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A minha esposa pelo carinho, pelas palavras deencorajamento, pela compreensão e todo amordedicado. Aos meus pais por me da...
Agradeço aquele que sustenta todo o Universo, aotodo poderoso, nosso Deus, pela dádiva de concluiresta graduação. Aos prof...
RESUMOO presente trabalho buscou uma descrição para a dinâmica do crescimentopopulacional da população da cidade de Senhor...
LISTA DE TABELATabela 1 – População da sede da cidade de Senhor do Bonfim................................31Tabela 2 – Nasc...
LISTA DE ILUSTRAÇÕESFigura 1 – Gráfico de N t em função de t ................................................................
SUMÁRIOINTRODUÇÃO ...........................................................................................................
INTRODUÇÃOEntende-se por população ao conjunto de seres de uma mesma espécie tanto noreino animal quanto no reino vegetal....
mantenha e, a taxa desse crescimento esteja decaindo, pode-se utilizar o modelo deVerhulst para representar o crescimento ...
CAPÍTULO 1 – Modelos Matemáticos Que Estudam a Dinâmica de Populações.1.1 Dinâmica Populacional.Para Soares (1999, p. 357)...
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Como citado anteriormente o grupo quantitativo-descritivos tem sua subdivisão, quesão divididas em quatro partes distintas...
Antes de ser criada como cidade, Senhor do Bonfim recebeu dois outros nomes,primeiro Arraial de Senhor do Bonfim da Tapera...
O município de Senhor do Bonfim poderia liderar um processo, junto com as                    demais lideranças políticas, ...
vista que em tais anos houve a contagem da população realizada pelo referidoInstituto.No segundo momento, por ser mais tra...
Somente integravam ao número de nascimentos, os registros onde constava que olocal residencial dos pais era a sede da cida...
Tal procedimento de considerar somente os nascimentos e óbitos da sede da cidadede Senhor do Bonfim é de extrema importânc...
Verificamos, através do confronto dos esboços dos gráficos e também de maneiraquantitativa com relação à taxa de crescimen...
CAPÍTULO 3 – Análise e Discussão dos Dados.3.1 Contextualizando os Dados.3.1.1 Dos Dados Coletados.Coletar dados estatísti...
3.1.2 Número de Habitantes.Antes da era Cristã e mesmo até meados dela, o homem vivia em intimo contato eem equilíbrio com...
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3.1.4 Número de Óbitos.O óbito pode ser entendido como sendo a eliminação do indivíduo de umadeterminada população. Semelh...
Tabela 3 – Óbitos em Senhor do Bonfim de 2000 a 2007. ANO       2000      2001       2002        2003       2004        20...
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que quanto mais os anos tendem a passar, mais o modelo de Verhulst tende aestabelecer valores mais próximos da realidade, ...
Portanto, no início, as taxas elevadas de natalidade e mortalidade                        compensam-se entre si e o result...
As taxas de nascimento e óbito são registradas na tabela a seguir, a partir do ano2000 até o ano de 2007, cabendo salienta...
Entendemos que a maioria da população bonfinense já passou pelo processo deurbanização, ficando ainda uma pequena parte do...
A reta mostrada na figura é uma reta de regressão linear e tem como objetivoaproximar por uma linha reta o conjunto de pon...
2021                          60.130                       2022                          60.476Podemos até pensar que esta...
CONCLUSÃOA percepção do mundo é um processo complexo que é criado por diferentes povos eque sofre transformações ao longo ...
número de óbitos, com exceção do ano de 2002, foi praticamente constante nesteperíodo, tendo pequenas oscilações. Sendo as...
desenvolvam pesquisas científicas investigando a dinâmica populacional da cidadede Senhor do Bonfim, para verificar se o c...
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASALMEIDA, Rose Mary Ferreira. E Tu Me Amas?. Senhor do Bonfim: editora daautora, 2001.ALVES, J. E...
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vulume 2, 3ª edição. SãoPaulo: Harbra LTDA, 1994.MACHADO, Paulo Batist...
Apêndice 1Sabendo que dN         rN 1             N                         1                dN               rdt , seque:...
Apêndice 1                                      Nt                      K            Nt                             ln    ...
Vista da Igreja Matriz, com atuais praças Juracy Magalhães (em primeiro plano) e Austricliano de Carvalho (aofundo). Dispo...
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Monografia Joaquim Matemática 2008

  1. 1. Universidade do Estado da Bahia – UNEB Departamento de Educação – Campus VII Licenciatura Plena em MatemáticaUM MODELO MATEMÁTICO PARA OCRESCIMENTO POPULACIONAL DACIDADE DE SENHOR DO BONFIM-BA. Por: Joaquim de Souza Oliveira Neto Senhor do Bonfim – Ba, outubro de 2008.
  2. 2. Joaquim de Souza Oliveira NetoUM MODELO MATEMÁTICO PARA O CRESCIMENTO POPULACIONAL DACIDADE DE SENHOR DO BONFIM-BA. “Trabalho Monográfico apresentado como requisito para integralização do curso de licenciatura plena em matemática pela Universidade do Estado da Bahia, sob orientação do professor Ms. Ivan Souza Costa”. Senhor do Bonfim - Ba, outubro de 2008. 1
  3. 3. Joaquim de Souza Oliveira Neto UM MODELO MATEMÁTICO PARA O CRESCIMENTO POPULACIONAL DA CIDADE DE SENHOR DO BONFIM-BA. Banca ExaminadoraProf. Ms. Ivan Souza Costa UNEB - orientadorProf. Geraldo Caetano de Souza Filho UNEB - ExaminadorProf. Wagner Ferreira Santana UNEB - Examinador 2
  4. 4. A minha esposa pelo carinho, pelas palavras deencorajamento, pela compreensão e todo amordedicado. Aos meus pais por me dar forças e termoldado meu caráter, ao meu irmão e minha irmãpor sempre acreditarem em mim e ao eterno amigoAmadeu Pereira do Nascimento (in memoriam). 3
  5. 5. Agradeço aquele que sustenta todo o Universo, aotodo poderoso, nosso Deus, pela dádiva de concluiresta graduação. Aos professores do Campus VII emespecial o professor Ms. Ivan Souza Costa e, porfim aos amigos e colegas que souberam dividirconhecimento e foram grandes companhias nestajornada, como também a todos aqueles que meincentivaram em lutar pelos meus ideais. 4
  6. 6. RESUMOO presente trabalho buscou uma descrição para a dinâmica do crescimentopopulacional da população da cidade de Senhor do Bonfim no período de 1980 a2007 utilizando-se os modelos matemáticos de Malthus e o de Verhulst. Para isso,utilizou-se como metodologia uma pesquisa de campo, tendo como objetivo principalanalisar o crescimento populacional dessa cidade sobre a perspectiva dos doismodelos matemáticos descritos anteriormente, verificando qual deles melhor seadapta para uma descrição mais satisfatória da dinâmica populacional da cidade deSenhor do Bonfim nos últimos 27 anos. A coleta de dados consistiu na determinaçãodas quantidades das taxas de crescimento, nascimento e óbito da cidade no períodocompreendido entre os anos de 1980 e 2007. De posse desses dados foi realizadoum trabalho criterioso de análise buscando confrontar os dois modelos. Decidido omodelo que melhor correspondeu aos dados coletados foi feito uma estimativa docrescimento da população bonfinense para os próximos 15 anos.Palavras Chaves: Dinâmica Populacional, Modelo Malthus, Modelo de Verhulst. 5
  7. 7. LISTA DE TABELATabela 1 – População da sede da cidade de Senhor do Bonfim................................31Tabela 2 – Nascimentos em Senhor do Bonfim de 2000 a 2007................................33Tabela 3 – Óbitos em Senhor do Bonfim de 2000 a 2007..........................................35Tabela 4 – População real e população segundo os modelos matemáticos..............36Tabela 5 – taxa de crescimento populacional de 1980 a 2007...................................38Tabela 6 – taxa de natalidade e taxa de mortalidade de 2000 a 2007.......................39Tabela 7 – População estimada segundo o modelo de Verhulst de 2008 a 2022......41 6
  8. 8. LISTA DE ILUSTRAÇÕESFigura 1 – Gráfico de N t em função de t ..................................................................16Figura 2 – Gráfico de 1 dN em função de N ..........................................................18 N dt dNFigura 3 – Gráfico de em função de N (variação da população N t ).................19 dt Figura 4 – Gráfico de N t em função de t ..................................................................20Figura 5 – gráfico da população bonfinense de 1980 a 2007....................................32Figura 6 – Superposição dos gráficos dos modelos matemáticos X populaçãobonfinense .................................................................................................................3 6Figura 7 – Gráfico da taxa relativa em função da população N ................................40 7
