DERIVACIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Pr 3 – Resolución de EDPs

Motivación
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables
es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras constantes.
En efecto, las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría
diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la dirección x se representa
con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Ecuación 1

(donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'). Al
realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función paralela al eje de la
incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada. Analíticamente, el gradiente
de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija.
Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia
donde hay mayor variación en la función.

Ejemplos
Dada una función u que depende de x y de y, la derivada parcial de u
con respecto a x en un punto cualquiera (x,y) está definido como

Ecuación 2

Dada una función u que depende de x y de y, la derivada parcial de u
con respecto a y en un punto cualquiera (x,y) está definido como

Ecuación 3

Una función que involucra derivadas parciales de una función desconocida
con dos o más variables independientes, se denomina Ecuación Diferencial Parcial,
o EDP.

A continuación, se mostrarán algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales
parciales:

Ecuación 4

Ecuación 5

Ecuación 6

Ecuación 7

Jaime Martínez Verdú Página 2

Por su amplia aplicación en ingeniería, en esta asignatura nos concentramos
en la solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden:

Ecuación 8

donde A, B, y C son funciones de x y y, y D es una función de x, y, u, u/ x y
u/ y. Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la segunda
derivada (A, B y C) esta ecuación se puede clasificar en elíptica, parabólica o
hiperbólica.

B2-4AC Categoría Ejemplo

Ecuación de Laplace (en estado estable con dos
dimensiones espaciales)
<0 Elíptica
Ecuación 9

Ecuación de conducción de calor (variable en el tiempo
con una dimensión espacial)
=0 Parabólica
Ecuación 10

Ecuación de onda (variable en el tiempo con una
dimensión espacial)
>0 Hiperbólica
Ecuación 11

Comentario.

El orden de una EDP es el de la derivada más alta

Se dice que una ecuación diferencial parcial es lineal, si es lineal en la
función desconocida y en todas sus derivadas, con coeficientes que dependen sólo de
las variables independientes

Métodos empleados antes da la computación
Antes de la llegada de las computadoras se utilizaban soluciones analíticas o
exactas de ecuaciones diferenciales parciales. Aparte de los casos más simples,
estas soluciones a menudo requieren gran esfuerzo y complicación matemática.

Muchos sistemas físicos no pueden resolverse analíticamente, por lo que
tienen que simplificarse usando linearización, representaciones geométricas
simples, y otras idealizaciones.

Estas soluciones aportan algún conocimiento del sistema que se está
estudiando, sin embargo, están limitadas por la fidelidad con que representan la
realidad.



EDP y aplicación en la ingeniería
Cada una de las categorías de ecuaciones diferenciales parciales conforma
clases específicas de problemas de ingeniería:

• Las ecuaciones elípticas se usan para caracterizar sistemas de estado-
estable (ausencia de una derivada con respecto al tiempo, o término
transitorio). Por lo general se emplean para determinar la distribución en
estado estable de una incógnita en dos dimensiones:

Tw
1 1

0.9

0.8

0.7

Tw S 0.6

1

Y(m)
0.5
k
Tw 0.4

0.3

0.2

0.1

0
0 0.5 1
Tw X(m)

Ilustración 1. Conducción estable con generación de calor.

• Las ecuaciones parabólicas determinan cómo varía una incógnita tanto
en espacio como en tiempo (presencia de derivadas especial y temporal).
Tales casos se conocen como problemas de propagación.

Ilustración 2. Mediante la ecuación parabólica se obtiene la propagación de ondas.

• Las ecuaciones hiperbólicas, también representan problemas de
propagación, sin embargo, se diferencia de las ecuaciones parabólicas en que
la incógnita se caracteriza por una segunda derivada con respecto al tiempo.
En consecuencia, la solución oscila.

Ilustración 3. Mediante la ecuación parabólica se obtiene la propagación de ondas.



Diferencias finitas en ecuaciones parabólicas (ME)
Las ecuaciones parabólicas se emplean para caracterizar problemas
dependientes del tiempo y el espacio. Se emplean generalmente para caracterizar
problemas dependientes del tiempo donde se describen problemas de propagación
(difusión y evolución suave). Para la solución de la ecuación se necesitan
condiciones iniciales y condiciones de borde.

