é necessário realizar o produto dos termos no numerador e/ou denominador para utilizar a subrotina residue(...). Esta operação pode ser realizada manualmente ou utilizando a subrotina conv(<<A>>,<<B>>) onde A e B são vetores que representam os coeficientes de um polinômio (apenas dois polinômios podem ser multiplicados por vez). Ex.: 32)3)(2( )1( F(s) 21 + + + = ++ + = s c s c ss s A subrotina polymult([...],[...],[...],...,"s"), apresentada no apêndice 1, foi desenvolvida para acompanhar este material e permite a multiplicação de diversos polinômios com apenas um comando, simplificando a escrita das instruções. Ex.: 5432)5)(4)(3)(2( )1( F(s) 4321 + + + + + + + = ++++ + = s c s c s c s c ssss s Código: #Software: GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #Autor:Dr. Marcos Marcelino Mazzucco conv([1,2],[1,3] p=polymult([1,2],[1,3],"s"); p p=conv(conv(conv([1,2],[1,3]),[1,4]),[1,5]) p=polymult([1,2],[1,3],[1,4],[1,5],"s"); - Marcos Marcelino Mazzucco - 66
  69. 69. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4.7.4.2 Adição de polinômios com GNU Octave Para somar dois polinômios pode-se utilizar a operação "+" do GNU Octave que exige que os vetores que representam os polinômios tenham o mesmo número de coeficientes. Ou também, utilizar a subrotina polyadd([...],[...],[...],..., "s") desenvolvida para acompanhar este material e listada no apêndice 1. A figura a seguir mostra a soma de dois polinômios realizada de várias formas. Com a subrotina polyadd() não é necessário que os dois polinômios sejam representados com o mesmo número de coeficientes, desde que o significado seja mantido (o parâmetro "s" é opcional). #Software: GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #Autor:Dr. Marcos Marcelino Mazzucco p1=[1,2,3,4,0]; p2=[0,0,1,2,3]; polyout(p1); polyout(p2); p=p1+p2 polyout(p); p=polyadd([1,2,3,4,0],[1,2,3],"s"); - Marcos Marcelino Mazzucco - 67
  70. 70. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4.7.4.3 Potenciação de polinômios com GNU Octave A subrotina polypower(<<polinômio>>,<<expoente>>,"s"), apresentada no apêndice 1, foi desenvolvida para acompanhar este material e permite a potenciação de polinômios. 81261 1 )2( 1 F(s) 233 +++ = + = ssss Código: #Software: GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #Autor:Dr. Marcos Marcelino Mazzucco polypower([1,2],3,"s"); 4.8SOLUÇÃO DE EDOS COM COEFICIENTES CONSTANTES - Marcos Marcelino Mazzucco - 68
  71. 71. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A tabela de aplicação do operador de Laplace também pode ser aplicada para resolver equações diferencias ordinárias de ordem n, desde que possuam coeficientes constantes e sejam lineares. Para praticar vamos resolver um exemplo, primeiro com uma EDO de ordem 1: 02)(3 )( 4 =++ ty dt tdy Para resolver uma EDO é necessária uma condição inicial. Neste caso, y(0)=1. ( )0234 Ly dt dy L =      ++ Pelo princípio da superposição linear: ( ) ( ) ( )0234 LLyL dt dy L =++      Da tabela: f(t) F(s) df()/dt sF(s)-f(0) ( ) 0 2 )(3)0()(4 =++− s sYyssY ( ) 0 2 )(31)(4 =++− s sYssY ( ) 04 2 34)( =−++ s ssY ( )34 24 )( + − = ss s sY A expansão em frações parciais com GNU Octave é: #Software: GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #Autor:Dr. Marcos Marcelino Mazzucco [c,p,k,e,s]=fracoes_parciais([4,-2],polymult([1,0],[4,3]),"s") rats(c) rats(p) - Marcos Marcelino Mazzucco - 69
  72. 72. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Obs.: A subrotina rats(...) determina a forma racional de um número (1,66667=5/3) A solução no domínio do tempo é obtida através da transformada inversa:       − +      + = −− s L s L 3/2 4/3 3/5 y(t) 11       −      + = −− s L s L 1 3/2 4/3 1 3/5y(t) 11 Da tabela: f(t) F(s) e-bt bs + 1 A s a 3 2 3 5 y(t) 4 3 −= − t e Fazendo t=0, obtém-se a condição inicial: - Marcos Marcelino Mazzucco - 70