  9. 9. SUMÁRIOINTRODUÇÃO ............................................................................................................9CAPÍTULO 1 - Modelos Matemáticos que Estudam a Dinâmica de Populações .....11 1.1 Dinâmica Populacional .............................................................................11 1.2. Modelo de Malthus ..................................................................................13 1.3. Modelo de Verhulst .................................................................................17CAPÍTULO 2 - Procedimentos Metodológicos .........................................................22 2.1 Tipo de Pesquisa ......................................................................................22 2.2 Região de Estudo .....................................................................................23 2.2.1 A Cidade de Senhor do Bonfim: Síntese Histórica .....................23 2.3 Considerações Sobre o Trabalho de Campo ...........................................25CAPÍTULO 3 - Análise e Discussão dos Dados .......................................................30 3.1 Contextualizando os Dados .....................................................................30 3.1.1 Dos Dados Coletados .................................................................30 3.1.2 Número de Habitantes ................................................................31 3.1.3 Número de Nascimento ..............................................................32 3.1.4 Número de Óbitos .......................................................................34 3.2 Análise dos Dados ....................................................................................35 3.2.1 Superposição dos Gráficos .........................................................35 3.2.2 Crescimento Populacional, Taxa de Nascimento, Taxa de Óbitos e Taxa de Crescimento.................................................37 3.3 Estimativa para uma População Futura ...................................................40 3.3.1 Deduzindo o Valor de K .............................................................40 3.3.2 Calculando a População para os Próximos 15 Anos .................414. Conclusão .............................................................................................................435. Referências Bibliográficas .................................................................................... 466. Apêndice7. Anexos 8
  10. 10. INTRODUÇÃOEntende-se por população ao conjunto de seres de uma mesma espécie tanto noreino animal quanto no reino vegetal. Em ambos os casos a quantidade dapopulação está em constante mudança. Tais mudanças ocorrem por diversosfatores, tais como, fatores de ordem natural, pois os seres vivos, nascem, crescem emorrem, e por fatores externos, como a ação de predadores, epidemias, catástrofes,escassez de alimentos e etc. Neste trabalho será abordado o comportamentopopulacional dos seres humanos. Há muito tempo este tema despertou o interessedos estudiosos, iniciando-se estes estudos com o trabalho de Malthus (1798)intitulado como “Ensaio sobre população”, o qual havia afirmado que a taxa decrescimento populacional obedecia a uma progressão geométrica enquanto que osmeios de subsistência (alimentos) cresciam numa progressão aritmética. Assim, como passar do tempo, de acordo com esta teoria, previa-se uma “explosãopopulacional” e como conseqüência a escassez dos alimentos e as múltiplasdificuldades pela sobrevivência.É claro que uma população não pode crescer indefinidamente: mais cedo ou maistarde o esgotamento dos recursos disponíveis imporá limites a esse crescimento.Baseado nesta hipótese o matemático Pierre Verhulst propôs, em 1838, umageneralização do modelo de Malthus que leva em conta essas restrições“ambientais”. Segundo Verhulst, a taxa relativa de crescimento demográfico éinversamente proporcional ao aumento da população, chegando a zero se uma dadapopulação-limite (determinada pelos recursos disponíveis ou outras restrições) foralcançada. Em conseqüência disto, toda população teria um limite máximo desuporte para a sua capacidade populacional, através do qual toda populaçãotenderia a crescer e se estabilizar quando a quantidade de habitantes seaproximasse do seu limite máximo.O modelo de Malthus pode ser utilizado nas populações que estão em constantedesenvolvimento, tendo uma taxa de crescimento crescente. Contudo, no momentoem que os recursos disponíveis não são suficientes para que o crescimento se 9
  11. 11. mantenha e, a taxa desse crescimento esteja decaindo, pode-se utilizar o modelo deVerhulst para representar o crescimento populacional, de maneira que estarepresentação seja mais fiel à realidade. Deste modo, neste trabalho serãoabordados dois modelos utilizados no estudo do crescimento populacional: o modeloMalthus (exponencial) e o modelo Verhulst (logístico), com os quais procuramosanalisar qual desses modelos melhor se ajusta para o comportamento dinâmico dapopulação da cidade de Senhor do Bonfim apresentado num determinado períodode sua história.Para melhor entender a dinâmica populacional, temos que tomar como referênciaum ponto de partida ou valor inicial da população num determinado instante detempo do período considerado. Em seguida calculamos esta quantidade dehabitantes para os instantes posteriores, tomado aqui em anos. Estes valores,obtidos numa pesquisa de campo, serão comparados com os valores fornecidospelos modelos teóricos mencionados acima. Além de um estudo comparativo entreos modelos teóricos abordados utilizaremos os resultados obtidos para fazerprevisões do número de habitantes para períodos subseqüentes a médio e a longoprazo. Tal conhecimento tem muitas utilidades, principalmente para planejamentodas políticas públicas governamentais, daí a importância de um trabalho destanatureza. Atualmente, varias pesquisas são direcionadas para esta área científica,no sentido de estabelecer parâmetros e apontar possíveis soluções futuras, o que éapontado por Jannuzzi (2007, p. 109) quando relata: As projeções populacionais para pequenas áreas como municípios, distritos, bairros e unidades territoriais de planejamento são cada vez mais demandadas em projetos e atividades nos setores públicos e privado. Prefeituras, concessionárias de serviços de energia, água, saneamento e telefonia, empresas de transportes urbanos, consultorias em planejamento urbano e regional, universidades e empresas do ramo imobiliário e construção civil vêm requerendo esse tipo de informação mais específica no planejamento e monitoramento de suas atividades.Este trabalho foi realizado através de pesquisa de campo, levantando dados noInstituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e no fórum da comarca deSenhor do Bonfim. O mesmo encontra-se dividido em três capítulos, onde o primeiroapresenta os modelos matemáticos de crescimento populacional, o segundo relatacomo foi realizada a coleta de dados e por fim o terceiro capítulo faz a análise ediscussão dos dados coletados a partir desses modelos. 10
  12. 12. CAPÍTULO 1 – Modelos Matemáticos Que Estudam a Dinâmica de Populações.1.1 Dinâmica Populacional.Para Soares (1999, p. 357) “a população deve ser definida como um conjunto deindivíduos da mesma espécie que convivem numa região comum, mantendo ou nãoum certo isolamento com os grupos de outras áreas”.As populações de um determinado ecossistema não podem viver totalmenteisoladas das outras, por mais independente que uma população seja ela precisa deoutra, ao menos para servir como seu alimento. É o que é destacado por Soares(1999, p. 357), quando escreve: Comumente, espécies diversas convivem num mesmo ambiente. Com o nome de comunidade Biótica designamos o conjunto de organismos de espécies diferentes que habitam o mesmo ecossistema, mantendo entre si uma convivência por vez harmônica por vez desarmônica.A convivência entre as espécies, que compõe uma comunidade biótica, em ecologiaé chamada de biocenose, o que é registrado por Soares (1999, p. 357) ao afirmar:“Dá-se o nome de biocenose ao processo de interação e relacionamento dasdiversas populações de espécies diferentes que formam uma comunidade biótica”.Na natureza, em ecossistemas que não há ação devastadora do homem, geralmenteas espécies tendem a crescer e se estabilizar. Se ao menos uma destas populaçõesda comunidade biótica aumentar e não se estabilizar, isto pode gerar umdesequilíbrio considerável nos grupos de animais daquela comunidade e obrigar asoutras espécies a uma luta mais efetiva e intensa pela sobrevivência, o que éexposto por Soares (1999, p. 358), ao relatar: “é que, nessa circunstância, elesenfrentarão uma competição mais intensa por alimentos e por local de abrigo, eestarão expondo-se mais convidativamente ao ataque dos seus inimigos naturais”. 11