Las EDP parabólicas pueden ser resueltas sustituyendo las derivadas
parciales por las diferencias divididas finitas. Sin embargo, ahora hay que
considerar cambios en el tiempo así como en el espacio. Mientras las ecuaciones
elípticas están acotadas en todas las dimensiones, las parabólicas están
temporalmente abiertas en los extremos. Existen dos aproximaciones
fundamentales para la solución de EDP parabólicas:

o Esquema explícito

o Esquema implícito

¾ Discretización: EDP Æ EDF

¾ Métodos explícitos

u Sencillos

u Inestables

¾ Métodos implícitos

u Más complejos

u Estables

Ecuación de conducción del calor
El ejemplo clásico de una ecuación parabólica sencilla y con mayor campo de
aplicación en una dimensión es la ecuación del calor o ecuación de difusión. Este
ejercicio se ha modelado para buscar significado físico a los resultados y, de este
modo, buscarle un sentido práctico aplicado a un caso de ingeniería. La esencia del
ejercicio no cambia puesto que el sentido matemático se conserva.

Ilustración 4. Representación esquemática de una barra con extremos a dos Tas.


Se puede usar la conservación de calor para desarrollar un balance de
energía en un elemento diferencial de una barra larga ΔxΔyΔz y delgada aislada,
considerando la cantidad de calor que se almacena en un periodo de tiempo Δt. La
ecuación a desarrollar, aplicando balances másicos y de energía, sería la siguiente:

Ecuación 12

Dividiendo entre el volumen y el elemento diferencial de tiempo:

Ecuación 13

Tomando el límite:

Ecuación 14

Sustituyendo la Ley de Fourier:

Ecuación 15

Se obtiene la siguiente ecuación:

Ecuación 16

donde k es la constante de conductividad térmica y T'(0) =α(0) y T'(L) = β(0).
La ecuación del calor aparece en los modelos matemáticos relacionados con
problemas de difusión y Mecánica de Fluidos, y muchas de las propiedades y
comentarios que estudiaremos para ella son de gran importancia para la resolución
de numerosos problemas en ingeniería.

Esta ecuación modeliza la conducción del calor en una barra cilíndrica de
longitud L cuya sección transversal es uniforme, pequeña y de un material
homogéneo. La función T(x,t) mide la temperatura de la barra en cada momento del
tiempo t > 0 y en cada punto del espacio x Є [0,L]. k > 0 es una constante que
depende de las características físicas de la barra.

La solución de esta EDP's se expresa en forma de serie para ciertos tipos de
condiciones iniciales f(x). Nuestro objetivo en este ejercicio es desarrollar métodos
numéricos que permitan obtener la solución del problema de forma aproximada.



Desarrollo matemático del Método explicito
El problema es encontrar la función T(x,t) que satisface las siguientes
premisas:

Ecuación 17

Aplicaremos las formulas de las diferencias finitas sobre los puntos de una
malla uniforme rectangular (xi,tl) con

Ecuación 18

Ecuación 19

donde es el tamaño del salto en la variable de desplazamiento x y hace
referencia al paso temporal. Emplearemos la notación y
para el valor exacto y la aproximación numérica en el punto nodal ,
respectivamente.

Puesto que la ecuación del calor es una ecuación de evolución y, en este
ejercicio, se necesita obtener una aproximación empleando un esquema explícito de
forma progresiva en el tiempo, calcularemos, para todo valor i, los valores a
partir de los valores en el instante de tiempo anterior . Calculemos las fórmulas
en diferencias que emplearemos para aproximar las dos derivadas buscadas. Para
ello, emplearemos el método del desarrollo de Taylor tal y como se muestra a
continuación:

Ecuación 20

donde Por tanto, de la Ecuación 20
Ecuación 20 podemos despejar el valor de la derivada parcial con
respecto al tiempo:

Ecuación 21


Por otra parte, si derivamos la expresión con respecto a la variable espacial,
tenemos que:

