Análise combinatória

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Análise combinatória

  1. 1. Análise Combinatória
  2. 2.  O que é análise combinatória?
  3. 3.  Análise Combinatória ou simplesmente Combinatória, é o ramo da Matemática que estuda os problemas relacionados a contagem, ou seja, analisa coleções de objetos que satisfaçam critérios ou atributos específicos relacionados a contagem de objetos nessas coleções. Análise Combinatória
  4. 4.  Combinações de roupas  Placas de automóveis  Números de telefones  Competições  Premiações  Formação de grupos, comissões  Cardápios  Rotas e caminhos Análise Combinatória: Situações cotidianas
  5. 5. Problemas de Contagem  Um número de RG é composto por 10 algarismos, onde o(s) primeiro(s) algarismo(s) pode(m) ser zero. Quantos números de identidade são possíveis?
  6. 6. Problemas de Contagem  Um número de RG é composto por 10 algarismos, onde o(s) primeiro(s) algarismo(s) pode(m) ser zero. Quantos números de identidade são possíveis? = 10 possibilidades = 10.000.000.000 identidades 10
  7. 7. Problemas de Contagem  As placas de Licença de carros no Brasil consistem em sete elementos: os três primeiros são letras(A – Z) e os quatro últimos são números(0 – 9). Quantas placas de licença são possíveis?
  8. 8. Problemas de Contagem  As placas de Licença de carros no Brasil consistem em sete elementos: os três primeiros são letras(A – Z) e os quatro últimos são números(0 – 9). Quantas placas de licença são possíveis? = 26.26.26.10.10.10.10 possibilidades = 175.760.000 placas.
  9. 9.  De quantas maneiras posso escolher uma sobremesa entre duas tortas, quatro bolos e três sorvetes? Problemas de Contagem
  10. 10.  De quantas maneiras posso escolher uma sobremesa entre duas tortas, quatro bolos e três sorvetes? ↓ ↓ ↓ 2 4 3 = 2+4+3 possibilidades = 9 maneiras para escolha da sobremesa Problemas de Contagem
  11. 11. FATORIAL  O produto de dois inteiros positivos de 1 a n, inclusive, é denotado por n! ( lê-se “n fatorial”): n! = 1. 2 . 3. ...(n – 2).(n – 1).n  Em outras palavras, n! é definido por: 1! = 1 e n! = n.( n – 1) !  Também é conveniente definir 0! = 1 . (LIPSCHUTZ E LIPSON, p. 135, 2004)
  12. 12.  Princípio da regra da soma Para A e B conjuntos disjuntos, temos: n ( A ∪ B) = n (A) + n (B)  Princípio da regra do produto Para A e B, temos o produto cartesiano de A e B: n ( A x B) = n (A) x n (B) Princípio Fundamental da Contagem
  13. 13.  Princípio da Multiplicação Se existirem n1 resultados possíveis para um primeiro evento e n2 para um segundo, então existem n1 . n2 resultados possíveis para a seqüência dos dois eventos. Princípio Fundamental da Contagem  Princípio da Adição Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 resultados possíveis, respectivamente, então o número total de possibilidades para o evento “A ou B” é n1 + n2.
  14. 14. Princípio Fundamental da Contagem  Um aluno pode escolher uma entre duas camisetas da UPF, uma vermelha e uma preta, e uma entre três pastas, uma azul, uma amarela e uma verde. Quantos conjuntos diferentes o aluno pode ter?
  15. 15. Princípio Fundamental da Contagem  Um aluno pode escolher uma entre duas camisetas da UPF, uma vermelha e uma preta, e uma entre três pastas, uma azul, uma amarela e uma verde. Quantos conjuntos diferentes o aluno pode ter? = 2.3 possibilidades = 6 conjuntos
  16. 16. Princípio Fundamental da Contagem: Usando os dois princípios juntos  Um aluno pode escolher uma entre duas camisetas da UPF, uma vermelha e uma preta, e uma entre três pastas, uma azul, uma amarela e uma verde. Quantos escolhas diferentes o aluno pode fazer?
  17. 17. Princípio Fundamental da Contagem: Usando os dois princípios juntos  Um aluno pode escolher uma entre duas camisetas da UPF, uma vermelha e uma preta, e uma entre três pastas, uma azul, uma amarela e uma verde. Quantos escolhas diferentes o aluno pode fazer? = 2.3 possibilidades escolhendo primeiro a camiseta = 3.2 possibilidades escolhendo primeiro a pasta = 6 + 6 escolhas
  18. 18. Princípio Fundamental da Contagem: Usando os dois princípios juntos  Quantos inteiros de três dígitos(100 a 999) são pares?
  19. 19. Princípio Fundamental da Contagem: Usando os dois princípios juntos  Quantos inteiros de três dígitos(100 a 999) são pares? = 9.10.1 = 90 números pares que terminam em 0 Considerando, analogamente, os que terminam em 2,4,6,e 8, temos: 90 + 90 + 90 + 90 + 90 = 450 números pares
