Alguns exercícios de cálculo.

1. Calcular o valor, em função de x, das seguintes integrais aplicando o método de integração por
substituição trigonométrica:
1) I = d
⌠
⌡




1
x3
−x2
9
x ;
Solução
intervalos: ≤π θ e <θ
3 π
2
, se x < -3 ; ≤0 θ <
π
2
, se x > 3
considerando x = 3 ( )sec θ => dx = 3 ( )sec θ ( )tg θ dθ
temos que: x3
= ( )3 ( )sec θ 3
= 27 ( )sec θ 3
e
−x2
9 = −( )3 ( )sec θ 2
9 = −9 ( )sec θ 2
9 = 3 −( )sec θ 2
1 = 3 ( )tg θ 2
=
3 ( )tg θ
substituindo em I , temos:
I = d
⌠
⌡



3 ( )sec θ ( )tg θ
27 ( )sec θ 3
3 ( )tg θ
θ =
1
27
d
⌠
⌡



1
( )sec θ 2
θ =
1
27
d
⌠
⌡
 ( )cos θ 2
θ =
1
27
d
⌠
⌡



+( )cos 2 θ 1
2
θ =
=
1
54
d
⌠
⌡
 ( )cos 2 θ θ +
1
54
d
⌠
⌡
1 θ =
1
54
(
1
2
( )sen 2 θ ) +
1
54
θ + K =
θ
54
+
1
54
( )sen θ ( )cos θ + K
temos que: x = 3 ( )sec θ =
3
( )cos θ
=> ( )cos θ =
3
x
temos também: −x2
9 = 3 ( )tg θ => ( )tg θ =
−x2
9
3
=> θ =
Page 1

2. 






arctg
−x2
9
3
fazendo: ( )sen θ = ( )cos θ
( )sen θ
( )cos θ
= ( )cos θ ( )tg θ => ( )sen θ =
3
x
−x2
9
3
=
−x2
9
x
substituindo estes valores em I , temos:
I =
1
54







arctg
−x2
9
3
+
1
54
−x2
9
x
3
x
+ K =
=
1
54







arctg
−x2
9
3
+
1
18 x2
−x2
9 + K
------------------------------------------
2) I = d
⌠
⌡




12 x3
+2 x2
7
x ;
Solução
intervalos: ≤0 θ e <θ
π
2
, se ≤0 x ; −
π
2
< θ < 0 , se x < 0
I = d
⌠
⌡




12 x3
+2 x2
7
x = d
⌠
⌡






12 x3
+
2 x2
7
1
x
considerando x =
7
2
( )tg θ => dx =
7
2
( )sec θ 2
dθ
temos que: 12x3
= 12






7
2
( )tg θ
3
= 42
7
2
( )tg θ 3
e
Page 2

3. +2 x2
7 = +2






7
2
( )tg θ
2
7 = +7 ( )tg θ 2
7 = 7 ( )+( )tg θ 2
1 =
= 7 +( )tg θ 2
1 = 7 ( )sec θ 2
= 7 ( )sec θ
subtituindo em I , temos:
I = d
⌠
⌡









42
7
2
( )tg θ 3
7
2
( )sec θ 2
7
2
( )sec θ
θ = 42
7
2
7
d
⌠
⌡
 ( )tg θ 3
( )sec θ θ = 21 7
d
⌠
⌡
 ( )tg θ 3
( )sec θ θ =
= 21 7 d
⌠
⌡
( )−( )sec θ 2
1 ( )tg θ ( )sec θ θ = 21 7
d
⌠
⌡
 −( )sec θ 2
( )tg θ ( )sec θ ( )tg θ ( )sec θ θ =
= 21 7 d
⌠
⌡
 ( )sec θ 2
( )sec θ ( )tg θ θ −21 7 d
⌠
⌡
 ( )sec θ ( )tg θ θ
considerando u = ( )sec θ => du = ( )sec θ ( )tg θ dθ
sutstituindo , temos:
I = 21 7 d
⌠
⌡
u2
u −21 7 d
⌠
⌡
1 u = 21 7
u3
3
−21 7 u + K
sustituindo u por seu valor inicial, temos:
I = 21 7
( )sec θ 3
3
−21 7 ( )sec θ + K = 7 7 ( )sec θ 3
−21 7 ( )sec θ + K
como temos que +2 x2
7 = 7 ( )sec θ => ( )sec θ =
7 +2 x2
7
7
substituindo este valor em I, temos:
Page 3

4. I = 7 7








7 +2 x2
7
7
3
−
21 7 7 +2 x2
7
7
= 7 7
7
3
+2 x2
7
3
73
−21 +2 x2
7 =
= −+2 x2
7
3
21 +2 x2
7 + K = −( )+2 x2
7 +2 x2
7 21 +2 x2
7 + K =
= −2 x2
+2 x2
7 14 +2 x2
7 + K
------------------------------------------
3) I = d
⌠
⌡




− −x2
2 x 3
+x 1
x ;
Solução
considerando x + 1 = u => x = u - 1 => dx = du
substituindo em I , temos:
I = d
⌠
⌡




