1. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Actividades guiadas para el desarrollo del pensamiento
geométrico
El siguiente material didáctico se desarrolla considerando la propuesta de
Pierre M. Van Heile respecto a cómo enseñar geometría a los estudiantes de
preparatoria.
Autor: J. Refugio Sánchez Barrón
Prof. CECyTEA Jesús María
Julio 2012

2. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Tema: Ecuaciones de primer grado una
incógnita
Intensión didáctica Identificar los elementos que intervienen
en ellas y la relación que guardan con las
gráficas de las líneas.
Información
Cuandovamos a comprar algo nos preguntamos cuánto cuesta para saber si podemos comprarlo o
simplemente saber cuánto nos deberán regresar de cambio. De esta manera si compramos 3
piezas de pan, digamos 3 cuernitos rellenos de chocolate, nos interesa saber cuánto cuesta cada
uno.
6
Orientación guiada
De la compra anterior nos cobran 6 pesos. ¿Cómo saber el precio de cada uno?
________________________________________________________________________________
______________________________________________________
¿Por qué estamos tan seguros de ese valor?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________
¿Podríamos saber cuánto pagaríamos si compramos 5 o 7 piezas de pan del mismo precio?
________________________________________________________________________________
_____________________________________________________
¿Habría otra forma de saberlo?
________________________________________________________________________________
______________________________________________________
Explicitación
Podríamos representar este caso en forma de ecuación y nos quedaría de la siguiente forma:
Donde la letra “p” representa las piezas de pan. Ésta sería una ecuación de primer grado
de una incógnita que es la “p”.
Por tanto el precio de un solo pan seria es decir, 6 entre 3 resulta 2 pesos cada pieza de
pan.
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3. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Si cada pieza de pan cuesta 2 pesos y compramos 4, entonces debemos pagar 8 pesos porque 4
panes de 2 pesos cada uno resulta 4x2=8.
Podemos utilizar otra manera de conocer el costo de la compra según los panes que compremos,
esto se logra por medio de una tabla como esta.
Cantidad de piezas Costo de 8 pesos Total a pagar
de pan
1 2 2
2 2 4
3 2 6
4 2 8
5 2 10
6 2 12
7 2 14
Como pues ver basta con multiplicar por 2 la cantidad de panes.
Lo anterior se puede representar de manera gráfica y encontrar el costo en función de las piezas
de pan que compremos. Observa que la línea
recta nos ayuda a identificar en sus
intersecciones los valores que buscamos. Por
ejemplo si compramos 2 piezas de pan la
gráfica nos indica que el costo es de 4 pesos.
Costo a pagar
Cantidad de piezas de pan
Orientación libre
Es posible identificar las ecuaciones de primer grado y lo que representan, de igual manera
podemos representarlas en una gráfica. Todas las ecuaciones de primer grado se pueden
representar en una gráfica.
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4. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
De lasiguiente tabla relaciona las compras con su ecuacióne identifica su correspondiente gráfica
uniéndolas con una línea.
Tres tamales cuestan Un vaso de atole Cinco refrescos Cinco jugos cuestan
nueve pesos cuesta cuatro pesos cuestan nueve pesos veinte pesos.
1a=4 3t=9 5j=20 5r=9
Integración
Si luego de caminar por toda la feria de Jesús María junto con tus amigas y amigos te compraras 6
vasos de nieve todos del mismo precio y te cobraran 72 pesos, ¿Cuál sería el precio por cada vaso
de nieve? ¿Cómo lo representarías de forma gráfica? y ¿Cuál sería la ecuación que describe la
compra?
Muy bien. Luego de saber cuánto cuesta cada vaso de nieve, como saber cuánto cuesta la bolsa
de papas si compran 4 y en total les cobran 100 pesos.
La ecuación ahora quedaría así recuerda que “n” representa las nieves y “b”
representa las bolsas de papas.
Ahora tenemos una ecuación de primer grado con dos incógnitas como ya
sabes el valor de una de esas incógnitas podrás saber el valor de la otra.
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5. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Tema: Exponentes
Intensión didáctica Identificar los elementos de una relación
de exponentes y la manera de resolverlo
Información
Si multiplicaras tres veces el 2 obtendrías el valor de 8 pues esto significa 2x2x2. De igual
manera si multiplicaras 5 veces el 3 obtendrías 243 pues implica 3x3x3x3x3. A este proceso le
podemos llamar “potencia de un número” en esto ejemplos seria “la potencia de 2 a la 3 es 8” o
“la potencia de 3 a la 5 es 243”
La potencia relaciona al número y al exponente de ese número. Es decir.