  13. 13. Por outro lado, a diminuição gradativa ou em massa de uma determinada espécie,aponta para algo incomum que está ocorrendo naquela comunidade biótica, ouentão pela intervenção negativa do homem. Sendo assim, o próprio Soares (1999, p.358) sugere que “o estado conveniente é aquele que a população se mantém,depois de ter atingido sua dimensão ideal, estável ou constante”.Para manter o equilíbrio das populações em ecossistemas, a ecologia descreve doisfatores que podem atuar neste sentido e são descritos por Soares como intrínsecose extrínsecos. Os mecanismos intrínsecos dependem dos próprios integrantes da população, como é o caso da competição intra-especifica. Os mecanismos extrínsecos ou externos que controlam o desenvolvimento de uma população são aqueles que dependem da participação de alguma coisa fora da própria população. (SOARES, 1999, p. 359 e 360)Semelhantemente a outras populações, podemos dizer que na raça humanatambém existem mecanismos intrínsecos, como, por exemplo, a competição internapor espaço, alimentos, como também fatores extrínsecos determinados pelo meioambiente, como terremotos, tornados, tempestades, epidemias, etc.Sendo assim, a dinâmica populacional caracterizada pelo crescimento,desenvolvimento e manutenção dos indivíduos de uma espécie, animal ou vegetal,em um determinado habitat, dependem da taxa de crescimento, que por sua vez édeterminada pela taxa de nascimento e de óbito; Para Odum (1988, p. 199), “umataxa pode ser obtida dividindo-se a mudança ocorrida em certa quantidade peloperíodo de tempo decorrido durante aquela mudança”.Camargo e Martini (1984, p. 138), destacam que: “a taxa bruta de natalidade é arelação entre o número de nascimento num determinado ano e a população médiado ano. A taxa bruta de mortalidade é o quociente entre o número de mortos e apopulação”.E para determinarmos a taxa de crescimento de uma população, fazemos uso dastaxas de natalidade e óbito, sendo que a taxa de crescimento é obtida através dadiferença entre estas duas taxas. 12
  14. 14. 1.2 Modelo de Malthus.Consiste em um modelo matemático desenvolvido por Thomas Robert Malthus, quenasceu em Rookery, na Inglaterra, em 1766 e faleceu em 1834. Este modelo foi oprimeiro que surgiu para estudar os crescimentos populacionais, chamado tambémde modelo exponencial.Malthus era economista, estatístico, demógrafo e estudioso das Ciências Sociais,preocupou-se ao analisar que o crescimento populacional em dois séculos haviadobrado e chegou à conclusão que a população crescia numa projeção geométrica,enquanto que os meios de sobrevivência (produção de alimentos) cresciam numaprojeção aritmética. O que se comprova através do próprio Malthus (apud ALVES,2000, p. 2): O poder de crescimento da população é indefinidamente maior do que o poder que tem a terra de produzir meios de subsistência para o homem. A população, quando não controlada, cresce numa progressão geométrica. Os meios de subsistência crescem apenas numa progressão aritmética.Para compreendermos o modelo de Malthus, vale salientar que o crescimento dapopulação é determinado pelo número de nascimentos e pela quantidade deimigrações. Por outro lado, fatores como óbitos e emigrações, contribuem para odecrescimento populacional. O que é compreendido pela equação a seguir: Nt 1 Nt Q M I E , ondeNt é o número de habitantes no instante t , Q é a quantidade de nascimentos, Mrepresenta o número de mortes, I é o número de imigrantes e E representa aquantidade de emigrantes.Considerando que o fator migrações é zero (imigrações = emigrações), a variaçãode crescimento populacional no tempo pode ser definida como: 13
  15. 15. dN Q M (1) dtA quantidade de nascimentos Q , numa determinada população N , pode serencontrada da seguinte maneira Q qN , onde q é a taxa de nascimentos. Demaneira análoga à quantidade de mortes M pode ser M mN , onde m é a taxa demortes. dNPodemos reescrever a equação Q M , da seguinte maneira: dt dN dN qN mN (q m)N dt dtSendo r q m, teremos: dN rN (2) dtOnde r é a taxa de crescimento.A formulação do modelo de Malthus, apesar de simples não foi formulado porMalthus em termos de equação diferencial, o que se comprova na afirmativa deBassanezi (2002, p.327) “a formulação deste modelo em termos de uma equaçãodiferencial não foi feita por Malthus, apesar de ser muito simples, mesmo para aépoca em que foi postulado”.Este modelo simples foi exposto por Thomas Robert Malthus, onde o número deindivíduos que se agrega a uma população (crescimento da população em umdeterminado tempo), pode ser encontrada pelo produto da taxa de crescimento e otamanho populacional.A equação (2) na verdade é uma equação diferencial de variáveis separáveis,podendo ser escrita da seguinte maneira: 14
  16. 16. dN dN rN rdt dt NSabendo que podemos integralizar esta equação, e esta integral sendo definida emum determinado instante de tempo t para uma população inicial N 0 e final N t ,obtemos: Nt t dN rdt ln N t ln N 0 rt N0 N 0Como N > 0 e fazendo uso da propriedade do logaritmo do quociente, temos: Nt rt Nt ln rt e N0 N0Portanto, rt Nt N0 e (3)N0 a população inicial, e é a base do logaritmo natural com valor aproximado de2,718..., r é a taxa de crescimento e t é o período de tempo.Notemos que se r > 0 (taxa de natalidade > taxa de mortalidade) o crescimento écontínuo e proporcional à N , se r 0 (taxa de natalidade = taxa de mortalidade) a população não cresce e se r < 0 (taxa de natalidade < taxa de mortalidade) apopulação está em declínio.A interpretação do modelo Malthusiano é simples, visto que, quanto mais genteexistir, mais rapidamente a população vai aumentar. Pensando nesta perspectiva,isso nos levaria a crer numa “explosão populacional”. A raça humana iria crescerinfinitamente, induzindo-nos a uma pergunta crucial sobre o que aconteceria com ahumanidade se houvesse essa “explosão populacional”? 15
  17. 17. Todavia Malthus não considerava as imposições impostas pelos meios necessáriosà sobrevivência (ambiente, alimento, espaço, etc), nem tão pouco a flexibilidade dataxa de crescimento, como se esta não dependesse da taxa de fertilidade e demortalidade. Malthus considerava apenas que a população poderia ser reduzidaatravés de eventos como catástrofes, epidemias e guerras.Esclarecendo que para Malthus a taxa de crescimento r era sempre positiva, o queatualmente já está ultrapassado, tendo em vista que esta taxa pode variar e,portanto podemos considerar, para este modelo, além da possibilidade proposta porMalthus, outras duas situações. A representação gráfica da adequação do modelomalthusiano pode ser descrita na figura 1, onde relaciona a população N t em funçãodo tempo t . Nt r 0 N0 r 0 r 0 t Figura 1 – Gráfico de N t em função de t .Notemos que, sendo N0 a população inicial, se r 0 lim N t . Já se Ntr 0 lim N t 0 , por outro lado, se r 0 lim N t N0 . Nt Nt 16
  18. 18. Um ponto negativo para fazer uma estimativa utilizando o modelo Malthusiano é quequanto maior a população ou o período a ser analisado maior a probabilidade deerros discrepantes deste modelo.1.3 Modelo de Verhulst.Este modelo foi desenvolvido pelo Belga Pierre François Verhulst, nascido emBruxelas em 28/10/1804 e falecido na mesma cidade em 15/02/1849, tambémconhecido como modelo logístico.Com base no modelo Malthusiano, Verhulst analisou que Malthus considerava a taxade crescimento como estável (não variava) e que não existiam limites impostos pelomeio para que uma população parasse de crescer, a não ser as eventuaiscatástrofes, epidemias ou guerras.Verhulst propôs então este modelo, levando em consideração um limite máximo,pois, quando uma determinada população alcançasse tal limite a mesma pararia decrescer, além de considerar que a taxa de crescimento efetiva variava ao longo dotempo.Fatores físicos como o alimento e a matéria prima, além de recursos naturais comoágua e terra cultivável e ainda outros fatores sociais e culturais como o desempregoe condições insuficientes para um casal garantir o crescimento e todo tipo desubsistências do (s) filho (s), podem ser classificados no modelo de Verhulst, como acapacidade de suporte ( K ) do meio. Através destes fatores e de outrossemelhantes, pode-se estimar o limite máximo de uma população.Assim, para uma população de tamanho N , com taxa de crescimento r o modelo decrescimento de Verhulst ou Logístico pode ser representado pela equação: 17
