Preparação para prova final do 2º ciclo
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Critérios de divisibilidade
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Frações
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  1. 1. Preparação para prova final do 2º ciclo Luis Carrilho www.obichinhodosaber.com
  2. 2. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 1 ÍNDICE POR TEMAS Números primos e números compostos 2 Critérios de divisibilidade 3 Decomposição em fatores primos 3 Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum 4 Potências 4 Conjuntos de números 5 Frações 6 Valores aproximados e arredondamentos 7 Operações com números racionais não negativos 8 Operações com números inteiros 9 Expressões numéricas 9 Sequências 10 Proporcionalidade direta 11 Reta, semirreta e segmento de reta 12 Ângulos 13 Polígonos 14 Perímetros e áreas 15 Sólidos geométricos 16 Volumes 17 Unidades de volume e capacidade 17 Recolha de dados 18 Representação de dados 19 Tratamento de dados 20
  3. 3. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 2 NÚMEROS Números primos e números compostos  Número primo: tem apenas dois divisores (o 1 e ele próprio)  Número composto: tem mais do que dois divisores Nota: O número 1 não é primo nem é composto. Exemplos: Divisores de 2: 2 : 1 = 2 2 : 2 = 1 - 2 tem dois divisores (1 e 2), logo é um número primo. Divisores de 3: 3 : 1 = 3 3 : 3 = 1 - 3 tem apenas dois divisores (1 e 3), logo é um número primo. Divisores de 4: 4 : 1 = 4 4 : 2 = 2 4 : 4 = 1 - 4 tem três divisores (1, 2 e 4), logo é um número composto. Divisores de 5: 5 : 1 = 5 5 : 5 = 1 - 5 tem apenas dois divisores (1 e 5), logo é um número primo. Divisores de 6: 6 : 1 = 6 6 : 2 = 3 6 : 3 = 2 6 : 6 = 1 - 6 tem quatro divisores (1, 2, 3 e 6), logo é um número composto. Divisores de 7: 7 : 1 = 7 7 : 7 = 1 - 7 tem apenas dois divisores (1 e 7), logo é um número primo.
  4. 4. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 3 Critérios de divisibilidade  Números divisíveis por 2: números pares  Números divisíveis por 3: números cuja soma dos seus algarismos é múltiplo de 3  Números divisíveis por 4: números em que os dois últimos algarismos formam um número múltiplo de 4  Números divisíveis por 5: números que terminam em 0 ou 5  Números divisíveis por 9: números cuja soma dos seus algarismos é múltiplo de 9  Números divisíveis por 10: números que terminam em 0 Exemplo: 2145: - Não é divisível por 2 porque não é par - É divisível por 3 porque a soma dos seus algarismos é múltiplo de 3 (2+1+4+5=12) - Não é divisível por 4 porque os dois últimos algarismos (45) não formam um número múltiplo de 4 - É divisível por 5 porque termina em 5 - Não é divisível por 9 porque a soma dos seus algarismos não é múltiplo de 9 (2+1+4+5=12) - Não é divisível por 10 porque não termina em 0 Decomposição em fatores primos Para decompor um número em fatores primos, começamos a dividi-lo pelo seu divisor primo mais baixo. De seguida, divide-se o quociente obtido pelo seu divisor primo mais baixo, e assim sucessivamente até chegar ao 1. Exemplo: 630 = 2 × 32 × 5 × 7
  5. 5. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 4 Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum  Máximo divisor comum: fatores comuns de menor expoente  Mínimo múltiplo comum: fatores comuns de maior expoente e fatores não comuns Exemplo: 10500 = 22 × 3 × 53 × 7 504 = 23 × 32 × 7 - m.d.c. (10500,504) = 22 × 3 × 7 = 84 - m.m.c. (10500,504) = 23 × 32 × 7 × 53 = 63000 Potências Numa multiplicação de potências:  Com bases iguais: somam-se os expoentes e base mantém-se igual  Com expoentes iguais: multiplicam-se as bases e o expoente mantém- se igual Numa divisão de potências:  Com bases iguais: subtraem-se os expoentes e base mantém-se igual  Com expoentes iguais: dividem-se as bases e o expoente mantém-se igual Potência de potência:  Multiplicam-se os expoentes e a base mantém-se igual. Exemplos: 45 × 43 = 48 45 × 25 = 85 45 : 43 = 42 45 : 25 = 25 (43)2 = 46