Ecuación 22

Ecuación 23

Sumando las dos identidades de la Ecuación 22 y la Ecuación 23
Ecuación 22
Ecuación 23 para obtener lo siguiente:

donde . Reajustando la expresión puede obtenerse el valor de
la segunda derivada con respecto a la variable temporal:

Ecuación 24

En virtud de las ecuaciones 21 y 24 y de la definición del sistema físico
(Ecuación 17) se obtiene la siguiente identidad:

Ecuación 25

donde,

Ecuación 26


Deshaciendo la notación empleada para contemplar la expresión con toda la
información disponible:

Ecuación 27

Teniendo en cuenta que T satisface la Ecuación 17 y despreciando los
términos y , la formula anterior propone el esquema en diferencias
finitas siguiente:

Ecuación 28

Podemos despejar el valor de explícitamente en términos de los valores
en el paso temporal anterior:

Ecuación 29

donde , y con valor siempre mayor que
cero. A continuación, aplicaremos las condiciones de frontera tipo Neumann:

Frontera izquierda (i = 0).

Aplicando la primera condición de frontera y la propuesta realizada en el
enunciado del problema se lleva a cabo el siguiente ajuste:

Si aplicamos la notación y acomodamos la expresión, ésta se
traduce en la siguiente identidad:

Ecuación 30

Frontera izquierda (i = I + 1).

Aplicando la segunda condición de frontera y la propuesta realizada en el
enunciado del problema se lleva a cabo el siguiente ajuste:

Si aplicamos la notación y acomodamos la expresión, ésta se
traduce en la siguiente identidad:

Ecuación 31


Finalmente, imponiendo las condiciones iniciales y las condiciones de
frontera se obtiene la siguiente ecuación en diferencias finitas:

Ecuación 32

Los términos primero y último son casos especiales por lo que los
calcularemos los primeros:

donde . A continuación se obtendrán el resto de términos:

Por lo tanto, matricialmente podemos escribir el sistema recurrente anterior
como:

Ec. 33

que en forma compacta lo podemos expresar mediante:

Ecuación 34

donde , y y . Obsérvese que la matriz A de
coeficientes del sistema recursivo es tridiagonal.



Desarrollo matemático de la estabilidad
Sea los valores nodales en el instante tl que
se obtienen al ejecutar un cierto esquema numérico para
obtener una aproximación numérica de una ecuación diferencial parcial.
Consideremos los valores nodales en el instante
tl de la solución exacta y denotemos por el error cometido en la
aproximación numérica. Es posible afirmar que el método numérico es estable
cuando esté uniformemente acotada para todo . Dicho de otro modo,
cuando la diferencia entre los valores aproximados y los reales permanezcan
acotados en todo nivel de tiempo.

Las potencias de A estarán uniformemente acotadas si, y sólo si, su norma
está acotada:

Ecuación 35

Para todo y donde es una constante arbitraria. Puesto que conocer
si la matriz A es uniformemente acotada es una complicada tarea, se procederá a
analizar la estabilidad de una matriz D, semejante a la matriz A, que sea más
sencilla de estudiar. Para obtener la expresión matemática que nos permita conocer
la forma de la matriz utilizaremos la diagonalización de la matriz A:

Ecuación 36

Las matrices simétricas son siempre diagonalizables como consecuencia del
teorema de Schur. Se ha decidido emplear esta transformación porque las matrices
semejantes A y D comparten varias propiedades tales como:

poseen el mismo rango,
el mismo determinante,
la misma traza,
los mismos valores propios (en general, distintos vectores propios),
el mismo polinomio característico y
el mismo polinomio mínimo.

De este modo, la potencia n-ésima de la matriz A puede desarrollarse del
siguiente modo:

Por tanto, tenemos que la potencia n-ésima de la matriz A es semejante a la
matriz n-ésima de la matriz D:

Ecuación 37


Comentario.

El efecto de la transformación de semejanza en los vectores y vectores
propios viene determinado a continuación:

1. Los valores propios no cambia al realizar una transformación de semejanza.

1. Los vectores propios son proporcionales realizar una transformación de
semejanza.

Esto implica que la matriz obtenida por semejanza tiene como
vectores propios siendo v un vector propio de la matriz A.

