O documento discute vários tipos e conceitos de engrenagens, incluindo: (1) tipos de engrenagens como cilíndricas, helicoidais e cônicas; (2) trens de engrenagens simples, compostos e planetários; (3) nomenclatura e definições geométricas de engrenagens.

1. Engrenagens
1
Engrenagens
1. Introdução
2. Tipos de engrenagens
3. Trens de engrenagens
4. Nomenclatura
5. Lei Fundamental das Engrenagens
6. Perfil do dente
7. Ângulo de pressão
8. Geometria de contato
9. Interferência
10. Razão de contato
11. Pinhão e cremalheira
12. Alteração na distância entre centros
13. Engrenagens de dentes retos
14. Engrenagens de dentes helicoidais
15. Engrenagens cônicas
16. Engrenagens cônicas helicoidais
17. Engrenagens cônicas hipóides/espiróides
18. Parafuso sem-fim/coroa
19. Resistência em dentes de engrenagens cilíndricas retas
20. Tensões em engrenagem
21. Dimensionamento de Engrenagens - Fórmula Lewis
22. Rendimento de engrenagens
23. Materiais usados em engrenagens
24. Lubrificação de engrenagens

2. Engrenagens
2
1 - Introdução
Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade
angular em diversas aplicações. Existem várias opções de
engrenagens de acordo com o uso a qual ela se destina.
A maneira mais fácil de se transmitir rotação motora de um
eixo a outro é através de dois cilindros. Eles podem se tocar
tanto internamente como externamente. Se existir atrito suficiente
entre os dois cilindros o mecanismo vai funcionar bem. Mas a
partir do momento que o torque transferido for maior que o atrito
ocorrerá deslizamento.
Com o objetivo de se aumentar o atrito entre os cilindros,
fez-se necessária a utilização de dentes que possibilitam uma
transmissão mais eficiente e com maior torque. Nasce assim a
engrenagem.
Todo estudo da engrenagem estará concentrado no estudo de seus
dentes, iguais em uma mesma engrenagem, relativo à sua geometria e
resistência.
Neste capítulo de engrenagens, usaremos algumas variáveis que
estão definidas abaixo, as demais serão definidas ao longo do
texto:
W
Wr
Wt
Wa
N
e
m
P
dp
mc
θ
θn
θt
ψ
-Força aplicada
-Componente radial da força W
-Componente tangencial da força W
-Componente axial da força W
-Número de dentes de uma engrenagem
-Relação de velocidades
-módulo
-passos diametrais
-diâmetro primitivo
-razão de contato
-ângulo de pressão
-ângulo de pressão normal
-ângulo de pressão transversal
-ângulo de hélice

3. Engrenagens
3
2 - Tipos de engrenagens
As engrenagens como elementos de transmissão de potência se
apresentam nos seguintes tipos básicos:
3 - Trem de engrenagens
Um trem de engrenagens é um acoplamento de duas ou mais
engrenagens. Um par de engrenagens é a forma mais simples de se
conjugar engrenagens e é freqüentemente utilizada a redução máxima
de 10:1.
Trens de engrenagens podem ser simples, compostos e
planetárias.
Trens de engrenagens simples
Trens de engrenagens simples são aqueles que apresentam apenas
um eixo para cada engrenagem. A relação entre as duas velocidades
é dada pela equação 1:
(1)
A figura mostra um jogo de engrenagens com 5
engrenagens em série. A equação para a relação de
velocidades é:
(2)
Cada jogo de engrenagem influi na relação das
velocidades, mas no caso de trens simples, o valor
numérico de todas as engrenagens menos a primeira e
a última são cancelados. As engrenagens
intermediárias apenas influem no sentido de rotação
da engrenagem de saída. Se houver um número par de
engrenagens o sentido de rotação da última será
oposto ao da primeira. Havendo um número impar de
saida
ent
saída
ent
saida
ent
N
N
d
d
r
r
e ±=±=±=
6
2
6
5
5
4
4
3
3
2
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
e +=





−





−





−





−=

4. Engrenagens
4
engrenagens, o sentido permanecerá o mesmo. É interessante notar
que uma engrenagem de qualquer número de dentes pode ser usada
para modificar o sentido de rotação sem que haja alteração na
velocidade, atuando como intermediária.
Trens de engrenagens compostos
Para se obter reduções maiores que 10:1 é necessário que se
utilize trens de engrenagens compostos. O trem composto se
caracteriza por ter pelo menos um eixo no qual existem mais de uma
engrenagem.
A figura acima mostra um trem composto de quatro engrenagens.
A relação das velocidades é:
(3)
Esta equação pode ser generalizada para qualquer número de
engrenagens no trem como:
e = ± produto do número de dentes das engrenagens motoras (4)
produto do número de dentes das engrenagens movidas
Note que as engrenagens intermediárias influem diretamente no
processo de determinação da velocidade de saída e de entrada.
Assim uma relação mais elevada pode ser obtida apesar da limitação
de 10:1 para trens individuais. O sinal positivo ou negativo na
equação depende do número e do tipo de disposição das engrenagens,
internas ou externas.






−





−=
5
4
3
2
N
N
N
N
e

5. Engrenagens
5
Trens de engrenagens planetária
São trens de engrenagem com dois graus de liberdade. Duas
entradas são necessárias para obter uma saída. Normalmente se usa
uma entrada, um sistema fixo e uma saída. Em alguns casos como em
diferencial de automóveis uma entrada é usada para se obter duas
saídas, uma para cada roda.
A relação de velocidades pode ser calculada pela fórmula:
12
13
NN
NN
e
−
−
= (5)
Em uma forma mais gerais:
braçosaida
braçoent
NN
NN
e
−
−
= (6)
onde:
Nent = número de rotações por minuto da engrenagem de entrada
Nsaída = número de rotações por minuto da engrenagem de saída
Nbraço = número de rotações por minuto do braço
Trens planetários apresentam algumas vantagens, como relações
de velocidades maiores usando engrenagens menores, saídas
bidirecionais, concentricidade. Estas fatores fazem com que o
engrenamento planetário seja largamente utilizado em transmissões
de automóveis e caminhões.

6. Engrenagens
6
4 - Nomenclatura
O círculo primitivo é a base do dimensionamento das
engrenagens e seu diâmetro caracteriza a engrenagem. As rodas
conjugadas usualmente têm seus círculos primitivos tangentes, se
bem que esta condição não seja necessária no caso de engrenagens
de perfil evolvental.
onde:
de = diâmetro externo
di = diâmetro interno
dp = diâmetro primitivo
a = addendum
d = deddendum
c = folga
F = largura
p = passo
rf = raio do filete
A circunferência externa também chamada de cabeça do addendum
ou externa, limita as extremidades externas dos dentes.
O addendum ou altura da cabeça do dente é a distância radial
entre as circunferências externa e primitiva.
O círculo da raiz é o círculo que passa pelo fundo dos vãos
entre os dentes.
O deddendum ou altura do pé do dente é a distância entre os
círculos primitivo e de raiz.