  19. 19. dN N rN 1 (4) dt K NNote que este modelo difere do de Malthus, apenas pelo fator 1 , onde K é a Kcapacidade de suporte do meio.De acordo com a equação (4) podemos obter: 1 dN r rN (5) N dt KObserve ainda que podemos classificar (5) como uma função linear do primeiro graudecrescente. Isso significa que a taxa de crescimento relativa ( dN ) de uma dtpopulação, diminui à medida que a população N aumenta, tendendo a zero quandoN K (lê-se: N tendendo a K ). Como nos mostra a figura 2. 1 dN N dt K N Figura 2 – Gráfico de 1 dN em função de N . N dt 18
  20. 20. Retornando a equação (4), podemos obter uma nova equação do tipo: 2 dN rN rN (6) dt KVerifiquemos agora que (6) é uma função do segundo grau na incógnita N , comconcavidade voltada para baixo, com uma das raízes sendo 0 (zero), pois falta otermo independente e a outra raiz sendo igual a K , como nos mostra o gráfico dafigura 3. dN dt K N K 2 dN Figura 3 – Gráfico de em função de N (variação da população N t ). dtNotemos que dN expressa apenas a taxa de variação de uma determinada dtpopulação. Sendo assim, para se calcular ou estimar a população de uma região,através de uma equação matemática, em um determinado instante de tempo t , énecessário que isolemos a incógnita N , que resultará em: 19
  21. 21. N0 K Nt rt (7) N0 K N0 eOnde, N t é a população estimada em um instante t e N 0 é a população inicial. Umesboço gráfico que pode representar a equação (7) é descrito na figura 4. Nt Nt N0 K K N0 K K/2 2 N0 N0 tm tm t t Figura 4 – Gráfico de N t em função de t .De acordo com os esboços gráficos das figuras 3 e 4, podemos levantar algumasconsiderações:1) Observemos que no gráfico da figura 3, dN é positiva e crescente se 0 N K , dt 2de modo que o esboço gráfico de N t em função de t (figura 4) é côncavo para cima. a demonstração da equação (7) encontra-se em apêndice. 20
  22. 22. 2) Se K N K , a inclinação dada por dN é positiva e decrescente, então o 2 dtgráfico de N t em função de t (figura 4) é côncavo para baixo.3) Para N K , temos dN negativa, de modo que o gráfico de N t em função de t é dtdecrescente.4) O valor máximo de dN , relativamente a N , é alcançado quando N K , ou seja, dt 2a taxa de crescimento relativa terá seu valor máximo quando uma populaçãoalcançar a metade de sua população limite. Neste ponto, localiza-se o ponto deinflexão do gráfico de N t em função de t , isto é, neste ponto a inclinação é máxima.Contudo o ponto de inflexão só existirá se N 0 K , caso contrário, a população 2cresce ou decresce sem mudança de concavidade, conforme a figura 4. 21
  23. 23. CAPITULO 2 – Procedimentos Metodológicos.2.1 Tipo de Pesquisa.O tipo de pesquisa aplicada a este trabalho foi a pesquisa de campo. Lakatos eMarconi (1996, p. 75) definem pesquisa de campo como: Pesquisa de campo é aquela utilizada com o objetivo de conseguir informações e / ou conhecimentos a cerca de um problema, para o qual se procura uma resposta, ou de uma hipótese, que se queira comprovar, ou, ainda, descobrir novos fenômenos ou as relações entre eles.Ao contrário do que muitos pensam a pesquisa de campo não se resume apenas auma coleta de dados para se explorar ou responder as hipóteses ou variáveisenvolvidas, mas, sobretudo, ela abarca processos (fases) anteriores do tipo:investigação bibliográfica, técnicas empregadas e técnicas de registros dos dados aserem coletados.Para Tripodi et al (apud LAKATOS e MARCONI, 1996, p.76), a pesquisa de campose divide em três grandes grupos: o grupo quantitativo-descritivos, exploratórios eexperimentais, todos com suas respectivas subdivisões.Para a dinâmica populacional estudada o processo de pesquisa de campo utilizadofoi o quantitativo-descritivos, tendo em vista que Lakatos e Marconi (1996, p. 76)destacam que a principal finalidade deste procedimento é delinear ou analisarcaracterísticas de fatos ou fenômenos ou isolamento de variáveis principais ouchaves, além de afirmar que ele tem por objetivo a coleta sistemática de dadossobre as populações ou amostra de populações. Também Bervian e Cervo (1983,p.55) afirmam que a pesquisa descritiva “estuda fatos e fenômenos do mundo físicoe especialmente do mundo humano, sem a interferência do pesquisador”. 22
  24. 24. Como citado anteriormente o grupo quantitativo-descritivos tem sua subdivisão, quesão divididas em quatro partes distintas e abordadas por Lakatos e Marconi (1996, p.76-77), as quais são: verificação de hipóteses, avaliação de programa, descrição depopulações e relações de variáveis.Dessas quatro subdivisões, a descrição de populações é a que, de maneira maissatisfatória, pode descrever as técnicas de coleta de dados aqui utilizadas, tendo emvista que Lakatos e Marconi (1996, p.77) a descreve “como função primordial, aexata descrição de certas características quantitativas de populações como umtodo”. Além disso afirma que contém um grande número de variáveis.Portanto, este trabalho foi realizado através de pesquisa de campo, utilizando atécnica de descrição de populações, que por sua vez é uma subdivisão doprocedimento quantitativo-descritivos.2.2 Região de Estudo.2.2.1 A Cidade de Senhor do Bonfim: Síntese Histórica.Segundo a Bíblia, mais especificamente o livro de Gênesis, Deus formou o homem edeu-lhe a incumbência de por o nome em tudo aquilo que havia sobre a face daterra. Isso continuou com a evolução da raça humana. A cada nova descoberta ounovo objeto, se colocava um nome, onde na maioria das vezes existia um fortesignificado associado. O significado do nome da cidade de Senhor do Bonfim nãofoge a esta regra, para Machado (2004, 24) “a nossa cidade foi denominada Senhordo Bonfim em homenagem a uma forte devoção portuguesa trazida até Salvador elevada ao interior da Bahia”. 23
  25. 25. Antes de ser criada como cidade, Senhor do Bonfim recebeu dois outros nomes,primeiro Arraial de Senhor do Bonfim da Tapera e depois foi instalada como VilaNova da Rainha em 1º (primeiro) de outubro de 1799 (mil setecentos e noventa enove). “O território municipal incluía as terras de Campo Formoso, AntônioGonçalves, Queimadas, Itiúba, Jaquarari e Andorinha, desmembrados ao longo dosanos, formando municípios independentes”. (ALMEIDA, 2001, 41)“Como Jacobina era “Vila Velha”, caberia a vila que dela fosse originada o nome de“Vila Nova”. E o por que “da Rainha”? Sabe-se que teria sido uma homenagemimposta pela própria coroa portuguesa à Rainha Dona Maria I”. (MACHADO, 2004,57)Os dois principais motivos para a criação desta Vila, descrito por Machado (2004) nolivro Notícias e Saudades da Vila Nova da Rainha, Aliás, Senhor do Bonfim, foramum bom número de habitantes, aproximadamente 5 (cinco) mil e, os vadios emalfeitores, os quais se ajuntavam de toda parte por ser estrada de ferro, paraassaltar, saquear e matar.Esta Vila também tinha autonomia municipal e emancipação política, o que édestacado por Machado (2004, 57) “a vila possuía autonomia municipal e, logo, aemancipação política, mesmo antes de se transformar em cidade”.Senhor do Bonfim passou a categoria de cidade em 28 (vinte e oito) de maio de1885 (mil oitocentos e oitenta e cinco). Atualmente sua estrutura de atividades maisdinâmicas se concentra no setor do comercio e serviço, como relata Machado (2004,173) ao escrever: “O conjunto das atividades de comércio e serviços se constitui nosetor mais dinâmico da base econômica municipal”.Desde 1885 (mil oitocentos e oitenta e cinco) até os dias atuais, entendemos que oacontecimento que mais “prejudicou” a economia e desenvolvimento da cidade deSenhor do Bonfim, foi à perda progressiva do transporte ferroviário. Machado sugerea recuperação deste transporte ferroviário, quando relata: 24