Aplicando la norma a la expresión de transformación de semejanza se tiene
una ecuación que relaciona la estabilidad de las dos matrices semejantes:

Ecuación 38

Aplicando la proposición 2.3a de los apuntes, podemos modificar la ecuación
anterior del siguiente modo:

Ecuación 39

Si empleamos la norma (de los apuntes de clase), la ecuación anterior
quedaría del siguiente modo:

Ecuación 40

A continuación, sabiendo que los valores propios de las matrices P y PT
coinciden y que los de las matrices P y P-1 son inversos, procederemos a calcular las
normas de la matriz invertible P y P-1:

A partir de la norma de la matriz de paso se tiene:

Ecuación 41

donde .


Comentario.

Los valores propios de una matriz y su matriz traspuesta coinciden. Como
una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante entonces resulta que
debido a que tanto A como I son tridiagonal y
diagonal, respectivamente.

Para que la norma de la n-ésima potencia de la matriz A esté acotada, es
bien sabido que debe acotarse la potencia n-ésima de la matriz D. Por tanto, a
continuación, calcularemos la norma :

Por tanto, la Ecuación 41 puede expresarse como:

Ecuación 42

donde . Puesto que es una constante fija, tan sólo ha de
acotarse el valor . Para acotarlo ha de satisfacerse que el valor máximo de todos
los valores propios sea menor o igual que uno, de modo que la exponencial no
diverja a valores infinitos. Por tanto, ha de cumplirse la siguiente desigualdad:

Ecuación 43

Para el cálculo de los valores propios se empleará una fórmula planteada
por Wen-Chyuan Yueh [5]. Los parámetros , , , y se obtienen comparando la
matriz original del desarrollo de [5] con la original del problema:

Ecuación 44

A partir de la comparación entre ambas matrices (ecuaciones 33 y 44), se
tiene que los parámetros tiene el valor de , , , y .
Por tanto, aplicando el teorema 5 [5] donde se suponen , entonces
los valores propios de la matriz vienen dados por:

Ecuación 45

donde .


Modificando la nomenclatura para ajustar la expresión anterior a nuestra
notación, los valores propios resultan del siguiente modo:

Ecuación 46

donde . basándose en el tipo de matriz siguiente:

Para obtener los máximos y/o mínimos relativos de la expresión, se iguala la
primera derivada a cero:

Tal y como se observa, para se obtiene un valor propio unitario, que no
depende de mientras que el otro caso no es posible puesto que el valor máximo de
es . Tal y como puede observarse en la gráfica, el valor a estudiar debería ser el
anterior más cercano a . El resto estarán contenidos dentro de los dos
extremos. Por ello, si acotamos los dos extremos, tendremos acotados los valores
intermedios.

Ilustración 5. Representación gráfica de la función 1 – cos(x) con x entre 0 y .


Cuando van dándose valores a I, se tiene:

Arreglando las expresiones, se tiene:

Se puede observar que a medida que aumentamos la cantidad de los nodos
existe una tendencia a que . Esto resulta evidente observando la
siguiente expresión:

donde se comprueba la tendencia a -1 de la función coseno cuando I toma
valores grandes.


Una vez deducido el comportamiento de los valores propios, es posible
comprobar la veracidad de .

Por supuesto, si observamos el caso límite podemos observar que para un
valor de entre 0 y 0.5 tendríamos asegurada la estabilidad del sistema.

Además de la estabilidad existen un grupo de conceptos dignos de ser
estudiados:

Convergencia: Este parámetro significa que conforme Δx y Δt
tienden a cero, los resultados de la técnica por diferencias finitas se
aproximan a la solución verdadera.
Estabilidad: Este parámetro significa que los errores en cualquier
etapa del cálculo no son amplificados, sino que son atenuados
conforme el cálculo avanza.
Consistencia: Un esquema numérico consistente es convergente si, y
solo si, es estable.