7. Engrenagens
7
A folga do fundo é a distância radial entre o circunferência
de truncamento e a da raiz.
Espessura do dente é o comprimento do arco da circunferência
primitiva, compreendido entre os flancos do mesmo dente.
O vão dos dentes é a distância tomada em arco sobre o círculo
primitivo entre dois flancos defrontantes de dentes consecutivos.
A folga no vão é a diferença entre o vão dos dentes de uma
engrenagem e a espessura do dente da engrenagem conjugada. Quando
existe tal folga entre duas engrenagens, uma pode ser girada de um
ângulo bem pequeno enquanto a engrenagem conjugada se mantém
estacionária. Esta folga é necessária para compensar erros e
imprecisões no vão e forma do dente, para prover um espaço entre
os dentes para o lubrificante e para permitir a dilatação dos
dentes com um aumento de temperatura. Engrenagens de dentes
usinados devem ser montadas com uma folga no vão, de 0.04 ×
módulo. Para se assegurar tal folga, a ferramenta geralmente é
ajustada um pouco mais profundamente do que o normal na maior das
duas engrenagens.
A face do dente é a parte de superfície do dente limitada pelo
cilindro primitivo e pelo cilindro do topo.
A espessura da engrenagem é a largura da engrenagem medida
axialmente (é a distância entre as faces laterais dos dentes,
medida paralelamente ao eixo da engrenagem).
O flanco do dente é a superfície do dente entre os cilindros
primitivo e o da raiz.
O topo é a superfície superior do dente.
O fundo do vão é a superfície da base do vão do dente.
Quando duas engrenagens estão acopladas, a menor é chamada
pinhão e a maior simplesmente engrenagem ou coroa.
O ângulo de ação é o ângulo que a engrenagem percorre enquanto
um determinado par de dentes fica engrenado, isto é, do primeiro
ao último ponto de contato.
O ângulo de aproximação ou de entrada é o ângulo que a
engrenagem gira desde o instante em que um determinado par de
dentes entra em contato até o momento em que este contato se faz
sobre a linha de centros.
O ângulo de afastamento é o ângulo que a engrenagem gira desde
o instante em que um determinado par de dentes atinge o ponto
sobre a linha de centros, até que eles abandonem o contato. O

8. Engrenagens
8
ângulo de aproximação somado com o ângulo de afastamento resulta
no ângulo de ação.
A razão ou relação de velocidades ou relação de transmissão é
a velocidade angular da engrenagem motora dividida pela velocidade
angular da engrenagem comandada. Para engrenagens de dentes retos
está razão varia inversamente com os diâmetros primitivos e com o
número de dentes.
(7)
Onde v é a velocidade angular, D o diâmetro e N o número de
dentes; o índice 1 se refere à engrenagem motora e o 2 à
comandada.
O módulo
Em toda engrenagem existe uma relação constante relacionando o
número de dentes (N) e o diâmetro primitivo (dp). No sistema
métrico esta relação é chamada de módulo m (em milímetro) e no
sistema inglês de passo diametral (número de dentes por polegada).
Por outro lado o passo é definido como o comprimento do círculo
dividido pelo número de dentes. Assim:
SISTEMA MÉTRICO SISTEMA INGLÊS
m = dp/N P = N/dp
p = π.dp/N p = π.dp/N
p = π.N p . P = π
A relação entre o passo diametral (Pd) e o módulo é definida
como:
A tabela a seguir mostra os principais passos diametrais (P) e
módulos (m) padronizados, necessários, pois às ferramentas usadas
para usinar os dentes são também padronizados em função destes
números.
Módulo m
[m]
1 1.2
5
1.
5
2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25
Passo
P [1/in]
2 2 ¼ 2
½
3 4 6 8 10 12 16 20 24 32 40 48
1
2
2
1
D
D
N
N
esvelocidadederelação ===
m
25,4
=Pd

9. Engrenagens
9
Ë interessante lembrar que uma ferramenta padronizada em
módulo pode ser usada para gerar o dente no sistema métrico ou o
equivalente no sistema inglês e vice-versa. Por exemplo:
m = 1 mm ⇒ P = 25,4 1/in
M = 4 mm ⇒ P = 6.35 1/in
P = 2 1/in ⇒ m = 12.7 mm
P = 10 1/in ⇒ m = 2.54 mm
A utilização da relação P = 25,4/m amplia os padrões de cada
sistema.
5 - Teoria do dente de engrenagem
Lei Fundamental das Engrenagens
A velocidade angular v entre duas engrenagens deve ser
constante. Ela é igual tanto na engrenagem movida quanto na
motora.
mot
mov
mot
mov
r
r
v ±==
ϖ
ω
(8)
O torque transmitido T se relaciona com velocidade angular
pela fórmula:
(9)
Assim, um engrenamento é essencialmente um dispositivo de
troca de torque por velocidade e vice-versa. Uma utilização comum
de engrenamento é reduzir velocidade e aumentar o torque para
grandes carregamentos, como em caixa de marchas em automóveis.
Outra aplicação requer um aumento na velocidade e uma conseqüente
redução no torque. Nos dois casos é geralmente desejável manter
uma razão constante entre as engrenagens enquanto elas giram.
Uma condição para que a lei fundamental das engrenagens ser
verdadeira é que o perfil do dente das duas engrenagens deve ser
conjugado ao outro. Uma maneira de se conjugar as engrenagem é
usando o chamado evolvental para lhes dar forma.
mot
mov
mot
mov
r
r
e
T ±===
ϖ
ω1

10. Engrenagens
10
6 - Perfil do dente evolvental
O perfil do dente de engrenagem é definido por uma curva
conhecida como evolvente. Esta curva permite que o contato entre
os dentes das duas engrenagens aconteça apenas em um ponto,
permitindo uma ação conjugada, suave e sem muito deslizamento,
próximo a uma condição de rolamento. A medida que as engrenagens
giram, o ponto de contato muda nos dentes, mas permanece sempre ao
longo da linha de ação. A inclinação desta linha é definida pelo
ângulo de pressão.
7 - Ângulo de Pressão
O ângulo de pressão θ num engrenamento é definido como o
ângulo entre a linha de ação e a direção da velocidade angular, de
modo que a linha de ação está rotacionada a θ graus da direção de
rotação da engrenagem movida. As engrenagens são fabricadas
atualmente com ângulos de pressão padronizados para diminuir o
custo no processo de fabricação. Os ângulos de pressão são 14.5°,
20° e 25°, sendo o mais usado 20°.
8 - Geometria de contato entre engrenagens
A figura mostra um par de engrenagens imediatamente antes e
depois do contato entre os dentes. As normais destes dois pontos
de contato se encontram num chamado ponto primitivo. A relação
entre o raio da engrenagem motora e da movida permanece constante
durante o engrenamento.