  73. 73. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 1 3 3 3 2 3 5 y(0) 0 4 3 ==−= ⋅− e Para praticar melhor vamos resolver outro exemplo, agora com uma EDO de ordem 3: 0161161 2 2 3 3 =−+++ y dt dy dt yd dt yd As condições iniciais são: ;0;0;0)0( 0 2 2 0 === == tt dt yd dt dy y ( ) ( ) 0161161 2 2 3 3 =−++      +      +      LyL dt dy L dt yd L dt yd L Da tabela: f(t) F(s) dn f()/dtn 0 1 1 0 2 2 0 21 ...)0()( = − − = − − = −− −−−−− t n n t n n t nnn dt fd dt fd s dt df sfssFs dn f()/dtn ∑ − = = − − −− −− 1 1 0 11 )0()( n i t in in inn dt fd sfssFs Para o primeiro termo: ( )         +−−=      = − − − = − − −− 0 23 23 12 0 13 13 11133 3 3 ..)0(.1 tt dt dy s dt dy syssYs dt dy L Como: ;0;0;0)0( 0 2 2 0 === == tt dt yd dt dy y ( ) ( ) ( )sYssYs dt dy L 33 3 3 000 =+−−=      Os demais termos seguem o mesmo raciocínio. Assim a transformada de Laplace da função fica: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 6116 23 =−+++ s sYssYsYssYs Isolando Y(s): - Marcos Marcelino Mazzucco - 71
  74. 74. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ( ) ( )6116 1 23 +++ = ssss sY ( ) ( )( )( )321 1 +++ = ssss sY Resolvendo com GNU Octave: #Software: GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #Autor:Dr. Marcos Marcelino Mazzucco [c,p,k,e,s]=fracoes_parciais([1],polymult([1,0],[1,1],[1,2], [1,3]),"s"); c,rats(c) p,rats(p) ( ) ( ) ( ) ( ) ssss sY 6/1 1 2/1 2 2/1 3 6/1 + + − + + + + − = No domínio do tempo: ( ) ( ) ( ) ( )       +      + − +      + +      + − = −−−− s L s L s L s Lty 6/1 1 2/1 2 2/1 3 6/1 1111 - Marcos Marcelino Mazzucco - 72
  75. 75. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Da tabela: f(t) F(s) e-bt bs + 1 A s a ( ) 6/12/12/16/1 23 +−+−= −−− ttt eeety O gráfico a seguir representa esta função. #Software: GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #Autor:Dr. Marcos Marcelino Mazzucco t=0:0.01:10; plot(t,-1/6*exp(-3*t)+1/2*exp(-2*t)-1/2*exp(-t)+1/6) xlabel("t");ylabel("y"); - Marcos Marcelino Mazzucco - 73
  76. 76. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4.9LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS A linearização de sistemas consiste em uma aproximação de uma equação não linear à uma forma linear de maneira que operadores lineares possam ser aplicados. Usando expansão em série de Taylor com truncamento no termo de primeira ordem obtém-se uma aproximação adequada para processos onde perturbações não produzem grandes desvios da posição aproximada. Supondo uma equação na forma: ),( yxf dx dy = Linearizando no ponto x0 utilizando expansão em série de Taylor com truncamento (grau1=): 0000 , 0 , 000 )()(),(),( yxyx x f xx y f yyyxfyxf ∂ ∂ −+ ∂ ∂ −+≅ Assim: 0000 , 0 , 000 )()(),( yxyx x f xx y f yyyxf dx dy ∂ ∂ −+ ∂ ∂ −+= Considere a equação 5/ += yx dx dy com x(0)=4 e y(0)=2: Sendo f(x,y)= x/y a aplicação a expansão em série de Taylor truncada no termo linear fica: 0000 , 0 , 000 )()(),(),( yxyx x f xx y f yyyxfyxf ∂ ∂ −+ ∂ ∂ −+≅ 0000 , 0 , 000 )/( )( )/( )(/),( yxyx x yx xx y yx yyyxyxf ∂ ∂ −+ ∂ ∂ −+≅ 0000 ,, 2 1 )4( )1.( )2(2/4),( yxyx y x y x yyxf       −+      − −+≅ 0 2 0 0 1 )4( )1.( )2(2/4),( y x y x yyxf −+ − −+≅ 2 1 )4( 2 4 )2(2/4),( 2 −+ − −+≅ xyyxf - Marcos Marcelino Mazzucco - 74