Se ha demostrado que el método explícito es convergente y estable si < 1/2,
o, por otro lado,

• Si 1/2 Æ la solución oscila

• Si 1/4 Æ la solución no oscila

• Si 1/6 Æ los errores por truncamiento se minimizan

La restricción de convergencia y estabilidad impone fuertes limitaciones, por
ejemplo, si se reduce a la mitad ∆x (para mejorar la aproximación de la segunda
derivada espacial), el tamaño de ∆t debe reducirse en un cuarto para mantener la
convergencia y la estabilidad. O sea, reducir ∆x a la mitad aumenta en ocho veces
el número de cálculos.



Desarrollo de software en MatLab
A continuación, mostramos el código de programación en MatLab:

Midiffin_explicito.m

function T = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m)
%---------------------------------------------------------------------
%midiffin_explicito Solución en diferencias finitas para ec. del
calor.
% Llamada simple
% T = midiffin_explicito('f','g1','g2',L,t,k,n,m)
% Inputs
% f Nombre de la función condición inicial
% g1 Nombre de la función condición frontera 1
% g2 Nombre de la función condición frontera 2
% L Ancho del intervalo [0 L]: 0<=x<=L
% t Ancho del intervalo [0 tf]: 0<=t<=tf
% k Constante de difusión de la ecuación del calor
% n Número de puntos del mallado sobre [0 L]
% m Número de puntos del mallado sobre [0 t]
% Resultados
% T Solución: Matriz de salidat.
%---------------------------------------------------------------------

dx = L/(n-1);
dt = tf/(m-1);
sigma = k*dt/dx^2;
T = zeros(n,m);
for i = 2:(n-1),
T(i,1) = feval(f,dx*(i-2));
end
for j = 2:m,
T(1,j-1) = T(2,j-1)-dx*feval(g1,dt*(j-2));
T(n,j-1) = T(n-1,j-1)+dx*feval(g2,dt*(j-2));
for i = 2:(n-1),
T(i,j) = (1 - 2*sigma)*T(i,j-1) + sigma*(T(i-1,j-1) + T(i+1,j-
1));
end
end
T(1,j) = T(2,j)-dx*feval(g1,dt*(j-1));
T(n,j) = T(n-1,j)+dx*feval(g2,dt*(j-1));

f.m

function z = f(x)
z = cos(pi*x);

g1.m

function z = g1(t)
z = 1;

g2.m

function z = g2(t)
z = 0;


practica3.m

k = 0.6;L = 3.0;
tf = 1;n = 41;m = 251;
U = midiffin_explicito('f','g1','g2',L,tf,k,n,m);
D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2
dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);
[X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);
whitebg('w');
meshz(T,X,U');xlabel('t');ylabel('x');zlabel('T');view([1 1 1]);
Mx1 = 'Diferencias finitas para la ecuación del calor para 1 seg.';
title(Mx1);
figure;
tf = 5;n = 21;m = 301;
D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2
dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);
whitebg('w');
title(Mx1);
figure;
tf = 20;n = 11;m = 301;
D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2
dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);
whitebg('w');
title(Mx1);
figure;
tf = 40;n = 9;m = 351;
D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2
dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);
whitebg('w');
meshz(T,X,U');
whitebg('w');
title(Mx1);
k = 0.6;L = 1.0;
tf = 1;n = 11;m = 115;
D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2
dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);
whitebg('w');
whitebg('w');
Mx1 = 'Diferencias finitas para la ecuación del calor con
inestabilidad';
title(Mx1);



Resultados experimentales
Diferencias finitas para la ecuación del calor para 1 seg.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
T

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0
0.1
0.5 0.2
1 0.3
0.4
1.5 0.5
0.6
2
0.7
2.5 0.8
0.9
3 1
t

x

Ilustración 6. Representación gráfica para t = 1 seg. L = 3. y .

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
T

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0
0.1
0.5 0.2
0.3
1
0.4
1.5 0.5
0.6
2
0.7

2.5 0.8
0.9
3 1
t

x

Ilustración 7. Representación gráfica para t = 1 seg. L = 3. y .



1

0.5

0
T

-0.5

-1

-1.5
0 0
0.1
0.5 0.2
0.3
1
0.4
1.5 0.5
0.6
2
0.7

2.5 0.8
0.9
3 1
t

x

Ilustración 8. Representación gráfica para t = 1 s. L = 3. y .