11. Engrenagens
11
Outra maneira de se enunciar a lei de engrenamento de uma
maneira mais cinemática é: as linhas normais ao perfil dos dentes
em todos os pontos de contato devem sempre passar por um ponto
fixo na linha do centro, chamado de ponto primitivo.
9 - Interferência em dentes evolventais
Os pontos de tangência da linha de ação e dos círculos de base
são chamados pontos de interferência. Quando o dente é
suficientemente longo para se projetar para dentro do círculo de
base do pinhão, a cabeça do dente da engrenagem tende a penetrar
no flanco do dente do pinhão (se a rotação for forçada), a menos
que tenham sido modificados os perfis caracterizando a
interferência. É uma desvantagem séria das engrenagens
evolventais, sendo máxima quando um pinhão de pequeno número de
dentes se engrena com uma cremalheira. A interferência diminui a
medida que a engrenagem diminui de tamanho.

12. Engrenagens
12
Os dentes evolventais de engrenagem produzidos por ferramentas
cremalheiras são recortados automaticamente, no flanco, sendo
removida a parte que ocasionaria a interferência entre quaisquer
engrenagens. Entretanto, se isto resolve o problema da
interferência, o dente é consequentemente enfraquecido, e o grau
de engrenamento pode tornar-se indesejavelmente baixo. O melhor é
evitar a condição de interferência teórica, se possível.
10 - Razão de contato
Quando um dente inicia seu contato com o dente da outra
engrenagem e mantém este contato até o afastamento, a engrenagem
descreve um arco, que é definido como arco de ação. Entretanto,
antes que este arco seja completado para uma determinado dente,
outro dente inicia seu contato. Em outras palavras, existe em todo
engrenamento um curto espaço de tempo em que dois dentes estão
acoplados ou em contato ao mesmo tempo, um preste a concluir e
outro iniciando. Esta relação do número de dentes em contato ao
mesmo tempo é definida como razão de condução ou de contato, dado
pela relação:
(10)
onde q é comprimento do arco de ação
A razão de contato mc maior do que 1 é indispensável nas
engrenagens, evitando choques e ruídos nos acoplamentos sucessivos
dos dentes, pelo fato de antes de um dente desacoplar o outro já
estar em contato. Para as engrenagens de dentes retos, esta
relação é aproximadamente 1,2, podendo ser maior para outros tipos
de engrenagens.
11 - Pinhão e cremalheira
Se aumentarmos indefinidamente o raio de uma engrenagem ela se
transformará uma linha reta. Uma engrenagem linear é chamada de
cremalheira. O conjunto pinhão-cremalheira é geralmente usada na
transformação de movimento circular em movimento linear. Devido a
essa características é amplamente usado em automóveis, fazendo
parte da direção do veículo.
b
c
p
q
m =

13. Engrenagens
13
12 - Alteração da distância dos centros
Na fabricação de jogos de engrenagens, é praticamente
impossível por limitações técnicas no processo de se obter uma
distância entre os centros de forma que ela seja ideal.
Se o perfil do dente não for evolvente este erro na distância
entre os centros das engrenagens pode causar variações. A
velocidade angular de entrada não será mais igual a velocidade
angular de saída do engrenamento, violando assim a lei fundamental
das engrenagens. Entretanto, se o perfil dos dentes for evolvente,
este erro na distância dos centros não alterará a relação das
velocidades. Esta é a principal vantagem de dentes com perfil
evolvente e explica porque é o mais utilizado. Pela figura, nota-
se que as normais ao ponto de contato ainda passam por um único
ponto; somente o ângulo de pressão no engrenamento θ sofrerá alguma
mudança.
Aumentando-se a distância entre os centros o ângulo de pressão
aumenta e vice-versa.

14. Engrenagens
14
13 - Engrenagens de dentes retos
Engrenagens de dentes retos, como mostrada na figura, tem
dentes paralelos ao eixo de rotação e é usada para transmitir
movimento de um eixo a outro. É a engrenagem mais simples.
As engrenagens de dentes retos tem certas limitações quanto às
suas aplicações, principalmente para larguras maiores de 25 mm.
Esta limitação é devido à dificuldade de contato uniforme ao longo
de toda a largura do dente, em todos os dentes, requerendo dentes
retificados e um perfeito alinhamento (paralelismo) dos eixos.
A figura mostra como o contato perfeito deve ocorrer, ao longo
da linha AB, na face e no flanco do dente.
Deve-se observar que qualquer desalinhamento nos eixos ou
imprecisão na usinagem do perfil dos dentes, acarreta um contato
não uniforme, ocasionando falha prematura dos dentes.

15. Engrenagens
15
O quadro a seguir mostra as relações mais comuns para
engrenagens de dentes retos.
FórmulaDescrição
Sistema métrico
[mm]
Sistema inglês
[in]
Addendum m 1/P
Deddendum 1.25 × m 1.25 / P
Diâmetro do pinhão m × Np NP / P
Diâmetro da coroa m × Ng NG / P
Distância entre
centros
(dg +dp)/2 ( dG + dP ) / 2
Altura do dente 2.25 × m 2.25 / P
Diâmetro ext. do
pinhão
dp + 2a = m (Np + 2) dP + 2a
Diâmetro ext da coroa dg + 2a = m (Ng + 2) dG + 2a
Folga 0.25 × m 0.25 / P
Raio do filete 0.30 × m 0.30 / P
Diâmetro base Db = dp × cos θ db = dP × cos θ
Número mínimo de
dentes
12 a 15 12 a 15
13.1 - Relação cinemática
Em uma transmissão a ação do dente do pinhão sobre a coroa a
vice-versa promove a transmissão de torque e potência de um eixo
para outro. A direção da força e sua componentes estão mostradas a
seguir:
W = Força que a coroa faz no
pinhão na direção da linha de
ação
Wr = componente radial
Wt = componente tangencial
Os valores das componentes são determinadas pelas relações:
θcos⋅= WWt θsen⋅= WWt (11)
É a componente tangencial Wt responsável pela transmissão de
torque e potência.

16. Engrenagens
16
14 -Engrenagens helicoidais
Engrenagens helicoidais tem dentes inclinados em relação ao
eixo central. São as mais usadas pois tem a vantagem de ser menos
barulhentas devido a um engrenamento mais gradual e progressivo.
Podem transmitir movimento entre eixos que não estão paralelos
entre si. Devido ao ângulo de hélice ψ de seus dentes, as
engrenagens helicoidais provocam uma força axial, na direção do
eixo, o que não acontece nas engrenagens de dentes retos.
O contato do dente reto acontece, como foi visto,
instantaneamente ao longo de toda a linha AC. No dente helicoidal,
o contato inicia em A, e a medida que a engrenagem vai girando, o
contato vai se formando gradualmente até atingir a linha AP,
diagonalizada em relação ao dente. Este contato gradual confere as
engrenagens helicoidais uma transmissão silenciosa, com pouca
vibração, mesmo sem o acabamento de retífica dos dentes. Devido a
este contato, estas engrenagens tem uma razão de contato bem maior
que as de dentes retos, de 1.3 a 1.7, proporcionando ao conjunto
transmissão de maior potência.
14.1 - Relação cinemática
A figura mostra uma vista de topo, onde a inclinação do dente
é definida pelo ângulo de hélice ψ. A seção AA' mostra uma vista
transversal, onde o ângulo de pressão é θt. Na vista normal, seção
BB', que corresponde olhar a engrenagem na direção do dente
(direção de ψ), o ângulo de pressão é definido como θn (ângulo de
pressão normal). É na direção perpendicular a esta, ao longo da
linha de ação, que a força W é transmitida do pinhão para a coroa.

