Fund11

TEMA 2: FUNDAMENTOS

1

ECUACIONES DE MAXWELL
∇⋅D = ρ
∫ D ⋅ dS = ∫ ρ dV
S

VS

∫ B ⋅ dS = 0

∂B
∇× E = −
∂t
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)

∇⋅B = 0

d
∫ LE ⋅ dl = − dt ∫ SL B ⋅ dS
Ley de Faraday

∂D
∇× H =
+J
∂t

∂
∫ LH ⋅ dl = ∂t ∫ SL D ⋅ dS + ∫ SL J ⋅ dS
Ley de Ampère-Maxwell

En el vacío

S

D = ε 0 E , B = µ0 H

Las ecuaciones de Maxwell, junto con condiciones de contorno/iniciales
apropiadas resuelven cualquier problema electromagnético.

2


TEMA 2: FUNDAMENTOS

CONSERVACIÓN DE LA CARGA
•Las ecuaciones de Maxwell implican convervación
de la carga

∂ρ
∇⋅ J +
=0 ,
∂t

d
J ⋅ ds = − Q
∫S
dt

•La fuerza que actúa sobre una partícula en movimiento en el seno de un
campo electromagnético viene dada por ley de Lorentz


 v B
F  qE     

3


TEMA 2: FUNDAMENTOS

NOTACIÓN
•Densidad de carga ρ
•Densidad de corriente J = ρ v
•Intensidad de campo eléctrico E
•Desplazamiento eléctrico D
•Intensidad de campo magnético H
•Densidad de flujo magnético B

4


TEMA 2: FUNDAMENTOS

MEDIOS DIELÉCTRICOS
Muchos materiales sometidos a un campo eléctrico,
polarizan sus moléculas por deformación,
produciéndose dipolos eléctricos.
El vector desplazamiento
incluye los efectos de la
polarización


 
D  0 E  P

Materiales comunes: lineales,
isótropos, homogéneos,
independientes del tiempo y no
dispersivos:

P = ε 0 χ e E ⇒ D = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E

5


TEMA 2: FUNDAMENTOS

MEDIOS MAGNÉTICOS
Muchos materiales sometidos a un campo magnético,
orientan sus dipolos atómicos en contra/a favor del
campo magnético.
El vector intensidad de campo
magnético incluye los efectos
de la magnetización

H = B / µ0 − M

Materiales no tan comunes:
lineales, isótropos, homogéneos,
independientes del tiempo y no
dispersivos:

M = χ m H ⇒ B = µ 0 (1 + χ m ) H = µ 0 µ r H = µ H

6


TEMA 2: FUNDAMENTOS

CLASIFICACIÓN MATERIALES MAGNÉTICOS
•

Materiales paramagnéticos:
χm es positivo y del orden
de 10-5. Varía de forma
inversa con la temperatura.

•

Materiales diamagnéticos:
χm es negativo entre -10-5
y -10-8 y no depende de
la temperatura.

•

Materiales ferromagnéticos: La relación entre B y H
puede ser complicada e incluso depender de la
historia de magnetización del material (histéresis)

7


TEMA 2: FUNDAMENTOS

MATERIALES CONDUCTORES
• La corriente J que aparece en las ecuaciones de
Maxwell puede ser debido a movimientos de cargas
producidos mediante fuentes electromotrices o a
movimiento de cargas inducido por campos electricos
externos en el seno de materiales conductores por la
movilidad interna de sus cargas.
•Para muchos de ellos (medios óhmicos) también se
cumple una relación de linealidad entre el campo
eléctrico que le es aplicado y la corriente que se
generan en él
con σ constante que se
J = σ E material.
denomina conductividad del

J total = ρ v + σ E

8

TEMA 2: FUNDAMENTOS

MATERIALES CONDUCTORES
Ec. Ampère-Maxwell en la frecuencia

∂
→ jω
∂t


∇ × H = J + σ E + jωε E
Corr. libre

Corr. Conducción

La tangente de pérdidas
(inversa del factor de
calidad) mide si predomina la
corriente de desplazamiento
(buen aislante) o la de
conducción (buen conductor)

Corr. desplazamiento

σ
1
tan δ d =
=
ωε Q

9

TEMA 2: FUNDAMENTOS

CONDUCTORES: CLASIFICACIÓN
• Buen dieléctrico o aislante: Predomina la corriente reactiva