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
T

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0
0.1
0.5 0.2
0.3
1
0.4
1.5 0.5
0.6
2
0.7

2.5 0.8
0.9
3 1
t

x




1.5

1

0.5

0
T

-0.5

-1

-1.5
0 0
0.5
0.5 1
1.5
1
2
1.5 2.5
3
2
3.5

2.5 4
4.5
3 5
t

x


Conclusiones
En las gráficas expuestas anteriormente se ha evaluado la ecuación del calor
para diferentes condiciones fronteras para, así, estudiar el comportamiento térmico
de la barra.

Ilustración 6: En esta figura se muestra el comportamiento del sistema para
unos parámetros de partida con L = 3.

Ilustración 7: Si amabas condiciones fronteras son de aislamiento, se llegará
a un régimen estable donde la temperatura en la barra se anulará y será la misma
en todos los puntos de la misma.

Ilustración 8: Si ambos extremos emiten calor, porque el flujo es unitario, se
tiene, en régimen estacionario, una distribución de temperaturas simétrica, donde
el punto más caliente está en el centro de la barra. Los extremos son los puntos
más fríos puesto que están constantemente emitiendo calor a un ratio de 1.

Ilustración 9 y Ilustración 10: En este caso, se tiene una emisión de calor en
el extremo con x = 0 (condición frontera +1) y una absorción de calor en x = L
(condición frontera -1). En este caso, el régimen permanente no se alcanza para 1 s
por lo que se ha graficado el resutlado para 5 s. Se observa que en régimen
permanente se obtiene una recta de pendiente 1.



Soluciones a los problemas
a) Obtener un esquema matricial del método obtenido.

De la Ecuación 33, matricialmente podemos escribir el sistema recurrente
anterior como:

que en forma compacta lo podemos expresar mediante la Ecuación 34:

donde , y y . Obsérvese que la matriz A de
coeficientes del sistema recursivo es tridiagonal.

La ecuación proporciona un medio explicito para calcular los valores en cada
nodo interior del dominio para un tiempo posterior con A matriz tridiagonal ( , 1-
2 , ): si se conoce la variable en un tiempo inicial (en cada posición), se puede
calcular para un tiempo posterior.

Ilustración 11. Representación de una barra con los nodos de cálculo.


b) Programar el esquema en MatLab y representar gráficamente las
soluciones en los tiempos t = 1 s, t = 5 s y t = 20 s si

unlited.m

k = 0.01;L = 1.0;
tf = 1;n = 111;m = 301;
D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2
dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);
whitebg('w');
title(Mx1);
figure;
tf = 5;n = 51;m = 301;
D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2
dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);
whitebg('w');
title(Mx1);
figure;
tf = 20;n = 26;m = 301;
D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2
dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);
whitebg('w');
title(Mx1);
figure;
tf = 40;n = 21;m = 301;
D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2
dx = L/(n-1);
dt = tf/(m-1);
whitebg('w');
title(Mx1);
figure;
tf = 80;n = 11;m = 301;
D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2
dx = L/(n-1);
dt = tf/(m-1);
whitebg('w');
title(Mx1);



1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
T

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0
0.1 0.1
0.2 0.2
0.3 0.3
0.4 0.4
0.5 0.5
0.6 0.6
0.7 0.7
0.8 0.8
0.9 0.9
1 1
t

x

Ilustración 12. Representación gráfica de la solución para t = 1 seg. = 0.4267.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
T

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0
0.1 0.5
0.2 1
0.3 1.5
0.4 2
0.5 2.5
0.6 3
0.7 3.5
0.8 4
0.9 4.5
1 5
t

x




1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
T

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0
0.1 2
0.2 4
0.3 6
0.4 8
0.5 10
0.6 12
0.7 14
0.8 16
0.9 18
1 20
t

x


1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
T

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0
0.1 5
0.2
10
0.3
0.4 15
0.5 20
0.6 25
0.7
30
0.8
0.9 35
1 40
t

x




1

0.5

0
T

-0.5

-1

-1.5
0 0
0.1 10
0.2
20
0.3
0.4 30
0.5 40
0.6 50
0.7
60
0.8
0.9 70
1 80
t

x


Conclusiones.

