Slides de ma défense de mémoire, 2008

1. Mod´elisation du processus de mesure en m´ecanique
quantique
Bertrand de Prelle de la Nieppe
M´emoire r´ealis´e sous la direction de Pierre Gaspard
(Universit´e Libre de Bruxelles) 1 / 12

2. But du m´emoire
Envisager la localisation spatiale
d’un ´electron incident dans un solide,
sans faire appel au postulat de projection.
(Universit´e Libre de Bruxelles) 2 / 12

3. But du m´emoire
Envisager la localisation spatiale
d’un ´electron incident dans un solide,
sans faire appel au postulat de projection.
postulat de projection :
Lors d’une mesure, l’´etat du syst`eme est projet´e (c`ad. localis´e)
sur un ´etat propre de l’observable mesur´ee.
(Universit´e Libre de Bruxelles) 2 / 12

4. But du m´emoire
Envisager la localisation spatiale
d’un ´electron incident dans un solide,
sans faire appel au postulat de projection.
postulat de projection :
Lors d’une mesure, l’´etat du syst`eme est projet´e (c`ad. localis´e)
sur un ´etat propre de l’observable mesur´ee.
illustration :
(Universit´e Libre de Bruxelles) 2 / 12

5. But du m´emoire
Envisager la localisation spatiale
d’un ´electron incident dans un solide,
sans faire appel au postulat de projection.
postulat de projection :
Lors d’une mesure, l’´etat du syst`eme est projet´e (c`ad. localis´e)
sur un ´etat propre de l’observable mesur´ee.
illustration :
(Universit´e Libre de Bruxelles) 2 / 12

6. But du m´emoire
Envisager la localisation spatiale
d’un ´electron incident dans un solide,
sans faire appel au postulat de projection.
postulat de projection :
Lors d’une mesure, l’´etat du syst`eme est projet´e (c`ad. localis´e)
sur un ´etat propre de l’observable mesur´ee.
illustration :
(Universit´e Libre de Bruxelles) 2 / 12

7. But du m´emoire
Envisager la localisation spatiale
d’un ´electron incident dans un solide,
sans faire appel au postulat de projection.
postulat de projection :
Lors d’une mesure, l’´etat du syst`eme est projet´e (c`ad. localis´e)
sur un ´etat propre de l’observable mesur´ee.
illustration :
(Universit´e Libre de Bruxelles) 2 / 12

8. But du m´emoire
Envisager la localisation spatiale
d’un ´electron incident dans un solide,
sans faire appel au postulat de projection.
postulat de projection :
Lors d’une mesure, l’´etat du syst`eme est projet´e (c`ad. localis´e)
sur un ´etat propre de l’observable mesur´ee.
illustration :
(Universit´e Libre de Bruxelles) 2 / 12

9. But du m´emoire
Envisager la localisation spatiale
d’un ´electron incident dans un solide,
sans faire appel au postulat de projection.
postulat de projection :
Lors d’une mesure, l’´etat du syst`eme est projet´e (c`ad. localis´e)
sur un ´etat propre de l’observable mesur´ee.
illustration :
(Universit´e Libre de Bruxelles) 2 / 12

10. But du m´emoire
Envisager la localisation spatiale
d’un ´electron incident dans un solide,
sans faire appel au postulat de projection.
postulat de projection :
Lors d’une mesure, l’´etat du syst`eme est projet´e (c`ad. localis´e)
sur un ´etat propre de l’observable mesur´ee.
illustration :
(Universit´e Libre de Bruxelles) 2 / 12

11. But du m´emoire
Envisager la localisation spatiale
d’un ´electron incident dans un solide,
sans faire appel au postulat de projection.
postulat de projection :
Lors d’une mesure, l’´etat du syst`eme est projet´e (c`ad. localis´e)
sur un ´etat propre de l’observable mesur´ee.
illustration :
(Universit´e Libre de Bruxelles) 2 / 12

