1) El documento habla sobre líneas, ángulos y sus propiedades en geometría. Describe líneas rectas, curvas y poligonales, así como conceptos de ángulos como vértice, lados y medición. 2) Explica relaciones entre líneas paralelas y secantes y clasificaciones de ángulos. 3) Incluye ejemplos de problemas resueltos sobre ángulos.

1. MATEMÁTICA GEOMETRÍA

2. LÍNEAS Una línea es una sucesión de puntos del plano Las líneas pueden ser: Rectas Curvas Abiertas Cerradas

3. LÍNEAS RECTAS Una línea recta es una sucesión de puntos del plano situados en la misma dirección y que no tiene principio ni final. Una semirrecta es parte de la recta limitada por un punto. Un segmento es una parte de la recta limitada por dos puntos.

4. RELACIONES ENTRE LÍNEAS RECTAS Dependiendo de su situación una línea recta con respecto a otra puede ser: Paralelas Secantes Perpendiculares

5. Cuando situamos varios segmentos uno a continuación de otro formamos una línea poligonal LÍNEAS POLIGONALES

6. UN PLANO Imagina una hoja como ésta, pero infinitamente grande, en donde no hubiera límites o bordes; es algo muy difícil de imaginar, porque algo así no existe en la realidad. Pero si existe en la “imaginación” de la Geometría, pues eso sería UN PLANO . ¿ Y por qué son tan importantes los planos ? Pues para entender e imaginar los demás elementos geométricos que se estudiarás en este curso y en cursos venideros , dado que casi todos ellos nos los tenemos que imaginar dentro de un plano: las rectas, los segmentos, los puntos, los ángulos, etc.

7. ANGULOS TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

8. Los ángulos Al trazar dos rectas secantes (rectas que se cortan) , el plano queda dividido en cuatro zonas. Cada una de ellas es un ángulo . 1 2 3 4

9. Elementos de un ángulo Lado Lado Vértice Abertura o Amplitud

10. ANGULO .-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO:  LADO LADO VÉRTICE  Medida del Angulo convexo Medida del Angulo cóncavo O A B

11. Medición de ángulos ( I ) Los ángulos, igual que otras cosas también se pueden medir, pero lo hacemos utilizando como unidad, otro ángulo muy pequeño al que llamamos grado, igual que las rectas o las carreteras se miden en metros, en kilómetros, etc. También se mide tu peso en kilogramos o la cantidad de refresco que te tomas, en litros, centilitros, etc. ¿ Por qué se ha utilizado esta medida exacta ? Porque es la que resulta de dividir una circunferencia en 360 partes iguales. Cada una , es un GRADO .

12. Medición de ángulos ( II ) Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Observa en la siguiente figura que dos semirrectas con un origen común , determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Al ángulo A se le llama ángulo convexo , mientras que el ángulo B recibe el nombre de cóncavo .

13. Para medir la amplitud o medida de un ángulo, se utiliza un instrumento llamado transportador de ángulos o limbo graduado . Tiene forma de semicírculo y mide 180 grados. Tiene una marca horizontal y otra vertical cuya intersección debe coincidir con el vértice del ángulo que deseamos medir , la línea horizontal coincidirá con uno de los lados , mientras que el otro lado pasará por una cifra o marca que nos indicará su amplitud. Así si pasa por la marca 60 grados y cinco rayitas nuestro ángulo medirá 65 grados Medida de ángulos ( III )

14. Transportador de ángulos

15. Clases de ángulos

16.  0º <  < 180º 0º <  < 90º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA a) ÁNGULO CONVEXO a.1) ÁNGULO AGUDO 

17.  = 90º 90º <  < 180º a.2) ÁNGULO RECTO a.3) ÁNGULO OBTUSO  

18.    = 90º  +  = 180º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS    

19. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son congruentes Puede formar más ángulos Un lado común       