17. Engrenagens
17
Da figura pode-se deduzir as seguintes relações geométricas:
Ψ⋅= costn pp Ψ⋅= cosnt PP Ψ⋅= costn mm (12)
outra relação é a distância ad, que define o passo axial:
Ψ
=
cos
t
x
p
p (13)
onde se tem que:
pn ⇒ passo normal
pt ⇒ passo transverssal
Pn ⇒ passo diametral normal
Pt ⇒ passo diametral transversal
mn ⇒ módulo normal
mt ⇒ módulo transversal
px ⇒ passo axial
A tabela mostra as geometrias dos dentes das engrenagens
helicoidais mais usadas.
FórmulaDescrição
Sistema métrico [mm] Sistema inglês[in]
Addendum mn 1 / Pn
Deddendum 1.25 × mn 1.25 / Pn
Diâmetro do pinhão mt × Np NP / Pt
Diâmetro da coroa mt × Ng
NG / Pt
Distância entre
centros
(dg +dp)/2 ( dG + dP ) / 2
Altura do dente 2.25 × mn 2.25 / Pn
Diâmetro ext. do
pinhão
dp + 2a
= mt (Np + 2.cos ψ) dP + 2a
Diâmetro ext da
coroa
dg + 2a = mt (Ng + 2. cos ψ) dG + 2a
Folga 0.25 × mn
0.25 / Pn
Diâmetro base Db = dp × cos θt db = dP × cos θt

18. Engrenagens
18
A transmissão de força nas engrenagens helicoidais está
mostrada na figura.
Pode-se ver na figura que a força W que incide normal à face
do dente e na direção da linha de ação, pode ser decomposta nas
componentes:
Observe que, como nas engrenagens de dentes retos, a
componente Wt é a única responsável pela transmissão de torque e
potência. As componentes Wr e Wa não executam nenhum trabalho
útil. Estas duas componentes prejudicam, como no caso de Wa que
provoca no eixo uma componente axial no mancal sendo necessário o
uso de mancais (rolamento) especiais, mais caros para suportar
esta carga.
As componentes podem ser calculadas pelas fórmulas:
ψθ cos.cos. nWWt = nsinWWr θ.= ψθ sen.cos. nWWa = (14)
ψ- ângulo de hélice
θn - ângulo de pressão normal
θt - ângulo de pressão transversal
W - carga normal total de um dente sobre o outro
A relação entre o ângulo de pressão transversal θt, o ângulo
de pressão normal θn e o ângulo de hélice ψ é dado pela expressão:
ψ
θ
θ
cos
n
t
tg
tg = (15)

19. Engrenagens
19
15 - Engrenagens cônicas
Engrenagens cônicas são usadas principalmente para a
transmissão entre eixos que se cruzam, principalmente
perpendiculares. Os dentes podem apresentar a forma reta ou
helicoidal. A figura mostra um conjunto pinhão/coroa cônicos:
O conjunto da figura tem eixos perpendiculares. Os dentes são
usinados na face do tronco, de tal forma que o dente tem geometria
variável, ou seja, como o diâmetro é variável, o passo diametral
ou módulo variam. Nas engrenagens cônicas de dentes retos ou
helicoidais o vértice dos cones são concorrentes, isto é,
convergem para um mesmo ponto. Nestes tipos, engrenagens cônicas
de dentes retos e dentes helicoidais, a interação dos dentes
ocorre da mesma forma que a já estudada para as engrenagens
cilíndricas de dentes retos e helicoidais. Isto quer dizer que os
conjuntos cônicos de dentes helicoidais tem também transmissões
mais suaves e silenciosas.
Devido ao ângulo do cone, a configuração geométrica destas
engrenagens apresenta novos parâmetros a serem definidos. A figura
ilustra um conjunto pinhão/coroa, mostrando estes novos
parâmetros.

20. Engrenagens
20
14.1 - Relação cinemática
Observa-se que para eixos perpendiculares, os ângulos δ1 e δ2
somam 90°:
δ1 + δ2 = 90° (16)

21. Engrenagens
21
Algumas relações importantes para engrenagens cônicas de
dentes retos e θ = 20° (ângulo de pressão), eixo a 90°, são
mostrados na tabela a seguir:
Descrição Fórmula (Sistema Inglês)
Razão de transmissão mg = Ng/Np
Addendum da coroa Ag = 0.54 / P + 0.46 / (P.mn)
Altura do dente H = 2.0 / P
Folga C = 0.188 / P + 0.002 in
Largura do dente F = Ao / 3 ou 10 / P (usar
o menor)
Pinhão 16 15 14 13Número mínimo de dentes
Coroa 16 17 20 30
Nas engrenagens cônicas, mesmo de dentes retos, a força normal
W que o pinhão faz sobre a coroa, e vice-versa, pode ser
decomposta em três componentes, como mostrado na figura.
θcos.WWt =
γθ cos..sinWWr = (17)
γθ sen.sen.WWa =
Sendo:
θ = ângulo de pressão
γ = ângulo do cone
Nas engrenagens cônicas, o torque T é calculado usando a raio
médio rm, ou seja:
mr
T
Wt = (18)
Assim, pode-se escrever também:
γθ cos.tgWtWr = (19)
γθ sen.tgWWa =

22. Engrenagens
22
16 - Engrenagens cônicas helicoidais
Estas engrenagens tem seus dentes usinados com uma ferramenta
de corte circular de maneira que forma um ângulo de hélice. A
figura mostra mais claramente:
Quando o ângulo de hélice ψ é igual a zero, a engrenagem
cônica helicoidal é chamada de zerol. Estas engrenagens tem apenas
os dentes curvos (forma circular) e são similares às cônicas de
dentes retos, mas não são mais precisas devido a facilidade de
usinagem com precisão dos dentes circulares. Nas cônicas
helicoidais, a carga Wt é também determinada pela expressão:
mr
T
Wt = onde T é o torque e rm é o raio médio. (20)
As componentes de força Wr e Wa depende se a hélice é esquerda ou
direita e a direção de rotação. Na figura a hélice é esquerda.
Assim, para hélice direita e rotação horária, tem-se que:
( )γγγθ cossensen
cos
−
Ψ
= ntg
Wt
Wa (21a)
( )γγγθ sensencos
cos
+
Ψ
= ntg
Wt
Wr (21b)
Para hélice esquerda e rotação horária, tem-se que:
( )γγγθ cossensen
cos
+
Ψ
= ntg
Wt
Wa (22a)