  26. 26. O município de Senhor do Bonfim poderia liderar um processo, junto com as demais lideranças políticas, empresariais e da sociedade civil da microrregião, para sensibilizar as demais instâncias governamentais – estadual e federal, quanto para a importância de reativar a linha férrea, com o objetivo de alavancar as potencialidades econômicas da região. (MACHADO, 2004, 173)2.3 Considerações Sobre o Trabalho de Campo.Para a realização deste trabalho, foi escolhida a população da sede da cidade deSenhor do Bonfim como lócus de estudo, devido à mesma dispor de fontes segurasde pesquisa relacionada ao seu crescimento populacional. Não foi incorporado todoo município de Senhor do Bonfim devido à complexidade da pesquisa e o tempodisponível.O trabalho foi realizado utilizando primeiramente a pesquisa de campo, que sedividiu em duas partes, onde a primeira foi efetivada no IBGE da atual cidade, e asegunda no Fórum da Comarca, apesar de Jannuzzi (2007, 137) afirmar que “emnível municipal, não há muito mais informação consistente e comparável que osdados populacionais levantados nos Censos Demográficos”, para este trabalho sãonecessários e essenciais os dados coletados no Cartório de Registro Civil, uma vezque o IBGE não dispõe de todos os dados relativos aos habitantes da sede dacidade.Os dados desta pesquisa de campo são meramente quantitativos e dizem respeito àquantidade de habitantes, o número de nascimentos e óbito da cidade deSenhor do Bonfim.No primeiro momento da pesquisa realizado no Instituto Brasileiro de Geografia eEstatística (IBGE), em 18 de Abril do ano atual, obtivemos dados da quantidade dehabitantes da sede da cidade, referente aos anos de 1980, 1991, 2000 e 2007, haja 25
  27. 27. vista que em tais anos houve a contagem da população realizada pelo referidoInstituto.No segundo momento, por ser mais trabalhosa, tivemos que concentrar esforços emtrês tardes nos dias 19, 26 e 29 de maio do corrente ano, encaminhando,anteriormente, um requerimento ao Exmo Dr. Leonardo Santos Vieira Coelho, Juizde Direito da 1ª Vara Cível da Comarca de Senhor do Bonfim.Este momento da pesquisa foi crucial para obtermos com precisão a quantidade denascimentos e óbitos da população bonfinense, pois Martine e Camargo (1984, 101)asseguram que “Os componentes demográficos responsáveis pela evolução doritmo de crescimento da população são a natalidade, a mortalidade e a migraçãolíquida”.Inicialmente gostaríamos de registrar que pensávamos em obter a quantidade denascimentos e óbitos da população da sede de Senhor do Bonfim desde 1980 até2007. Porém, para alcançar esses dados demandava muito tempo, visto que, de1980 a 2007 existem, no Cartório de Registro Civil, 51 livros de registro denascimentos e 14 de óbitos, compostos de 300 folhas cada, onde em cada folha sãolançados 4 assentos, e ainda em tais livros são registrados nascimentos e óbitos detoda micro região de Senhor do Bonfim.Assim sendo, os dados colhidos no Cartório de Registro Civil da Comarca de Senhordo Bonfim, referentes ao número de nascimentos e óbitos, são do ano de 2000 a2007.No dia 19 e 26, de maio do corrente ano, nos preocupamos em averiguar o númerode nascimentos do ano de 2000 a 2007, em livro de registro de nascimentos,ressaltando que o critério utilizado foi analisar o endereço de residência dos pais.Quando o endereço residencial não se enquadrava na dinâmica da pesquisa, ouseja, era diverso da sede do município ou quando não havia localização daresidência, tal registro não era agregado para cálculo dos nascimentos. 26
  28. 28. Somente integravam ao número de nascimentos, os registros onde constava que olocal residencial dos pais era a sede da cidade de Senhor do Bonfim.Para uma melhor interpretação dos números de nascimentos encontrados noCartório, os mesmos foram observados e separados por ano a partir de 2000.Camargo e Martine (1984, 103) propõem que “Para avançar mais na análise dasmudanças do comportamento reprodutivo, é necessário passar a utilizar umindicador mais preciso do que a taxa bruta de natalidade”. Porém neste trabalho nãofocaremos um estudo mais aprofundado na questão da natalidade, mas apenas autilizaremos para encontrar a taxa de crescimento populacional, além de observarseu comportamento (crescente ou decrescente) no período de 2000 a 2007.No dia 29 de maio do corrente ano, investigamos os livros onde se encontram osregistros de óbitos, sendo que consideramos, para integrar ao número de óbitos,somente aqueles onde constava que o sepultamento da vítima foi realizado emalgum dos três cemitérios da sede da cidade de Senhor do Bonfim. Tendo em vistaque, por exemplo, um morador da zona rural que falece dificilmente será enterradona sede da cidade. O mesmo ocorre com aqueles moradores que falecem na zonaurbana, onde em sua maioria são enterrados nos cemitérios da própria sede domunicípio.A coleta do número de óbitos da sede da cidade, assim como a coleta do número denascimentos, ocorreu desde o ano de 2000 até 2007 e, semelhantemente foiregistrado a cada ano o número de mortes.Ressaltando que tanto nos livros de registros de nascimento, quanto nos de registrosde óbitos, a partir do livro 37 o cartório foi informatizado, passando a efetuar taisregistros em programa computacional apropriado e, depois disso imprimindo taisregistros e colocando-os por ordem de data e hora em livros específicos.A partir desta informatização, ficou mais fácil verificar no termo de óbito o local que omorto residia, uma vez que a partir deste momento constava, em tal registro, não sóo local do sepultamento, mais também o endereço residencial do falecido. 27
  29. 29. Tal procedimento de considerar somente os nascimentos e óbitos da sede da cidadede Senhor do Bonfim é de extrema importância, uma vez que posteriormentecalcularemos a taxa de natalidade e mortalidade apenas da sede do município, paradepois aferir a taxa de crescimento para esta população.Esclarecendo que, no Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, existe a taxa decrescimento populacional para cidade de Senhor do Bonfim, como também as taxasde natalidade e de mortalidade, porém tais taxas são calculadas usando toda apopulação bonfinense, ou seja, a urbana e a rural. Como a dinâmica deste trabalhoenvolve apenas a população da sede, as taxas citadas anteriormente, da populaçãode todo o município e somente da sede, provavelmente serão diferentes e, paraelaborar um trabalho mais confiável, com dados mais precisos, precisamos aferirestas taxas somente para a sede da cidade.Cabe salientar ainda que os natimortos, aqueles nascidos mortos, possuem um livroespecífico para registro e controle da quantidade dos mesmos e, não foramanalisados durante a coleta dos dados, tendo em vista que não interferem na taxade crescimento populacional.Depois de efetuar esta pesquisa de campo e coletar os dados pretendidos,confrontamos primeiramente o gráfico que representa a quantidade de habitantes deSenhor do Bonfim, com o modelo gráfico dos métodos matemáticos que estudam ocrescimento populacional, analisando qual dos métodos, de Malthus ou de Verhulst,se ajustava melhor ao crescimento populacional bonfinense.Após esta análise, de confrontar o crescimento da população bonfinense com osmodelos matemáticos, através do esboço de seus respectivos gráficos, começamosa observar as taxa de natalidade, óbito e consequentemente de crescimento,coletadas no Fórum da Comarca de Senhor do Bonfim para se estimar com maiorsegurança a quantidade de habitantes da sede da cidade para os próximos 15 anos. Para qualquer modelo de desenvolvimento ou tipo de regime, as perspectivas futuras de crescimento populacional são objeto de interesse. Infelizmente as projeções têm um grau aceitável de confiança apenas para os próximos 10 ou 15 anos. (CAMARGO & MARTINE, 1984, P. 135) 28
  30. 30. Verificamos, através do confronto dos esboços dos gráficos e também de maneiraquantitativa com relação à taxa de crescimento, que o modelo de Verhulst é o quemelhor se ajusta ao crescimento populacional da cidade de Senhor do Bonfim.Sendo assim a projeção futura para a população bonfinense foi feita utilizando talmodelo matemático.Para finalizar o desenvolvimento deste trabalho, foi necessário determinar o suportemáximo para a população da cidade de Senhor do Bonfim, visto que utilizando omodelo de Verhulst, para se fazer uma perspectiva de crescimento populacionalfuturo, é necessário ter conhecimento do suporte máximo do meio para a populaçãoem questão.Sendo assim, primeiro determinamos o suporte máximo para o meio, através doprograma computacional StatD+ usando o método de regressão linear, paraposteriormente fazermos a projeção da população bonfinense para os próximos 15anos, por meio do modelo escolhido.Contudo, gostaríamos de ressaltar que este suporte máximo encontrado, émeramente quantitativo e, não leva em consideração fatores como a densidadedemográfica da cidade, as políticas públicas de crescimento industrial e tecnológico,além de outros como o número de indivíduos com faixa etária de idade reprodutiva. 29