20. 01. Ángulos alternos internos: m  3 = m  5; m  4 = m  6 02. Ángulos alternos externos: m  1 = m  7; m  2 = m  8 03. Ángulos conjugados internos: m  3+m  6=m  4+m  5=180° 04. Ángulos conjugados externos: m  1+m  8=m  2+m  7=180° 05. Ángulos correspondientes: m  1 = m  5; m  4 = m  8 m  2 = m  6; m  3 = m  7 ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 1 2 3 4 5 6 7 8

21.  +  +  = x + y 01.- Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS    x y

22.  +  +  +  +  = 180° 02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS     

23.  +  = 180° 03 .- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES  

24. PROBLEMAS RESUELTOS

25. El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 180° - X 90° - X 90° - X 2 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X 2X = 180° X = 90° RESOLUCIÓN Problema Nº 01 La estructura según el enunciado: Desarrollando se obtiene: Luego se reduce a:

26. La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. Sean los ángulos:  y   +  = 80° Dato:  = 80° -  ( 90° -  ) = 2  Reemplazando (1) en (2): ( 90° -  ) = 2 ( 80° -  ) 90° -  = 160° -2   = 10°  -  = 70°-10° = 60° Problema Nº 02 RESOLUCIÓN Dato: Diferencia de las medidas Resolviendo ( 1 ) ( 2 )  = 70°

27. La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. Sean los ángulos:  y  ( 90° -  ) ( 90° -  ) = 130° + ( 180° -  ) ( 180° -  ) = 10° - Resolviendo: (1) y (2)  +  = 50°  -  = 10° 2  = 60°  = 30°  = 20° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN Del enunciado: Del enunciado:  +  = 50° ( 1 )  -  = 10° ( 2 ) (+)

28. Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. De la figura:  = 60° - 20° Luego: X = 40° - 20°  = 40° X = 20° Problema Nº 04 RESOLUCIÓN A B O C M   60° 20° X

29. La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. (  + X) (  - X) = 30º 2X=30º X = 15° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado Del enunciado: AOB - OBC = 30° - Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica A O B C   X (  - X) M

30. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m  AOC = m  BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. De la figura: 2  +  = 90°  + 2  = 90° 2  + 2  + 2  = 180°  +  +  = 90° X =  +  +  X = 90° Problema Nº 06 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado A C B D M N      X ( + )

31. Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” Problema Nº 07 80° 30°     X m n

32. 2  + 2  = 80° + 30° Por la propiedad Propiedad del cuadrilátero cóncavo Reemplazando (1) en (2) 80° = 55° + X X = 25° RESOLUCIÓN  +  = 55° (1) 80° =  +  + X (2) 80° 30°     X m n

33. Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X” Problema Nº 08 5  4  65° X m n

34. Por la propiedad: 4  + 5  = 90°  = 10° Ángulo exterior del triángulo 40° 65° X = 40° + 65° X = 105° RESOLUCIÓN 5  4  65° X m n

35. Problema Nº 01 Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”  2  x m n  2 

36. 3  + 3  = 180°  +  = 60° Ángulos entre líneas poligonales X =  +  X = 60° RESOLUCIÓN x Ángulos conjugados internos  2  x m n  2 

37. PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS

38. PROBLEMA 01.- Si L 1 // L 2 . Calcule la m  x A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° x     4x 3x L 1 L 2

39. PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m  x A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48° m n 30° X

40. PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m   A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45° 3  3  3   m n

41. PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x” A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30° 40° 95°   2x m n

42. PROBLEMA 05.- Calcule la m  x A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120° 3  6  x

43. PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m  x A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°  4  4   X m n

44. A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45° PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m  x 88° 24° x     m n

45. PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m  x A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30° 20° 30° X m n

46. PROBLEMA 09.- Si m//n y  -  = 80°. Calcule la m  x A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°   x   m n

47. PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m  x A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60° x x x m n

48. PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m   A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60° 180°-2   2  m n

49. PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m  x A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°     x 80° m n

50. PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m  x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° 80°     m n x