1. ETI / EI, 1o
Ano
UC: Análise Matemática II
Caderno 1 : Integrais Duplos e Integrais de Linha
(Duplos, Volumes, Mudança de Coordenadas, Integrais de Linha)
Elaborado de: Diana Aldea Mendes e Rosário Laureano
Departamento de Métodos Quantitativos
Fevereiro de 2011

2. Capítulo 1
Integrais Duplos
1.1 Integrais duplos - definição e interpretação
A definição de integral duplo (multiplo) é uma generalização da de integral a uma só
variável. Em particular, o Teorema de Fubini, permite relacionar um integral definido
em Rn (integral multiplo) com o integral em R. Nomeadamente, um integral multiplo
pode ser calculado por integrações sucessivas numa variável considerando as restantes
fixas (constantes). O integral duplo (multiplo) quando explicitado por intermédio de dois
(vários) integrais simples designa-se por integral iterado.
Seja f uma função de duas variáveis, z = f(x, y), que seja contínua numa certa região
limitada e fechada D do xOy-plano. Tem-se D ⊂ Df ⊂ R2. Na prática, para calcular um
integral duplo
RR
D f(x, y)dxdy, temos que seguir os seguintes passos:
1. Representar graficamente o domínio de integração D
2. Estudar a regularidade do domínio de integração D e determinar a ordem de inte-
gração (dxdy ou dydx)
3. Explicitar os limites de integração e escrever o integral duplo na forma iterada
4. Calcular o integral duplo respeitando a ordem de integração
A principal dificuldade nos integrais duplos, consiste em, dado um domínio de inte-
gração D, determinar os limites de integração em cada um dos integrais simples envolvidos.
1

3. 2 Integrais Duplos
Definição 1.1.1 O domínio D ⊂ R2 diz-se regular segundo o eixo dos yy (no sentido do
eixo dos yy) se
1. Qualquer vertical que passe por um ponto interior de D intersecta a sua fronteira
em apenas dois pontos
2. D é limitado pelas curvas y = g1(x) e y = g2 (x) e pelas rectas x = a e x = b, sendo
g1(x) ≤ g2 (x) e a ≤ b.
Se o domínio de integração D é regular no sentido do eixo dos yy (ou segundo o eixo
dos yy), então a ordem de integração é dydx e o integral duplo explicita-se (calcula-se)
por
ZZ
D
f(x, y)dxdy =
Z b
a
ÃZ g2(x)
g1(x)
f(x, y)dy
!
dx =
Z b
a
dx
Z g2(x)
g1(x)
f (x, y) dy.
Graficamente, temos um domínio de integração regular no sentido do eixo dos yy, em cada
uma das seguintes situações:
x x
y y
a b
y=g1(x)
y=g2(x)
D
D
a b
y=g1(x)
y=g2(x)
x x
y y
a b
y=g1(x)=d
y=g2(x)=c
a b
y=g1(x)
y=g2(x)
D D
Deve ficar claro que o cálculo de um integral duplo requer o cálculo de 2 integrais
simples pela ordem indicada: primeiro o integral de f(x, y) em relação à variável y (con-

4. 1.1. INTEGRAIS DUPLOS - DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO 3
siderando x como constante) desde y = g1(x) (a fronteira inferior do domínio de integração
D) até y = g2(x) (a fronteira superior de D); depois o integral da expressão obtida em
relação à variável x no intervalo [a, b] ,isto é, do extremo esquerdo do domínio de integração
D até ao extremo direito de D.
Definição 1.1.2 O domínio D ⊂ R2 diz-se regular segundo o eixo dos xx (no sentido do
eixo dos xx) se
1. Qualquer horizontal que passe por um ponto interior de D intersecta a sua fronteira
em apenas dois pontos
2. D é limitado pelas curvas x = h1(y) e x = h2 (y) e pelas rectas y = c e y = d, sendo
h1(y) ≤ h2 (y) e c ≤ d.
Se o domínio de integração D é regular no sentido do eixo dos xx (ou segundo o eixo
dos xx), então a ordem de integração é dxdy e o integral duplo explicita-se (calcula-se)
por
ZZ
D
f(x, y)dxdy =
Z d
c
ÃZ h2(y)
h1(y)
f(x, y)dx
!
dy =
Z d
c
dy
Z h2(y)
h1(y)
f (x, y) dx.
Graficamente, temos um domínio de integração regular no sentido do eixo dos xx, em
cada uma das seguintes situações:
x x
y y
a b
x=h1(y) x=h2(y)
y=c
y=d
c
d
c
d y=d
y=c
x=h1(y)
x=h2(y)
D
D

5. 4 Integrais Duplos
x x
y y
a b
x=h1(y)=a x=h2(y)=b
D D
y=c
y=d
c
d
c
d y=d
y=c
x=h1(y)
x=h2(y)
Neste caso, calcula-se primeiro o integral de f(x, y) em relação à variável x (con-
siderando y como constante) desde x = h1(y) (a fronteira esquerda do domínio de inte-
gração D) até x = h2(y) (a fronteira direita de D); depois o integral da expressão obtida em
relação à variável y no intervalo [c, d] ,isto é, do extremo inferior do domínio de integração
D até ao extremo superior de D.
Tem-se sempre que
Z b
a
ÃZ g2(x)
g1(x)
f(x, y)dy
!
dx =
ZZ
D
f(x, y)dxdy =
Z d
c
ÃZ h2(y)
h1(y)
f(x, y)dx
!
dy,
ou seja, indiferente da ordem de integração utilizada, o valor do integral duplo é o mesmo.
Propriedades
Caso existam os integrais duplos são válidas as seguintes propriedades operacionais:
ZZ
D
[f(x, y) ± g(x, y)] dxdy =
ZZ
D
f(x, y)dxdy ±
ZZ
D
g(x, y)dxdy;
ZZ
D
cf(x, y)dxdy = c
ZZ
D
f(x, y)dxdy, para c ∈ R;
ZZ
D
h(x)f(x, y)dxdy =
Z b
a
h(x)
Z g2(x)
g1(x)
f(x, y)dydx;
ZZ
D
g(y)f(x, y)dxdy =
Z d
c
g(y)
Z h2(x)
h1(x)
f(x, y)dxdy.
Uma outra propriedade de grande utilidade em domínios de integração não regulares é a
seguinte: ZZ
D
f(x, y)dxdy =
ZZ
D1
f(x, y)dxdy +
ZZ
D2
f(x, y)dxdy,

6. 1.2. EXEMPLOS 5
se D = D1 ∪ D2, int(D1) ∩ int(D2) = ∅, e D1 e D2 são regulares no mesmo sentido.
O integral duplo sobre o domínio de integração D da função constante f (x, y) = 1
define a área de D, isto é
Z Z
D
1 dxdy = A (D) .
A passagem duma ordem de integração para outra num integral duplo, caso é possível,
designa-se por inversão da ordem de integração do integral duplo. Se o domínio
for regular no sentido do eixo dos yy ou seja
1.2 Exemplos
Exemplo 1. Calcule o valor dos seguintes integrais duplos
a).
R 2
1 dx
R 1
0 (x − cos y) dy =
R 2
1 (xy − sin y)|1
0 dx =
R 2
1 (x − sin 1) dx =
³
x2
2 − x sin 1
´¯
¯
¯
2
1
=
3
2 − sin 1
b).
R 5
0 dy
R y
0 (2xy) dx =
R 5
0
¡
yx2
¯
¯y
0
¢
dy =
R 5
0
¡
y3
¢
dy = y4
4
¯
¯
¯
5
0
= 625
4
Exemplo 2. Determine o valor do integral duplo
ZZ
D
(x + 2y) dxdy
onde o domínio de integração é limitado pelas parábolas de equação y = 2x2 e y = 1 + x2.
x
y
y
D
y=1+x2
y=2x2
x=-1 x=1
-1 10

7. 6 Integrais Duplos
Os pontos de intersecção das duas parábolas obtem-se iqualando as equações corespon-
dentes, isto é
2x2
= 1 + x2
⇒ x = ±1
sendo x = ±1 as equações das rectas verticais que limitam o domínio de integração.
Conclui-se que D é regular no sentido do eixo dos yy, logo pode ser escrito como
D =
©
−1 ≤ x ≤ 1, 2x2
≤ y ≤ 1 + x2
ª
deduzindo (também do gráfico) que y = g1 (x) = 2x2 é a função inferior e y = g2 (x) =
1 + x2 é a função superior que limitam o domínio de integração.
Da regularidade de D segundo o eixo dos yy obtem-se a ordem de integração dydx,
logo o integral duplo escreve-se como
ZZ
D
(x + 2y) dxdy =
Z 1
−1
dx
Z 1+x2
2x2
(x + 2y) dy =
Z 1
−1
¡
xy + y2
¢
¯
¯
¯
¯
1+x2
2x2
dx =
=
Z 1
−1
³
x
¡
1 + x2
¢
+
¡
1 + x2
¢2
− x
¡
2x2
¢
−
¡
2x2
¢2
´
dx =
=
Z 1
−1
¡
−3x4
− x3
+ 2x2
+ x + 1
¢
dx =
=
µ
−3
x5
5
−
x4
4
+ 2
x3
3
+
x2
2
+ x
¶¯
¯
¯
¯
1
−1
=
32
15
.
Portanto o valor do integral duplo é 32/15.
Exemplo 3. Calcule do integral duplo da função f(x, y) = x + y no domínio de
integração D definido por
D ≡
©
y = 2x, y = x2
, 0 ≤ x ≤ 2
ª
.
A representação gráfica do domínio de integração é ilustrada na Figura abaixo.