ωε
Si

σ =0

σ ⇒ tan δ d < 1/100
el medio se denomina dieléctrico perfecto


• Cuasiconductor

ωε ≈ σ ⇒ 1/100 < tan δ d < 100
• Buen conductor

ωε
Si

σ →∞

σ ⇒ tan δ d > 100
el medio se denomina conductor perfecto


TEMA 2: FUNDAMENTOS

10

CONDUCTORES: TIEMPO DE RELAJACIÓN
∂ρ
∇⋅E = ρ /ε
∇⋅J =σ ∇⋅E = −
∂t

σ
∂ρ
ρ+
=0
ε
∂t

  0 e

−/t

⎛σ
∂J ⎞
∇ ⋅⎜ J + ⎟ = 0
∂t ⎠
⎝ε

J = J 0e

− (σ / ε ) t

+ J estacionaria

∇ ⋅ J estacionaria = 0
  /

Tiempo de relajación
•Las cargas en el interior de un conductor tienden a
neutralizarse exponencialmente.
•Las corrientes en su interior tienen exponencialmente a
ser estacionarias

11


TEMA 2: FUNDAMENTOS

CONDUCTORES PERFECTOS
Al someterlos a un campo eléctrico externo:
•Presentan movilidad total de las cargas en su interior
•Reaccionan instantáneamente al campo eléctrico externo
(tiempo de relajación nulo)
Por tanto:
•Las cargas se depositan sobre la superficie quedando
neutro el interior
•El campo eléctrico en su interior es nulo (por ser
eléctricamente neutro)
•El campo eléctrico es perpendicular a la superficie
•Es equipotencial

12


TEMA 2: FUNDAMENTOS

SOLUCIÓN ECS. MAXWELL
¿ES POSIBLE RESOLVER LAS
ECUACIONES DE MAXWELL EN
GENERAL?
EL SISTEMA DE ECUACIONES
DIFERENCIALES TIENE SOLUCIÓN
ÚNICA EN TODO EL ESPACIO CON
CONDICIONES INICIALES DADAS

13

TEMA 2: FUNDAMENTOS

REPLANTEAMIENTO
∂ tψ ( x, y , z , t ) = R T ψ ( x, y , z , t ) − K ( x, y , z , t )
Vector electromagnético


ψ = ( Ex , E y , Ez , H x , H y , H z )

T

Vector de corrientes

⎛ Jx J y Jz
⎞
K = ⎜ , , , 0, 0, 0 ⎟
⎝ε ε ε
⎠

Rotacional hexadimensional (conductividades nulas)

1 ⎞
⎛
R⎟
⎜ 0
ε
⎟
RT = ⎜
⎜− 1 R 0 ⎟
⎜ µ
⎟
⎝
⎠

T

⎛ 0
⎜
R = ⎜ ∂z
⎜ −∂
⎝ y

−∂ z
0
∂x

∂y ⎞
⎟
−∂ x ⎟
0 ⎟
⎠

14

TEMA 2: FUNDAMENTOS

SOLUCIÓN NUMÉRICA
DIFERENCIAS CENTRADAS

f (u + ∆u / 2,...) − f (u − ∆u / 2,...)
δ u f (u,...) =
∆u

∂ u f (u ,...)

NUMÉRICO

ANALÍTICO

R T = RT

RT

{

ψ , E, H , K , J , M

}

( i∆x , j ∆y , k ∆z , n∆t )

∂ u →δ u

{ψ , E , H ,K , J , M }

n

i , j ,k

15


TEMA 2: FUNDAMENTOS

DISCRETIZACIÓN ESPACIAL
En cada cubo las
propiedades ε , µ , σ del
material son constantes

ε , µ ,σ


TEMA 2: FUNDAMENTOS

ε ,σ
16

EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA

µ = µ0


TEMA 2: FUNDAMENTOS

ε ,σ
17

EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA

µ = µ0

18

TEMA 2: FUNDAMENTOS

Esquema en diferencias (FDTD)
ECUACIONES
ROTACIONALES
DE MAXWELL


Ψ

∂ tψ = R T ψ − K
n +1
i , j ,k

-Ψ
∆t

n
i , j ,k

= R TΨ

n +1/ 2
i , j ,k

Supuestos conocidos los valores iniciales

n +1/ 2

- K i , j ,k
0

Ψ yΨ

Es posible obtener un algoritmo de solución autoconsistente.