  31. 31. CAPÍTULO 3 – Análise e Discussão dos Dados.3.1 Contextualizando os Dados.3.1.1 Dos Dados Coletados.Coletar dados estatísticos a respeito da população de uma determinada região oucidade não constitui tarefa das mais simples, requer tempo e dedicação. Os dadosencontrados dizem respeito à quantidade de habitantes, número de nascimentose óbitos e taxas de natalidade, mortalidade e crescimento.Tais levantamentos de informações dizem respeito somente aos habitantes da sededa cidade, para os anos de 1980, 1991, 2000 e 2007, mais precisamente e, tambémos intervalos compreendidos entre 2000 e 2007.Considerando a complexidade desta coleta de dados, gostariamos de deixar claro,de antemão, que levamos em consideração que a taxa de imigração e emigraçãopara a cidade de Senhor do Bonfim são iguais e, portanto se anulam,fundamentando-me no que é abordado por Futuyma (1992, 23) “por questão desimplicidade, imigração e emigração são normalmente ignoradas imaginando-asiguais”.Para se ter uma idéia a respeito da coleta precisa de dados, o Anuário Estatístico daBahia (2003, 140) relata que Senhor do Bonfim possui uma área de 816,7 km2,enquanto que para Almeida (2001, 41) é 825 km2, já para Machado (2004, 203) aextensão territorial de Senhor do Bonfim é 1.125 km2. 30
  32. 32. 3.1.2 Número de Habitantes.Antes da era Cristã e mesmo até meados dela, o homem vivia em intimo contato eem equilíbrio com a natureza. Para (SALZANO, 1993, 104) “o desenvolvimentosociocultural e tecnológico nos tornou, até certo ponto, independentes dos rigores domeio ambiente”. Mas esta conquista teve seu preço. Alguns dos problemas surgidosrelacionaram-se a própria proliferação desenfreada da população humana noplaneta.Em seu artigo Yunes (1971, p. 130), descreve que a partir no começo da era cristã, apopulação mundial era aproximadamente 250 milhões, somente vindo a dobrar seuvalor 1650 anos depois. Entre 1650 e 1850, a população que estava estimada em500 milhões passara então para 1 bilhão de habitantes e dobrou esse valor emmenos de um século. Voltando a dobrar novamente em 45 anos e, levantou ahipótese de que em 1975 a humanidade duplicaria novamente em tempo recorde,alcançando a marca de 4 bilhões de habitantes.Para a cidade de Senhor do Bonfim, o crescimento populacional é descrito atravésda tabela 1 abaixo, de acordo com dados colhidos no Instituto Brasileiro deGeografia e Estatística (IBGE). Tabela 1 – População da sede da cidade de Senhor do Bonfim. ANO 1980 1991 2000 2007 POPULAÇÃO 33.811 43.078 51.305 55.293O crescimento dinâmico desta população também pode ser visualizado no gráfico dafigura 5: 31
  33. 33. 60 50 40 População (mil) 30 20 10 0 1980 1991 2000 2007 Anos* Fonte: IBGE Figura 5 – Gráfico da população bonfinense de 1980 a 2007.Podemos verificar, de acordo com este gráfico, que a população de Senhor doBonfim no último período censitário, ou seja, de 2000 a 2007, reduziu seucrescimento com relação aos outros dois períodos censitários anteriores.3.1.3 Número de Nascimento.Sem a reprodução é impossível para uma população se manter em uma comunidadebiótica, visto que a estabilidade ou o crescimento de uma espécie é determinadopela quantidade de indivíduos que são agregados aos que já vivem Odum (1988, p.191) diz que “natalidade é a capacidade de uma população aumentar”.No passado a humanidade foi marcada pelo número elevado de nascimentos, atéacontecer o processo de industrialização, onde as famílias começaram a vivermelhor e à medida que os países iam se aperfeiçoando tecnologicamente, o númerode nascimentos caia consideravelmente, o que é exposto por Camargo e Martini(1984, p. 107) Sem dúvida alguma, a maior utilização de métodos de controle da prole e a conseqüente redução da fecundidade coincidem com o período de intensificação das transformações sociais e econômica, decorrentes do 32
  34. 34. processo de industrialização e modernização já iniciados em décadas anteriores.No Brasil não foi diferente, até cerca de 1980 a população era marcada por um altonúmero de nascimentos. Para Camargo e Martini (1984, 100) a “magnitude doaumento brasileiro levou praticamente à duplicação da população a intervalos detrinta anos, durante todo o período de 1870-1980”. Porém isso foi se modificandoquando a sociedade, de um modo geral, passou a ter mais acesso a educação,informação e tecnologias, o que é descrito por Alves (2000, 10), quando afirma queos “maiores níveis de educação, participação feminina no mercado de trabalho,industrialização, urbanização e secularização podem explicar a queda dafecundidade”.Entendemos que a natalidade da população bonfinense é influenciada por estesfatores descritos por Alves (200, 10) e cremos que os mesmos são decisivos paradeterminar a quantidade de nascimentos.Como registrado anteriormente, o número de nascimentos da população de Senhordo Bonfim foi coletado a partir do ano 2000 até 2007 e são apresentados na tabela2. Tabela 2 – Nascimentos em Senhor do Bonfim de 2000 a 2007 ANO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº DE NASC. 955 987 1002 898 870 846 825 766Podemos observar baseados na nesta tabela 2, que houve um ligeiro aumento nonúmero de nascimento de 2000 a 2002, seguido de uma redução gradativa a partirde 2003, para Carvalho e Rodrigues (2006, 5) A queda da fecundidade vem se mostrando generalizada em todo o território brasileiro. Embora desigualdades socioeconômicas e geográficas extremas tenham adiado o início desse processo nas regiões menos desenvolvidas do país. 33
  35. 35. 3.1.4 Número de Óbitos.O óbito pode ser entendido como sendo a eliminação do indivíduo de umadeterminada população. Semelhantemente a natalidade, até poucas décadas atrás apopulação humana tinha um índice muito elevado da quantidade de mortos,contribuindo consideravelmente para manter um baixo crescimento populacional, oque é abordado por Yunes (1971, 130) ao relatar: “durante a maior parte da históriada humanidade, a população mundial aumentou a um ritmo lento, uma vez que tantoo coeficiente de natalidade quanto o coeficiente de mortalidade eram elevados”.No Brasil a mortalidade começou a cair a mais de um século e meio, porém operíodo de 1940 a 1970 foi o que apresentou o maior declínio desta variável, o que érelatado por Camargo e Martini (1984, 102) quando afirma que “a mortalidade teveuma queda de 35% entre a década de 40 e a de 50 e de 28% na década seguinte”.Curiosamente a partir da década de 50 quando começou a acontecer um acentuadodeclínio no número de mortos, o país intensificou a industrialização nacional emelhorou consideravelmente o seu setor de saúde. Sob este aspecto Braga apudCamargo e Martini (1984, 113) diz que no Brasil a queda da mortalidade se deu demaneira mais acelerada que nos países industrializados.Na cidade de Senhor do Bonfim, podemos destacar nos últimos anos ummelhoramento no setor da saúde, como por exemplo, a implementação do SAMU,um maior poder aquisitivo por parte de seus moradores. Essas variáveis sociais,econômicas e culturais, contribuem para diminuir a mortalidade e Yunes (1971, 133)relata que as “mudanças no padrão de mortalidade estão relacionadas com amudança da estrutura social e econômica”.A quantidade de mortos da sede bonfinense a partir de 2000 é exposta na tabela 3 aseguir, sendo que estes dados foram coletados no cartório de registro civil. 34
  36. 36. Tabela 3 – Óbitos em Senhor do Bonfim de 2000 a 2007. ANO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 ÓBITOS 198 194 174 229 225 222 229 205Podemos observar que a partir de 2003 houve um ligeiro aumento na quantidade demortos, porém não foi um acréscimo significativo, nem tão pouco uma crescente nosanos subseqüentes, mas houve uma pequena oscilação, donde podemos observá-los muito próximos e inferi-los como constante.3.2 Análise dos Dados.3.2.1 Superposição dos Gráficos.Começaremos a analisar este trabalho monográfico, através da sobreposição dosgráficos dos modelos matemáticos de Malthus e Verhulst com o gráfico querepresenta a quantidade de habitantes da cidade de Senhor do Bonfim, como nosmostra a figura 6. 35
  37. 37. - modelo de Verhulst - modelo de Malthus 60 - população bonfinensepopulação em mil 40 20 0 1980 1991 2000 2007 anos Figura 6 – Superposição dos gráficos dos modelos matemáticos X população bonfinense.Podemos observar que no esboço gráfico o modelo de Malthus, depois do ano 2000obteve valores muito elevados, por outro lado o do modelo de Verhulst se adaptoumelhor as curvas do gráfico que representa o crescimento da população bonfinense epodemos inferir que quanto mais os anos se passarem, mais o gráfico do modelo deVerhulst tende a sobrepor ao da população real.Outra maneira de nos esclarecermos a respeito dos dois modelos matemáticos queestudam crescimento populacional, é obtermos a população dos anos de 1991, 2000e 2007, em cada modelo, levando em consideração que para o ano de 1980 apopulação é igual para os dois modelos e coincide com a população real da sede dacidade de Senhor do Bonfim neste ano, como nos mostra a tabela 4. Tabela 4 – População real e população segundo os modelos matemáticos. Ano 1980 1991 2000 2007 População real 33811 43078 51305 55293 Modelo de Malthus 33811 41710 53143 63292 Modelo de Verhulst 33811 41636 50861 55448Comparando os resultados do modelo de Verhulst com a população real, comexceção do ano 1991, onde os resultados não foram tão próximos, podemos verificar 36