  77. 77. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 2 )4( )2( 2 4 ),( − +−−≅ x yyxf Então a EDO linearizada fica: 5 2 )4( )2( 2 4 + − +−−= x y dx dy Em outro exemplo vamos testar a precisão desta linearização resolvendo a equação de balanço de massa no tanque de acumulação considerando os modelos apresentados anteriormente nas formas linear e não-linear. Para completar a comparação, agora, vamos considerar a linearização do modelo não-linear para obter um terceiro modelo: ( ) A ghC dt dh V 2/1 1 )(ρ− = v 2/1 1 2/12/1 1 )( hKhgC dt dh A VV −=−= vv ρ Linearizando o termo h1/2 :         −+=      −+= − 2 1 00 2/1 0 2/1 0 2/1 0 2/1 2 1 )()( 0 hhhhh dh d hhhh h Substituindo: ) 2 1 )(( 2 1 00 2/1 01         −+−= − hhhhK dt dh A Vv O programa para GNU Octave a seguir mostra a comparação entre os modelos completo, linear e linearizado para duas perturbações: 25% e 100% da vazão alimentação (v0). %program tanque_estoque_liquido #Última gravação: 02/02/2009;segunda-feira;22:56 #Software: GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1 #Autor: Dr. Marcos Marcelino Mazzucco #Objetivo: analisar modelos p/ tanque de estoque de líquido clear all; %var global v1 Kv h0 A Rv; function [dydx]= f(y,x) global v1 Kv Rv h0 A; #y é o vetor de variáveis dependentes. #x é a variável independente t=x;#renomear as variáveis para facilitar a compreensão %>>modelo real h=y(1); dh1dt=(v1-Kv*h^(1/2))/A; %end; %>>modelo linearizado h=y(2); dh2dt=(v1-Kv*(h0^(1/2)+(h-h0)*1/2*h0^(-1/2)))/A; - Marcos Marcelino Mazzucco - 75
  78. 78. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS %end; %>>modelo linear h=y(3); dh3dt=(v1-h*1/Rv)/A; %end; %>>sistema de equações; dydx=[dh1dt;dh2dt;dh3dt]; endfunction; %begin %>>condições iniciais e propriedades físicas h0=1; #valor inicial de h A=1; #Área ro=1000;#densidade=kg/m3 g=9.8;#m/s2; v0=8/3600;#m3/s Cv=v0/(ro*g)^(1/2); Kv=Cv*(ro*g)^(1/2); Rv=1/v0; t=linspace(0,3600,100); %end; %>>primeiro teste %>>vazão inicial; v1=10/3600;#m3/s %>>Integrar equações; y=lsode("f",[h0,h0,h0],t); %>>gráfico figure(1); hold("on"); plot(t,y(:,1),"-b;h;"); plot(t,y(:,2),"-+r;h-Linearizado;"); plot(t,y(:,3),"-om;h-Linear;"); xlabel("t");ylabel("h");grid("on"); %end; %end; %>>segundo teste %>>vazão inicial; v1=16/3600;#m3/s %>>Integrar equações; y=lsode("f",[h0,h0,h0],t); %>>gráfico figure(2); hold("on"); plot(t,y(:,1),"-b;h;"); plot(t,y(:,2),"-+r;h-Linearizado;"); plot(t,y(:,3),"-om;h-Linear;"); xlabel("t");ylabel("h");grid("on"); %end; %end; %end. Observe que o uso do identificador estrutural personalizado (%>>) facilita a organização do programa e permite a visualização deste na forma de árvore no software MED 3.x (www.eqm.unisul.br/prof/marcos). - Marcos Marcelino Mazzucco - 76
  79. 79. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Os gráficos, a seguir, foram obtidos a partir do programa anterior. - Marcos Marcelino Mazzucco - 77
  80. 80. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4.10RELAÇÕES ÚTEIS ( ) ))sen()(cos( btjbtee attbja +=+ cos(-bt)=cos(bt) ;b>0 sen(-bt)=-sen(bt) ;b>0      = += +=+ − )(tan );sen()sen()cos( 2 11 2 2 2 13 321 a a aaa bababa φ φ 2 )cos( tjtj ee t ωω ω + = − ( ) 2 )sen( tjtj eej t ωω ω − = − 2 2 22 2 4 ) 2 ( / )( a b a c a b s ad a c s a b sa d cbsas d −++ = ++ = ++ - Marcos Marcelino Mazzucco - 78
  81. 81. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4.11EXERCÍCIOS 1. Linearize as seguintes funções: a) A RT E AA CeCTfr A − == ),( b) y=2x2 +x+1/x c) rA=-0,2CACB 2. Manipule as expressões que seguem para que assumam as formas indicadas no lado direito da igualdade, determinando as constantes indicadas: a) )()12( 1 bs K s + = + b) )1()3( 1 + = + s K s τ c) )1()32( 1 + = + s K s τ d) n bs K s )()13( 2 2 + = + e) n s K s )1()3( 1 2 + = + τ f) 2 2 2 1 22 )1()1()54()32( 2/1 ++ = ++ ss K ss ττ g) 2 2 2 1 22 )()()54()32( 2/1 psps K ss −− = ++ h) )1()3( 1 + = ++ s K is τ i) )1)(1()1)(1()54)(32( 32 21 2 21 1 ++ + ++ = ++ − ss sK ss K ss s ττττ j) )1()1()54)(32( 32 2 2 1 1 + + + = ++ − s K s K ss s ττ k) n s nK s )!1(6 1 3 − = l) mn s mK s nK s s )!1()!1(18 21 4 − + − = + - Marcos Marcelino Mazzucco - 79
  82. 82. INTRODUÇÀı

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