23. Engrenagens
23
( )γγγθ sensencos
cos
−
Ψ
= ntg
Wt
Wr (22b)
onde ψ = ângulo de hélice
γ = ângulo de cone
θn = ângulo de pressão normal
17 - Engrenagens cônicas hipóides e espiróides
Estas engrenagens são parecidas com as cônicas helicoidais,
mas os eixos são deslocados de um determinado valor. Estas
engrenagens aparecem a partir da década de 50, devido a
necessidade de abaixar o centro de gravidade dos automóveis. São
muito usadas atualmente em diferenciais de veículos.
A figura mostra como acontece o acoplamento pinhão/coroa.
Quando o deslocamento do eixo é igual ao raio da coroa, tem-se o
acoplamento tangente, definindo o sistema sem-fim/coroa.
O deslocamento do eixo como mostrado na figura, não permite
uma ação conjugada perfeita entre os dentes (rolamento), sendo a
transmissão envolvida por deslizamentos entre os dentes, gerando
atrito e perda de potência. É por esta razão que as hipóides, e
mais ainda as espiróides, tem eficiência menor que os outros tipos
estudados. De uma forma geral, pode-se dizer que a eficiência das
engrenagens seque, aproximadamente os percentuais:

24. Engrenagens
24
Por esta razão que todos os conjuntos hipóides, espiróides e
sem-fim/coroa funcionam imersos em lubrificantes.
Define-se eficiência em engrenagens como a relação da potência
útil ou potência transmitida pela potência total cedida ao
sistema. É claro que parte da potência é gasta para vencer o
atrito nos dentes, transformando-se em calor que é dissipado.
Assim:
total
útil
HP
HP
=η (23)
A razão de transmissão para engrenagens cilíndricas e cônicas
deve ser sempre inferior a 5.
18 - Parafuso sem-fim/coroa
O conjunto parafuso sem-fim/coroa é uma evolução das
engrenagens cônicas (espiróides), para o ângulo do cone do pinhão γ
= 0. É muito usado apesar de sua eficiência ser relativamente
baixa (η = 80%), pode-se conseguir grandes reduções com um só
conjunto. A figura ilustra este conjunto.

25. Engrenagens
25
Como pode ser visto, o parafuso sem-fim e coroa tem um ângulo
de hélice, que é chamado de ângulo de avanço designado por λ. A
figura mostra a nomenclatura usado neste conjunto.
As principais relações geométricas no sem-fim/coroa são:
π
ptN
d G
G
×
= ⇒ diâmetro da coroa (24)
K
C
dw
875.0
= ⇒ diâmetro do sem-fim, onde C é a distância entre
centros: (1.7≤ K≤ 3.0) (25)
2
GW dd
C
+
= ⇒ distância entre centros (26)
pxpt = ⇒ passo transversal igual ao axial para eixos
perpendiculares (27)
W
G
G
N
N
m = ⇒ razão de transmissão, onde Nw é o número de dentes
do sem-fim ou número de entradas (28)

26. Engrenagens
26
wNptL ×= ⇒ avanço (29)
dw
L
tg
×
=
π
λ. ⇒ λ é o ângulo do avanço (30)
Combinando sucessivamente estas expressões pode-se obter uma
única expressão, que relaciona os parâmetros mais importantes para
a definição do sem-fim/coroa:
8
1





 +
=
K
tgm
C G λ
para os valores de 1.7 ≤ K ≤ 3.0 (31)
O valor de K está compreendido em 1.7 e 3.0, sendo recomendado
usar 2.2. Os ângulos de avanço mais usados variam entre 4° e 25°,
para ângulo de pressão normal θn de 14°30' e 20°. É mais recomendado
usar:
Para θn = 14°30' ⇒ λ = 0° a 15°
θn = 20° ⇒ λ = 15° a 30°
É possível construir uma transmissão sem-fim/coroa com C
(distância entre centros) variando de 2 in a 64 in, dependendo da
potência desejada.
Esta análise permite identificar a possibilidade geométrica do
sem-fim/coroa, antes do dimensionamento final para uma dada
potência.
Em um redutor sem-fim/coroa, o movimento ou potência entra
pelo sem-fim que solicita a coroa com força W, que pode ser
decomposta em três componentes, conforme figura.

27. Engrenagens
27
É importante observar que, devido ao atrito na direção do
dente ou da hélice do dente, aparecem componentes das forças de
atrito.
WWf ⋅= .µ (31)
onde µ é o coeficiente de atrito entre os materiais do sem-fim
(aço) e da coroa (bronze)
Observando a figura, tem-se:
t
W
a
G
x
WWW =−= (32a)
R
W
R
G
y
WWW =−= os sinais indicam direções contrárias (32b)
a
W
t
G
z
WWW =−= (32c)
Notar que WG é componente na coroa e, WW componente do sem-
fim. Os índices Wt, Wr e Wa e referem-se às componentes
tangenciais, axiais e radiais, respectivamente.
Assim as componentes são:
( )λµλθ cossencos += nWW x
(33a)
nWW y
θsen= (33b)
( )λµλθ sencoscos −= nWW z
(33c)
Devido ao atrito provocado pelo deslizamento pelos dentes do
sem-fim e da coroa, estas partes são construídas com materiais
diferentes. Normalmente o sem-fim é de aço liga e a coroa de
bronze. Para estes materiais, o coeficiente de atrito µ, que
depende da velocidade e do tipo de bronze usado, assume valores um
pouco diferentes como mostrados na figura:

28. Engrenagens
28
A velocidade que aparece no gráfico, velocidade no ângulo de
avanço é calculada por:
λcos
w
s
V
V = Vw = velocidade do sem-fim (34)
12
nwdw
VW
××
=
π
[ft/min] (35)
dw = diâmetro do sem-fim
nw = rotação do sem-fim
Definindo a eficiência do sem-fim de outra forma, pela relação das
forças Wnt
sem atrito e Wwt
com atrito, obtém-se a relação:
λµθ
λµθ
η
gn
tgn
cotcos
cos
+
−
= (36)
19 - Resistência dos dentes de engrenagens cilíndricas retas
Sem atrito, a força resultante que atua sobre o dente da
engrenagem, cai sobre a geratriz nas engrenagens evolventais, e
seu ponto de aplicação move-se da parte superior (ou inferior) do
dente para a parte inferior (ou superior). Considerando o dente
como uma viga engastada, encontramos o máximo de tensão, quando um
dente suporta toda a carga na extremidade. Entretanto, se o grau
de engrenamento é maior que 1, outro dente provavelmente está
partilhando da transmissão de potência. À medida que o dente se
desloca do seu ângulo de ação, o ponto de aplicação de W se move
para baixo no perfil. Em algum instante deste movimento, com o
grau de engrenamento menor que 2, o dente suportará a carga toda.
Em projetos é comum utilizarmos a hipótese mais segura, com a
carga total aplicada à extremidade do dente.