3 exponente
Número 2 = 8 potencia
5 exponente
Número 3 = 243 potencia
Sobre el nacimiento del ajedrez hay muchas versiones; una de ellas, la más aceptada,
dice que el juego de ajedrez fue inventado en la India alrededor del siglo VI dC. Se le
conocía como "el juego del ejército" o "Chaturanga" y podía jugarse con dos o con
cuatro jugadores. Gracias a los viajes de los mercaderes y los comerciantes el juego
llegó primero a Persia y después fue conocido en toda Asia. Más adelante los árabes
estudiaron a profundidad el juego y se dieron cuenta que estaba muy relacionado con
las matemáticas, escribieron varios tratados sobre él y aparentemente fueron los
primeros en formalizarlo y en escribir sus reglas.
Sobre este juego existen muchas leyendas, pero sin duda una de las más famosas es la
siguiente:
"Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo en una
batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no hablaba con
nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino para que buscaran
una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos inventó un juego de estrategias, el
ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreir sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó
tan feliz con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El joven que
había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo en la primera casilla del tablero,
dos granos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y así
sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muy
tranquilo, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que
debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una gran
sorpresa:
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6. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
¡no alcanzaba todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez!"
Orientación guiada
¿Cuantos granos habrá en el noveno cuadro del tablero de ajedrez?
_________________________________________________________________________
_____.
Para calcular los granos que habrá en el séptimo cuadro, pensemos en la potencia de 2 a la
7. Sabemos que 2 es el número base y 7 es el exponente por lo que 2x2x2x2x2x2x2 nos
da como resultado 128 granos.
Las potencias de 2 se utilizan en muchas áreas, una de ellas es en la computación, pues la
capacidad del procesador, la capacidad de la memoria ram, entre otras tiene valores que
son potencia de esto número. Como ejemplo, la capacidad de la memoria ram las hay de
128, 256, 512 etc.
Casos importantes:
La potencia de un número elevado al exponente 1 siempre dará el mismo número.
1 exponente
Número 4 = 4 potencia
Es decir 4 elevado a la 1 es 4, así cualquier número que se eleve a la 1 siempre será el
mismo. Para representar cualquier número lo podemos hacer con una letra como por
ejemplo “a”
1 exponente
Número a = a potencia
La potencia de un número elevado al exponente 0 siempre dará el valor de 1.
0 exponente
Número 2 = 1 potencia
Es decir 2 elevado a la 0 es 1, siempre que eleves a la 0, no importa que número base sea
el resultado será 1. Esto se puede representar
0 exponente
Número a = 1 potencia
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7. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Completa la expresión de la potencia.
3 exponente
Número __ = 27 potencia
_ exponente
Número 4 =64 potencia
Explicitación
El concepto de potencia implica realizar multiplicaciones sucesivas de un mismo número.
Además el concepto del exponente se puede utilizar en operaciones y cada una de ellas se
resuelve tomando en cuenta algunas reglas.
Potencia de mismo número base y diferente exponente.
En una multiplicación:
se deja el mismo número base y se suman los exponentes.
4 5 4+5 9
2 x 2 =2 = 2
En la división:
se deja el mismo número base y se le cambia el signo al exponente de debajo de
manera que queda 5 -3
6
2 6-3 3
_____ =2 =2
3
2
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8. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Potencias de número base distinto y exponentes diferentes.
En una multiplicación:
se calcula la potencia de cada uno y se realiza la multiplicación.
En la división:
se calcula la potencia a cada uno y se realiza la división, sin embargo se recomienda
expresarlo en forma de quebrado si el resultado no fuera entero.
Orientación libre
Regresando al tablero de ajedrez, ¿cuál sería la cantidad de granos en el cuadro 9?
_______________________________________________________________________________
¿En cuál de los cuadros de ajedrez la cantidad de granos pasa de 1000?
_______________________________________________________________________________
¿En cuál de los cuadros del ajedrez la cantidad de granos pasa de 1000 000?
_______________________________________________________________________________
Realiza las operaciones necesarias para encontrar la respuesta.
Integración
Será fácil encontrar ahora el valor de las potencias de las siguientes cantidades.
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9. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Tema: Operaciones con quebrados
Intensión didáctica Identificar los elementos que
representan un quebrado e interpretar
las operaciones en una ecuación.