Tal y como puede observarse, a medida que aumenta el tiempo el
comportamiento de la barra se estabiliza con una tendencia a enfriarse el extremo
que presenta el flujo de calor ( ). Evidentemente, en el extremo donde no
existe flujo de calor, es decir, está aislado ( ), la tendencia es a estabilizarse.
Si ambos extremos estuvieran aislados la tendencia sería a obtener una forma
geométrica de plano horizontal.

Se ha podido comprobar que el elemento determinante para obtener
resultados buenos es puesto que, al estar elevado al cuadrado, supone una
variable dominante para tomar mejores o peores resultados sin llegar a obtener
inestabilidades.


c) Realizar un análisis de la estabilidad mediante simulaciones
numéricas y comentar los resultados obtenidos.
Diferencias finitas para la ecuación del calor con inestabilidad

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
T

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0
0.1 0.1
0.2 0.2
0.3 0.3
0.4 0.4
0.5 0.5
0.6 0.6
0.7 0.7
0.8 0.8
0.9 0.9
1 1
t

x


Diferencias finitas para la ecuación del calor con inestabilidad

16
x 10

6

4

2

0
T

-2

-4

-6
0 0
0.1 0.1
0.2 0.2
0.3 0.3
0.4 0.4
0.5 0.5
0.6 0.6
0.7 0.7
0.8 0.8
0.9 0.9
1 1
t

x




Bibliografía
1. S. S. Cheng, "Partial Difference Equations", Taylor and Francis, London and
New York, 2003.
2. S. S. Cheng,M. Gil’ and C. J. Tian, "Synchronization in a discrete circular
network", Proceedings of the 6-th International Conference on Difference
Equations, in press.
3. R. T. Gregory and D. Karney, "A collection of matrices for testing
computational algorithm", Wiley-Interscience, 1969.
4. J. F. Elliott, "The characteristic roots of certain real symmetric matrices",
Mater thesis, Univ. of Tennessee, 1953.
5. Wen-Chyuan Yueh, "Eigenvalues of several tridiagonal matrices", 4 September
2004
6. Burden, Richard L., "Análisis numérico", México International Thomson
Editores op.1998
7. Mathews, John H., "Métodos numéricos con MATLAB", Madrid [etc.] Prentice
Hall 1999
8. Chapra, Steven C., "Métodos numéricos para ingenieros", México [etc.]
McGraw-Hill cop. 1999
9. Kincaid, David, "Análisis numérico las matemáticas del cálculo científico",
Buenos Aires [etc.] Addison-Wesley Iberoamericana cop.1994
10. Amigó García, José María, "Métodos numéricos"; [Alicante] Universidad
Miguel Hernández D.L. 2002
11. Nakamura, Shoichiro, "Análisis numérico y visualización gráfica con
MATLAB"; Naucalpan de Juárez (México) Prentice-Hall Hispanoamericana
cop. 1997
12. MATHEWS, John - FINK, Kurtis (2005) "Métodos numéricos con MATLAB";
España, Prentice Hall.
13. NAKAMURA, Soichiro, (1997) "Análisis numérico y visualización gráfica con
MATLAB"; México, Prentice Hall.



Tabla de contenidos
Motivación ................................................................................................................... 2
Ejemplos ....................................................................................................... 2
Métodos empleados antes da la computación .............................................. 3
EDP y aplicación en la ingeniería ............................................................................... 4
Diferencias finitas en ecuaciones parabólicas (ME) ................................................... 5
Ecuación de conducción del calor ................................................................. 5
Desarrollo matemático del Método explicito ................................................ 7
Desarrollo matemático de la estabilidad ................................................... 11
Desarrollo de software en MatLab ............................................................. 17
Resultados experimentales ........................................................................ 19
Conclusiones ............................................................................................... 21
Soluciones a los problemas ........................................................................................ 22
Bibliografía ................................................................................................................ 28
Tabla de contenidos ................................................................................................... 29
Tabla de software ...................................................................................................... 29
Tabla de ilustraciones ............................................................................................... 30
Tabla de ecuaciones ................................................................................................... 31

Tabla de software
midiffin_explicito ....................................................................................................... 17
f .................................................................................................................................. 17
g1 ............................................................................................................................... 17
g2 ............................................................................................................................... 17
practica3 .................................................................................................................... 18
¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. ....... ¡Error! Marcador no
definido.