8. 1.2. EXEMPLOS 7
x
y
2
4
0
y=2x
y=x2
Domínio de integração D
x
y
2
4
0
x= 0 x= 2
y= 2x
y= x2
D regular segundo yy
y
2
4
0
y=4
y=0
x=y/2
x=y1/2
D regular segundo xx
Como D é regular no sentido do eixo dos yy, ou seja pode ser limitado por: x = a = 0,
x = b = 2, y = g1(x) = x2 e y = g2(x) = 2x, com 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 2x, o integral
duplo escreve-se como
Z Z
D
(x + y) dxdy =
Z 2
0
µZ 2x
x2
(x + y)dy
¶
dx =
Z 2
0
µ
xy +
y2
2
¶¯
¯
¯
¯
2x
x2
dx =
=
Z 2
0
µ
4x2
− x3
−
x4
2
¶
dx =
µ
4
x3
3
−
x4
4
−
x5
10
¶¯
¯
¯
¯
2
0
=
52
15
O mesmo integral duplo pode ser calculado pelo outro integral iterado (obtido invertendo
a ordem de integração), ou seja por
Z Z
D
(x + y) dxdy =
Z 4
0
ÃZ √
y
y/2
(x + y)dx
!
dy =
52
15
.
Tem-se c = 0, d = 4, x = h1(y) = y
2 e x = h2(y) =
√
y, segundo a notação indicada no
desenvolvimento.
Exemplo 4. Considere-se agora o mesmo integral duplo, mas com o domínio de
integração dado por
D ≡
©
y = 2x, y = x2
, 0 ≤ x ≤ 1
ª
.
Então o domínio D é regular no sentido do eixo dos yy e portanto o integral duplo é:
Z Z
D
(x + y) dxdy =
Z 1
0
µZ 2x
x2
(x + y)dy
¶
dx =
Z 1
0
µ
xy +
y2
2
¶¯
¯
¯
¯
2x
x2
dx =
=
Z 1
0
µ
4x2
− x3
−
x4
2
¶
dx =
µ
4
x3
3
−
x4
4
−
x5
10
¶¯
¯
¯
¯
1
0
=
118
120

9. 8 Integrais Duplos
Se optarmos pela outra ordem de integração o mesmo integral duplo terá de ser calculado
como segue:
x
y
0
y=2x
y=x2
1
2
x=0 x=1
x
y
0 1
2
y=0
y=1
y=2
x=y/2
x=y1/21
Z Z
D
(x + y) dxdy =
Z 1
0
ÃZ √
y
y/2
(x + y)dx
!
dy +
Z 2
1
ÃZ 1
y/2
(x + y)dx
!
dy
dado que é necessário considerar 2 sub-regiões D1 e D2 separadas pela recta y = 1 tais
que D1 ∪ D2 = D. De facto, atendendo a que a recta vertical x = 1 intersecta a parábola
y = x2 quando y toma o valor 1 e intersecta a recta y = 2x quando y toma o valor 2
(atenda à figura anterior e complete-a) estas duas sub-regiões serão as seguintes
D1 ≡
©
y = 2x, y = x2
, 0 ≤ x ≤ 1, y ≤ 1
ª
D2 ≡
©
y = 2x, y = x2
, 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2
ª
.
Por vezes é forçoso inverter a ordem de integração face à função f(x, y) a primitivar.
Exemplo 5. Calcule o seguinte integral duplo
Z 1
0
dy
Z 3
3y
ex2
dx.
Este integral duplo não pode ser calculado de forma fácil directamente pela ordem de inte-
gração estabelecida (dxdy), visto que a primitiva
R
ex2
dx não é uma primitiva elementar.
O domínio de integração deste integral duplo é limitado pelas rectas x = 3y, x = 3, y = 0
e y = 1. Para estabelecer o outra ordem de integração (dydx) — isto é, para efectuar in-
versão da ordem de integração do integral duplo — é útil representar graficamente
este domínio de integração

10. 1.2. EXEMPLOS 9
x
y
0
1
3
y=0
y=1
x=3
x=3y ou y=x/3
x=0
e, a partir dessa representação, escrever o novo integral iterado
Z 1
0
dy
Z 3
3y
ex2
dx =
Z 3
0
dx
Z x
3
0
ex2
dy =
Z 3
0
³
ex2
y
´¯
¯
¯
¯
x
3
0
dx =
=
Z 3
0
ex2 x
3
dx =
1
6
³
ex2
´¯
¯
¯
¯
3
0
=
1
6
¡
e9
− 1
¢
.
Exemplo 6. Pretende-se calcular o integral duplo
RR
D f(x, y)dxdy para f(x, y) = x2
e D definido por
D ≡ {xy = 16, y = x, y = 0, x = 8} .
Para tal represente-se graficamente este domínio
xy=16
y=x
x
y
4
x=8
y=4
4
y=2
x=4
e estabeleça-se as 2 ordens de integração:
ZZ
D
x2
dxdy =
Z 2
0
dy
Z 8
y
x2
dx +
Z 4
2
dy
Z 16/y
y
x2
dx

11. 10 Integrais Duplos
ZZ
D
x2
dxdy =
Z 4
0
dx
Z x
0
x2
dy +
Z 8
4
dx
Z 16/x
0
x2
dy
Verifica-se através da figura que, qualquer que seja a ordem de integração escolhida, é
necessário separar o domínio de integração em 2 sub-regiões, a saber: D1 e D2 separadas
pela recta y = 2 quando a opção é
R ¡R
f(x, y)dx
¢
dy, D0
1 e D0
2 separadas pela recta x = 4
quando a opção é
R ¡R
f(x, y)dy
¢
dx. O cálculo de qualquer um destes integrais iterados
conduz ao valor 448 para o integral duplo.
Exemplo 7. Determine o valor do integral duplo
RR
D (xy) dxdy onde o domínio de
integração D é limitado pelas curvas de equação y = x − 1 e y2 = 2x + 6.
A parábola de equação y2 = 2x+6 tem a forma equivalente y = ±
√
2x + 6 vista como
função y de variável x e tem a forma x = y2
2 − 3 vista como função x de variável y. Os
pontos de intersecção entre a parábola e a recta calculam-se de 2x + 6 = (x − 1)2
, o que
implica x2 − 4x − 5 = 0, de onde x = −1 e x = 5.
x
y
y=4
-3 1
0
-1
0
D
x=y+1
(-1,-2)
(5,4)
-1
y=-2
x=(y2/2)-3
Consideramos a regularidade segundo o eixo dos xx (sendo mais fácil neste caso).
Então o domínio de integração D é limitado pelas rectas horizontais de equação y = −2
e y = 4 (calculados como as imagens dos pontos de intersecção x = −1 e x = 5), e pelas
curvas: á esquerda x = h1 (y) = y2
2 − 3 e á direita x = h2 (y) = y + 1, logo, a ordem de

12. 1.2. EXEMPLOS 11
integração dxdy determina o seguinte integral iterado
ZZ
D
(xy) dxdy =
Z 4
−2
dy
Z y+1
y2
2
−3
xydx =
Z 4
−2
µ
x2
2
y
¶¯
¯
¯
¯
y+1
y2
2
−3
dy
=
1
2
Z 4
−2
y
Ã
(y + 1)2
−
µ
1
2
y2
− 3
¶2
!
dy =
=
1
2
Z 4
−2
µ
−
y5
4
+ 4y3
+ 2y2
− 8y
¶
dy
=
1
2
µ
−
y6
24
+ y4
+ 2
y3
3
− 4y2
¶¯
¯
¯
¯
4
−2
= 36.
Estudando a regularidade de D segundo o eixo dos yy, ou seja, fazendo uma inversão da
ordem de integração de dxdy para dydx, obtem-se uma divisão de D em dois sub-domínios
de integração separados pela recta vertical de equação x = −1.
x
y
y=(2x+6)1/2
y2=2x+6
x=5
-3 1
0
-1
0
D
y=-(2x+6)1/2
y=x-1
(-1,-2)
(5,4)
-1
x=-3 x=-1
Tem-se então o sub-domínio de integração D1 (regular no sentido do eixo dos yy)
limitado pelas rectas verticais de equação x = −3 e x = −1 e pelas curvas horizontais
y = g1 (x) = −
√
2x + 6 (curva inferior) e y = g2 (x) =
√
2x + 6 (curva superior) e o sub-
domínio D2 (regular o sentido do eixo dos yy) limitado pelas rectas verticais x = −1 e
x = 5 e pelas curvas horizontais y = g3 (x) = x−1 (curva inferior) e y = g4 (x) =
√
2x + 6
(curva superior).