  20. 20. Problema 1: De quantas formas posso colocar em fila os alunos do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? Problemas de Análise Combinatória Problema 2: Em cada turma do ICEG será formada uma comissão composta por um coordenador, um secretário e um relator. Quantas comissões diferentes poderão ser formadas na turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)?
  21. 21. Problema 4: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três camisetas. Quantas são as possibilidades de sorteio na turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? Problemas de Análise Combinatória Problema 3: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três brindes: uma bolsa de estudos, uma camiseta e uma caneca. Quantas são as possibilidades de premiação para a turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)?
  22. 22. Problema 1: De quantas formas posso colocar em fila os alunos do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)?
  23. 23. Permutação: arranjo ordenado de objetos A solução para o problema 1(que permutou todos os n elementos do conjunto) é  Nivel VI : P5 = 5!  Nivel II : P20 = 20! Genericamente, a permutação dos n elementos de um conjunto é Pn=n!
  24. 24. Problema 2: Em cada turma do ICEG será formada uma comissão composta por um coordenador, um secretário e um relator. Quantas comissões diferentes poderão ser formadas na turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? Cada uma dessas comissões é uma permutação de 3 elementos distintos escolhidos em um conjunto de 5 elementos.
  25. 25. Permutação: arranjo ordenado de objetos A solução para o problema 2(que permutou r elementos escolhidos entre os n objetos distintos do conjunto) é Nível VI : P(5,3) = 5.4.3 = Nível II : P(20,3) = 20.19.18 = Genericamente, a permutação de r elementos de um conjunto de n elementos(ou arranjo simples) é P(n,r)= 60 !2 !2.3.4.5 )!35( !5 == − 6840 !17 !17.18.19.20 )!320( !20 == − )!( ! rn n −
  26. 26. ↓ ↓ ↓ 5 4 3 possibilidades = 5.4.3 possibilidades = = 60 possibilidades no nível VI Problema 3: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três brindes: uma bolsa de estudos, uma camiseta e uma caneca. Quantas são as possibilidades de premiação para a turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? 60 !2 !2.3.4.5 )!35( !5 == −
  27. 27. Problema 3: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três brindes: uma bolsa de estudos, uma camiseta e uma caneca. Quantas são as possibilidades de premiação para a turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? ↓ ↓ ↓ 20 19 18 possibilidades = 20.19.18 possibilidades = = 6840 possibilidades no nível II 6840 !17 !17.18.19.20 )!320( !20 == −
  28. 28. Arranjo Simples (de n elementos tomados p a p, p ≤ n, são os agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados) Num conjunto de n elementos, ao agruparmos p a p:  na primeira posição → n possibilidades  na segunda posição → (n – 1) possibilidades  na terceira posição → (n – 2) possibilidades ... ...  na p-ésima posição → n – (p – 1) possibilidades
  29. 29. Arranjo Simples - An,p Aplicando o princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é dado por: An,p = n(n – 1)(n – 2) ... [n – (p – 1)] p fatores ou An,p = n(n – 1)(n – 2) ... (n – p + 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!pn n! A !pn !pn1)p–(n...2)–1)(n–n(n A !pn !pn 1).p–(n...2)–1)(n–n(nA pn, pn, pn, − = = − −+ = = − − +=
  30. 30. Problema 4: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três camisetas. Quantas são as possibilidades de sorteio na turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? ↓ ↓ ↓ Neste caso observe que os dois agrupamentos de alunos representados ao lado não diferem um do outro, pois o brinde é o mesmo. Então não podem ser contados duas vezes.
  31. 31. Combinação Simples Assim, precisamos encontrar quantos subconjuntos com 3 elementos podemos formar com o grupo de 5 alunos. Cada combinação dessas dá origem a 6 arranjos. Isso significa que o número de arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3 é 6 vezes maior que o número de combinaçoes de 5 elementos tomados 3 a 3.
  32. 32. Combinação Simples 10 )!35(!3 !5 !3 )!35( !5 6 .6 3 3,5 3,5 3,5 3,5 3,53,5 = − = − == = = P A C A C CA
  33. 33. Combinação Simples (de n elementos tomados p a p, p ≤ n, são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados) )!(! ! )!(! ! ! )!( ! ! , , , pnp n C pnp n n pn n p A C pn pn pn − = − = − ==

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