  38. 38. que quanto mais os anos tendem a passar, mais o modelo de Verhulst tende aestabelecer valores mais próximos da realidade, descrevendo satisfatoriamente oprocesso real da dinâmica populacional de Senhor do Bonfim.Considerando a porcentagem de erro entre a população real e a populaçãoencontrada através do modelo de Malthus, para os anos de 1991, 2000 e 2007, talporcentagem para os respectivos anos são 3,18%, 3,59% e 15,59%. Logo sefossemos considerar a porcentagem de erro este modelo matemático não seriautilizado para a representação do crescimento real da população.Por outro lado, para o modelo de Verhulst, apresenta erro de 3,35%, 0,86% e 0,28%para os anos de 1991, 2000 e 2007, respectivamente. Portanto através daporcentagem de erro, podemos notar que o modelo de Verhulst se aproximabastante e de maneira satisfatória da realidade populacional.3.2.2 Crescimento Populacional, Taxa de Nascimento, Taxa de Óbitos e Taxade Crescimento.O aumento no número de habitantes da cidade de Senhor do Bonfim no últimoperíodo censitário caiu com relação aos outros dois períodos, pois de 1980 a 1991houve um acréscimo de 9267 e de 1991 a 2000 a ampliação na população foi de8227. Porém de 2000 a 2007 houve um aumento de 3988 pessoas, o que nos leva aacreditar que o ritmo do crescimento populacional bonfinense tende a diminuir acada ano e para os períodos censitários futuros.Sendo assim a população bonfinense crescerá em um ritmo mais lento nos próximosanos. Entendemos que Senhor do Bonfim está ingressando, ou já ingressou, naterceira fase da Transição demográfica, denominada assim por Yunes (1971, 132)ao afirmar: 37
  39. 39. Portanto, no início, as taxas elevadas de natalidade e mortalidade compensam-se entre si e o resultado é um crescimento demográfico lento. Numa segunda fase começa a queda de mortalidade com manutenção da natalidade ainda em nível alto, trazendo como conseqüência o acelerado aumento populacional. Numa terceira fase, a mortalidade e natalidade equilibram-se a um nível muito mais baixo e o crescimento novamente é lento.Esta terceira fase do crescimento é marcada por uma taxa de crescimento maisbaixa que nas outras duas anteriores. O que podemos verificar através da tabela 5,onde descreve as taxas de crescimento nos referidos períodos, ressaltando que ataxa de crescimento nos dois primeiros períodos, foi obtido da razão entre apopulação final menos população inicial pela população final multiplicada pelo tempo Nt N0em anos, isto é, T xc . Já no último período, de 2000 a 2007, através da Nt tdiferença entre a taxa de nascimento e taxa de óbitos desse período dividido pelo T xn T xotempo em anos, ou seja, T xc . t Tabela 5 – taxa de crescimento populacional de 1980 a 2007. Período De 1980 a 1991 De 1991 a 2000 De 2000 a 2007 Taxa de 0,01956 0,01782 0,01165 crescimentoPortanto verifica-se, pela tabela 5 acima, que a taxa de crescimento populacionalnos períodos censitários se apresenta num constante declínio. O que determina ovalor numérico da taxa de crescimento é a taxa de natalidade e a de mortalidade.Não é uma tarefa fácil encontrar a taxa de natalidade e mortalidade de umapopulação, visto que é necessário ter conhecimento de todos os nascimento e óbitosde um determinado período, para depois obter as referidas taxas. Jannuzzi (2007,111) relata que “entre as variáveis sintomáticas mais citadas nestas aplicações deestimação populacional de pequenas áreas, estão às estatísticas de nascimentos eóbitos”, acrescentando a esta afirmação de Jannuzzi, destacamos que asestatísticas destas duas variáveis também são importantes para estimar populaçõesde áreas (cidades) medianas. 38
  40. 40. As taxas de nascimento e óbito são registradas na tabela a seguir, a partir do ano2000 até o ano de 2007, cabendo salientar que tais taxas são somente de cada anorespectivo. Tabela 6 – taxa de natalidade e taxa de mortalidade de 2000 a 2007. Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 T xn 0,0173 0,0176 0,0175 0,0154 0,0147 0,0145 0,0135 0,0124 T x0 0,0035 0,0035 0,0031 0,0041 0,0040 0,0039 0,0040 0,0036T xnTxn = taxa de nascimentosT x0 = taxa de óbitos.Da análise desta tabela percebe-se que a taxa de mortalidade permanece, nodecorrer dos anos de 2000 a 2007, praticamente constante, enquanto que a taxa denascimento vem sofrendo a partir de 2001 uma pequena queda a cada ano. Issosignifica que na população bonfinense a cada ano está nascendo menos pessoas emorrendo praticamente um número constante de indivíduos.Diversos fatores, como políticas públicas do controle da natalidade, participação damulher na força de trabalho, aumento do nível educacional, entre outros, são apontadospor diversos autores como a causa da queda na taxa de nascimento, na tentativa deexplicar a dinâmica da redução da natalidade em todo o mundo, porém um fator é certoe comprovado e YUNES, (1971, 139) o registra ao afirmar que “vários estudos mostramque os ricos são "menos férteis" que os pobres”.Yunes (1971, 140) é muito feliz ao analisar que “o declínio da fertilidade tem sidoprecedido e acompanhado, em todos os países, pela urbanização. É comum osautores afirmarem que a população urbana é "menos" fértil que a rural”. O próprioYunes (1971, 139) explica isto ao registrar: A origem da atitude da limitação do tamanho da família foi aceito, primeiramente, pela classe alta depois pelos demais segmentos da sociedade. Por exemplo, a queda da fertilidade mais rápida em cidades pode ser devida ao íntimo contato das classes sociais mais baixas com as classes que primeiro praticaram a limitação do tamanho da família. 39
  41. 41. Entendemos que a maioria da população bonfinense já passou pelo processo deurbanização, ficando ainda uma pequena parte dos habitantes da zona rural que nospróximos anos experimentará tal processo. Por outro lado é notório que a populaçãode um modo em geral aumentou o seu poder aquisitivo, em número modesto éverdade, porém significativo.3.3. Estimativa para uma População Futura.3.3.1 Deduzindo o Valor de K .Diante de toda análise realizada até então, é necessário que tenhamos a clarezaque o modelo matemático mais adequado para estimarmos a população da cidadede Senhor do Bonfim, é o modelo de Pierre Verhulst.Contudo, este modelo requer antes de tudo um limite de suporte máximo para apopulação da cidade de Senhor do Bonfim, o qual pode ser encontrado através dométodo de regressão linear, como mostra a figura 6. 0,025 Taxa relativa ─ Reta ajustada 0,02 0,015 taxa relativa 0,01 0,005 0 0 50 100 150 população em mil Figura 7 – Gráfico da taxa relativa em função da população N . 40
  42. 42. A reta mostrada na figura é uma reta de regressão linear e tem como objetivoaproximar por uma linha reta o conjunto de pontos dispersos. A taxa de crescimentorelativa varia em função da quantidade de habitantes. Sendo assim, quando a taxade crescimento for igual a zero, teremos o suporte máximo para o meio. Então apopulação máxima para a cede da cidade de Senhor do Bonfim é K =119.840habitantes.3.3.2 Calculando a População para os Próximos 15 Anos.Utilizemos para o cálculo da população bonfinense dos próximos 15 anos, aequação (7) do capitulo 1, tomando como base que N 0 =55.293, K =119.840 er 0,01165. A estimativa da população bonfinense para os próximos 15 (quinze)anos é mostrada na tabela 7. Tabela 7 – População estimada segundo o modelo de Verhulst de 2008 a 2022. Ano População estimada 2008 55.637 2009 55.981 2010 56.326 2011 56.671 2012 57.017 2013 57.362 2014 57.708 2015 58.054 2016 58.399 2017 58.745 2018 59.092 2019 59.438 2020 59784 41
  43. 43. 2021 60.130 2022 60.476Podemos até pensar que esta estimativa de crescimento populacional é muitopequena se considerarmos que estamos estimando-a para daqui a 15 anos, pois apopulação atual de Senhor do Bonfim é 55.293 habitantes, agregando então àpopulação atual a quantidade de 5.183 habitantes até 2.022. Porém se observarmosa tabela 1 e principalmente a figura 5, verificaremos que, nos dois últimos períodoscensitários, ou seja, de 1991 a 2000 e de 2000 a 2007, neste segundo período ocrescimento da população não chegou nem a metade do período anterior e,possivelmente para alcançar o mesmo crescimento anterior teria que dobrar aquantidade de anos do período censitário anterior. 42