Ψ

n +1
i , j ,k

=Ψ

n
i , j ,k

+ ∆ tR T Ψ

n +1/ 2
i , j ,k

n +1/ 2

- ∆tK i , j ,k

1/ 2

Piel


TEMA 2: FUNDAMENTOS

Tumor

EJEMPLOS 3D
ENERGÍA ABSORBIDA

Mama

Ultrabroadband
antenna array

ECOS

19

20


TEMA 2: FUNDAMENTOS

SOLUCIÓN ANALÍTICA

∇⋅D = ρ
∂B
∇× E = −
∂t

∇⋅B = 0
∂D
∇× H =
+J
∂t

SALVO QUE SE DIGA LO CONTRARIO, ASUMIREMOS
MATERIALES LINEALES, HOMOGÉNEOS (a trozos),
ISÓTROPOS, NO DISPERSIVOS E INDEPENDIENTES
DEL TIEMPO

D = µ E , B = µ H , J conducción = σ E

21

TEMA 2: FUNDAMENTOS

DISCONTINUIDADES EN LA FRONTERA ENTRE MEDIOS

σ 1 ,σ 2 finitas
ρ S (r , t )

ε1 , µ1 , σ 1

(

)


)

ˆ
n × E1 − E2 = 0

(
)
ˆ
n ⋅(D − D ) = ρ
∂ρ
ˆ ⋅( J − J ) = −
n
∂t
ˆ
n ⋅ B1 − B2 = 0
1

2

S

S

1

2

ε 2 , µ2 ,σ 2

Medio 1

ˆ
n × H1 − H 2 = 0

(

Medio 2

ˆ
n

dQ
ρS =
dS
Densidad superficial

⎛B B ⎞
ˆ×⎜ 1 − 2 ⎟ = 0
⇒ n
⎝ µ1 µ 2 ⎠
⎛ D1 D2 ⎞
ˆ
⇒ n×⎜ −
⎟=0
⎝ ε1 ε 2 ⎠

de carga

(
)
ˆ
⇒ n ⋅ (ε E − ε E ) = ρ
∂ρ
ˆ ⋅ (σ E − σ E ) = −
⇒ n
∂t

ˆ
⇒ n ⋅ µ1 H1 − µ 2 H 2 = 0
1

1

2

2

S

S

1

1

2

2

22

TEMA 2: FUNDAMENTOS

DISCONTINUIDADES EN LA FRONTERA ENTRE MEDIOS
Medio 1: CONDUCTIVIDAD FINITA ε1 , µ1 , σ 1
Medio 2: CONDUCTOR PERFECTO ε 2 , µ 2 , σ 2


En un conductor perfecto las
corrientes son superficiales

ˆ
ˆ
n × H1 = J S ⇒ n × B1 = µ1 J S
ˆ
n × E1 = 0

ˆ
⇒ n × D1 = 0

ˆ
n ⋅ B1 = 0

→∞

J S = ρS v
, H1 y B1

ˆ
⇒ n ⋅ H1 = 0

E2 (r , t ) = 0 = H 2 (r , t )

tangenciales no nulas

ˆ
, n × J1 = 0, E1 , D1 y J1 tangenciales nulas

ˆ
ˆ
ˆ
n ⋅ D1 = ρ S ⇒ n ⋅ E1 = ρ S / ε1 , n ⋅ J1 =

, B1 y H1

normales nulas

σ1
ρ S , D1 ,E1 y J1 normales no nulas
ε1

23

TEMA 2: FUNDAMENTOS

SOLUCIÓN ESTÁTICA
∂B
∂t

=0=

∂E
∂t

⇒ ∇⋅ E = ρ /ε , ∇⋅ B = 0 , ∇× E = 0 , ∇× B = µJ

Más fácil trabajar con
los potenciales

E = −∇V , B = ∇ × A

EC. DE POISSON → ∇ V = − ρ / ε , ∇ A = − µ J

2

EC. LAPLACE

2

→ ∇ V =0 , ∇ A=0
2

2

El potencial V tiene una interpretación energética

WLa→b =
−∆E potencial

∫

La→b

qE ⋅ dl = −

∫

q∇V ⋅ dl = qVa − qVb

La→b

E pot a

E pot b

El trabajo hecho por el campo eléctrico sobre una carga (el
magnético no trabaja directamente por ser Fmagn = qv × B ⊥ dl )
no depende del camino sino de los potenciales inicial y final.