  6. 6. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 5 Conjuntos de números  Naturais: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}  Inteiros: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}  Racionais: {números inteiros} U {números fracionários} Nota: Um número fracionário é um número decimal que pode ser representado por uma fração. Para saber se um número é fracionário verificamos se é uma dízima finita ou dizíma infinita não periódica. Exemplos: 2145 - É número natural (porque é superior a 0 e não tem parte decimal) - É número inteiro (porque não tem parte decimal) - É número racional (porque é número inteiro) 0 - Não é número natural (porque é inferior a 1) - É número inteiro (porque não tem parte decimal) - É número racional (porque é um número inteiro) -45 - Não é número natural (porque é inferior a 1) - É número inteiro (porque não tem parte decimal) - É número racional (porque é um número inteiro) 2,145 - Não é número natural (porque tem parte decimal) - Não é número inteiro (porque tem parte decimal) - É número racional (porque é um número fracionário – dizíma finita) -21,(45) = 21,4545454545... - Não é número natural (porque tem parte decimal) - Não é número inteiro (porque tem parte decimal) - É número racional (porque é um número fracionário – dizíma infinita periódica) -21,45135781548... - Não é número natural (porque tem parte decimal) - Não é número inteiro (porque tem parte decimal) - Não é número racional (porque é um número irracional – dizíma infinita não periódica)
  7. 7. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 6 Frações As frações são números racionais representados sob a forma de quociente entre dois números inteiros. Podem representar uma parte de um todo. Fração como parte de um todo Um terço de 1200: Frações equivalentes Para obter frações equivalentes:  Multiplicam-se ou dividem-se os numeradores e denominadores pelo mesmo número Exemplo: - neste caso multiplicaram-se o numerador e o denominador por 2 Forma irredutível Para colocar uma fração na forma irredutível:  Dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum Exemplo: - neste caso o maior divisor comum entre numerador e denominador era o 5, logo dividiram-se o numerador e o denominador por 5 1200 400
  8. 8. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 7 Comparação de frações Comparar frações:  Se tiverem o mesmo denominador, a fração maior é a que tem maior numerador  Se tiverem o mesmo numerador, a fração maior é a que tem menor denominador  Se tiverem numeradores e denominadores diferentes, obtêm-se frações equivalentes de forma a ter numeradores ou denominadores iguais e seguem-se as regras anteriormente descritas Exemplos: ,porque e Valores aproximados e arredondamentos Valores aproximados:  Por defeito: não se acrescenta nada ao último algarismo  Por excesso: acrescenta-se 1 ao último algarismo Arredondamentos:  Se o algarismo seguinte ao último for inferior a 5: não se acrescenta nada ao último algarismo  Se o algarismo seguinte ao último for igual ou superior a 5: acrescenta- se 1 ao último algarismo Exemplos: 145,253789456448... - valor aproximado por defeito às unidades: 145 (5+0) - valor aproximado por excesso às unidades: 146 (5+1) - arredondamento às unidades: 145 (5+0, porque o algarismo seguinte (2)é inferior a 5)
  9. 9. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 8 ÁLGEBRA Operações com números racionais não negativos  Na adição: o Se as frações não tiverem o mesmo denominador, primeiro deve- se obter frações equivalentes igualando os denominadores o De seguida, somam-se os numeradores  Na subtração: o Se as frações não tiverem o mesmo denominador, primeiro deve- se obter frações equivalentes igualando os denominadores o De seguida, subtraem-se os numeradores  Na multiplicação: o Multiplicam-se o numerador da primeira fração com o numerador da segunda, e o mesmo se faz com os denominadores (não é necessário denominadores iguais)  Na divisão: o Multiplica-se a primeira fração com o inverso da segunda  Potência: o Multiplica-se o numerador e o denominador o número de vezes indicado pelo expoente Exemplos: ( )
