Identificación de ecuaciones correspondientes a las relaciones usuales (Recta, Parábola, Circunferencia, Elipse e Hipérbola)

1. 1 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
RELACIONES USUALES.
1.1. LA RECTA  L Es el conjunto de pares ordenados   2
,x y  tal que rigen mediante la
siguiente regla de correspondencia 0ax by c   .
  2
: , / 0x y ax by c    L
Gráficamente:
X
Y

: 0ax by c  L
: 0 :a x by c ó y m x b    L L
 :Dominio Dom L  :Rango Rang L
: " "Ángulo de inclinación de la Recta 
 :Pendiente de la Recta m tg 
NOTA (1) Para graficar la recta es necesario tener dos puntos y para hallarlos debemos intersectar
con los ejes coordenados es decir:
 
 
; 0 ; 0,
; 0 ; ,0
c c
b b
c c
a a
Sea x y A
Sea y x B
     
     
NOTA (2) Teniendo dos puntos arbitrarios    0 0 0 1 1 1, ,P x y y P x y  , podemos hallar la
ecuación general de la recta, es decir:
X
Y
0x 1x
0y
1y
0P
1P


1 0y y
1 0x x
: 0ax by c  L
: y m x b L
0
0
: :
y y
Ecuación de la recta m
x x



L
  1 0
1 0
:
y y
Pendiente de la recta m tg
x x


 

   0 0 0 1 1 1: , ,Puntos de Paso P x y y P x y 

2. 2 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
NOTA (3) Debes recordar que la pendiente de la recta " "m da información del ángulo de
inclinación " " , es decir:
     
     
   
   
2
2
0 0
0
0
" "
2
i Si m Pendiente positiva entonces es Agudo
ii Si m Pendiente negativa entonces es Obtuso
iii Si m entonces es Llano
iv Si m no existe entonces es Recto


 
  
  

 
  
  
 

CASOS PARTICULARES DE LA RECTA
CASO 1: Rectas horizontales (Rectas paralelas al eje X ). Esta relación resulta cuando el
coeficiente de la variable " "x es cero, es decir:
      2 2
: , / 0 , 0 : , /
c
x y by c b c x y y k
b
 
            
 
L L
Gráficamente
O
Y
:H y kL
 
0y
Eje X

k
X
: :HRecta Horizontal y kL
 : HDominio Dom L
: 0Pendiente m 
   : HRango Rang kL
CASO 2: Rectas Verticales (Rectas paralelas al eje Y ). Esta relación resulta cuando el
coeficiente de la variable " "y es cero, es decir:
      2 2
: , / 0 , 0 : , /
c
x y ax c a c x y x h
a
 
            
 
L L
Gráficamente
O
X
Y x h
 0x Eje Y
: :VRecta Vertical x hL
h
   : VDominio Dom hL
 : VRango Rang L
: " "Pendiente m NO TIENE
 2m tg 
  

3. 3 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
(E-2) Realice la gráfica de las siguientes ecuaciones correspondientes a rectas:
 
 
1 : 2 0
; 0 ; 2 0, 2
; 0 ; 2 2,0
x y
Sea x y A
Sea y x B
  
     
     
L
 0, 2A  
 2,0B  
O
X
Y
1 : 2 0x y  L
 
 
2 : 0
; 0 ; 0 0,0
; 1 ; 1 1,1
x y
Sea x y A
Sea x x B
 
   
   
L
 1,1B 
O A
X
Y
1
1
2 : 0x y L
 3 : 1 0x Recta Vertical L
O
X
Y 3 : 1 0x  L
1
 4 : 2 0y Recta Horizontal L
O X
Y
4 : 3 0y  L
2
1

4. 4 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
1.2. LA PARÁBOLA  P Es el conjunto de pares ordenados   2
,x y  tal que la distancia de
un punto que se mueve en un plano a una recta fija es igual a su distancia de un punto fijo
del plano.
     
