Este documento fornece uma explicação sobre equações exponenciais, definindo-as como aquelas que apresentam a incógnita no expoente de pelo menos uma potência. Ele apresenta exemplos de equações exponenciais e as etapas para resolvê-las, como igualar expoentes quando as bases são iguais e usar a fórmula de Bhaskara. O documento também fornece referências bibliográficas sobre o assunto.
2. 1 2
Equação ExponencialEquação Exponencial
Definição:
Uma equação exponencial é aquela que
apresenta a incógnita no expoente de pelo menos
uma de suas potências.
Exemplos:
a) 2x
= 32
b) 3x+1
= 243
c) 5-x²+4
= 32
3. 1 3
Equação ExponencialEquação Exponencial
Para solucionarmos estas equações, necessitamos
ter conhecimentos das propriedades de potências, e
das seguinte propriedade:
Se duas potências são iguais, tendo as bases iguais,
então os expoentes são iguais:
am
= an
<=> m = n, sendo a > 0 e a ≠ 1
4. 1 4
Equação ExponencialEquação Exponencial
Vamos resolver as equações:
a) 2x
= 32
Podemos utilizar o método da decomposição por
fatores primos para obtermos a potência de
resultado 32.
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
25
5. 1 5
Equação ExponencialEquação Exponencial
32 = 25
, substituímos na equação, quando
reduzimos a mesma base podemos igualar
os expoentes.
Resolução:
2x
= 25
x = 5 S = ( 5 )<=> <=>
7. 1 7
Equação ExponencialEquação Exponencial
3x+1
= 243
3x+1
= 35
x + 1 = 5
x = 5 - 1
x = 4 S = ( 4 )
243 = 35
, substituímos na equação, quando
reduzimos a mesma base, neste caso base 3
onde igualamos os expoentes.
Resolução:
8. 1 8
Equação ExponencialEquação Exponencial
c)
(3
2 )
x+1
=(2
3 )
−2 x+3
Invertemos uma das frações, lembrando-se
de “trocar” o sinal do expoente. Procedendo
deste modo, podemos obter potências com
bases iguais nos dois membros da equação.
Resolução:
Vejamos no próximo slide.
9. 1 9
Equação ExponencialEquação Exponencial
Temos;
(3
2 )
x+1
=
[(3
2 )
−1
]
−2 x+3
x + 1 = +2x - 3
x – 2x = -3 - 1
-x = -4
S = ( 4 )x = 4
Observe as regras de sinais.
10. 1 10
Equação ExponencialEquação Exponencial
Observe que esta equação possui três
termos no 1º membro.
3
x+1
=3
x
. 3
1
1) Desmembramos o exponencial de
expoente x + 1.
d)
2) Desmembramos o exponencial de
expoente x - 1.
3x
+3x+1
−3x −1
=
11
9
3x-1
=
3
x
31
11. 1 11
Equação ExponencialEquação Exponencial
Vamos substituir na equação:
3x
+3x+1
−3x −1
=
11
9
3x
+3x
. 31
−
3
x
31
=
11
9
Sendo 3x
fator comum, vamos mudar a
variável para melhorarmos a equação.
Onde 3x
será igual á t => 3x
= t.
12. 1 12
Equação ExponencialEquação Exponencial
Sendo 3x
= t, temos:
3x
+3x
. 31
−
3
x
31
=
11
9
t+t . 31
−
t
31
=
11
9
t+ 3 t −
t
31
=
11
9
9 t
9
+
27 t
9
−
3 t
9
=
11
9
36 t
9
−
3 t
9
=
11
9
33 t
9
=
11
9
33 t= 11 t=
11
33
t=
1
3
S=
1
3
Observe que encontramos o m.m.c. e
simplificamos o resultado final da fração.
13. 1 13
Equação ExponencialEquação Exponencial
3x2
+ x
=36
e) (3
x
)
x+1
=729
x2
+ x=6
x
2
+ x−6=0
729
243
81
27
9
3
3
3
3
3
3
36
1
3
Aplicamos o método da decomposição por
fatores primos, temos 729 = 36,
e resolvemos a
equação encontrada pela fórmula de Bhaskara.