  10. 10. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 9 Operações com números inteiros Quando aparecem dois sinais juntos (+ ou -), deve-se fazer a simplificação da escrita:  Se aparecerem sinais diferentes ( - + ou + -): o Passam a –  Se aparecerem sinais iguais (+ + ou - -): o Passam a + Exemplos: 4 + 2 = 6 -4 + 2 = -2 4 + (-2) = 4 – 2 = 2 -4 + (-2) = -4 – 2 = -6 4 - 2 = 2 -4 - 2 = -6 4 - (-2) = 4 + 2 = 2 -4 - (-2) = -4 + 2 = -6 4 × 2 = 8 -4 × 2 = -8 4 × (-2) = -8 -4 × (-2) = 8 4 ÷ 2 = 2 -4 ÷ 2 = -2 4 ÷ (-2) = -2 -4 ÷ (-2) = 2 Expressões numéricas 1. Resolvem-se as potências 2. Resolve-se o que está dentro de parenteses 3. Resolvem-se as multiplicações e divisões pela ordem em que aparecem 4. Resolvem-se as adições e subtrações pela ordem em que aparecem Exemplo: 42 + (2 + 1 × 3) × 4 – 2 ÷ 2 = = 16 + (2 + 1 × 3) × 4 – 2 ÷ 2 = = 16 + (2 + 3) × 4 – 2 ÷ 2 = = 16 + 5 × 4 – 2 ÷ 2 = = 16 + 20 – 2 ÷ 2 = = 16 + 20 – 1 = = 36 – 1 = = 35
  11. 11. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 10 Sequências A cada número de uma sequência chama-se termo e a posição que ocupa na sequência chama-se ordem (n). É possível descobrir qualquer termo de uma sequência sabendo o seu termo geral. Exemplos de termos gerais de sequências: 2, 6, 8, 10, 12, ... 2n (de 2 em 2) 3, 6, 9, 12, 15, ... 3n (de 3 em 3) 4, 7, 10, 13, 16, ... 3n + 1 (de 3 em 3 e começa no 4) 1, 2, 3, 4, 5, ... n (de 1 em 1) 0, 1, 2, 3, 4, ... n - 1 (de 1 em 1 e começa no 0) -10, -20, -30, -40, -50, ... -10n (de -10 em -10) 5, 0, -5, -10, -15, ... -5n + 10 (de -5 em -5 e começa no 5) 1, 4, 9, 16, 25, ... n2 (quadrados perfeitos) 1, 8, 27, 64, 125, ... n3 (cubos perfeitos) Exemplo de como se descobre os termos de uma sequência através do seu termo geral: Termo geral: 2 × (n + 10) 1º termo (n = 1): 2 × (1 + 10)= 2 × 11 = 22 2º termo (n = 2): 2 × (2 + 10)= 2 × 12 = 24 3º termo (n = 3): 2 × (3 + 10)= 2 × 13 = 26 10º termo (n = 10): 2 × (10 + 10)= 2 × 20 = 40
  12. 12. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 11 Proporcionalidade direta Razão Uma razão é o quociente entre duas grandezas. Exemplo: Razão entre o número de bolas verdes e o número total de bolas: - neste caso 2 é o antecedente e 5 é o consequente Proporção Uma proporção é uma igualdade entre razões. Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extermos (lei fundamental das proporções). Exemplo: - neste caso 2 e 10 são os extremos,5 e 4 são os meios Constante de proporcionalidade Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então existe uma constante de proporcionalidade. Exemplo: x 1 2 3 y 5 10 15 5 ÷ 1 = 5 ; 10 ÷ 2 = 5 ; 15 ÷ 3 = 5 - neste caso a constante de proporcionalidade é 5, sendo assim as grandezas x e y são diretamente proporcionais
  13. 13. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 12 GEOMETRIA Reta, semirreta e segmento de reta Reta Uma reta não tem princípio nem fim Exemplo: Reta AB ou reta s Semirreta Uma semirreta tem princípio mas não tem fim Exemplo: Semirreta AB Segmento de reta Um segmento de reta tem princípio e fim Exemplo: Segmento de reta [AB] A B s A B A B
  14. 14. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 13 Ângulos Classificação de ângulos Pares de ângulos 90º > 90º < 90º Ângulo reto Ângulo agudoÂngulo obtuso 360º 180º Ângulo raso Ângulo giro Ângulos alterno internos a = b Ângulos verticalmente opostos a = b Ângulos complementares a + b = 180º Ângulos complementares a + b = 90º b a a a a b b b
  15. 15. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 14 Polígonos Um polígono é um conjunto de segmentos de reta interligados entre si. Classificação de polígonos Os polígonos podem ser classificados quanto ao número de lados:  Triângulos: 3 lados  Quadriláteros: 4 lados  Pentágonos: 5 lados  Hexágonos: 6 lados  Heptágonos: 7 lados  Octógonos: 8 lados  Eneágonos: 9 lados  Decágonos: 10 lados Polígonos regulares Um polígono regular tem os lados e os ângulos todos iguais. Classificação de triângulos Os triângulos podem ser classificados de duas formas:  Quanto aos lados: o Equilátero (lados todos iguais) o Isósceles (2 lados iguais) o Escaleno lados todos diferentes)  Quanto aos ângulos: o Retângulo (um ângulo reto) o Obtusângulo (um ângulo obtuso) o Acutângulo (três angulos agudos) A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º.