12. Le mod`ele
(Universit´e Libre de Bruxelles) 3 / 12

13. (Universit´e Libre de Bruxelles) 4 / 12

14. (Universit´e Libre de Bruxelles) 4 / 12

15. (Universit´e Libre de Bruxelles) 4 / 12

16. 0E
0−π π
q
(Universit´e Libre de Bruxelles) 5 / 12

17. 0E
0−π π
q
0 1
R(E)
(Universit´e Libre de Bruxelles) 5 / 12

18. 0E
0−π π
q fonctions
de Bloch
de la 1`ere bande
(Universit´e Libre de Bruxelles) 5 / 12

19. 0E
0−π π
q fonctions
de Bloch
de la 1`ere bande
fonction propre atomique li´ee
≡ fonction-site
(Universit´e Libre de Bruxelles) 5 / 12

20. 0E
0−π π
q fonctions
de Bloch
de la 1`ere bande
fonction propre atomique li´ee
≡ fonction-site
(Universit´e Libre de Bruxelles) 5 / 12

21. 0E
0−π π
q fonctions
de Bloch
de la 1`ere bande
fonction propre atomique li´ee
≡ fonction-site
(Universit´e Libre de Bruxelles) 5 / 12

22. (Universit´e Libre de Bruxelles) 6 / 12

23. (Universit´e Libre de Bruxelles) 6 / 12

24. (Universit´e Libre de Bruxelles) 6 / 12

25. (Universit´e Libre de Bruxelles) 6 / 12

26. Perte d’´energie dans la chaˆıne
⇒ l’´etat s’exprime comme une superposition de fonctions-sites.
(Universit´e Libre de Bruxelles) 6 / 12

27. Perte d’´energie dans la chaˆıne
⇒ l’´etat s’exprime comme une superposition de fonctions-sites.
?
Dans ce m´emoire on tente de
mettre en ´evidence
un ph´enom`ene de localisation
(Universit´e Libre de Bruxelles) 6 / 12

28. ?
Dans ce m´emoire on tente de
mettre en ´evidence
un ph´enom`ene de localisation
Le probl`eme est pos´e :
condition
initiale
(Universit´e Libre de Bruxelles) 6 / 12

29. ?
Dans ce m´emoire on tente de
mettre en ´evidence
un ph´enom`ene de localisation
Le probl`eme est pos´e :
condition
initiale
(Universit´e Libre de Bruxelles) 7 / 12

30. Htot = H´electron + H´electron-vibration + Hcin´etique vibration

31. Htot = H´electron + H´electron-vibration + Hcin´etique vibration






δ E0 δ
δ E0 δ
δ E0 δ






,
0
0

32. Htot = H´electron + H´electron-vibration + Hcin´etique vibration






δ E0 δ
δ E0 δ
δ E0 δ






,
0
0
|l|l−1 |l+1

33. Htot = H´electron + H´electron-vibration + Hcin´etique vibration






δ E0 δ
δ E0 δ
δ E0 δ






,
0
0
|l|l−1 |l+1
X
ωk
„
ˆaj†
k ˆaj
k +
1
2
«

34. Htot = H´electron + H´electron-vibration + Hcin´etique vibration






δ E0 δ
δ E0 δ
δ E0 δ






,
0
0
|l|l−1 |l+1






0
0
0






,
0
0
op´erateurs ´elongations
op´erateurs ´elongations
X
ωk
„
ˆaj†
k ˆaj
k +
1
2
«

35. Htot = H´electron + H´electron-vibration + Hcin´etique vibration






δ E0 δ
δ E0 δ
δ E0 δ






,
0
0
|l|l−1 |l+1






0
0
0






,
0
0
op´erateurs ´elongations
op´erateurs ´elongations
X
ωk
„
ˆaj†
k ˆaj
k +
1
2
«
i
d
dt
|ψtot = ˆHtot |ψtot
(Universit´e Libre de Bruxelles) 8 / 12

36. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

37. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

38. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
ρe- = trb ρtot
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

39. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
ρe- = trb ρtot
˙ρtot = −i [Htot , ρtot ]
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

40. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
ρe- = trb ρtot
˙ρtot = −i [Htot , ρtot ]
⇒ ρe- (t) eLR
e- t
ρe- (0)
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

41. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
ρe- = trb ρtot
˙ρtot = −i [Htot , ρtot ]
⇒ ρe- (t) eLR
e- t
ρe- (0)
|ψtot =
P
n |φe-
n ⊗|χb
n
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

42. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
ρe- = trb ρtot
˙ρtot = −i [Htot , ρtot ]
⇒ ρe- (t) eLR
e- t
ρe- (0)
|ψtot =
P
n |φe-
n ⊗|χb
n
ˆPb
n × i d
dt
|ψtot = ˆPb
n × ˆHtot |ψtot
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

43. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
ρe- = trb ρtot
˙ρtot = −i [Htot , ρtot ]
⇒ ρe- (t) eLR
e- t
ρe- (0)
|ψtot =
P
n |φe-
n ⊗|χb
n
ˆPb
n × i d
dt
|ψtot = ˆPb
n × ˆHtot |ψtot
⇒ ´equation stochastique pour φe-
n
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

44. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
ρe- = trb ρtot
˙ρtot = −i [Htot , ρtot ]
⇒ ρe- (t) eLR
e- t
ρe- (0)
|ψtot =
P
n |φe-
n ⊗|χb
n
ˆPb
n × i d
dt
|ψtot = ˆPb
n × ˆHtot |ψtot
⇒ ´equation stochastique pour φe-
n
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

45. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
ρe- = trb ρtot
˙ρtot = −i [Htot , ρtot ]
⇒ ρe- (t) eLR
e- t
ρe- (0)
|ψtot =
P
n |φe-
n ⊗|χb
n
ˆPb
n × i d
dt
|ψtot = ˆPb
n × ˆHtot |ψtot
⇒ ´equation stochastique pour φe-
n
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

46. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
ρe- = trb ρtot
˙ρtot = −i [Htot , ρtot ]
⇒ ρe- (t) eLR
e- t
ρe- (0)
|ψtot =
P
n |φe-
n ⊗|χb
n
ˆPb
n × i d
dt
|ψtot = ˆPb
n × ˆHtot |ψtot
⇒ ´equation stochastique pour φe-
n
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

47. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
on ne regarde pas une propri´et´e parti-
culi`ere du bain
on regarde l’´etat de la particule conjointe-
ment `a un ´etat de vibration de la chaˆıne
ρe- = trb ρtot
˙ρtot = −i [Htot , ρtot ]
⇒ ρe- (t) eLR
e- t
ρe- (0)
|ψtot =
P
n |φe-
n ⊗|χb
n
ˆPb
n × i d
dt
|ψtot = ˆPb
n × ˆHtot |ψtot
⇒ ´equation stochastique pour φe-
n
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

48. 2 fa¸cons de consid´erer l’´evolution temporelle de la particule
´ev´enement par ´ev´enement en moyenne statistique
ρe- (t) eLR
e- t
ρe- (0)´equation stochastique pour φe-
n
Moyenne stochastique
M |φe-
n (t) φe-
n (t)| ρe- (t)
(Universit´e Libre de Bruxelles) 9 / 12

49. R´esultats num´eriques : ´evolution temporelle de la particule
sans couplage avec les vibrations avec couplage avec les vibrations
(Universit´e Libre de Bruxelles) 10 / 12

50. R´esultats num´eriques : ´evolution temporelle de la particule
sans couplage avec les vibrations avec couplage avec les vibrations
condition initiale = superposition d’ondes de Bloch
espace
temps
probabilit´e de
pr´esence
{ρii(t)}
(Universit´e Libre de Bruxelles) 10 / 12

51. R´esultats num´eriques : ´evolution temporelle de la particule
sans couplage avec les vibrations avec couplage avec les vibrations
condition initiale = superposition d’ondes de Bloch
espace
temps
probabilit´e de
pr´esence
{ρii(t)}
condition initiale = onde de Bloch (uniforme)
0
0.02
0.04
0.05
0.06
0 50 100 150 200
Ιm( ρ1,20 ) = - Ιm( ρ1,2 )
Ιm( ρ1,4 ) = - Ιm( ρ1,18 )
Ιm( ρ1,16 ) = - Ιm( ρ1,6 )
Ιm( ρ1,8 ) = - Ιm( ρ1,14 )
Ιm( ρ1,12 ) = - Ιm( ρ1,10 )
ρi=j(t)
t
coh´erence
(Universit´e Libre de Bruxelles) 10 / 12