Información
Si quisiéramos que solo 1/2 del grupo resolviera el ejercicio cuantos alumnos serian si el grupo es
de 32. Pues seguramente diremos que 16 porque la mitad de 32 es 16. Es decir, que 1/2 indica
la mitad. De igual manera si sabemos que un litro de leche tiene 1000 ml entonces 1/2 de litro
de leche serian 500 ml. Es muy sencillo saber que 1/2 representa la mitad de algo. Pero también
existen otras cantidades como por ejemplo 4/5, 13/7 que podemos resolver. Lo importante es
saber lo siguiente:
numerador 1
-------- = 0.5 Cociente
denominador 2
Para calcular 1/2 de 32 lo que se hace es multiplicar el numerador por 32 y luego se divide con el
denominador. De esta manera (1)(32)/2= 16
En el caso de querer calcular 4/5 de 32 se realiza de la misma forma, es decir (4)(32) resulta 128 y
luego esto se divide entre 5 y quedaría 128/5=25.6
Orientación guiada
Pero cuántos alumnos serian 2/8 del grupo. Pues esto implica multiplicar por 2 la cantidad del
grupo (2*32) y dividir entre 8 y nos daría 8. Es decir, (2)(32) que resulta 64 y luego dividir entre 8
que resulta 8.
Cuantos alumnos serian 1/4 del grupo. Pues si lo resuelves quedaría (1)(32)/4=8.
¿Te fijas que el resultado de 2/8 y el de 1/4 tienen algo en común?
¿Por qué nos resulta lo mismo 2/8 y 1/4 al calcularlo de 32?
Explicitación
Existe el concepto de equivalentes, es decir, dos o más expresiones se escriben distintas pero
tienen el mismo valor. En este caso la cantidad de 2/8 es equivalente a 1/4 porque se reduce la
cantidad a su mínima expresión.
Ejemplo si tememos 16/64 podríamos encontrar sus equivalentes reduciendo esta cantidad.
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10. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
16 8 4 2 1
----- = ----- = ----- = ----- = ----
64 32 16 8 4
Por tanto 8/32 y 2/8 es lo mismo. Para reducir una expresión debemos dividir tanto numerador y
denominador entre el mismo número, por ejemplo se dividió entre 2 de manera que 16 entre
2 da 8 y 64 entre 2 da 32 de esta manera queda . las divisiones se realizan hasta cuando ya no
sea posible dividir tanto numerador como denominador.
Ejemplo
18 9
----- = -----
4 2
En este caso se realizaron divisiones entre 2 pero solo fue posible una vez ya que el 9 no se puede
dividir entre 2.
25 5
----- = -----
15 3
En este caso las divisiones se realizaron entre 5 y solo fue posible una vez pues el 3 ya no se
puede dividir otra vez.
Orientación libre
Como calcularías el total de manteca que doña Pancha consume para elaborar tamales si el
primer día utiliza 3 kilos, el segundo día utiliza 3/4 de lo que uso el primer día.
¿Cuánta manteca uso el primer día? __________
¿Cuánta manteca uso el segundo día? _________ ¿Cómo calcular este dato?
Si la respuesta es 5 kilos y de kilo. Comenta con tus compañeros el resultado y como es que se
llega a el.
¿Cuánto seria el total de manteca si en un tercer día consume de lo que utilizo el primer día?
Bien primero es importante saber que este día equivale a 11 kilos.
La razón de esto es que si el primer día fueron 3kilos y el tercer día fueron de este, entonces
implica que (3)(11) /3 =11kilos.
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11. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Integración
Pedro sabe que su calificación es de la calificación de Juana más 2 puntos adicionales. Si Juana
obtuvo un 8 de calificación. ____________________________________________
Celia pide a su Madre dinero para comprarse ropa, ella le da dos billetes de 200 pesos y cuatro
billetes de 100 pesos más 75 pesos en monedas, pero le dice que solo podrá gastar del dinero
que le dio. El resto será para comprarlo de pescado para comer. Si el kilo de pescado cuesta 95
pesos ______________________________________________________________
¿Cuántos kilos de pescado le traerá a su Mamá? ___________________________
¿Cuánto se pudo gastar en ropa? _______________________________________
Si en casa de Celia consumen 850grs de pescado al día, ¿para cuantos días alcanzara el pescado
que compró? ________________________________________________________
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12. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Tema: Teorema de Pitágoras
Intensión didáctica Interpretar el teorema de Pitágoras y
resolver diversos ejercicios.