13. 12 Integrais Duplos
Então a ordem de integração é dydx e o integral iterado á calcular é dado por
ZZ
D
(xy) dxdy =
ZZ
D1
(xy) dxdy +
ZZ
D2
(xy) dxdy
=
Z −1
−3
dx
Z √
2x+6
−
√
2x+6
xydy +
Z 5
−1
dx
Z √
2x+6
x−1
xydy = 36.
Exemplo 9. Explicita o integral duplo
RR
D (xy) dxdy, sendo D definido como na
figura seguinte:
x
y
D
0
y=-1
y=1+x2
x=y2
x=1x=-1
y=2
Regularidade segundo o eixo dos yy =⇒ ordem de integração dydx
ZZ
D
(xy) dxdy =
ZZ
D1
(xy) dxdy +
ZZ
D2
(xy) dxdy +
ZZ
D3
(xy) dxdy =
=
Z 0
−1
dx
Z 1+x2
−1
f (x, y) dy +
Z 1
0
dx
Z 1+x2
√
x
f (x, y) dy +
Z 1
0
dx
Z −
√
x
−1
f (x, y) dy.
Regularidade segundo o eixo dos xx =⇒ ordem de integração dxdy
ZZ
D
(xy) dxdy =
ZZ
D1
(xy) dxdy +
ZZ
D2
(xy) dxdy +
ZZ
D3
(xy) dxdy =
=
Z 1
−1
dy
Z y2
−1
f (x, y) dx +
Z 2
1
dy
Z −
√
y−1
−1
f (x, y) dx +
Z 2
1
dy
Z 1
√
y−1
f (x, y) dx.
1.3 Mudança de variável: coordenadas polares
Quando se utilizam coordenadas rectangulares (x, y) o sistema de referência é dado por
um par de rectas perpendiculares (os bem conhecidos eixos dos xx e dos yy). Para definir

14. 1.3. MUDANÇA DE VARIÁVEL: COORDENADAS POLARES 13
as coordenadas polares é utilizado um sistema de referência que consta de um ponto O
chamado pólo e de um raio que se inicia no ponto O designado por eixo polar.
θ
θ +π
O Eixo polar
Raio θ
Raio θ +π
Concretamente, um ponto P é dado pelas coordenadas polares (r, θ) se está posicionado
a uma distância r do pólo O tal que semi-recta OP determina um ângulo de amplitude θ
radianos (medido no sentido positivo) com o semi-eixo positivo dos xx.
Contrariamente ao que acontece com as coordenadas rectângulares, as coordenadas
polares não estão univocamente determinadas. De facto, geometricamente não existe
distinção entre os pontos cujos ângulos diferam por um múltiplo de 2π, isto é (r, θ) =
(r, θ + 2nπ) , n ∈ Z+. É, no entanto, usual considerar θ a amplitude do menor dos ângulos.
Tem-se então r ∈ R+
0 e θ ∈ [0, 2π[.
A relação entre as coordenadas polares (r, θ) e as coordenadas rectangulares (x, y) é
dada por
½
x = r cos θ
y = r sin θ

15. 14 Integrais Duplos
visto que cos θ =
x
r
e sin θ =
y
r
(ver figura abaixo),
h
θ
(x,y)
O x
y
r
o que implica que ⎧
⎨
⎩
tan θ =
y
x
, ou seja θ = arctan
y
x
r2 = x2 + y2
.
1.3.1 Exemplos
1. Determine as coordenadas rectangulares do ponto P dado pelas seguintes coordenadas
polares (r, θ) = (2, π/3) .
Atendendo as relações x = r cos θ e y = r sin θ obtem-se x = 2 cos (π/3) = 21
2 = 1
e y = 2 sin (π/3) = 2
√
3
2 =
√
3. Portanto o ponto P tem as coordenadas rectangulares
¡
1,
√
3
¢
.
2. Encontre as coordenadas polares para o ponto P definido pelas seguintes coorde-
nadas rectangulares (x, y) =
¡
−2, 2
√
3
¢
.
Trata-se de um ponto do segundo quadrante. Sabemos que r cos θ = −2 e r sin θ = 2
√
3.
Encontra-se o seginte valor para o raio r fazendo r2 = x2 + y2 = (r cos θ)2
+ (r sin θ)2
=
(−2)2
+
¡
2
√
3
¢2
= 16. Logo r = 4. Considerando r = 4 obtem-se
x = r cos θ = 4 cos θ = −2 =⇒ cos θ = −1
2
y = r sin θ = 4 sin θ = 2
√
3 =⇒ sin θ =
√
3
2
.
Tem-se então θ = arcsin
√
3
2 = arccos
¡
−1
2
¢
= 2
3π. Então as coordenadas polares de P são
¡
4, 2
3π
¢
.

16. 1.3. MUDANÇA DE VARIÁVEL: COORDENADAS POLARES 15
3. Em coordenadas rectangulares (x, y) a circunferência de centro C (0, 0) e raio a tem
por equação x2 + y2 = a2. A mesma circunferência, em coordenadas polares (r, θ), tem
por equação r = a. O interior da circunferência é definido por 0 < r < a e o exterior por
r > a.
4. Em coordenadas rectangulares (x, y) a recta que passa pela origem e faz um ângulo
α com o eixo dos xx tem por equação y = mx onde m = tan α. Em coordenadas polares
(r, θ), a mesma recta, tem por equação θ = α.
A recta vertical x = a tem por equação polar r cos θ = a e a recta horizontal y = b tem
por equação polar r sin θ = b. Mais geral, uma recta de equação cartesiana Ax+By+C = 0
pode ser escrita em coordenadas polares (atendendo as relações x = r cos θ e r = sin θ)
como
Ar cos θ + B sin θ + C = r (A cos θ + B sin θ) + C = 0.
5. Encontre uma equação em coordenadas polares para a hipérbole de equação x2 −
y2 = a2.
Substituindo x = r cos θ e r = sin θ na equação da hipérbole obtem-se
x2
− y2
= r2
cos2
θ − r2
sin2
θ = r2
¡
cos2
θ − sin2
θ
¢
=
= r2
cos (2θ) = a2
Portanto a equação r2 cos (2θ) = a2 representa, em coordenadas polares, a hipérbole dada.
Dado o integral duplo
Z Z
D
f(x, y)dxdy,
sempre que o domínio de integração D é dado por uma região circular ou quando a função
integranda f(x, y) contém uma expressão de tipo x2+y2, pode ser útil o uso de coordenadas
polares para calcular o valor do integral duplo.
Relembramos que as coordenadas polares (r, θ) de um ponto P estão relacionadas com
as coordenadas rectangulares (x, y) por meio das seguintes equações
½
x = r cos θ
y = r sin θ
e
(
r2 = x2 + y2
θ = arctan
³y
x
´

17. 16 Integrais Duplos
Apresenta-se em seguida a metodologia de cálculo dos integrais duplos
Z Z
D
f (x, y) dxdy
utilizando as coordenadas polares (r, θ) . O primeiro passo consta em transformar o domínio
de integração D (dado em coordenadas cartesianas) no domínio equivalente, Ω, em coor-
denadas polares (r, θ) .
Admitindo que a função f (x, y) é contínua em D, a função composta
F (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)
também vai ser contínua em todos os pontos do seu domínio Ω. Considerando a mudança
de variáveis para coordenadas polares, tem-se então que
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
Z Z
Ω
f (r cos θ, r sin θ) r drdθ =
Z Z
Ω
F (r, θ) r drdθ
visto que r é o valor do determinante da matriz jacobiana
∂ (x, y)
∂(r, θ)
e r ≥ 0.
Se o conjunto Ω é definido por
Ω = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, g1 (θ) ≤ r ≤ g2 (θ)}
para 0 ≤ β − α ≤ 2π, então a ordem de integração em coordenadas polares será drdθ (o
domínio Ω sendo regular segundo r) e então o integral duplo escreve-se como
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
Z Z
Ω
F (r, θ) r drdθ =
Z β
α
dθ
Z g2(θ)
g1(θ)
F (r, θ) r dr
y
xO Eixo polar
D θ = α
θ = β
r = g1(θ)
r = g2(θ)

18. 1.3. MUDANÇA DE VARIÁVEL: COORDENADAS POLARES 17
Este caso obtem-se quando o domínio D provém da intersecção de duas rectas que
passam pela origem e de declive α e β e mais outras duas curvas quisquer (veja figura
acima).
Se o conjunto Ω tem a forma
Ω = {(r, θ) | a ≤ r ≤ b, h1 (r) ≤ θ ≤ h2 (r)} ,
então a ordem de integração em coordenadas polares será dθdr (o domínio Ω sendo regular
segundo θ) e então o integral duplo escreve-se como
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
Z Z
Ω
F (r, θ) r drdθ =
Z b
a
dr
Z h2(r)
h1(r)
F (r, θ) r dθ.
Este caso resulte quando o domínio D provém da intersecção de duas circunferências com
centro na origem e de raio a e b e mais outras duas curvas.
Caso em qual o domínio D é o resultado da intersecção de duas circunferências com
centro na origem e duas rectas que passam pela origem, então o domínio em coordenadas
polares, Ω, sera regular nos dois sentidos permitidos e a ordem de integração é aleatória.
Como caso particular pode afirmar-se que a área do domínio de integração D pode ser
calculada em termos de coordenadas polares utilizando a seguinte fórmula
Área de D =
Z β
α
dθ
Z g2(θ)
g1(θ)
r dr =
1
2
Z β
α
¡
g2
2 (θ) − g2
1 (θ)
¢
dθ
considerando f(x, y) = 1.
Exemplo 1. Utilize coordenadas polares para calcular o valor do integral duplo
Z Z
D
xy dxdy
onde D é definido por
©
x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
ª
.
Representação gráfica do domínio de integração D em coordenadas rectangulares:
Cálculo do novo domínio de integração Ω e sua representação gráfica:
0 ≤ x2
+ y2
= r2
cos2
θ + r2
sin2
θ = r2
¡
cos2
θ + sin2
θ
¢
= r2
≤ 1
de onde 0 < r2 ≤ 1 implica 0 < r ≤ 1 ou seja g1 (θ) = 0 e g2 (θ) = 1. (Ou ainda, atendendo
um dos exemplos da secção anterior, sabe-se que x2 + y2 = 1 tem por equação polar r = 1
e o seu interior é dado por 0 < r < 1).