52. R´esultats num´eriques : ´evolution temporelle de la particule
sans couplage avec les vibrations avec couplage avec les vibrations
condition initiale = superposition d’ondes de Bloch
espace
temps
probabilit´e de
pr´esence
{ρii(t)}
temps
espace
condition initiale = onde de Bloch (uniforme)
0
0.02
0.04
0.05
0.06
0 50 100 150 200
Ιm( ρ1,20 ) = - Ιm( ρ1,2 )
Ιm( ρ1,4 ) = - Ιm( ρ1,18 )
Ιm( ρ1,16 ) = - Ιm( ρ1,6 )
Ιm( ρ1,8 ) = - Ιm( ρ1,14 )
Ιm( ρ1,12 ) = - Ιm( ρ1,10 )
ρi=j(t)
t
coh´erence
(Universit´e Libre de Bruxelles) 10 / 12

53. R´esultats num´eriques : ´evolution temporelle de la particule
sans couplage avec les vibrations avec couplage avec les vibrations
condition initiale = superposition d’ondes de Bloch
espace
temps
probabilit´e de
pr´esence
{ρii(t)}
temps
espace
condition initiale = onde de Bloch (uniforme)
0
0.02
0.04
0.05
0.06
0 50 100 150 200
Ιm( ρ1,20 ) = - Ιm( ρ1,2 )
Ιm( ρ1,4 ) = - Ιm( ρ1,18 )
Ιm( ρ1,16 ) = - Ιm( ρ1,6 )
Ιm( ρ1,8 ) = - Ιm( ρ1,14 )
Ιm( ρ1,12 ) = - Ιm( ρ1,10 )
ρi=j(t)
t
coh´erence
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 50 100 150 200
Ιm( ρ1,20 ) = - Ιm( ρ1,2 )
Ιm( ρ1,4 ) = - Ιm( ρ1,18 )
Ιm( ρ1,16 ) = - Ιm( ρ1,6 )
Ιm( ρ1,8 ) = - Ιm( ρ1,14 )
Ιm( ρ1,12 ) = - Ιm( ρ1,10 )
ρi=j(t)
t
(Universit´e Libre de Bruxelles) 10 / 12

54. R´esultats num´eriques : ´evolution temporelle de la particule
`a fort couplage avec les vibrations
(Universit´e Libre de Bruxelles) 11 / 12

55. R´esultats num´eriques : ´evolution temporelle de la particule
`a fort couplage avec les vibrations
Diffusion
(Universit´e Libre de Bruxelles) 11 / 12

56. R´esultats num´eriques : ´evolution temporelle de la particule
`a fort couplage avec les vibrations
Diffusion
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
coefficient
dediffusion
couplage
(Universit´e Libre de Bruxelles) 11 / 12

57. Conclusions :
(Universit´e Libre de Bruxelles) 12 / 12

58. Conclusions :
Localisation sans postulat de projection.
(Universit´e Libre de Bruxelles) 12 / 12

59. Conclusions :
Localisation sans postulat de projection.
D´ecoh´erence.
(Universit´e Libre de Bruxelles) 12 / 12

60. Conclusions :
Localisation sans postulat de projection.
D´ecoh´erence.
Coefficient de diffusion.
(Universit´e Libre de Bruxelles) 12 / 12

61. Conclusions :
Localisation sans postulat de projection.
D´ecoh´erence.
Coefficient de diffusion.
Perspective :
(Universit´e Libre de Bruxelles) 12 / 12

62. Conclusions :
Localisation sans postulat de projection.
D´ecoh´erence.
Coefficient de diffusion.
Perspective :
Simulation num´erique de l’´evolution temporelle des fragments.
(Universit´e Libre de Bruxelles) 12 / 12