         
2 2 2 2 2 2
1 2
2 22 2
1 2
: , / : , /
: , / : , /
x y y ax bx c x y x ay by c
x y y a x h k x y x a y k h
            
         
P P
P P
Caso1: (Parábolas paralelas al eje X)
   : 0Parámetro a Se abrehacia arriba 
 1: ,Rango Rang k  P
 1:Dominio Dom P
   : 0Parámetro a Se abrehaciaabajo    1: ,Rango Rang k P
 1:Dominio Dom P
 
22
1 1: :y ax bx c y a x h k      P P
 : ,Vertice V h k
 ,V h k
h
k
O
Y
X
0a 
 ,V h k
h
k
O
Y
X
0a 
Caso2: (Parábolas paralelas al eje Y)
 ,V h k
h
k
O
Y
X
0a 
   : 0Parámetro a Se abrehaciala izquierda 
 2:Rango Rang P
  2: ,Dominio Dom h P
   : 0Parámetro a Se abrehaciala derecha 
 2:Rango Rang P
 2: ,Dominio Dom h  P
 
22
2 2: :x ay by c x a y k h      P P
 : ,Vertice V h k
 ,V h k
h
k
O
Y
X
0a 

5. 5 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
OBSERVACIÓN (1) Para identificar las ecuaciones correspondientes a las parábolas y distinguirla
de los otros lugares geométricos se debe tener en cuenta que en la ecuación una de las variables es de
segundo grado (Puede ser " " " "x ó y ) y la otra debe ser de primer grado.
2 2
1 2: 0 ; : 0a y b y c x d a x b x c y d       P P
12 12
OBSERVACIÓN (2) Para saber si la parábola tiene su eje focal paralelo al eje X ó Y se toma en
cuenta a la variable de 1 Grado, es decir:
1. Si la variables " "x es de 1 Grado , entonces su eje focal es paralelo al eje X
2
1 1: 0 / /a y b y cx d Eje Focal de X    P P
1
2. Si la variables " "y es de 1 Grado , entonces su eje focal es paralelo al eje Y
2
2 2: 0 / /a x b x c y d Eje Focal de Y    P P
1
(E-3) Realice la gráfica de las siguientes ecuaciones correspondientes a parábolas:
 
2
1 :
: 0,0
: 1
y x
Vertice V
Parámetro a



P
O
X
Y
2
1 : y xP
1
1
 
 
 
 
 
2
2
2 2
2
2
: 2 4 0
2 2 1 1 0
2 1 2 0
2 1 2
: 2, 1
: 2 0
y y x
y x x
y x
x y
Vertice V
Parámetro a
  
    
   
   
 
   
P
O
X
Y
2
2 : 2 4 0y y x  P
2
1  2, 1V  

6. 6 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
1.3. LA CIRCUNFERENCIA  C Es el conjunto de pares ordenados   2
,x y  que da como
resultado de hacer mover un punto en el plano de tal manera que se conserva siempre a una
misma distancia de un punto fijo (centro).
         2 22 2 2 2 2
: , / 0 ; : , /x y x bx y dy e x y x h y k r            C C
Gráficamente:
   : ,Rango Rang k r k r  C    : ,Dominio Dom h r h r  C
   
2 22 2 2
: 0 :x bx y dy e x h y k r         C C
 : ,Centro C h k : 0Radio r 
 ,C h k
h
k
Y
X
0r 
h rh r
k r
k r
OBSERVACIÓN (2) Para identificar la ecuación correspondiente de la circunferencia y
distinguirlas de los demás lugares geométricos, es necesario tener en cuenta las siguientes
condiciones:
1. Las variables " " " "x e y de la regla de
correspondencia ambas deben ser de segundo
grado.
2. Los coeficientes de las variables de 2° grado
deben tener los mismos coeficientes.
2 2
: 0x bx y dy e    C
" "
2
x e y deben ser
de Grado
Igual coeficiente
EJEMPLOS DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A CIRCUNFERENCIAS
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
3 4
: 1 0 : 4 8 4 13 0
: 4 0 : 2 2 5 0
x y x x y
x x y x x y
      
        
C C
C C

7. 7 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
1.4. LA ELIPSE  E Es el conjunto de pares ordenados   2
,x y  tal que describe el
movimiento de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre iguala a una constante, mayor que la
distancia entre los dos puntos.
  2 2 2
: , / 0
: " " " " .
x y ax bx cy dy e
Donde a y c son coeficientes diferentes y de signos iguales
      E
Caso1: Elipses paralelas al eje X   // X   E
   : ,Dominio Dom h a h a  E    : ,Rango Rang k b k b  E
   