19. 18 Integrais Duplos
x
y
1
0
D
r
θ
0
r = 1
θ = π/2
Ω
Figura 1.1:
A equação x = 0 tem a forma polar r cos θ = 0 ⇒ cos θ = 0. A equação y = 0 tem a
forma polar r sin θ = 0 ⇒ sin θ = 0. A equação sin θ = 0 ⇒ θ = 0 representa o limite
inferior de θ e o limte superior de θ é dado pelo valor π/2 visto que cos θ = 0. Tem-se
então
Ω =
n
(r, θ) : 0 < θ <
π
2
e 0 < r < 1
o
.
O domínio Ω é regular nos dois sentidos (o seu gráfico é um rectângulo), logo são permitidas
as duas ordens de integração.
A função f (x, y) = xy em coordenadas polares vem
f (r cos θ, r sin θ) = F (r, θ) = (r cos θ) (r sin θ) = r2
sin θ cos θ.
Então, escolhendo a ordem de integração drdθ, tem-se que
Z Z
D
xy dxdy =
Z Z
Ω
r2
sin θ cos θ r drdθ =
Z π/2
0
dθ
Z 1
0
r3
sin θ cos θ dr =
=
Z π/2
0
µ
r4
4
sin θ cos θ
¶¯
¯
¯
¯
1
0
dθ =
Z π/2
0
µ
1
4
sin θ cos θ
¶
dθ =
=
1
8
Z π/2
0
(sin 2θ) dθ =
µ
−
1
16
cos 2θ
¶¯
¯
¯
¯
π/2
0
=
1
8
.
Exemplo 2. Calcule Z Z
D
y
x +
p
x2 + y2
dxdy,
sendo D limitado pelas rectas y = ±x e pelas circunfêrencias (x − 1)2
+y2 = 1 e (x − 2)2
+
y2 = 4.

20. 1.3. MUDANÇA DE VARIÁVEL: COORDENADAS POLARES 19
y
x
r
4
2
0 0 θ
r = 4 cos θ
r = 2 cos θ
Ω
D
1 2 4
y = x
y = - x
Figura 1.2:
O transformado de D (veja a sua representação gráfica) em coordenadas polares, o
conjunto Ω, é dado pelas relações
(x − 1)2
+ y2
≥ 1 ⇒ r ≥ 2 cos θ e (x − 2)2
+ y2
≤ 4 ⇒ r ≤ 4 cos θ
−x ≤ y ≤ x ⇒ −r cos θ ≤ r sin θ ≤ r cos θ
⇒ −1 ≤ tan θ ≤ 1 ⇒ −
π
4
≤ θ ≤
π
4
ou seja
Ω =
n
(r, θ) : −
π
4
≤ θ ≤
π
4
, 2 cos θ ≤ r ≤ 4 cos θ
o
.
Nota-se que a ordem de integração permitida é drdθ (o domínio Ω é regular no sentido do
eixo dos rr) e o integral duplo escreve-se em coordenadas polares como sendo
ZZ
D
y
x +
p
x2 + y2
dxdy =
ZZ
Ω
sin θ
cos θ + 1
r drdθ =
Z π/4
−π/4
dθ
Z 4 cos θ
2 cos θ
sin θ
cos θ + 1
r dr
=
Z π/4
−π/4
sin θ
cos θ + 1
µ
r2
2
¶¯
¯
¯
¯
4 cos θ
2 cos θ
dθ = 6
Z π/4
−π/4
sin θ
cos θ + 1
cos2
θ dθ
= 0
(o valor do itegral é nulo porque a função integranda é impar e os limites de integração
simétricos, logo A = A1 − A1 = 0).

21. 20 Integrais Duplos
1.4 Integrais duplos - Exercícios propostos
1. Determine as expressões gerais das primitivas para as funções:
(a) f(x, y) = x3 + 6y2 − 5xy2 − 10x2y3
(b) f(x, y) =
¡
x2 + y
¢4
x
(c) f(x, y) =
y
x + y2
(d) f(x, y) =
10y
x2 − 9
(e) f(x, y) =
x3 + y2
x2 + y2
(f) f(x, y) =
1
q
4 − (x + y)2
(g) f(x, y) =
10
3x + y2
(h) f(x, y) = 20
¡
x2 − y2
¢−1
(i) f(x, y) = ln x + y
(j) f(x, y) = ln
³
2x +
y
3
´
(k) f(x, y) =
10
x2 − y2
(l) f(x, y) =
x
(x2 + y)4
(m) f(x, y) =
2y
x2 − 16
(n) f(x, y) =
p
4x − y2
(o) f(x, y) = arctan (x + y)
(p) f(x, y) = sin2
(3x + y)
2. Mostre que
Z 2
1
ÃZ 2x2
x
(x3
+ 2y)dy
!
dx =
559
15
.

22. 1.4. INTEGRAIS DUPLOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21
3. Calcule o valor do integral duplo
Z Z
D
(x3
+ 2y)dxdy
sendo D a região do plano limitada pelas curvas x = 1, x = 2, y = 2x2 e y −
x = 0 e para cada uma das possíveis ordens de integração,
R ¡R
f(x, y)dx
¢
dy e
R ¡R
f(x, y)dy
¢
dx.
4. Determine
R R
D f(x, y)dxdy considerando f(x, y) = xy2 e
D =
©
(x, y) ∈ R2
: x 6 0, y > 0, x2
+ y2
6 1
ª
Averígue se pode retirar algumas conclusões acerca do valor e sinal do mesmo integral
para outros domínios de integração como sejam
D1 =
©
(x, y) ∈ R2
: x ≥ 0, y > 0, x2
+ y2
6 1
ª
D2 =
©
(x, y) ∈ R2
: x ≥ 0, x2
+ y2
6 1
ª
D3 =
©
(x, y) ∈ R2
: x ≥ y, y ≥ −x, x2
+ y2
6 1
ª
5. Mostre que Z Z
D
xy2
dxdy =
212
3
sendo D o paralelogramo limitado pelas rectas x = 3, x = 5, 3x + 2y − 4 = 0 e
2y + 3x = 1.
6. Determine o valor do integral duplo
Z Z
D
ey2
dxdy
sendo D =
n
(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧
x
2
≤ y ≤ 3
o
.
7. Calcule e nos casos possíveis inverte a ordem de integração para os seguintes integrais
duplos
(a)
1Z
0
1Z
√
x
sin
µ
y3 + 1
2
¶
dydx

23. 22 Integrais Duplos
(b)
0Z
−1
√
y+1Z
−
√
y+1
x2dxdy
(c)
1Z
0
1Z
x2
Ã
x3
p
x4 + y2
!
dydx
(d)
2Z
1
log xZ
0
e−xdxdy
(e)
1Z
0
1Z
y
ey/xdxdy
(f)
1Z
0
1Z
x
x2ey4
dxdy
8. Considere o integral duplo
Z 1
0
dx
Z 1−x
−
√
1−x2
f(x, y) dy.
Estabeleça a outra ordem de integração e calcule o valor do integral para f(x, y) =
√
2x.
9. Inverta a ordem de integração no seguinte integral duplo
Z 1
0
dy
Z √
y
0
f(x, y)dx +
Z 2
1
dy
Z 2−y
0
f(x, y)dx.
10. Considere o integral duplo
Z 1
0
dy
Z − ln y
−1+
√
y
f(x, y)dx.
Inverta a ordem de integração e mostre que tem o valor
10
63
para o caso de f(x, y) = y2.
11. Determine o valor do integral duplo
Z 1
4
0
dy
Z 1
2
+ 1−4y
4
1
2
− 1−4y
4
f(x, y) dx
para f(x, y) = e
y
x
+x
.

24. 1.4. INTEGRAIS DUPLOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 23
12. Verifique que o valor do integral duplo
Z ∞
1
dx
Z 1
x4
0
xex2√
y
dy = 1.
13. Mostre, usando cada uma das possíveis ordens de integração, que 2/5 é o valor do
integral duplo Z Z
D
xy2
dxdy
para D =
©
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x ∧ xy ≤ 1
ª
.
14. Considere o integral duplo
Z 0
−1
dy
Z 2
1+
√
−y
f(x, y) dx +
Z 1
0
dy
Z 2
2−
√
1−y2
f(x, y) dx.
(a) Inverta a ordem de integração.
(b) Calcule o valor do integral para f(x, y) = y.
15. Verifique que Z Z
D
¡
2x3
y + xy2
¢
dxdy = 4
para D definido pelas condições y = x2 + 1, y = x2, xy = 3 e xy = 1.
16. Passar às coordenadas polares (r, θ) , no integral duplo
R R
D f (x, y) dxdy e encontrar
os limites de integração onde
(a) D =
©
x2 + y2 ≤ 4
ª
(b) D =
©
x2 + y2 ≤ 9x
ª
(c) D =
©
x2 + y2 = 4x, x2 + y2 = 8x, y = x, y = 2x
ª
(d) D =
©
1 ≤ x2 + y2 ≤ 9
ª
17. Utilizando dois metodos diferentes calcule as áreas dos domínios de integração que
se indicam
(a) D = {x = 0, y = 0, x + y = 1}

25. 24 Integrais Duplos
(b) D = {y = x, y = 5x, x = 1}
(c) D = {y =
√
x, y = 2
√
x, x = 4}
18. Passando aos coordenadas polares calcule os seguintes integrais duplos
(a)
1Z
−1
√
1−y2
Z
0
p
x2 + y2dxdy
(b)
2Z
0
√
4−x2
Z
0
p
x2 + y2dydx
(c)
1Z
0
√
1−x2
Z
0
ex2+y2
dydx
(d)
1Z
1/2
√
1−x2
Z
0
¡
x2 + y2
¢3/2
dydx
(e)
1/2Z
0
√
1−x2
Z
0
xy
p
x2 + y2dydx
(f)
1Z
−1
√
1−y2
Z
−
√
1−y2
e−(x2+y2
)dxdy
(g)
2Z
0
√
4−y2
Z
−
√
4−y2
x2y2dxdy
19. Utilizando as coordenadas polares, calcule os seguintes integrais duplos:
(a)
R R
D
¡
3x + 4y2
¢
dxdy, onde D =
©
x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0
ª
(b)
R R
D xdxdy, onde D =
©
x2 + y2 ≤ 25
ª
(c)
R R
D ydxdy, onde D é a região do plano real limitada por x2 + y2 = 9, y = 0
e y = x.