Información
Una área se entiende que es la superficie medida en unidades cuadradas, ya sean metros
cuadrados, centímetros cuadrados, pulgadas cuadradas etc. Y se miden así porque cualquier
superficie la podríamos dividir en pequeños cuadros de cierta medida, por ejemplo el área de la
explanada de la prepa la podemos calcular sabiendo sus medidas, en este caso tiene 35 m de
largo por 15 de ancho por lo tanto su área es de 525 m2
Si observas estas figuras toda su área está dividida en pequeños cuadros, algunos son más
grandes que otros lo que podríamos decir que unos están divididos en metros cuadrados y otros
en centímetros cuadrados.
Dependiendo de la figura el área se calcula con distintas fórmulas, investiga cuales formulas se
necesitan para estas figuras.
Orientación guiada
Ahora dibuja o recorta tres cuadrados, el primero de 5*5cm, el segundo de 4*4cm y el tercero de
3*3cm. ¿Cuál será el área de cada uno?
Toma cada cuadrado y coloca uno de sus lados de manera que formes un triángulo recto con
ellos.
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13. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
¿Qué observas de esta figura?
¿Notas alguna relación entre las áreas de los cuadrados y el teorema de Pitágoras?
Explicitación
Bien, seguramente te quedo una figura como la anterior. Anteriormente calculaste el área de
cada cuadrado por separado y los valores sin duda fueron 5*5= 25cm2 4*4=16cm2 3*3=9cm2.
Ahora si recordamos la ecuación del teorema de Pitágoras tenemos:
Donde:
“c” representa el cuadrado de 5*5
“a” representa el cuadrado de 4*4
“b” representa el cuadrado de 3*3
De manera que si colocamos los valores en la ecuación quedaría
Ecuación de Pitágoras c2= a2 + b2
Valores de las áreas de los cuadrados 25=16+9
Esto permite comprobar el teorema de Pitágoras.
Orientación libre
¿Qué pasaría con la figura del triángulo recto si el cuadrado “c” fuera de 6*6cm?.
¿Cuál sería el valor de “c” de la ecuación c2= a2 + b2 si a=4*4cm y b=2*2cm?
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14. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
¿Podrías formar un triángulo recto con estos recuadros?
Integración
Calcula el lado faltante del triángulo.
7
___
3
4 ___
5
6 6 ___
2 ___
8.48
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15. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Tema: Perímetros
Intensión didáctica Identificar el concepto y aplicar el
proceso de solución.
Información
El perímetro de las figuras es la línea que da forma a esas figuras. Por lo tanto podemos medir esa
línea como una longitud.
En este caso el perímetro de estas figuras implica sumar las longitudes de sus lados, en el caso de
la figura del circulo se obtiene mediante un formula. Para las figuras geométricas es sencillo
determinar el perímetro.
Si observas la figura podrías determinar el valor del perímetro con solo sumar el valor de sus
lados, 3+7+7+5 = 22
3
7 7
5
Orientación guiada
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16. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Juanito y Anita se encuentran una llanta de bicicleta y se ponen a jugar haciendo que la llanta
ruede lo más lejos posible. Alex hermano de Anita regresa de clases y se pregunta si puede
calcular el perímetro de la llanta en función de las vueltas que da y la distancia que recorre.
A B
Alex se imagina el recorrido que hace la llanta desde un punto inicial hasta el punto donde se
detiene. Ahora se pone a observar cuando Anita lanza la llanta y cuanta las veces que completa
una vuelta fijándose en la válvula que tiene.
Al observar cuenta que la llanta alcanza a dar 3 vueltas y recorre aproximadamente 5 metros.
¿Cómo puede ayudar esto para saber el perímetro de la llanta?
Metros de perímetro. Luego de calcular esto, toma una cinta y mide directamente en la
llanta su perímetro y comprueba que tiene razón.
Explicitación
En el caso de la llanta Alex piensa que si cortara la llanta y la extendiera de forma lineal podría
saber su perímetro. Entonces lo que hace es dividir la distancia que recorrió entre las vueltas que
dio.
A B
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17. MATEMÁTICAS: Geometría Analítica
Orientación libre
Podría Alex determinar el perímetro de una llanta de carro que al recorrer 8 metros completa 6
vueltas? _______________________________________________________
Que tal si sabemos que el perímetro de una rueda de carreta mide 3metros, podríamos
determinar que distancia recorre con 17 vueltas. _________________________
Si Juanito recorre con su llanta toda la cuadra de la calle y lo hace completando 46 vueltas,
¿Cuánto mide el largo de la calle? ______________________________________
Integración
Ahora Alex se pregunta si puede determinar el diámetro de esa llanta. Que podremos hacer para
conocer este dato. Investiga la relación entre perímetro y diámetro para lograr saber su valor.
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