2 2
2 2
2 2
: : 0 : 1
x h y k
Elipse ax bx cy dy e
a b
 
       E E
 : ,Centro C h k :Parámetro a b
O
X
Y
b
a
 ,C h k
h
k
h ah a
k b
k b
 Rang E
 Dom E
Caso 2: Elipses paralelas al eje Y   //Y E
   : ,Dominio Dom h b h b  E    : ,Rango Rang k a k a  E
   
2 2
2 2
2 2
: : 0 : 1
y k x h
Elipse ax bx cy dy e
a b
 
       E E
 : ,Centro C h k :Parámetro a b
O X
Y
b
a
 ,C h k
h
k
h bh b
k a
k a
 Rang E
 Dom E

8. 8 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
OBSERVACIÓN (1) Para identificar la ecuación de una elipse y distinguirlas de los otros lugares
geométricos, es necesario tener en cuenta que:
1. Las variables " " " "x e y de la ecuación
general de la Elipse ambas deben ser de
segundo grado.
2. Los coeficientes de las variables de 2° grado
deben tener diferentes.
2 2
: 0a x bx c y dy e    E
" "
2
x e y deben ser
de Grado
Diferente coeficiente
EJEMPLO DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A ELIPSES
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
3 4
: 4 4 0 : 8 4 0
: 9 4 36 0 : 4 9 36 0
x y x x y
x y x y
     
     
E E
E E
NOTA.- Dada la ecuación de la forma: 2 2
0ax bx cy dy e     donde los coeficientes " "a y c
son diferentes pero del mismo signo, se puede expresar mediante el método de completar cuadrados
de la siguiente forma:
   
2 2
2 2
1
x h y k
n m
 
 
Después de hallar la ecuación anterior, para determinar si la Elipse se extiende en el eje X o en eje
Y , debemos tomar en cuenta lo siguiente:
PRIMERO.- Los valores " "n y m de los denominadores de la ecuación están relacionado con la
variable del numerador, es decir:
   
2 2
2 2
1
x h y k
n m
 
 
 
 
" " " "
" " " "
relacionado
relacionado
n está relacionado con la variable x n x
m está relacionado con la variable y m y


SEGUNDO.- Para identificar los valores de los parámetros de " "a y b correspondientes de la
ecuación se debe tomar en cuenta que, el mayor valor siempre le corresponde al parámetro " "a y
tomando en cuenta lo anterior se puede determinar a qué variable le corresponde y por lo tanto
podemos saber en qué eje se extiende más la gráfica de la Elipse, es decir:
 
 
, .
, .
i Si n m entonces n a luego la grafica de la Elipse se extiende en el eje X
ii Si m n entonces m a luego la grafica de la Elipse se extiende en el eje Y
 
 

9. 9 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
EJEMPLO : Grafique las siguientes relaciones:
 
   
2 2 2 2
1
1 ........ 1 ; 1 ........ 2
4 9 16 9
x y x y
   
SOLUCIÓN:
Para la ecuación (1), de acuerdo a la ecuación correspondiente de la Elipse y las consideraciones
hechas en la observación se tiene:
 
 
: 3
2
Parametros a Eje Y
b Eje X


 
2 2
2 2
1
1
2 3
x y
 
 
2 2
2 2
1
1
2 3
x y
 
 
2 2
1
1
4 9
x y
 
n m  : 1,0Centro C 
En forma análoga para la ecuación (2), de acuerdo a la ecuación correspondiente de la Elipse y las
consideraciones hechas en la observación se tiene:
 
 
: 4
3
Parametros a Eje X
b EjeY


2 2
2 2
1
4 3
x y
 
2 2
2 2
1
4 3
x y
 
2 2
1
16 9
x y
 
n m  : 0,0Centro C 
Gráfica de las Elipse (1) y (2):
O  1,0C 
3a 
2b 
X
Y
 1Grafico
2 2
1
16 9
x y
 
 
2 2
1
1
4 9
x y
 
O  0,0C 
3b 
4a 
X
Y
 2Grafico

10. 10 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
1.5. LA HIPERBOLA H Es el conjunto de pares ordenados   2
,x y  tal que describe el
movimiento de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una
cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.
  