26. 1.5. CÁLCULO DE VOLUMES 25
(d)
R R
D xydxdy, onde D é a região do 1o quadrante do plano real limitada por
x2 + y2 = 4. e x2 + y2 = 25.
(e)
R R
D e−x2−y2
dxdy, onde D é a região do plano real limitada por x =
p
4 − y2
e x = 0.
20. Calcule o integral duplo
Z Z
D
1
(1 + x2 + y2)3/2
dxdy
onde D é o triangulo de vertices (0, 0) , (1, 0) e (1, 1) .
21. Calcule o integral duplo
Z Z
D
p
x2 + y2dxdy
onde D é o triangulo de vertices (0, 0) , (1, 0) e
¡
1,
√
3
¢
.
22. Calcule
Z Z
D
ln
¡
1 + x2 + y2
¢
p
x2 + y2
dxdy
sabendo que o domínio de integração D é
D =
©
1 ≤ x2
+ y2
≤ 4, 0 ≤ x ≤ y ≤ 2x
ª
.
23. Calcule
R R
D
¡
x2 + y2
¢
dxdy sendo D limitado pelas curvas de equação y = x, y = x2
e y = 2x2.
1.5 Cálculo de Volumes
• Os integrais duplos podem ser utilizados no cálculo:
— de áreas, sendo
A (D) =
Z Z
D
1 dxdy

27. 26 Integrais Duplos
— de volumes, sendo
V (S) =
Z Z
D
(q (x, y) − p (x, y)) dxdy
o volume do sólido S compreendido entre os gráficos das funções q (x, y) (limita
o sólido superiormente) e p (x, y) (limita o sólido inferiormente), no domínio
D ⊂ R2.
D
R
y
z
0
z = q (x, y)
z = p (x, y)
x
x = b
x = a
y = h (x)
y = g (x)
Exemplo 1. Calcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies z + x2 +
y2 = b2, z = 0, |x| = a e |y| = a (0 < a < b).
A superfície z +x2 +y2 = b2 corresponde a um parabolóide que se desenvolve ao longo
do z-eixo com vértice (0, 0, b2).
A condição |x| = a caracteriza os planos paralelos ao yz-plano de equações x = a e
x = −a.
A condição |y| = a caracteriza os planos paralelos ao xz-plano de equações y = a e
y = −a.
A condição z = 0 define o xy-plano.
Uma maior secção plana D desta região do espaço R é o quadrado no xy-plano de
vértices (a, a), (−a, a), (a, −a) e (−a, −a), isto é,
D =
©
(x, y) ∈ R2
: −a ≤ x ≤ a ∧ −a ≤ y ≤ a
ª

28. 1.5. CÁLCULO DE VOLUMES 27
R =
©
(x, y, z) ∈ R3
: (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ b2
− x2
− y2
ª
.
O volume pedido pode ser calculado por:
V =
ZZ
D
¡
b2
− x2
− y2
¢
dxdy
=
Z a
−a
µZ a
−a
¡
b2
− x2
− y2
¢
dy
¶
dx =
Z a
−a
b2
y − x2
y −
y3
3
¯
¯y=a
y=−a dx
=
Z a
−a
2b2
a − 2ax2
− 2
a3
3
dx = 2b2
ax − 2a
x3
3
− 2
a3
3
x
¯
¯x=a
x=−a
= 4b2
a2
− 8
a4
3
.
Exemplo 2. Calcule o volume da região do espaço situada no 1o octante limitado
pelas superfícies x = 1, z = x + y e x =
√
4 − y.
As superfícies x = 1 e z = x + y são planos.
A superfície x =
√
4 − y é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eixo
dado que temos a equivalência
x =
p
4 − y ⇔ x2
= 4 − y ∧ x ≥ 0.
Uma maior secção plana D desta região do espaço R é, no xy-plano,isto é, temos
D =
©
(x, y) ∈ R2
| 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x2
ª
R =
©
(x, y, z) ∈ R3
| (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ x + y
ª
.
O volume pedido pode ser calculado por:
V =
ZZ
D
(x + y)dxdy ==
Z 1
0
ÃZ 4−x2
0
(x + y) dy
!
dx
=
Z 1
0
∙
xy +
y2
2
¸y=4−x2
y=0
dx =
Z 1
0
x
¡
4 − x2
¢
+
¡
4 − x2
¢2
2
dx
=
Z 1
0
4x − x3
+
16 + x4 − 8x2
2
dx
=
1
2
Z 1
0
¡
8x − 2x3
+ 16 + x4
− 8x2
¢
dx
=
1
2
∙
4x2
−
x4
2
+ 16x +
x5
5
− 8
x3
3
¸x=1
x=0
dx
=
1
2
∙
4 −
1
2
+ 16 +
1
5
−
8
3
¸
.

29. 28 Integrais Duplos
Exemplo 3. Calcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies
x2
a2
+
y2
b2
=
1, z + y = 2a e z = 0 (0 < b < 2a).
A superfície
x2
a2
+
y2
b2
= 1 corresponde a um cilindro elíptico que se desenvolve ao longo
do z-eixo.
A superfície z + y = 2a é um plano paralelo ao x-eixo.
A superfície z = 0 é o xy-plano.
Uma maior secção plana D desta região do espaço R é a elipse no xy-plano de equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1. Temos
D =
½
(x, y) ∈ R2
|
x2
a2
+
y2
b2
= 1
¾
R =
©
(x, y, z) ∈ R3
| (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ 2a − y
ª
.
O volume pedido pode ser calculado por:
V =
ZZ
D
(2a − y)dxdy
e, aplicando a mudança de variáveis
⎧
⎨
⎩
x
a
= X
y
b
= Y
a que corresponde o jacobiano
¯
¯
¯
¯
∂ (x, y)
∂(X, Y )
¯
¯
¯
¯ =
ab, temos
V =
ZZ
D0
(2a − bY )ab dXdY.
Aplicando coordenadas polares, temos
V =
Z 2π
0
µZ 1
0
(2a − br sin θ) abr dr
¶
dθ = ab
Z 2π
0
∙
2a
r2
2
− b
r3
3
sin θ
¸r=1
r=0
dθ
= ab
Z 2π
0
µ
a − b
1
3
sin θ
¶
dθ = ab
∙
aθ + b
1
3
cos θ
¸θ=2π
θ=0
= ab
µ
a2π + b
1
3
− b
1
3
¶
= 2πa2
b.
Exemplo 4. Calcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies z =
x2 + y2, y = x2, xy = 1, x = 2, y = 0 e z = 0.
A superfície z = x2 + y2 corresponde a um parabolóide que se desenvolve ao longo do
z-eixo de vértice (0, 0, 0) com todos os pontos de cota positiva.

30. 1.5. CÁLCULO DE VOLUMES 29
A superfície y = x2 é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eixo.
A superfície xy = 1 corresponde a um cilindro hiperbólico que se desenvolve ao longo
do z-eixo.
A superfície x = 2 é um plano paralelo ao yz-plano.
As superfícies y = 0 e z = 0 são, respectivamente, o xz-plano e o xy-plano.
Uma maior secção plana D desta região do espaço R é, no xy-plano, isto é, temos
D =
©
(x, y) ∈ R2
| 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2
ª
∪
½
(x, y) ∈ R2
| 1 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤
1
x
¾
R =
©
(x, y, z) ∈ R3
| (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ x2
+ y2
ª
.
O volume pedido pode ser calculado por:
V =
ZZ
D
(x2
+ y2
)dxdy
=
Z 1
0
ÃZ x2
0
(x2
+ y2
)dy
!
dx +
Z 2
1
ÃZ 1
x
0
(x2
+ y2
)dy
!
dx
=
Z 1
0
∙
x2
y +
y3
3
¸y=x2
y=0
dx +
Z 2
1
∙
x2
y +
y3
3
¸y= 1
x
y=0
dx
=
Z 1
0
µ
x4
+
x6
3
¶
dx +
Z 2
1
µ
x +
1
3x3
¶
dx =
=
∙
x5
5
+
x7
21
¸x=1
x=0
+
∙
x2
2
−
1
6x2
¸x=2
x=1
=
1573
840
.
Exemplo 5. Calcule o volume limitado pelas superfícies x2 + y2 = 4, x + y + z = 2 e
z = 0.
A superfície x2 + y2 = 4 corresponde a um cilindro circular que se desenvolve ao longo
do z-eixo.
A superfície x + y + z = 2 é um plano que intersecta os eixos coordenados em x = 2,
y = 2 e z = 2.
A superfície z = 0 é o xy-plano.
O volume pedido pode ser calculado por
V =
ZZ
D
(2 − x − y)dxdy.