Tabla de ilustraciones
Ilustración 1. Conducción estable con generación de calor. ....................................... 4
Ilustración 2. Mediante la ecuación parabólica se obtiene la propagación de ondas. 4
Ilustración 3. Mediante la ecuación parabólica se obtiene la propagación de ondas. 4
Ilustración 4. Representación esquemática de una barra con extremos a dos Tas. .... 5
Ilustración 5. Representación gráfica de la función 1 – cos(x) con x entre 0 y . .... 14
Ilustración 6. Representación gráfica para t = 1 seg. L = 3. y ........... 19
Ilustración 7. Representación gráfica para t = 1 seg. L = 3. y ........... 19
Ilustración 8. Representación gráfica para t = 1 s. L = 3. y . ............. 20
Ilustración 9. Representación gráfica para t = 1 s. L = 3. y ............ 20
Ilustración 10. Representación gráfica para t = 5 s. L = 3. y .......... 21
Ilustración 11. Representación de una barra con los nodos de cálculo. ................... 22
Ilustración 7. Representación gráfica de la solución para t = 1 seg. = 0.4267. ..... 24
Ilustración 8. Representación gráfica de la solución para t = 5 seg. = 0.4444. ..... 24
Ilustración 9. Representación gráfica de la solución para t = 20 seg. = 0.4444. ... 25
Ilustración 10. Representación gráfica de la solución para t = 40 seg. = 0.4876. . 25



Tabla de ecuaciones
Ecuación 1 ................................................................................................................... 2
Ecuación 2 ................................................................................................................... 2
Ecuación 3 ................................................................................................................... 2
Ecuación 4 ................................................................................................................... 2
Ecuación 5 ................................................................................................................... 2
Ecuación 6 ................................................................................................................... 2
Ecuación 7 ................................................................................................................... 2
Ecuación 8 ................................................................................................................... 3
Ecuación 9 ................................................................................................................... 3
Ecuación 10.................................................................................................................. 3
Ecuación 11.................................................................................................................. 3
Ecuación 12.................................................................................................................. 6
Ecuación 13.................................................................................................................. 6
Ecuación 14.................................................................................................................. 6
Ecuación 15.................................................................................................................. 6
Ecuación 16.................................................................................................................. 6
Ecuación 17.................................................................................................................. 7
Ecuación 18.................................................................................................................. 7
Ecuación 19.................................................................................................................. 7
Ecuación 20.................................................................................................................. 7
Ecuación 21.................................................................................................................. 7
Ecuación 22.................................................................................................................. 8
Ecuación 23.................................................................................................................. 8
Ecuación 24.................................................................................................................. 8
Ecuación 25.................................................................................................................. 8
Ecuación 26.................................................................................................................. 8
Ecuación 27.................................................................................................................. 9
Ecuación 28.................................................................................................................. 9
Ecuación 29.................................................................................................................. 9
Ecuación 30.................................................................................................................. 9
Ecuación 31.................................................................................................................. 9
Ecuación 32................................................................................................................ 10
Ecuación 33................................................................................................................ 10
Ecuación 34................................................................................................................ 10
Ecuación 35................................................................................................................ 11
Ecuación 36................................................................................................................ 11
Ecuación 37................................................................................................................ 11
Ecuación 38................................................................................................................ 12
Ecuación 39................................................................................................................ 12
Ecuación 40................................................................................................................ 12
Ecuación 41................................................................................................................ 12
Ecuación 42................................................................................................................ 13
Ecuación 43................................................................................................................ 13
Ecuación 44................................................................................................................ 13
Ecuación 45................................................................................................................ 13
Ecuación 46................................................................................................................ 14


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