29. Engrenagens
29
No ponto onde a linha de ação de W corta o eixo geométrico do
dente, W é substituída por suas componentes normal (radial) e
tangencial N e Wr. A força N produz uma tensão de compressão
uniforme sobre qualquer seção do dente, digamos em VE. A
componente Wr produz uma tensão de flexão: tração em E e
compressão em V. A compressão uniforme em E, devida a N, é
subtraída da tração decorrente da flexão em E, devida a Wr,
produzindo uma tensão resultante em E mais baixa e
consequentemente mais segura. A compressão uniforme em V, devida a
N, é somada à compressão decorrente da flexão em V, devida a Wr,
para dar uma tensão de compressão total maior. Se o material é
mais resistente à compressão que à tração, o efeito da força N
reforça o dente. Uma vez que a tensão de compressão é pequena,
comparada à tensão de flexão, ela é normalmente, porém nem sempre,
desprezada no cálculo. Assim, consideraremos apenas a tensão
devida a Wr.
Com Fr atuando em B, sendo h o braço de alavanca, o momento
fletor na seção VE é M = Wr.h. Sendo b a espessura, o módulo de
resistência da seção retangular em VC será de Z = bt2
/6. De M = σZ,
obtemos que,
(37)
A seção VE deve ser aquela em que a tensão produzida pela
carga Wr é máxima. É localizada do seguinte modo:
Tracemos por B a parábola VBE, passando pelos pontos V e E,
que define uma viga imaginária de resistência uniforme; isto é, se
o dente tivesse a forma da parábola, teria a mesma tensão em todas
as seções. A equação desta parábola é obtida em termos das
variáveis h e t, sendo σ uma constante na equação anterior.
Portanto:
2
.
6
t
Wr
b
h
σ
= e 2
. tCh = (38)
que é a equação de uma parábola. Se esta parábola é traçada com o
vértice em B, verificamos que ela fica inteiramente no interior do
dente exceto nos pontos de tangência. Uma vez que o dente é maior
que a parábola a tensão no dente é, em qualquer lugar, menor que a
tensão hipotética na parábola, exceto na seção de tangência que,
por esta razão, deve ser a seção de tensão máxima no dente. Em
conseqüência, na seção VE, a parábola inscrita é tangente ao
perfil do dente.
Entretanto, as dimensões h e t são inconvenientes quando se
calcula. Consideremos os triângulos semelhantes BVG e GVH. Deles
obtemos a proporção:
x
t
h
4
2
=
h
t
t
x 2
2
= (39)
6
2
bt
Wr σ=

30. Engrenagens
30
Substituindo este valor de h na equação 37:
6
2
bt
hWr σ=× (40)
obtemos:
64
22
bt
x
tWr
σ=
6
4
.
x
bWrr σ= (41)
Multiplicando e dividindo o 2.° membro desta equação pelo
passo diametral Pd, encontramos:






=
3
2. d
d
xP
P
b
Wr
σ
(42)
Uma vez que 2xPd/3 é uma constante para uma determinada forma
de dente, podemos faze-la iqual a Y, conhecido como o fator de
forma de Lewis. A equação resultante é:
dP
bY
Wr
σ
= (43)
Conhecida como equação de Lewis. Uma vez que Pd = π/Pc, a
equação de Lewis em termos do passo circular é:
ybP
YbP
Wr c
c
σ
π
σ
== (44)
onde y = Y/π é outra constante.
20 - Tensões em engrenagem
A figura mostra um par de dentes de engrenagens. Um torque Tp
está sendo transmitido do pinhão para a engrenagem movida.
⇒

31. Engrenagens
31
No ponto primitivo, a única força transmitida, excluindo
atrito, é a força W atuando ao longo da linha de ação. Esta força
pode ser decomposta em duas componentes, Wr agindo na direção
radial e Wt da direção tangencial. A força Wt pode ser calculada
por:
(45)
onde Tp se refere ao torque que é aplicado no eixo do pinhão,
rp é o raio de ponto principal, dp é o diâmetro do ponto principal,
Np é o número de dentes e pd é o passo diametral do pinhão.
A componente radial Wt é:
)tan(. θtr WW = (46)
e a força resultante é:
)cos(θ
tW
W = (47)
A força de reação R e suas componentes Rt e Rr tem o mesmo
módulo com sentidos opostos às forças diretas. As forças no pinhão
são as mesmas que atuam na engrenagem.
Dependendo do grau de engrenamento um dente pode receber toda
a carga transmitida em qualquer ponto do topo até o ponto perto do
círculo do deddendum. Obviamente, a situação mais crítica é aquela
que a força W age no topo do dente. Neste caso, a componente
tangencial Wt apresentará seu valor máximo agindo no dente.
Mesmo nas situações em que o torque Tp é constante, cada dente
sofrerá carga de forma alternada e repetitiva, criando uma
situação de fadiga.
Uma engrenagem em funcionamento está constantemente sendo
exigida em ciclos repetidos, que nos leva a pensar que certamente
a fadiga é um problema que tem de ser levado em consideração.
Existem dois problemas fundamentais que podem causar a danos a
uma engrenagem. Fratura por fadiga causada pelas cargas alternadas
e desgaste na superfície. Estes dois problemas devem ser levados
em consideração ao se projetar uma engrenagem. Fratura por fadiga
pode ser evitada utilizando a curva de Goodman, de modo que se
garanta o funcionamento sem fratura por um tempo indeterminado.
Como as engrenagens são geralmente feitas de ferro fundido, que
apresentam elevados limites de resistência a flexão, podemos
projetar uma engrenagem de maneira que ela tenha uma vida
infinita. Entretanto, é difícil se obter materiais que tem
p
pd
p
p
p
p
t
N
Tp
d
T
r
T
W
22
===

32. Engrenagens
32
elevados limites resistência à pressões de contato. Então, é
impossível de se construir uma engrenagem de vida infinita contra
desgastes superficiais. Engrenagens devidamente projetadas nunca
devem fraturar um dente em funcionamento normal, mas deve ser
esperado desgastes superficiais que com o tempo são inevitáveis.
21 - Dimensionamento de Engrenagens
A equação de Lewis
A primeira equação para tensões de flexão foi desenvolvida por
Wilfred Lewis, em 1892. Ele considerou um dente como uma barra
engastada com a seção crítica na base:
2
.6
Ft
lW
FY
pW
c
I
M tdt
===σ ⇒ Equação de Lewis (48)
onde l é a altura, t é o comprimento do dente, Wt é a
componente tangencial da força, pd é o passo diametral, F é a
espessura do dente e Y é um fator adimensional de forma para a
carga aplicada próxima à meia altura do dente e quando as cargas
dinâmicas máximas são bem avaliadas. Ele também é chamado de fator
de Lewis. É interessante notar que a componente radial Wr é
ignorada pois ela atua como força de compressão, o que tende a
reduzir o risco de quebra do dente.
A equação de Lewis é a base de uma versão mais moderna
utilizada pela norma AGMA. Os princípios utilizados na equação de
Lewis são ainda válidos, mas foram complementados por fatores
adicionais que só foram mais tarde realmente dimensionados. O
fator de forma Y foi suplantado pelo fator de geometria J, que
inclui os efeitos da concentração de tensões.
Equação AGMA para engrenagens
(American Gears Manufacturers Association)
Existem algumas condições para seu uso:
A razão de contato deve estar entre 1 e 2. Razões de
contato maiores estão sujeitos a fatores como precisão e
dureza que são difíceis de prever, tornando o problema
indeterminado.
Não deve haver interferência entre o topo e a raiz dos
dentes nem corte no topo dos dentes. Num projeto que se
precisa utilizar um conjunto pinhão-engrenagem de forma a
ocupar pouco volume, é comum modificações em partes do
dente de modo a diminuir o tamanho. O fator de forma J
necessita de dentes inteiros para se tornar válido,
impedindo assim qualquer variação no tamanho do dente.