31. 30 Integrais Duplos
Pode aplicar-se coordenadas polares a uma parte do domínio D:
V =
Z 2π
π
2
µZ 2
0
(2 − r cos θ − r sin θ)r dr
¶
dθ +
Z 2
0
µZ 2−x
0
(2 − x − y)dy
¶
dx
=
Z 2π
π
2
∙
r2
−
r3
3
cos θ −
r3
3
sin θ
¸r=2
r=0
dθ +
Z 2
0
∙
2y − xy −
y2
2
¸y=2−x
y=0
dx
=
Z 2π
π
2
(4 −
8
3
cos θ −
8
3
sin θ)dθ +
Z 2
0
(4 − 2x − 2x + x2
−
4 − 4x + x2
2
)dx
=
Z 2π
π
2
(4 −
8
3
cos θ −
8
3
sin θ)dθ +
Z 2
0
(4 − 6x +
3
2
x2
)dx
=
∙
4θ −
8
3
sin θ +
8
3
cos θ
¸θ=2π
θ=π
2
+
∙
4x − 3x2
+
1
2
x3
¸x=2
x=0
= 8π +
8
3
− 2π +
8
3
+ 8 − 12 + 4 = 6π +
16
3
.
1.6 Cálculo de volumes - Exercícios Propostos
1. Calcule o volume limitado pelas superfícies x2 + y2 + z − 8 = 0 e x2 + 3y2 − z = 0.
2. Calcule o volume limitado pelas superfícies x2 + y = 4, x2 − y + 2 = 0, z = 2 e
z = −1.
3. Calcule o volume limitado pelas superfícies x2 +y2 −1 = 0, y = −1 e x2 −y2 +z2 = 0.
4. Calcule o volume da região do espaço definida pelas condições x2 + y2 + z2 ≤ 4 e
z ≤
p
3x2 + 3y2.
5. Utilizando os integrais duplos calcule os volumes dos sólidos limitados pelas seguintes
superfícies
(a)
½
x2 = 4y
2y − x − 4 = 0
(b)
⎧
⎨
⎩
x2 + y2 = 1
z = 0
x + z = 1

32. 1.6. CÁLCULO DE VOLUMES - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 31
(c)
⎧
⎨
⎩
z = 1 − y2
2x + 3y + z + 10 = 0
x2 + y2 = z
(d)
½
z = 4 − x2 − y2
z = 2 + y2
(e)
½
z = 2 − x2 − y2
z = x2 + y2
(f)
⎧
⎨
⎩
x = 4
y = 4
z = x2 + y2 + 1
(g)
½
x + y = 1
z = x2 + y2
(h)
⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
y2 = x
y2 = 4x
z = 0
x + z = 6
(i)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
z = 0
2y2 = x
x
4
+
y
2
+
z
4
= 1
(j)
⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
z = 1
z = 12 − 3x − 4y
x2
4
+ y2 = 1
(k)
⎧
⎨
⎩
x = 3
z = 0
z = x2 − y2
(l)
⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
z = 0
y = 1
y = x2
z = x2 + y2
(m)
⎧
⎨
⎩
z = 0
z = x + y + 10
x2 + y2 = 4
(n)
⎧
⎨
⎩
2x − z = 0
4x − z = 0
x2 + y2 = 2x
6. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pela superfície de equação z =
x + y e limitado inferiormente do triângulo de vertices (0, 0, 0) , (0, 1, 0) , (1, 0, 0) .

33. 32 Integrais Duplos
7. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = y+b, inferiormente
pelo plano xy e lateral pelo cilindro circular x2 + y2 = b2, sendo b um número real.
8. Encontra o volume do elipsóido de equação
x2
4
+
y2
4
+
z2
3
= 1.
9. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = 2x e limitado
inferiormente pelo círculo (x − 1)2
+ y2 ≤ 1.
10. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pelo parabolóide z = x2 + y2 e
limitado inferiormente pela região D que está dentro da curva x2 + y2 = 2ax.
11. Encontra o volume do sólido situado dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 16 e fora do
cilindro x2 + y2 = 4.
12. Calcule o volume do sólido limitado pelo parabolóido z = 10−3x2 −3y2 e pelo plano
z = 4.
13. Calcule o volume do sólido limitado pelos parabolóidos z = 3x2+3y2 e z = 4−x2−y2.
14. Calcule o volume do sólido situado no interior do cilindro x2 + y2 = 4 e do elipsóido
4x2 + 4y2 + z2 = 64.

34. Capítulo 2
Integrais de Linha
2.1 Exercícios propostos
1. Calcule o valor do integral de linha
Z
C
−
y
x2 + y2
dx +
x
x2 + y2
dy
ao longo da curva plana C definida pela equação x2 +y2 = a2 e percorrida no sentido
positivo.
2. Verifique que é igual a zero o valor do integral curvilíneo do campo de vectores
−→
F (x, y) = x−→e1 + xy−→e2
ao longo de qualquer circunferência de centro (0, 0), mas que
−→
F não é um campo
gradiente ou conservativo (ou com potencial).
3. Calcule o valor do integral de linha
Z
C
xzdx + xdy − yzdz
sendo C a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro
O (0, 0, 0) que une o ponto A (0, 0, 1) ao ponto B (1, 0, 0) seguido de um segmento de
recta que une B (1, 0, 0) ao ponto D (0, 1, 0) e de outro segmento de recta que une
D (0, 1, 0) ao ponto E (0, 1, 1) .
33

35. 34 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
4. Dada a curva no espaço definida parametricamente por
−→r ≡
⎧
⎨
⎩
x = x
y = x2
z = 0
compreendida entre os pontos A (−1, 1, 0) e B (2, 4, 0) , e sendo f(x, y, z) = xyz +
x2 − y3, mostre que Z
C
f(x, y, z)dx = −
108
7
.
5. Sendo C o arco de circunferência x2 + y2 = 1 compreendido entre A (0, 1, 0) e
B(1, 0, 0), verifique a igualdade
Z
C
¡
x2
y
¢
dy = −
1
4
.
6. Mostre que 4ab2/3 é o valor do integral de linha
Z
C
y2
dx + x2
dy
sendo C a porção da elipse entre os vértices (a, 0) e (−a, 0) passando pelo vértice
(0, b) , com orientação positiva (a, b > 0).
7. Mostre que πa4/2 é o valor do trabalho do campo de vectores
−→
F (x, y) =
¡
−x2
y, xy2
¢
ao longo da circunferência x2 + y2 = a2, percorrida no sentido positivo.
8. Utilize os processos indicados em cada uma das alíneas para calcular o trabalho de
campo de vectores
−→
F (x, y) =
³
2
¡
x2
+ y2
¢
, (x + y)2
´
ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1),
B(2, 2) e C(1, 3) percorrido no sentido positivo.
(a) directamente pelas parametrizações;
(b) usando o teorema de Green.

36. 2.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 35
9. Determine, usando integrais de linha, a área do círculo.
10. Prove, utilizando integrais de linha, que πab é a área delimitada pela elipse de
equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
11. Utilize o teorema de Green para mostrar que o trabalho realizado pelo campo de
vectores
−→
F (x, y) = (y + 3x) −→e1 + (2y − x) −→e2,
quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da
elipse de equação 4x2 + y2 = 4, é de −4π.
12. Calcule o valor do integral de linha
I
C
(2x − y + 4) dx + (5x + 3y − 6) dy
sendo C cada uma das seguintes curvas planas:
(a) o contorno do triângulo de vértices O(0, 0), A(3, 0) e B(3, 2);
(b) a circunferência de centro (0, 0) e raio 4.
13. Mostre que é 3πa2/8 o valor da área da hipocicloide de equação x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 cuja
parametrização é
−→r ≡
⎧
⎨
⎩
x = a cos3 θ
y = a sin3
θ
, para 0 ≤ θ < 2π.
14. Verifique que o campo de vectores
−→
F (x, y) = (y + 2x exp y) −→e1 +
¡
x − 2y + x2
exp y
¢ −→e2
é conservativo ou gradiente (ou com potencial) e determine a respectiva função po-
tencial associada. Calcule ainda o valor do trabalho do campo de vectores
−→
F no
deslocamento de uma partícula entre os pontos (1, 1) e (2, 4) da parábola de equação
y = x2.

37. 36 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
15. Considere o integral de linha
Z
C
x2
ydx +
x3
3
dy.
(a) Calcule o valor do integral de linha sendo C a curva plana definida por y = x2
com 0 ≤ x ≤ 1;
(b) Prove que existe uma função f(x, y) tal que
df = x2
ydx +
x3
3
dy;
(c) Determine a função f tal que
−−−→
gradf =
µ
x2
y,
x3
3
¶
;
(d) Calcule o valor do integral de linha anterior usando a alínea b.
16. Calcule o valor do integral de linha
Z
C
¡
2xy − y4
+ 3
¢
dx +
¡
x2
− 4xy3
¢
dy
ao longo da curva plana C definida parametricamente por
−→r (θ) = (sin θ, arcsin θ)
entre A(1, 0) e B(0, 1).
17. Calcule o comprimento da curva plana definida por x2 + y2 = a2.
18. Mostre que πa (2b + a) é o valor do integral de linha
Z
C
zdx + xdy + ydz
ao longo da espira de hélice de equações paramétricas x(t) = a cos t, y(t) = a sin t,
z(t) = bt, para t ∈ [0, 2π] .
19. Mostre que Z (P2)
(P1)
(z + y) dx + (x + z) dy + (x + y) dz = 280
ao longo da curva C no espaço parametrizada por −→r (t) =
¡
t2, t3, t − 2
¢
sabendo que
P1 (1, 1, −1) e P2 (9, 27, 1) .

38. 2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 37
20. Mostre a igualdade I
ABCA
xdx + zdy + ydz = 0
sendo A (1, 0, 0) , B(0, 1, 0) e C(0, 0, 1).
21. Use a fórmula
R (P1)
(P0) f(x, y, z)d−→r =
R t1
t0
f (x(t), y(t), z(t)) · k(x0(t), y0(t), z0(t))k dt
para provar que
(a) com −→r (t) =
¡
t, t2, t3
¢
, P0(1, 1, 1), P1(2, 4, 8), e f(x, y, z) = xyz2 se tem
Z (P1)
(P0)
f(x, y, z)d−→r =
Z 2
1
t9
p
1 + 4t2 + 9t4dt;
(b) com −→r (θ) = (4 cos θ, 4 sin θ, 2θ) , P0(4, 0, 0), P1(4, 0, 4π), e f(x, y, z) = z2 se tem
Z (P1)
(P0)
f(x, y, z)d−→r =
64
√
5
3
π3
.
22. Calcule o trabalho do campo de vectores
−→
F (x, y, z) = (xy2
, 1, z)
ao longo da curva C no espaço definida por
(a) y = 2 ∧ z = −2t + 5 entre os pontos (1, 2, 3) e (2, 2, 1);
(b)
x2
16
+
y2
9
= 1 ∧ x ≤ 0 ∧ z = 0.
2.2 Integrais de linha - Propostas de resolução
Exercise 1 Mostre que πa4/2 é o valor do trabalho do campo de vectores
−→
F (x, y) =
¡
−x2
y, xy2
¢
ao longo da circunferência x2 + y2 = a2, percorrida no sentido positivo.