{

}

24

SOLUCIÓN ESTÁTICA
TEMA 2: FUNDAMENTOS

CAMPO ELÉCTRICO ► LEY DE COULOMB
CAMPO MAGNÉTICO ►LEY DE BIOT-SAVART
P

R = r −r '

V (r ) =

R


r'

dV '

µ
A(r ) =
4π

r

E (r ) =

S

O

ˆ
n

4πε ∫

ρ (r ')

V'

J (r ', t ); ρ (r ', t )
V'

1

1

∫
4πε

V'

µ
B(r ) =
4π

J (r ')
∫' R3 dV '
V

ρ (r ') R
R

R

dV '

3

dV '

J (r ') × R
∫' R3 dV '
V

25

TEMA 2: FUNDAMENTOS

AUSENCIA DE FUENTES LIBRES
SOLUCIONES DE ONDA PLANA

∂H
∂E
J = 0 = ρ ⇒ ∇ × E = −µ
, ∇× H = σ E +ε
∂t
∂t


Busquemos soluciones
monocromáticas


  re jt
Cualquier otra solución se
puede poner


r, t 

∂2 E
2
∇ E − εµ 2 − µσ
∂t
∂2H
∇ 2 H − εµ 2 − µσ
∂t

∂E
=0
∂t
∂H
=0
∂t




 −   re jt d

∇ 2 H = −ω 2ε e µ H

⎛σ
⎞
, εe ≡ ⎜
+ε ⎟
2
2
∇ E = −ω ε e µ E
⎝ jω
⎠


TEMA 2: FUNDAMENTOS

AUSENCIA DE FUENTES LIBRES
SOLUCIONES DE ONDA PLANA UNIFORME

∇ H = −ω ε e µ H ⎫
⎪
⎬
2
2
∇ E = −ω ε e µ E ⎪
⎭
2

2

ˆ
⎧ H = H 0 e j ( ω t −γ n ⋅ r )
⎪
, γ 2 = ω 2 µε e
⎨
ˆ
j ( ω t −γ n ⋅ r )
⎪ E = E0e
⎩

ˆ
ˆ
⎧ H = H 0e−α n⋅r e j (ω t − β n⋅r )
⎪
⎨
ˆ
ˆ
−α n⋅r j (ω t − β n⋅r )
e
⎪ E = E0e
⎩

Que deben cumplir las
ecuaciones originales de
Maxwell

ˆ
n
E
H

ˆ
n× E
µ
H=
, Z=
Z
εe

γ = β − jα
•Se dice onda plana
por ser su fase
constante en los
planos n ⋅ r = cte
ˆ
•Se dice uniforme
por ser su amplitud
constante en esos
planos

26

27


TEMA 2: FUNDAMENTOS

NOTACIÓN
γ = ω µε e = β − jα
ˆ
n × E0
H0 =
Z

β
α

Relación de
estructura

Número de onda
(propagación)
Cte. Atenuación

c = ω / β ≠ 1/ εµ
Z onda

E0
=
H0

Relación de
dispersión

ˆ
γ =γn

Número de
onda complejo

µ
Z=
εe

Impedancia
intrínseca
del medio
Longitud de onda

λ = 2π / β
δ = 1/ α Prof. de penetración
Velocidad de fase (depende de la
frecuencia, hay dispersividad de fase)

Impedancia de onda. Igual en este caso a
la impedancia intrínseca del medio

28


TEMA 2: FUNDAMENTOS

MEDIO CONDUCTOR (Q finito): ONDA PLANA
εr
ε − jσ / ω
1
1 j arctan(1/ Q )
2
4 1+
=
E0
e
µ
µr
120π
Q2

• Conocido E0 → H 0 = E0
i. e., campo eléctrico y
magnético perpendiculares
entre sí y a la dirección
de propagación, pero
están desfasados
• Existe atenuación de la
onda al propagarse
α=

ω

c0

ωε
Q=
σ

⎧
1 ⎫
⎪
⎪
µ r ε r Re ⎨ 1 +
⎬≠0
jQ ⎪
⎪
⎩
⎭

• La velocidad de fase

depende de la frecuencia

c(ω ) =

⎧
c0
ω
1 ⎫
⎪
⎪
=
Im ⎨ 1 +
⎬
β
jQ ⎪
µrε r
⎪
⎩
⎭

−1

Nota: Z 0 = µ 0 / ε 0 = 120π , c0 = 1/ ε 0 µ 0 , ε = ε 0ε r , µ = µ 0 µ r

29


TEMA 2: FUNDAMENTOS

MEDIO AISLANTE (Q →∞): ONDA PLANA
• Dado E0

H 0 = 120π E0 ε r / µ r
campo eléctrico
y magnético
perpendiculares
entre sí y a la
dirección de
propagación y
están en fase
• La onda se propaga sin atenuación α = 0
• La velocidad de fase no depende c = c /
0
de la frecuencia