33. Engrenagens
33
Deve haver uma pequena folga entre as duas engrenagens. Sem
folga, as engrenagens correm o risco de não girarem
livremente, devido ao excesso de atrito.
Os dentes devem ser padronizados e com bom acabamento
superficial.
Forças de atrito desprezíveis.
São usadas atualmente duas equações AGMA, uma para tensão de
flexão e outra para desgaste superficial, que são as duas causas
de danos em engrenagens.
A equação AGMA para tensões de flexão tem duas versões, uma no
sistema internacional e outra no sistema inglês de unidades:
J
KK
F
P
K
KW msd
v
at
××=σ
J
KK
FmK
KW ms
v
at
××=
0.1
σ (49)
sendo:
σ - tensão de flexão
Wt - força tangencial transmitida
Ka - fator de aplicação
Kv - fator dinâmico
Pd - passo diametral
m - módulo
F - largura do dente
Ks - fator de forma
Km - fator de distribuição de carga
J - fator de geometria
Note que a equação foram dispostas em três parcelas. A
primeira trata de fatores de força, a segunda trata de fatores de
geometria e a terceira trata da forma do dente.
Fazer um correto dimensionamento de engrenagens pela tensão de
flexão consiste basicamente em projetar a engrenagem de modo que a
tensão de flexão atuante no dente seja menor que a tensão
admissível à flexão do dente:
admσσ ≤ (50)
A fórmula para o cálculo da tensão admissível à flexão é:
RT
Lt
adm
KK
KS
=σ (51)
onde:
St - limite de resistência à tensão
KL - fator de vida
KT - fator de temperatura
KR - fator de confiabilidade

34. Engrenagens
34
A equação AGMA para desgaste superficial é:
2
1






××=
I
CC
Fd
C
C
CW
C
fms
v
at
pcσ (52)
sendo:
σc - valor absoluto da tensão por desgaste
Cp - coeficiente elástico
Ca - fator de aplicação
Cv - fator dinâmico
d - diâmetro primitivo da engrenagem
Cm - fator de distribuição de carga
Kf - fator de acabamento da superfície
I - fator de geometria
Fazer um correto dimensionamento de engrenagens pelo desgaste
superficial consiste basicamente em projetar a engrenagem de modo
que a tensão de contato atuante no dente seja menor que a tensão
admissível ao contato:
admcc ,σσ ≤ (53)
A fórmula para o cálculo da tensão admissível ao contato é:
RT
HLc
admc
CC
CCS
=,σ (54)
onde:
Sc - limite de resistência à fadiga
CL - fator de vida
CH - fator de taxa de dureza
CT - fator de temperatura
CR - fator de confiabilidade
Como já foi citado anteriormente, o desgaste superficial é uma
situação mais crítica que a tensão de flexão. Engrenagens bem
projetadas normalmente não quebram um dente por fadiga causada
graças à tensão de flexão, mas desgastes superficiais são
inevitáveis.

35. Engrenagens
35
Fator de geometria J e I
A determinação de J e I dependem da razão de contato mc, que é
determinada pela fórmula:
x
c
p
F
m = (55)
onde F é a largura do dente e px é o passo axial.
Este fator pode ser calculado através de complicadas fórmulas
definidas nas normas AGMA. Esta mesma norma apresenta uma tabela
do fator J para dentes fundos com ângulos de pressão de 20°:
Número de
dentes
Y Número de
dentes
Y
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
24
26
0.245
0.261
0.277
0.290
0.296
0.303
0.309
0.314
0.322
0.328
0.331
0.337
0.346
28
30
34
38
43
50
60
75
100
150
300
400
Acima
0.353
0.359
0.371
0.384
0.397
0.409
0.422
0.435
0.447
0.460
0.472
0.480
0.485
Coeficiente Elástico Cp
O coeficiente elástico Cp é um fator de correção adimensional
que depende de fatores como coeficiente de Poisson e do módulo de
elasticidade do pinhão e da engrenagem.
Ele pode ser calculado pela fórmula definida pela norma AGMA
ou pela tabela que está em função do material do pinhão e da
engrenagem.
21
22
11
−











 −
+
−
=
Eg
vg
Ep
vp
Cp π (56)
onde:
vp = coeficiente de Poisson do pinhão
vg = coeficiente de Poisson da engrenagem
Ep = módulo de elasticidade do pinhão [Mpsi ou GPa]
Eg = módulo de elasticidade da engrenagem [Mpsi ou GPa]

36. Engrenagens
36
Material e módulo de elasticidade
da engrenagem Eg, lb/in2
(Mpa)
Material
Do pinhão
Módulo de
elasticidade do
pinhão Ep, lb/in2
(Mpa)
Aço
30 × 106
(2 × 105
)
Ferro
Maleável
25 × 106
(1.7 × 105
)
Ferro
Nodular
24 × 106
(1.7 × 105
)
Ferro
Fundido
22 × 106
(1.5 × 105
)
Alumínio
Bronze
17,5 × 106
(1.2 × 105
)
Ligas
Cu-Sn
16 × 106
(1.1 × 105
)
Aço 30 × 106
(2 × 105
)
2300
(191)
2180
(181)
2160
(179)
2100
(174)
1950
(162)
1900
(158)
Ferro Maleável 25 × 106
(1.7 × 105
)
2180
(181)
2090
(174)
2070
(172)
2020
(168)
1900
(158)
1850
(154)
Ferro Nodular 24 × 106
(1.7 × 105
)
2160
(179)
2070
(172)
2050
(170)
2000
(166)
1880
(156)
1830
(152)
Ferro Fundido 22 × 106
(1.5 × 105
)
2100
(174)
2020
(172)
2000
(166)
1960
(163)
1850
(154)
1800
(149)
Alumínio
Bronze
17,5 × 106
(1.2 × 105
)
1950
(162)
1900
(158)
1880
(156)
1850
(154)
1750
(145)
1700
(141)
Liga Cu-Sn 16 × 106
(1.1 × 105
)
1900
(158)
1850
(154)
1830
(152)
1800
(149)
1700
(141)
1650
(137)
Coeficiente de Poisson de 0.30
Fator dinâmico Cv e Kv
O fator dinâmico corrige imprecisões na fabricação e no
acoplamento do conjunto. Estes erros na transmissão podem causar
vibrações excessivas, desgastes no perfil dos dentes,
desbalanceamento nas partes rotantes, desalinhamento linear e
radial nos eixos etc.
Uma maneira que a norma AGMA adotou para quantificar este
fator dinâmico é definindo um número Qv, chamado de número de
qualidade.
As equações a seguir para o cálculo de Cv e Kv são baseadas no
número de qualidade Qv:
B
vv
VA
A
CK








+
==
2
1
V em ft/min (57)
( )
B
vv
VA
A
CK








+
==
2
1
.200
V em m/s (58)
sendo )1(5650 BA −+= e
4
)12( 3
2
Qv
B
−
= .