  16. 16. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 15 Perímetros e áreas Quadrado Retângulo Triângulo Círculo l c l b l1 l2 a d r A = c × l P = c + l + c + l A = l × l P = l + l + l + l A = P = b + l1 + l2 A = π × r2 P = π × d
  17. 17. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 16 Sólidos geométricos Poliedros Os poliedros têm apenas faces planas:  Prismas: têm 2 bases e faces laterais retangulares o Prisma triangular (bases triangulares) o Prisma quadrangular (bases quadrangulares) o Prisma pentagonal (bases pentagonais) o ...  Pirâmides: têm 1 base e faces laterais triangulares o Pirâmide triangular (base triangular) o Pirâmide quadrangular (base quadrangular) o Pirâmide pentagonal (base pentagonal) o ... Não poliedros Os não poliedros têm pelo menos uma face curva:  Cilindro: 2 bases e 1 superfície curva  Cone: 1 base e 1 superfície curva  Esfera: 1 superfície curva Planificação do cilindro π × d (perímetro da base) d altura do sólido
  18. 18. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 17 Volumes Cubo Paralelopípedo Cilindro Unidades de volume e capacidade  Volume: Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3  Capacidade: Kl hl dal l dl cl ml m3 = kl dm3 = l cm3 = ml V = a × a × a a a l c V = c × l × a V = π × r2 × a a r
  19. 19. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 18 ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS Recolha de dados População/amostra e censo/sondagem Quando se realiza um estudo, podemos retirar os dados de toda a população (sobre o quê ou quem se faz o estudo), ou então retiramos os dados de uma amostra (parte da população) para se tirarem conclusões sobre o geral. Num estudo pode-se então realizar:  Um censo: quando se retiram os dados de toda a população  Uma sondagem: quando se retiram dados a partir de uma amostra Exemplos: Pretende-se saber o número de irmãos dos alunos de uma escola. Fez-se um inquérito a 10 alunos de cada turma. - neste caso a população são os alunos da escola e foi utilizada uma amostra para o estudo (os 10 alunos de cada turma que responderam ao inquérito), sendo portanto uma sondagem. Natureza dos dados A variável é sobre o que se estuda. Podemos classificá-la como:  Qualitativa: se se refere a qualidades (os dados são expressos por palavras)  Quantitativa: se se refere a uma quantidade (os dados são expressos por números) o Discreta: quantidade através de contagem o Contínua: quantidade através de medição Exemplos: Cor dos olhos – variável qualitativa Número de irmãos – variável quantitativa discreta Altura – variável quantitativa contínua
  20. 20. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 19 Representação de dados Tabela de frequências  Frequência absoluta: número de vezes que se repete um dado  Frequêcia relativa: quociente entre frequência absoluta e o número total de dados Exemplo:  População: alunos do 5ºB  Variável: notas a matemática  Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3 Notas fa fr Fr (%) 1 1 5 % (0,05 × 100) 2 6 30 % (0,3 × 100) 3 6 30 % (0,3 × 100) 4 6 30 % (0,3 × 100) 5 1 5 % (0,05 × 100) Total 20 1 100 % Gráficos 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 1 5% 2 30% 3 30% 4 30% 5 5% Gráfico de barras Gráfico circular
  21. 21. PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA www.obichinhodosaber.com 20 Diagrama de caule-e-folhas Quando os dados têm dois ou mais algarismos podem ser representados através de um diagrama de caule-e-folhas Exemplo:  População: alunos do 5ºB  Variável: altura (cm)  Dados: 148, 153, 149, 155, 158, 142, 168, 147, 152, 161, 148, 155, 168, 172, 165, 142, 146, 154, 163, 157 14 2 2 6 7 8 8 9 15 2 3 4 5 5 7 8 16 1 3 5 8 8 17 2 Tratamento de dados  Moda: dado que aparece mais vezes  Média: quociente entre a soma de todos os dados e o número total de dados  Extremos: valor mínimo e valor máximo  Amplitude: Diferença entre o valor máximo e o valor mínimo Nota: a média, os extremos e a amplitude só se verificam quando temos uma variável quantitativa. Exemplo:  População: alunos do 5ºB  Variável: notas a matemática  Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3 Moda: 2, 3 e 4 Média: Mínimo: 1 Máximo: 5 Amplitude: 5 – 1 = 4

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