µ r ε r ≠ c(ω )

30

TEMA 2: FUNDAMENTOS

BUEN CONDUCTOR (Q <0.01): ONDA PLANA
γ

{

jωσµ = ± (1 + j )

} {

H0

}

E , H = E0 , H 0 e

Z0

2

−( δ

x)

e

, δ
j (ω t − x )

2

ωσµ

, ,α

β

1

δ

ˆ ˆ
, n=x

δ

1 jπ
e 4
Q

εr
1
E0
Z0
µr

E0
= Z
H0

ωσµ

µr
εr

Onda
”magnética”

• Agua de mar a bajas frecuencias aprox. ε r = 81, µ r = 1, σ = 4
Por tanto a 3 KHz, δ=5m. Una antena suele necesitar al menos 1/6
de la longitud de onda, que a 3 KHz en el aire mediría 1.6 Km, pero
en el agua sólo necesitaría del orden de 5m. Luego las comunicaciones
submarinas son más factibles a baja frecuencia.
• Apantallamiento a altas frecuencias. Por ejemplo, el cobre
ε r = 1, µ r = 1, σ = 5.8 107a 60 Hz , δ=8.5 mm y a 30 GHz, δ=0.38mm

31


TEMA 2: FUNDAMENTOS

MEDIO BUEN CONDUCTOR (Q <0.01): ONDA PLANA

γ

jωσµ = ± (1 + j )

E = E0 e

x
−( δ )

e

x
j (ω t − δ )

ωσµ
2

, δ

2

ωσµ

, J = σ E0 e

,α

x
−( δ )

e

β

1

δ

x
j (ω t − δ )

Existen grandes diferencias entre las corrientes a distinta
profundidad del conductor. El efecto es el de una aparición de una
resistencia extra, que llamaremos resistencia superficial.
Supongamos un hilo cuadrado que transporta una intensidad
total I, la mitad por una sección de resistencia R1 y la otra
mitad por R2. La potencia consumida es P = I 2 (R1 + R2 )/ 4
Si por R1 circulase I/2-x y por R2 circulase
2
2
I/2+x, P = I ( R1 + R2 ) / 4 + ξ ( R1 + R2 )
se consumiría más potencia. Por tanto,
conductores que transportan corrientes
grandes deben ser huecos para minimizar
pérdidas.

32


TEMA 2: FUNDAMENTOS

BUEN CONDUCTOR (Q <0.01): DIFUSIÓN DE B

εω
Q=
σ

∂E
1 ⇒J =σE
⇒ ∇ × B = σ E (Aprox.)
∂t
0
∂B
2
∇ × ∇ × B = µσ ∇ × E = − µσ
= ∇ ∇B − ∇ B
∂t
∂B Ecuación de difusión (similar a la del
2
∇ B = µσ
calor)
∂t

(

)

( )

Solución 1D con Bx (0, t ) = 0 , Bx ( L, t ) = 0 , Bx ( x, 0) = B0 ( x)
Bx ( x, t ) = e

− µσ t / λ 2

⎛
⎛ x⎞
⎛ x ⎞⎞
⎛ nπ x ⎞
⎜ K1 cos ⎜ λ ⎟ + K 2 sin ⎜ λ ⎟ ⎟ = ∑ K n sin ⎜ L ⎟ e
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎠ n =1
⎝
⎠
⎝
∞

⎛ nπ ⎞
− µσ ⎜
⎟ t
⎝ L ⎠
2

2
⎛ nπ x ⎞
Kn = ∫ sin ⎜
⎟B0 (x)dx
L0 ⎝ L ⎠
L

Tiempo de difusión ∼ µσ L2 (cobre 1cm: 5ms)

TEMA 2: FUNDAMENTOS

PRESENCIA DE FUENTES LIBRES.
MEDIO SIN PÉRDIDAS
EN EL CASO MÁS GENERAL (con σ=0)


  ∇A
B


∂A

E  −∇V −
∂t


La elección de los potenciales no es ÚNICA. Pueden
escogerse con ligaduras (gauge) analíticas.
Por ej. Ligadura de Lorenz

∂V
∇A + µε
=0
∂t

Introduciendo los potenciales en las ecuaciones de
Maxwell y utilizando la ligadura de Lorenz