  44. 44. CONCLUSÃOA percepção do mundo é um processo complexo que é criado por diferentes povos eque sofre transformações ao longo do espaço e do tempo. Dentre estas diferentesvisões de mundo temos aquela criada pela ciência, em especial a matemática a qualvem se consagrando como uma linguagem universal. Assim a ciência seria umaforma de ver o mundo e este mundo sob o ponto de vista da matemática seriafacilmente compreendido entre diferentes povos, desde que preparados paraentender o significado das simbologias utilizadas na construção desta linguagem.A linguagem matemática mostrou-se de suma importância para a descrição defenômenos reais. Nesta descrição encontra-se disposta uma ampla gama deopções, seja por meio visual, através de gráficos e figuras; através de tabelas ouequações.Determinados fenômenos podem ser estudados através da modelagem matemática,o qual consiste em descrever um determinado fenômeno por meio de uma equação.Neste trabalho o fenômeno estudado foi a dinâmica populacional da cidade deSenhor do Bonfim. Para isto utilizou-se dois modelos matemáticos: o modelo deMalthus e o de Verhulht. Apesar de serem imitações abstratas, idealizadas esimplificadas da realidade, nos permitiu conhecer certas comportamentos ao longode um determinado período e realizar previsões futuras sobre o crescimentopopulacional desta região. A seguir apresentaremos os resultados significativosobtidos neste trabalho.Através deste trabalho pudemos conhecer o número de habitantes da sede dacidade de Senhor do Bonfim em cada período censitário, ou seja, de 1980 a 1991,de 1991 a 2000 e de 2000 a 2007, onde neste último período foi verificado que ataxa de crescimento sofreu uma redução considerável, pois, de 1991 a 2000 foiagregado à população bonfinense 8.227 habitantes, enquanto que de 2000 a 2007foram apenas 3.988 habitantes. Menos da metade do período anterior. Comotambém a quantidade de nascimentos de 2000 a 2007 diminuiu, enquanto que o 43
  45. 45. número de óbitos, com exceção do ano de 2002, foi praticamente constante nesteperíodo, tendo pequenas oscilações. Sendo assim, o número de nascimentos tendea diminuir a cada ano subseqüente, nos levando a inferir que o valor numérico destavariável tende a se aproximar lentamente da quantidade de óbitos em anos futuros.Verificamos através da superposição gráfica dos modelos matemáticos, de Malthuse Verhulst, e da população bonfinense, como também por meio da proporcionalidadede dispersão, que o modelo de Verhulst foi o que melhor se ajustou à dinâmicapopulacional da cidade de Senhor do Bonfim. Uma vez que este modelo foi o quemelhor se aproximou da população real. Além disso, a taxa de crescimento para apopulação aqui estudada está em constante declínio, o que fortalece a escolha domodelo, pois o modelo de Verhulst tem como característica a taxa de crescimentoinversamente proporcional ao crescimento da população.A partir da escolha do modelo de Verhulst como mais apropriado para descrever adinâmica populacional bonfinense, foi necessário encontrar o limite máximo desuporte para o meio, o qual foi obtido através de método computacional deregressão linear, usando o programa StatD+, onde este suporte máximo encontradofoi 119.840 habitantes. Portanto, de acordo com o modelo de Verhulst, a populaçãoda sede da cidade de Senhor do Bonfim poderá se aproximar deste limite, porémnão o ultrapassará.Por fim, para concluir este trabalho monográfico, fizemos o levantamento daquantidade de habitantes da sede da cidade de Senhor do Bonfim para os próximos15 anos (tabela 7), através do modelo de Verhulst, onde observamos que Senhor doBonfim terá uma população de 60.476 habitantes no ano de 2.022.Fica caracterizado através deste trabalho, a importância de se estudar a dinâmicapopulacional de uma determinada região, através de modelos matemáticos. Quandousados com cuidado é possível fazer previsões com bastante precisão para períodosde tempo posteriores. Para trabalhos futuros podemos continuar estes estudos aolongo de dez a quinze anos, para verificar-mos possíveis discrepâncias dosresultados obtidos antes (previsão teórica) e depois (constatando os resultadosreais). Fica assim uma proposta para que novos estudantes de graduação 44
  46. 46. desenvolvam pesquisas científicas investigando a dinâmica populacional da cidadede Senhor do Bonfim, para verificar se o crescimento populacional continua com ascaracterísticas aqui abordadas e se o modelo de Pierre Verhulst, estimou comprecisão a realidade populacional. 45
  47. 47. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASALMEIDA, Rose Mary Ferreira. E Tu Me Amas?. Senhor do Bonfim: editora daautora, 2001.ALVES, J. E. D. Transição da fecundidade e relações de gênero no Brasil. 1994.152f. Tese (Doutorado) – Centro de Desenvolvimento e Planejamento Regional,Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 1994. disponível emhttp://www.abep.nepo.unicamp.br/docs/anais/pdf/2000/Todos/mitos%20e%20realidade%20da%20dinamica%20populacional.pdf. Acesso em 16/06/2008 às 11:52hANUÁRIO ESTATÍSTICO DA BAHIA. Salvador, SEI – Superintendência de EstudosEconômicos e Sociais da Bahia, 2003.BERVIAN, P. A.; CERVO, Amado Luiz. Metodologia científica. 3ª ed. São Paulo:McGraw-Hill do Brasil, 1983.CARVALHO, J. A.; RODRIGUEZ, Laura L. Wong. O rápido processo deenvelhecimento populacional do Brasil: sérios desafios para as políticaspúblicas. Rev. bras. estud. popul. v.23 n.1 São Paulo. 2006. Disponível emhttp://www.abep.nepo.unicamp.br/docs/rev_inf/vol23_n1_2006/vol23_n1_2006_3artigo_p5a26.pdf, acesso em 14/06/2008 às 15:30h.FUTUYMA, Douglas. Biologia Evolutiva, 2ª edição. Ribeirão Preto: EditoraSociedade Brasileira de Genética, 1992.GOLDSTEIN, L. J.; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I. Matemática Aplicada:Economia, Administração e Contabilidade. 8ª edição. Porto Alegre: Bookman,2000.GOLDSTEIN, Larry J. LAY, David C. SCHNEIDER, David I. Cálculo e SuasAplicações. São Paulo: Editora Hemus, 1981.HOFFMAN, Laurence D. Cálculo: Um Curso Moderno e Suas Aplicações. Volume1, 2ª edição. Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e Científicos editora LTDA, 1990.JANNUZZI, Paulo de Martino. Cenários futuros e projeções populacionais parapequenas áreas: método e aplicação para distritos paulistanos 2000-2010. Rev.Brás. Est. Popul. v. 24, n. 1, p. 109-136, São Paulo: 2007. Disponível emhttp://www.abep.nepo.unicamp.br/docs/rev_inf/vol24_n1_2007/vol24_n1_2007_9artigo_p109a136.pdf, acesso em 10/05/2008 às 9:35h.LAKATOS, E. M.; MARCONI, Marina de Andrade. Técnicas de pesquisa. 3ª ed.São Paulo: Atlas, 1996. 46
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  49. 49. Apêndice 1Sabendo que dN rN 1 N 1 dN rdt , seque: dt K N N 1 KFazendo uso das frações parciais, temos: AN A BN 1 A B K 1 A 1 e B . N N N N K N 1 1 N 1 K K KLogo, 1 A B 1 K 1 1 . N N N N N K N 1 1 K K 1 1 1Portanto temos que: dN dN . Daí vem: N N K N N 1 K Nt Nt t 1 1 1 1 dN rdt dN dN rdt N K N N0 N N0 K N 0 Sendou K N du dN e substituindo na equação anterior, temos: Nt t 1 1 dN du rdt N0 N u 0 ln N t ln N 0 ln u rt Nt ln N t ln N 0 ln K N N0 rt Nt n ln K Nt ln K N0 rt N0 48
  50. 50. Apêndice 1 Nt K Nt ln ln rt N0 K N0 Nt K N0 ln rt N0 K Nt rt Nt K N0 e N0 K Nt rt Nt e K Nt N0 K N0 rt rt Nt K N0 N0 e K N0 e Nt rt rt Nt K N0 N0 e Nt N0 e K rt rt Nt K N0 N0 e N0 e K rt N0 e K Nt rt K N0 N0 e N0 K Nt K N0 rt rt N0 e e N0 K Nt rt N0 K N0 e dN NPortanto, rN 1 é equivalente a: dt K N0 K Nt rt . N0 K N0 e 49
  51. 51. Vista da Igreja Matriz, com atuais praças Juracy Magalhães (em primeiro plano) e Austricliano de Carvalho (aofundo). Disponível em: http://nrserver2.net/~srbonfim/galeriadefotos-antigas.html#Antiga imagem do prédio da Prefeitura, fotografado do alto da Igreja. Em primeiro plano, praça hoje denominadaJuracy Magalhães. Disponível em: http://nrserver2.net/~srbonfim/galeriadefotos-antigas.html# 50
  52. 52. Vista do que viria a ser a Praça Dr. Lauro de Freitas, tendo ao fundo a atual rua Cônego HugoDisponível em: http://nrserver2.net/~srbonfim/galeriadefotos-antigas.html#Beco do Bazar, denominação resistente ao tempo para o atual calçadão da rua Dr. Joviniano DuarteDisponível em: http://nrserver2.net/~srbonfim/galeriadefotos-antigas.html# 51
  53. 53. Vista antiga da atual praça Austricliano de Carvalho, ao lado da Igreja MatrizDisponível em: http://nrserver2.net/~srbonfim/galeriadefotos-antigas.html#Área histórica de Bonfim, ainda conhecida popularmente como Campo do Gado, situada na atual praça LuizViana. Disponível em: http://nrserver2.net/~srbonfim/galeriadefotos-antigas.html# 52

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