39. 38 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
O trabalho pedido pode ser calculado por
W =
I
C
−→
F |d−→r =
I
C
¡
−x2
y, xy2
¢
|d−→r
=
Z 2π
0
¡
−a2
cos2
θa sin θ, a cos θa2
sin2
θ
¢
|(−a sin θ, a cos θ) dθ
considerando a curva C parametrizada por
−→r (θ) ≡
½
x(θ) = a cos θ
y(θ) = a sin θ
para θ ∈ [0, 2π[.
Notemos que a expressão geral do vector tangente é
d−→r
dθ
= (−a sin θ, a cos θ). Temos então
W =
Z 2π
0
¡
a4
cos2
θ sin2
θ + a4
cos2
θ sin2
θ
¢
dθ = 2a4
Z 2π
0
cos2
θ sin2
θ dθ
= 2a4
Z 2π
0
1 + cos(2θ)
2
.
1 − cos(2θ)
2
dθ =
2a4
4
Z 2π
0
(1 − cos2
(2θ))dθ
=
a4
2
Z 2π
0
(1 −
1 + cos(4θ)
2
)dθ =
a4
2
∙
θ −
θ
2
+
sin(4θ)
8
¸θ=2π
θ=0
=
a4π
2
.
Exercise 2 Calcule o trabalho do campo de vectores
−→
F (x, y) =
³
2
¡
x2
+ y2
¢
, (x + y)2
´
ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2)
e C(1, 3) percorrido no sentido positivo.
A curva C é seccionalmente regular (represente a curva) sendo união de três arcos
regulares C1, C2 e C3 que são, respectivamente, os segmentos de recta [AB], [BC] e [CA].
O trabalho pedido pode ser calculado por
W =
I
C
−→
F |d−→r =
I
C1
−→
F |d−→r +
I
C2
−→
F |d−→r +
I
C3
−→
F |d−→r .
Uma parametrização do arco C1, contido na recta y = x, é
−→r (t) ≡
½
x(t) = t
y(t) = t
para t ∈ [1, 2]
a que corresponde a expressão geral do vector tangente
d−→r
dt
= (1, 1). Uma parametrização
do arco C2, contido na recta y = −x + 4, é
−→r (t) ≡
½
x(t) = 4 − t
y(t) = t
para t ∈ [2, 3].

40. 2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 39
a que corresponde a expressão geral do vector tangente
d−→r
dt
= (−1, 1). Uma parametriza-
ção do arco C3, contido na recta x = 1, é
−→r (t) ≡
½
x(t) = 1
y(t) = −t
para t ∈ [−3, −2]
a que corresponde a expressão geral do vector tangente
d−→r
dt
= (0, −1). Temos então
W =
I
C1
(2
¡
x2
+ y2
¢
, (x + y)2
) |d−→r +
I
C2
(2
¡
x2
+ y2
¢
, (x + y)2
) |d−→r
+
I
C3
(2
¡
x2
+ y2
¢
, (x + y)2
) |d−→r
=
Z 2
1
(4t2
, 4t2
) |(1, 1) +
Z 3
2
(2((4 − t)2
+ t2
), 16) |(−1, 1)
+
Z −2
−3
(2(1 + t2
), (1 − t)2
) |(0, −1)
=
Z 2
1
8t2
dt +
Z 3
2
(−16 + 16t − t2
)dt +
Z −2
−3
(−1 + 2t − t2
)dt
= 8
∙
t3
3
¸2
1
+
∙
−16t + 8t2
−
t3
3
¸3
2
+
∙
−t + t2
−
t3
3
¸−2
−3
= −
4
3
.
Exercise 3 Calcule o trabalho do campo de vectores
−→
F (x, y, z) = (xy2
, 1, z)
ao longo da curva C no espaço definida por (a) y = 2 ∧ z = −2t + 5 entre os pontos
(1, 2, 3) e (2, 2, 1); (b)
x2
16
+
y2
9
= 1 ∧ x ≤ 0 ∧ z = 0.
(a) O trabalho pedido pode ser calculado por
W =
I
C
−→
F |d−→r =
I
C
(xy2
, 1, z) |d−→r
Uma parametrização de C é
−→r (t) ≡
⎧
⎨
⎩
x(t) = t
y(t) = 2
z(t) = −2t + 5
para t ∈ [1, 2]
a que corresponde a expressão geral do vector tangente
d−→r
dt
= (1, 0, −2). Temos então
W =
I
C
(xy2
, 1, z) |d−→r =
Z 2
1
(4t, 1, −2t + 5) |(1, 0, −2) =
Z 2
1
(4t + 4t − 10)dt
=
£
4t2
− 10t
¤2
1
= 16 − 20 − 4 + 10 = 2.

41. 2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 41
Exercise 5 Calcule o valor do integral de linha
Z
C
xzdx + xdy − yzdz
sendo C a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro O (0, 0, 0)
que une o ponto A (0, 0, 1) ao ponto B (1, 0, 0) , seguido de um segmento de recta que une
B (1, 0, 0) ao ponto D (0, 1, 0) e de outro segmento de recta que une D (0, 1, 0) ao ponto
E (0, 1, 1) .
A curva C é seccionalmente regular (represente a curva) sendo união de três arcos
regulares C1, C2 e C3 que são, respectivamente, os arcos [AB], [BD] e [DE]. O trabalho
pedido pode ser calculado por
W =
I
C
−→
F |d−→r =
I
C1
−→
F |d−→r +
I
C2
−→
F |d−→r +
I
C3
−→
F |d−→r .
Uma parametrização do arco C1, contido na circunferência de equação x2 + y2 = 1, é
−→r (θ) ≡
⎧
⎨
⎩
x(θ) = sin θ
y(θ) = 0
z(θ) = cos θ
para θ ∈ [0,
π
2
]
a que corresponde a expressão geral do vector tangente
d−→r
dθ
= (cos θ, 0, − sin θ). Uma
parametrização do arco C2, contido na recta y = −x + 1 ∧ z = 0, é
−→r (t) ≡
⎧
⎨
⎩
x(t) = 1 − t
y(t) = t
z(t) = 0
para t ∈ [0, 1].
a que corresponde a expressão geral do vector tangente
d−→r
dt
= (−1, 1, 0). Uma parame-
trização do arco C3, contido na resta x = 0 ∧ y = 1, é
−→r (t) ≡
⎧
⎨
⎩
x(t) = 0
y(t) = 1
z(t) = t
para t ∈ [0, 1]

42. 42 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
a que corresponde a expressão geral do vector tangente
d−→r
dt
= (0, 0, 1). Temos então
W =
I
C1
(xz, x, −yz) |d−→r +
I
C2
(xz, x, −yz) |d−→r +
I
C3
(xz, x, −yz) |d−→r
=
Z π
2
0
(sin θ cos θ, sin θ, 0) |(cos θ, 0, − sin θ) dθ
+
Z 1
0
(0, 1 − t, 0) |(−1, 1, 0) dt +
Z 1
0
(0, 0, −t) |(0, 0, 1) dt
=
Z π
2
0
sin θ cos2
θdθ +
Z 1
0
(1 − t)dt +
Z 1
0
−t dt
=
∙
−
cos3 θ
3
¸π
2
0
+
∙
t −
t2
2
¸1
0
−
∙
t2
2
¸1
0
=
1
3
.
Exercise 6 Mostre que πa (2b + a) é o valor do integral de linha
Z
C
zdx + xdy + ydz
ao longo da espira de hélice de equações paramétricas x(t) = a cos t, y(t) = a sin t, z(t) =
bt, para t ∈ [0, 2π] .
Uma parametrização de C é
−→r (t) ≡
⎧
⎨
⎩
x(t) = a cos t
y(t) = a sin t
z(t) = bt
para t ∈ [0, 2π]
a que corresponde a expressão geral do vector tangente
d−→r
dt
= (−a sin t, a cos t, b). Temos
então
Z
C
zdx + xdy + ydz =
Z 2π
0
bt (−a sin t) dt + a cos t (a cos t) dt + a sin t · bdt
=
Z 2π
0
−abt sin tdt + a2
cos2
tdt + ab sin tdt
= [abt cos t]2π
0 − ab
Z 2π
0
cos tdt + a2
Z 2π
0
1 + cos (2t)
2
dt
+ab
Z 2π
0
sin tdt
= [abt cos t]2π
0 − ab [sin t]2π
0 + a2
∙
t
2
+
1
4
sin(2t)
¸2π
0
+ab [− cos t]2π
0 = aπ (2b + a) .