∂ A
∇ A − µε 2 = − µ J
∂t
2

2

∂V
ρ
∇ V − µε 2 = −
∂t
ε
2

2

33

34

TEMA 2: FUNDAMENTOS

SOLUCIÓN PARTICULAR EC. INHOMOGÉNEA
⎧ 2 ⎡ ∂V ⎤
∂ ⎛ [V ]r
∫ S ⎨ R ⎢ ∂n ⎥ r − ∂n ⎜ R
⎝
⎩ ⎣ ⎦

⎞⎫
⎟ ⎬ dS
⎠⎭

µ
A(r , t ) =
4π

[ ρ ]r
1
V (r , t ) =
∫ V ′ R dV ′ + 4π
4πε

⎧ 2 ⎡ ∂A ⎤
∂ ⎛ [ A]r
⎪
∫ S ⎨ R ⎢ ∂n ⎥ − ∂n ⎜ R
⎪ ⎣ ⎦r
⎝
⎩

⎞⎫
⎪
⎟ ⎬ dS
⎠⎪
⎭

1

[ J ]r
1
∫ V ′ R dV ′ + 4π

35

TEMA 2: FUNDAMENTOS

SOLUCIÓN PARTICULAR EC. INHOMOGÉNEA
Donde F r  Fr ′ , t − R  representa a las

c
magnitudes retardadas, es decir, los valores de tal
magnitud en instantes anteriores.


•

•

Si en el volumen V’ , limitado por S no hay fuentes,
solo quedan las integrales de superficie, y los
potenciales en
son debidos a las fuentes externas
(integrales de Kirchoff)
Si existen fuentes en V’ , y esta región es finita,
es posible calcular el campo debido a estas fuentes,
R cuando
→ 
extendiendo las integrales de superficie
hasta el infinito, quedando los potenciales reducidos
a las integrales de volumen (aproximación de campo
lejano).

36


TEMA 2: FUNDAMENTOS

CAMPO LEJANO Y CERCANO
Un problema central en EMC es el de la interacción a
distancia de un dispositivo electromagnético con otro.
Llamaremos a este fenómeno acoplamiento. Puede ser
reactivo (capacitivo o inductivo) o radiativo (transmisión
de energía electromagnética en forma de ondas).
El mecanismo práctico más usual para producir radiación
de campos es la antena. Dos casos

37

TEMA 2: FUNDAMENTOS

ANTENAS LINEALES
Dipolo eléctrico hertziano: antena lineal pequeña en vacío
(de longitud L
λ ).


I 0 Le j (ω t − β r ) cos(θ ) ⎡ 2 j β 2 ⎤
Er =
⎢ r + r2 ⎥
jωε 0 4π r
⎣
⎦
I 0 Le j (ω t − β r ) sin(θ ) ⎡ 2 j β 1 ⎤
Eθ = −
⎢β − r − r2 ⎥
jωε 0 4π r
⎣
⎦
I 0 Le j (ω t − β r ) sin(θ ) ⎡
1⎤
Hϕ =
⎢ jβ + r ⎥
4π r
⎣
⎦

c = ω / β = 1/ ε 0 µ 0

38


TEMA 2: FUNDAMENTOS

ANTENAS LINEALES
Antena circular pequeña (de radio

I 0 a 2 e jt−r cos
Hr 
4r

a

λ

)

2j
 2
r
r2

I 0 a 2 e jt−r sin 2 j
H  −
 − r − 1
4r
r2

j 0 a 2 e jt−r sin
E  −
j  1
r
4r
c = ω / β = 1/ ε 0 µ 0

39

TEMA 2: FUNDAMENTOS

ANTENAS LINEALES
Campo lejano: términos con 1/r


Antena lineal

Antena circular

jI 0 Le jt−r sin
E 
 0 4rc

jI 0 Le jt−r sin
H 
4r
 2 I 0 a 2 e jt−r sin
H  −
4r

 0 a 2 e jt−r sin
E 
4r


TEMA 2: FUNDAMENTOS

40

CAMPO LEJANO Y CAMPO CERCANO


TEMA 2: FUNDAMENTOS

41


42


TEMA 2: FUNDAMENTOS

Por ejemplo, a una frecuencia de 30 MHz, /2  159cm
a 300 MHz,λ / 2π = 15.9cm, a 3 GHz, λ / 2π = 1.59cm