37. Engrenagens
37
Fator de superfície Cf
A AGMA ainda não estabeleceu valores para o fator de superfície
Cf, portanto é recomendado o uso de valores maiores que 1 para
superfícies que claramente apresentam defeitos.
Fator de distribuição de carga Cm e Km
O fator de distribuição de carga corrige:
- Cargas causadas por deflexões elásticas de eixos e mancais.
- Eixos rotantes desalinhados.
- Desvio de passo
A tabela a seguir mostra como se calcular Cm e Km:
Largura da face F, in (mm)
≤ 2 (50) 6 (150) 9 (225) ≥ 16 (400)
Muita precisão na
montagem e nas
engrenagens
1,3
(1.2)
1,4
(1.4)
1,5
(1.4)
1,8
(1.7)
Média precisão na
montagem e nas
engrenagens
1,6
(1.5)
1,7
(1.6)
1,8
(1.7)
2,0
(2.0)
Pouca precisão na
montagem e nas
engrenagens
> 2.0 ( > 2.0)
Fator de confiabilidade Cr e Kr
Em todo este capítulo foi utilizado a confiabilidade de R = 0,99,
que corresponde à 107
ciclos de vida. Para outras confiabilidades,
pode-se utilizar da tabela a seguir:
Confiabilidade Cr, Kr
0,90 0,85
0,99 1,00
0,999 1,25
0,9999 1,50
Pode-se também utilizar a fórmula:
)1log(15.07.0 RCr −−= 0.9 ≤ R < 0.99 (59)
)1log(25.05.0 RCr −−= 0.99 ≤ R < 0.9999 (60)

38. Engrenagens
38
Fator de taxa de dureza Ch
O pinhão geralmente apresenta um número de dentes menor que a
engrenagem e consequentemente vai estar sujeito a mais ciclos sob
tensões de contato. Se o pinhão e a engrenagem são endurecidas,
pode se obter uma superfície uniforme fabricando um pinhão mais
duro. Pode-se também conjugar uma engrenagem com um pinhão desde
que este passe por um processo de endurecimento superficial. O
fator de taxa de dureza Ch é usado somente para a engrenagem e é
calculado pela fórmula:
)0.1(0.1 −+= mGACh onde 33
1029.81098.8 −−
×−





×=
BG
BP
H
H
A (61)
Os termos HBP e HBG são a dureza Brinell do pinhão e da engrenagem,
respectivamente.
O fator mG é a razão de velocidades.
A equação é valida somente para .70.1≤





BG
BP
H
H
Fator de vida Cl e Kl
Utilizando o fator de vida Cl e Kl consegue-se estimar a vida
útil de engrenagens. As tabelas a seguir mostram o fator corretivo
de vida à partir do número de ciclos.
Fator de tamanho Cs e Ks
Estes fatores corrigem alguma alteração quanto à uniformidade
em relação às propriedades do material. A norma AGMA recomenda
utilizar para o fator Cs e Ks o valor 1.
Fator de aplicação Ca e Ka
A razão do fator de aplicação é compensar situações em que a
carga real excede a força tangencial nominal Wt. Este fator varia
entre 0.45 a 0.95. Quanto menor a velocidade de rotação e menor o
padrão de qualidade Qv maior é o fator de aplicação.
Fator de acabamento da superfície Cf
A norma AGMA ainda não estabeleceu valores para o fator Cf,
mas sugere valores maiores que 1 quando existirem defeitos na
superfície.

39. Engrenagens
39
22 - Rendimento de engrenagens
Um par de engrenagens helicoidais ou de dentes retos usinados deve
transmitir, no mínimo, 98% da potência em velocidades comuns, se
as engrenagens e os mancais de apoio estiverem bem lubrificados.
Para uma redução dupla, o rendimento é um pouco mais baixo, cerca
de 97%, e para uma redução tripla, ainda mais baixo, da ordem de
96%. Freqüentemente ele é mais alto que estes valores. As perdas
na partida, quanto os mancais são mancais de deslizamento, podem
ser altas, da ordem de 35% da carga sendo, assim, recomendável dar
partida em engrenagens em condições de pouca carga. Devem ser
esperados menores valores do rendimento em velocidades muito
elevadas acima de 1500 m/min.
23 - Materiais usados em engrenagens
Todos os tipos de material são usados para engrenagens. Um dos
mais utilizados é o ferro fundido cinzento, ASTM 20, que é um
material relativamente barato e satisfatório do ponto de vista de
desgaste. Aços especiais não são usados a menos que sejam tratados
termicamente. O aço fundido deve ser bem recozido e pode sofrer
tratamento térmico.
Para se escolher o aço leva-se em consideração o tratamento que se
pretende fazer. Os dentes temperados (0.35% a 0.50% de carbono)
são usados freqüentemente. Os dentes carbonetados cementados (0.15
a 0.20% de carbono) tem resistência ao desgaste excelente com uma
superfície de 58 HC ou melhor. Os aços de 0.40% a 0.45% de carbono
são endurecidos na superfície para 50 HC ou mais, por têmpera
superficial por maçarico, têmpera por indução ou cianetação. Os
aços especiais são melhores para o endurecimento superficial por
possuírem alta temperabilidade. O aço fundido pode ser também
endurecido, inteiramente ou superficialmente.
O tratamento de endurecimento produz certamente alguma distorção,
porém, os aços-liga podem ser endurecidos com muito menor
distorção que o aço carbono. Se a precisão do perfil é necessária
como no caso de altas velocidades, deve-se escolher um material
que apresente um mínimo de distorção, mesmo assim pode ser
necessário retificar ou polir os perfis, de modo a se obter a
precisão necessária. A indústria automobilística, por processos
cuidadosamente controlados para manter a distorção mínima, usa
ligas endurecidas superficialmente sem a operação de retificação
final.
Em situações severas de serviço, pode ser usado a nitretação, um
processo caro, somente justificável em certos casos. Não há muito
problema de distorção, porque o processo é conduzido em
temperaturas relativamente baixas.
Alguns materiais não-metálicos são usados em engrenagens para
transmitir potências relativamente significantes como, por
exemplo, o couro cru, produtos de fenol laminados (baquelita,
textolite, etc.) e nylon. Uma vantagem dos não-metálicos é o baixo
nível de ruído.

40. Engrenagens
40
24 - Lubrificação em engrenagens
Excetuando-se engrenagens plásticas pouco exigidas, todo conjunto
de engrenagens devem ser lubrificado para prevenir desgaste
superficial. Controlar a temperatura na interface é importante
porque se muito altas, podem diminuir a vida útil das engrenagens.
Lubrificante removem calor e separam as superfícies de um contato
direto, reduzindo atrito. Lubrificante suficiente deve ser
utilizado para transferir o calor gerado por atrito para o meio
ambiente sem permitir que o engrenamento se aqueça em demasia.
A maneira preferida para se lubrificar é colocando as engrenagens
em caixas, de modo que elas ficam parcialmente submergidas. A
rotação da engrenagem leva o lubrificante para regiões que não
estão submergidas. O óleo deve ser limpo de livre de
contaminações, sendo trocado periodicamente. Conjuntos de
engrenagens que não podem ficar em caixas, devem ser sempre
lubrificados usando graxa, que é recomendada somente para baixas
velocidades e cargas.