43. 2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 43
Exercise 7 Verifique que
−→
F (x, y) = (y + 2x exp y) −→e1 +
¡
x − 2y + x2
exp y
¢ −→e2
é um campo conservativo ou gradiente (ou com potencial) e determine a respectiva função
potencial associada. Calcule ainda o valor do trabalho do campo de vectores
−→
F no deslo-
camento de uma partícula entre os pontos (1, 1) e (2, 4) da parábola de equação y = x2.
Trata-se de verificar se existe uma função f(x, y) tal que
∂f
dx
dx +
∂f
dy
dy = (y + 2x exp y) dx +
¡
x − 2y + x2
exp y
¢
dy.
Para que tal aconteça, a função terá de verificar o teorema de Schwarz, ou seja, terá de se
verificar
∂ (y + 2x exp y)
∂y
=
∂
¡
x − 2y + x2 exp y
¢
∂x
.
De facto ambas as derivadas têm por expressão 1 + 2x exp y. Podemos assim concluir que
o campo de vectores
−→
F é um campo conservativo. Quanto à determinação da função
potencial f atenda-se a que ela verifica as igualdades
∂f
dx
= y + 2x exp y
∂f
dy
= x − 2y + x2
exp y.
Como tal,
f(x, y) =
Z
(y + 2x exp y) dx = yx + x2
exp y + C(y).
Dada a igualdade
∂f
dy
= x − 2y + x2 exp y, sabemos ainda que
∂
¡
yx + x2 exp y + C(y)
¢
dy
= x − 2y + x2
exp y
⇔ x + x2
exp y + C0
(y) = x − 2y + x2
exp y
⇒ C0
(y) = 2y ⇒ C(y) = y2
+ C
Podemos então concluir que
f(x, y) = yx + x2
exp y + y2
.

44. 44 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
O trabalho pedido pode ser calculado por
W =
I
C
−→
F |d−→r =
I
C
(y + 2x exp y, x − 2y + x2
exp y) |(dx, dy)
=
I
C
(y + 2x exp y) dx +
¡
x − 2y + x2
exp y
¢
dy
=
I
C
df = [f(x, y)]
(2,4)
(1,1) = f(2, 4) − f(1, 1)
= 6 + 4e4
+ 16 − (1 + e + 1) = 20 + 4e4
− e.
2.3 Com o Teorema de Green - Exercícios propostos
Exercise 8 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho de campo de vectores
−→
F (x, y) = (2
¡
x2
+ y2
¢
, (x + y)2
)
ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2)
e C(1, 3), percorrido no sentido positivo.
Exercise 9 Calcule o valor do integral de linha
I
C
¡
1 + 10xy + y2
¢
dx +
¡
6xy + 5x2
¢
dy
ao longo do contorno de um quadrado de lado a orientado positivamente.
Exercise 10 Calcule o valor do integral de linha
I
C
¡
2xy3
− y2
cos x
¢
dx +
¡
1 − 2y sin x + 3x2
y2
¢
dy
ao longo do contorno do paralelogramo de vértices (0, 0), (3, 0), (5, 2) e (2, 2).
Exercise 11 Use o teorema de Green para calcular a área da elipse de equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Exercise 12 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho de campo de vectores
−→
F (x, y) = (y + 3x)−→e1 + (2y − x)−→e2
quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse
C de equação 4x2 + y2 = 4.

45. 2.3. COM O TEOREMA DE GREEN - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 45
2.3.1 Propostas de resolução
Exercise 13 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho de campo de vectores
−→
F (x, y) = (2
¡
x2
+ y2
¢
, (x + y)2
)
ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2)
e C(1, 3) percorrido no sentido positivo.
O trabalho pedido pode ser calculado por
W =
I
C
−→
F |d−→r =
I
C
(2
¡
x2
+ y2
¢
, (x + y)2
) |(dx, dy)
=
I
C
2
¡
x2
+ y2
¢
dx + (x + y)2
dy
T.Green
=
ZZ
D
Ã
∂ (x + y)2
∂x
−
∂2
¡
x2 + y2
¢
∂y
!
dxdy
=
ZZ
D
(2(x + y) − 4y) dxdy =
ZZ
D
(2x − 2y) dxdy
sendo D o triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2) e C(1, 3) (faça o esboço da curva) e dado
que C é uma curva fechada seccionalmente regular com orientação positiva. Temos então
W = 2
ZZ
D
(x − y) dxdy = 2
Z 2
1
µZ 4−x
x
(x − y) dy
¶
dx
= 2
Z 2
1
∙
xy −
y2
2
¸y=4−x
y=x
dx = 2
Z 2
1
Ã
x (4 − x) −
(4 − x)2
2
− x2
+
x2
2
!
dx
= 2
Z 2
1
¡
8x − 2x2
− 8
¢
dx = 4
∙
2x2
−
x3
3
− 4x
¸2
1
= −
4
3
.
Exercise 14 Calcule o valor do integral de linha
I
C
¡
1 + 10xy + y2
¢
dx +
¡
6xy + 5x2
¢
dy
ao longo do contorno de um quadrado de lado a orientado positivamente.
Consideremos o contorno do quadrado de vértices (0, 0), (a, 0), (a, a) e (0, a). Trata-se
de uma curva fechada seccionalmente regular orientada positivamente. Pelo teorema de

46. 46 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
Green, temos
I
C
¡
1 + 10xy + y2
¢
dx +
¡
6xy + 5x2
¢
dy
=
ZZ
D
Ã
∂
¡
6xy + 5x2
¢
∂x
−
∂
¡
1 + 10xy + y2
¢
∂y
!
dxdy
=
ZZ
D
(6y + 10x − 10x − 2y) dxdy =
ZZ
D
4y dxdy
sendo D o quadrado de vértices (0, 0), (a, 0), (a, a) e (0, a). Temos então
I
C
¡
1 + 10xy + y2
¢
dx +
¡
6xy + 5x2
¢
dy
=
Z a
0
µZ a
0
4y dy
¶
dx = 4
Z a
0
∙
y2
2
¸y=a
y=0
dx = 4
Z a
0
a2
2
dx = 4
a2
2
[x]a
0 = 2a3
.
Exercise 15 Calcule o valor do integral de linha
I
C
¡
2xy3
− y2
cos x
¢
dx +
¡
1 − 2y sin x + 3x2
y2
¢
dy
ao longo do contorno do paralelogramo de vértices (0, 0), (3, 0), (5, 2) e (2, 2).
Trata-se de uma curva fechada seccionalmente regular com orientação positiva. Pelo
teorema de Green, temos
I
C
¡
2xy3
− y2
cos x
¢
dx +
¡
1 − 2y sin x + 3x2
y2
¢
dy
=
ZZ
D
Ã
∂
¡
1 − 2y sin x + 3x2y2
¢
∂x
−
∂
¡
2xy3 − y2 cos x
¢
∂y
!
dxdy
=
ZZ
D
¡
−2y cos x + 6xy2
− 6xy2
+ 2y cos x
¢
dxdy =
ZZ
D
0 dxdy = 0
sendo D o paralelogramo de vértices (0, 0), (3, 0), (5, 2) e (2, 2).
Exercise 16 Use o teorema de Green para calcular a área da elipse de equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Considerando a elipse com orientação positiva, podemos aplicar a fórmula
área =
1
2
I
C
xdy − ydx

47. 2.3. COM O TEOREMA DE GREEN - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 47
obtida por aplicação do teorema de Green. Temos então
área =
1
2
I
C
xdy − ydx =
1
2
Z 2π
0
a cos t(b cos t)dt − b sin t(−a sin t)dt
=
1
2
Z 2π
0
ab dt =
1
2
ab [t]2π
0 = πab
considerando a elipse parametrizada por
−→r (t) ≡
½
x(t) = a cos t
y(t) = b sin t
para t ∈ [0, 2π].
Exercise 17 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho de campo de vectores
−→
F (x, y) = (y + 3x)−→e1 + (2y − x)−→e2
quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse
C de equação 4x2 + y2 = 4.
O trabalho pedido pode ser calculado por
W =
I
C
−→
F |d−→r =
I
C
(y + 3x, 2y − x) |(dx, dy)
=
I
C
(y + 3x) dx + (2y − x) dy
T.Green
=
ZZ
D
µ
∂ (2y − x)
∂x
−
∂ (y + 3x)
∂y
¶
dxdy
=
ZZ
D
(−1 − 1) dxdy = −2
ZZ
D
dxdy
sendo D a elipse de equação 4x2 + y2 = 4 unida com o seu interior e atendendo a que
esta é uma curva fechada regular. Atendendo à fórmula conhecida para a área da elipse,
e dado que nesta o semi-eixo maior mede 4 e o semi-eixo menor mede 2, temos
W = −2
ZZ
D
dxdy = −2 · área de D = −2 · π · 2 · 1 = −4π.

48. 2.3. COM O TEOREMA DE GREEN - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 47
obtida por aplicação do teorema de Green. Temos então
área =
1
2
I
C
xdy − ydx =
1
2
Z 2π
0
a cos t(b cos t)dt − b sin t(−a sin t)dt
=
1
2
Z 2π
0
ab dt =
1
2
ab [t]2π
0 = πab
considerando a elipse parametrizada por
−→r (t) ≡
½
x(t) = a cos t
y(t) = b sin t
para t ∈ [0, 2π].
Exercise 17 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho de campo de vectores
−→
F (x, y) = (y + 3x)−→e1 + (2y − x)−→e2
quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse
C de equação 4x2 + y2 = 4.
O trabalho pedido pode ser calculado por
W =
I
C
−→
F |d−→r =
I
C
(y + 3x, 2y − x) |(dx, dy)
=
I
C
(y + 3x) dx + (2y − x) dy
T.Green
=
ZZ
D
µ
∂ (2y − x)
∂x
−
∂ (y + 3x)
∂y
¶
dxdy
=
ZZ
D
(−1 − 1) dxdy = −2
ZZ
D
dxdy
sendo D a elipse de equação 4x2 + y2 = 4 unida com o seu interior e atendendo a que
esta é uma curva fechada regular. Atendendo à fórmula conhecida para a área da elipse,
e dado que nesta o semi-eixo maior mede 4 e o semi-eixo menor mede 2, temos
W = −2
ZZ
D
dxdy = −2 · área de D = −2 · π · 2 · 1 = −4π.