− −( )−u 1 2
2 ( )−u 1 3
u
u = d
⌠
⌡




− + − + −u2
2 u 1 2 u 2 3
u
u =
= d
⌠
⌡




−u2
4 u
u
u = d
⌠
⌡




−u2
4 u
u −u2
4 u
u = d
⌠
⌡




−u 4
−u2
4 u
u = d
⌠
⌡




−u 4
−( )−u 2 2
4
u
no intervalo 0 < θ <
π
2
podemos considerar −u 2 = 2 ( )sec θ => u = 2 ( )sec θ + 2 => du =
2 ( )sec θ ( )tg θ dθ
assim, temos: −u 4 = −2 ( )sec θ 2
Page 4

5. e −( )−u 2 2
4 = −( )+ −2 ( )sec θ 2 2 2
4 = −4 ( )sec θ 2
4 =
= 2 −( )sec θ 2
1 = 2 ( )tg θ 2
= 2 ( )tg θ
subtituindo estes valores em I , temos:
I = d
⌠
⌡



( )−2 ( )sec θ 2 2 ( )sec θ ( )tg θ
2 ( )tg θ
θ = d
⌠
⌡
 −2 ( )sec θ 2
2 ( )sec θ θ =
−2 d
⌠
⌡
 ( )sec θ 2
θ 2 d
⌠
⌡
 ( )sec θ θ =
= 2 ( )tg θ −2 ln( | sec(θ) + tg(θ) | ) + K
mas temos que: −u 2 = 2 ( )sec θ => sec(θ) =
−u 2
2
e que: −( )−u 2 2
4 = 2 tg(θ) => tg(θ) =
−( )−u 2 2
4
2
substituindo em I , temos:
I = 2
−( )−u 2 2
4
2
−2 ln( |
−u 2
2
+
−( )−u 2 2
4
2
| ) + K
mas temos que: u = x + 1
substituindo em I , temos:
I = −( )+ −x 1 2 2
4 −2 ln( |
+ −x 1 2
2
+
−( )+ −x 1 2 2
4
2
| ) + K =
= −( )−x 1 2
4 −2 ln( |
−x 1
2
+
−( )−x 1 2
4
2
| ) + K =
= − −x2
2 x 3 −2 ln( |
− +x 1 − −x2
2 x 3
2
| ) + K
----------------------------------------
Page 5

6. 4) I = d
⌠
⌡






1
( )− −x2
2 x 3






3
2
x ;
Solução
I = d
⌠
⌡






1
( )− −x2
2 x 3






3
2
x = d
⌠
⌡






1
[ ]−( )−x 1 2
4






3
2
x = d
⌠
⌡




1
[ ]−( )−x 1 2
4
3
x
no intervalo ≤0 θ e θ <
π
2
podemos considerar −x 1 = 2 sec(θ) => x = 2 sec(θ) + 1 => dx = 2 sec(θ) tg(θ)
dθ
e [ ]−( )−x 1 2
4
3
= −( )2 ( )sec θ 2
4
3
= 23
−( )sec θ 2
1
3
= 8 ( )tg θ 2
3
=
8 ( )tg θ 3
substituindo estes valores em I , temos:
I = d
⌠
⌡



2 ( )sec θ ( )tg θ
8 ( )tg θ 3
θ =
1
4
d
⌠
⌡



( )sec θ
( )tg θ 2
θ =
1
4
d
⌠
⌡



( )cos θ
( )sen θ 2
θ
considerando u = sen(θ) => du = cos(θ) dθ
substituindo em I , temos:
I =
1
4
d
⌠
⌡



1
u2
u = −
1
4 u
+ K
substituindo u por seu valor inicial, temos:
Page 6

7. I = −
1
4 ( )sen θ
+ K
como temos que: −x 1 = 2 sec(θ) =
2
( )cos θ
=> cos(θ) =
2
−x 1
e que: [ ]−( )−x 1 2
4
3
= 8 ( )tg θ 3
= 8






( )sen θ
( )cos θ
3
=> 8
( )sen θ
( )cos θ
=
−( )−x 1 2
4 =>
=> 8 sen(θ) = ( )cos θ −( )−x 1 2
4 =
2
−x 1
−( )−x 1 2
4 = 2
−( )−x 1 2
4
( )−x 1 2
=
= 2 −1






2
−x 1
2
=> sen(θ) =
1
4
−1






2
−x 1
2
logo, I =
1
16
−1






2
−x 1
2
+ K
-----------------------------------------
5) I = d
⌠
⌡




1
( )+x 2 + +x2
4 x 3
x ;
Solução
I = d
⌠
⌡




1
( )+x 2 + +x2
4 x 3
x = d
⌠
⌡




1
( )+x 2 −( )+x 2 2
1
x
no intervalo 0 < θ <
π
2
Page 7

8. podemos considerar x + 2 = sec(θ) => x = sec(θ) −2 => dx = sec(θ) tg(θ) dθ
e −( )+x 2 2
1 = −( )sec θ 2
1 = ( )tg θ 2
= tg(θ)
substituindo estes valores em I , temos:
I = d
⌠
⌡



( )sec θ ( )tg θ
( )sec θ ( )tg θ
θ = d
⌠
⌡
1 θ = θ + K
como temos que: x + 2 = sec(θ) => θ = arcsec( x + 2 )
logo, I = arcsec( x + 2 ) + K
----------------------------------------
============================================
Jailson Marinho Cardoso
Aluno do curso de Matemática
Universidade Federal da Paraíba
Campus I
31/07/2000
============================================
Page 8