43


TEMA 2: FUNDAMENTOS

ANTENAS ELÉCTRICAS Y MAGNÉTICAS

µ0
Z0 =
ε0

ZW ≡ Z onda

E0
=
≠
H0

ε
= Z INTRÍNSECA
µ

,

λ
λ≡
2π

44


TEMA 2: FUNDAMENTOS

TEOREMA DE POYNTING
Si en una región del espacio hay un aporte de energía
mediante un movimiento de cargas producido por un campo
electromotor E ′no necesariamente de naturaleza eléctrica,
esta energía se transforma en

d
J
V E ′dV  dt

V

1 E D   HdV   J 2 dV   E  HdS
  B
  
2
V 
SV

A
B
C
D
A-Potencia proporcionada por los generadores.
B-Variación temporal de la energía eléctrica y magnética
C-Pérdida irreversible de potencia por efecto Joule
D-Flujo de potencia que entra o sale
VECTOR DE POYTING

P = E×H

45

TEMA 2: FUNDAMENTOS

TEOREMA COMPLEJO DE POYNTING
Para variaciones armónicas
2
0

d
dt

= jω

J
1 ′ ∗
∫ V Re{ 2 E0 J 0 }dV = ∫ V 2σ dV
POTENCIA ACTIVA

+

1
∗
∫ SV Re{ 2 E0 × H 0 }dS

FLUJO DE POTENCIA A TRAVÉS DE S


POTENCIA DISIPADA EN CALOR

1 ′ ∗
1 ⎛ µ H 02 ε E02 ⎞
1
∗
−
Im{ E0 J 0 }dV = 2ω ∫ ⎜
dV + ∫ Im{ E0 × H 0 }dS
⎟
∫V 2
V 2
SV
4
4 ⎠
2
⎝
FLUJO DE POTENCIA REACTIVA

POTENCIA REACTIVA

A TRAVÉS DE S

DIFERENCIA DE VALORES DE PICO
ENERGÍA ELÉCTRICA-MAGNÉTICA
∗
Im{ 1 E0 × H 0 }dS ≠ 0
∫ SV
2

EL MEDIO ES REACTIVO

∗
Re{ 1 E0 × H 0 }dS ≠ 0
∫ SV
2

EL MEDIO ES PASIVO

46

TEMA 2: FUNDAMENTOS

FLUJO DE POTENCIA LEJANO/CERCANO
Campo lejano: SÓLO activo

Im{P} = 0 , Re{P} ≠ 0


Campo cercano: activo y reactivo Im{P} ≠

0 , Re{P} ≠ 0


TEMA 2: FUNDAMENTOS

ONDA PLANA UNIFORME

∇ H = −ω ε e µ H ⎫
⎪
⎬
2
2
∇ E = −ω ε e µ E ⎪
⎭
2

2

ˆ
⎧ H = H 0 e j ( ω t −γ n ⋅ r )
⎪
, γ 2 = ω 2 µε e
⎨
ˆ
j ( ω t −γ n ⋅ r )
⎪ E = E0e
⎩

ˆ
ˆ
⎧ H = H 0e−α n⋅r e j (ω t − β n⋅r )
⎪
γ = β − jα
⎨
ˆ
ˆ
−α n⋅r j (ω t − β n⋅r )
e
⎪ E = E0e
⎩
ˆ
n × Eo
E0
µ
Ho =
= Z onda =
, Z intrínseca =
εe
Z
H0

ˆ
n

E
H

⎛σ
⎞
εe ≡ ⎜
+ε ⎟
⎝ jω
⎠

47

48


TEMA 2: FUNDAMENTOS

INCIDENCIA NORMAL EN MULTICAPAS
Dos ondas: una reflejada y otra transmitida

x
Condiciones de contorno
H1tangencial = H 2tangencial
E1tangencial = E2tangencial

Impedancias
intrínsecas

Er Z 2 − Z1
ρ=
=
Ei Z 2 + Z1

Et
2Z 2
τ = 1+ ρ = =
Ei Z1 + Z 2


TEMA 2: FUNDAMENTOS

49

Reflejada+Incidente=Estacionaria

50


TEMA 2: FUNDAMENTOS

Onda estacionaria: IMPEDANCIA DE ONDA

Z 2 + Z1 tanh( jγ x)
Z ( x) = Z1
Z1 + Z 2 tanh( jγ x)
Caso sin pérdidas γ = β

Z 2 + Z1 tanh( j β x)
Z 2 + jZ1 tan( β x)
Z ( x) = Z1
= Z1
Z1 + Z 2 tanh( j β x)
Z1 + jZ 2 tan( β x)