 
   
 
   
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 22 2 2 2
: , / 0
: " " " " .
: , / 1 ; : , / 1
x y a x bx c y dy e
Donde a y c son de signos diferentes
x h y k y k x h
x y x y
a b a b
       
         
          
      
H
H H
Signos
Caso1: Hipérbola paralela al eje X  // X    H
O h
k
 ,C h k
a
b
h ah a
Asintotas
X
Y
  1: , ,Dominio Dom h a h a     H  1:Rango Rang H
   
2 2
2 2
1 1 2 2
: 0 : 1
x h y k
ax bx cy dy e
a b
 
       H H
 : ,Centro C h k :Parámetros a y b
Caso2: Hipérbola paralela al eje Y  //Y  H
O h
k
 ,C h k
a
b
h bh b
Asintotas
X
Y
k a
k a
 2:Dominio Dom H    2: , ,Rango Rang k a k a    H
   
2 2
2 2
2 2 2 2
: 0 : 1
y k x h
ax bx cy dy e
a b
 
       H H
 : ,Centro C h k :Parámetros a y b

11. 11 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
OBSERVACIÓN (1) Para identificar la ecuación de una hipérbola y distinguirlas de los otros
lugares geométricos, es necesario tener en cuenta que:
1. Las variables " " " "x e y de la regla de
correspondencia ambas deben ser de segundo
grado.
2. Los coeficientes de las variables de 2° grado
deben ser de diferente signo.
2 2
: 0a x bx c y dy e    H
" "
2
x e y deben ser
de Grado
Diferente signo
EJEMPLO DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A HIPÉRBOLAS
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
3 4
: 4 0 : 8 4 0
: 9 4 36 0 : 4 8 9 18 41 0
x y x x y
x y x x y y
     
       
H H
H H
NOTA (1) Dada la ecuación de la forma: 2 2
0ax bx cy dy e     , donde los coeficientes
" "a y c tienen signos diferentes y transformar en una de las siguientes ecuaciones:
       
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
x h y k y k x h
a b a b
   
    
De las ecuaciones anteriores se puede determinar si la gráfica correspondiente a las hipérbolas se
desplaza en el eje X o en Y, teniendo en cuenta los siguientes aspectos:
(1) Si
 
2
2
x h
a

va primero en la ecuación con signo positivo entonces la hipérbola es paralela a X.
(2) Si
 
2
2
y k
a

va primero en la ecuación con signo positivo entonces la hipérbola es paralela a Y.
NOTA (2) Si los coeficientes " "a y c de la ecuación 2 2
0ax bx cy dy e     son iguales, pero de
signos diferentes, en tal efecto la ecuación será de la forma:
 2 2
0 *x bx y dy e    
NOTA (3) De la ecuación (*), se obtiene que los parámetros " "a y b de las ecuaciones:
       
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
x h y k y k x h
a b a b
   
    

12. 12 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
son iguales  a b , las cuales son llamadas HIPERBOLA EQUILATERA, cuyas ecuaciones
toman la siguiente forma:
       
2 2 2 22 2
1 2: ; :x h y k a y k x h a       H H
h
k
a
a b
 / /Hipérbola Equilatera X    H
 : ,Centro C h k :Parámetros a b
   
2 22 2 2
1 1: 0 :x bx y dy e x h y k a         H H
 / /Hipérbola Equilatera Y  H
 : ,Centro C h k :Parámetros a b
   
2 22 2 2
2 2: 0 :x bx y dy e y k x h a         H H
h
k
a b
a
NOTA (4) Las hipérbolas equiláteras al trasladarse a un nuevo sistema cuyo origen es
 ' ,O h k de coordenadas y rotar un ángulo
4

  , se tiene una ecuación de la siguiente
forma:
  
       
2 2
2
: , / 0
: , / ; 0
x y xy bx cy e
x y x h y k a a
      
      
H
H
X
Y
O
X
Y
Oh
k
0a 
x h
y k
 ,C h k
x h
y k
0a 
 ,C h k
h
k
     : : :Hipérbola Equilatera x h y k a x h y k a      H H
 
 
: 0
0
Parámetro a I y III Cuadrantes formado por las asíntotas
a II y IV Cuadrantes formado por las asíntotas


 : ,Centro C h k
   :Dominio om h D H
 
 
:Asintotas x h Vertical
y k Horizontal


   :Rango ang k R H