51

TEMA 2: FUNDAMENTOS

ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIAS: lámina de cuarto de onda

Z ( x = − L) − Z1
ρ ( x = − L) =
=0
Z ( x = − L) + Z1
Z1


L=

λ2
4

, λ2 =

Z2

c
f ε r µr

Z3

2π λ2
Z 3 + jZ 2 tan(−
)
λ2
λ2 4
= Z1 ⇒ Z 2 = Z1Z 3
Z ( x = − ) = Z1 ⇒ Z 2
2π λ2
4
Z 2 + jZ 3 tan(−
)
λ2 4

52

TEMA 2: FUNDAMENTOS

ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIAS: lámina de media onda

Z ( x = − L) − Z1
ρ ( x = − L) =
=0
Z ( x = − L) + Z1


L=

λ2
2

, λ2 =

c
f ε r µr

2π λ2
Z1 + jZ 2 tan(−
)
λ2
λ2 2
= Z1 ∀Z 2
Z ( x = − ) = Z1 ⇒ Z 2
2π λ2
2
Z 2 + jZ1 tan(−
)
λ2 2

53

TEMA 2: FUNDAMENTOS

APLICACIONES: DISEÑO DE ABSORBENTES

γ i = ωµi ( jσ i − ωε i )
ρ=


Zi =
De onda

Z w1 − Z 0
Z w1 + Z 0
µ
ε i − jσ i / ω

Intrínseca

Z w 2 + Z1 tanh( jγ 1d1 )
Z w3 + Z 2 tanh( jγ 2 d 2 )
Z w1 = Z1
, Z w2 = Z 2
, .....
Z1 + Z w 2 tanh( jγ 1d1 )
Z 2 + Z w3 tanh( jγ 2 d 2 )

Z k + Z k −1 tanh( jγ k −1d k −1 )
Z wk −1 = Z k −1
Z k −1 + Z k tanh( jγ k −1d k −1 )

54

TEMA 2: FUNDAMENTOS

APLICACIONES: DISEÑO DE ABSORBENTES
Un buen material absorbente debe:
1. Tener un coeficiente de reflexión pequeño.
2. Ser capaz de disipar toda la energía que absorbe.


Cómo?
Utilizando conductores:
• Disipan por efecto Joule la energía en su interior
tanto más cuanto más reflejan la que la incide
Compromiso: material con variación gradual de sus
parámetros manteniendo el coeficiente de reflexión
pequeño, y que disipe paulatinamente la energía.

55

TEMA 2: FUNDAMENTOS

ABSORBENTE MULICAPA
Ejemplo: Material no magnético formado por 50 capas
con obtimizado a 1 GHz


 k  1. 5  1. 06logk/log50

 k  5. 810 5 k/50 5
d k = 2δ

2 2 / ωσµ

Longitud total: 0.99 m

Es una infravoloración en
las primeras capas (pocas
pérdidas) pero funciona!

56


TEMA 2: FUNDAMENTOS

ABSORBENTE MULICAPA
Coeficiente de reflexión y de absorción en función de la frecuencia (los resultados
mejoran con el incremento de frecuencia)

Espumas absorbentes
comerciales ECCOSORB
AN75, AN77, AN79

Reflectivity dB = 20 log10 ( ρ )

57


TEMA 2: FUNDAMENTOS

APLICACIÓN: CÁMARAS ANECOICAS
•Uno de los primeros absorbentes, usados desde la década de
los 30, consitía en polvo de carbón esparcido sobre pelo animal.
•Los absorbentes típicos de hoy que se montan sobre las
paredes de cámaras anecoicas, suelen ser piramidales, con
conductividades variables, calculadas sobre la frecuencia
mínima que se quiere absorber, y son tanto más grandes cuanto
menor es la frecuencia.
•La forma piramidal favorece mayores superficies de absorción,
las ondas reflejadas reinciden sobre otras partes del
absorbente y cerca de la punta, al no haber casi material, la
impedancia de la onda es casi la misma que la de la onda
incidente.
•La tecnología Stealth utiliza materiales exóticos junto con un
cuidadoso diseño geométrico para absorber las ondas de
RADAR, lo que se aprovecha para aumentar la indetectabilidad
de blancos.


TEMA 2: FUNDAMENTOS

58

APLICACIÓN: CÁMARAS ANECOICAS

Fund11

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