Control Continuo

[CONTROL CONTINUO MITIT

¿Qué es un SISTEMA DE CONTROL?
Programa de ordenador o dispositivo electrónico que calcula las acciones a ejercer
sobre un sistema para obtener un comportamiento deseado.

Clasificación: dos posibles.

• 1ª clasificación:
Control en BUCLE ABIERTO: No se comprueba el resultado de las acciones ejercidas
sobre el sistema.

Tensión Temperatura

CÁLCULOS SISTEMA

Control en BUCLE CERRADO: Se comprueba continuamente el resultado de las
acciones ejercidas por si es necesario corregirlas.

Temperatura
COMPARACIÓN
SISTEMA

Realimentación

Ventajas Inconveniente
s
Bucle Es muy sencillo Puede funcionar MAL
No requiere tomar el sistema sin ser
ABIERTO medidas advertido

Bucle Si funciona MAL el Es muy complejo
sistema será advertido Requiere tomar
CERRADO medidas
• 2ª clasificación:
Control CONTINUO: El sistema será de control continuo cuando empleemos un
dispositivo electrónico. Se estudian utilizando la Transformada de LAPLACE

Control DISCRETO: El sistema será de control discreto cuando empleemos un
programa de ordenador. Se estudian utilizando la Transformada Z.

Continuo Discreto

[Escribir el nombre de la compañía] | ¿Qué es un SISTEMA DE CONTROL? 1


¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA?
SEÑAL: Cualquier variable que toma valores en el tiempo (tanto magnitudes físicas
como abstractas, temperatura y cotización en bolsa, respectivamente).

Magnitud física Magnitud abstracta

SISTEMA: Conjunto de elementos cuyo comportamiento queda definido por la relación
entre sus señales de entrada y de salida.

Señales de Señales de
entrada salida
SISTEMA

Señales que indican si el comport.
Señales sobre las cuales se del sistema es el deseado
Causa - Efecto
puede actuar

¿Cuáles son las señales de uso común en TEORÍA DE SISTEMAS?
Nom Forma CONINUA Forma DISCRETA
bre de la Expresión Gráfica
función

1 1
Escal 0 t 0
ón u(t ) =  {uk } = 
1 t 1 k

1
Impul 0 0
so δ (t ) =  {δ k } = 
∞ 1 k

1
Ramp 0 t 0
r(t ) =  {rk } = 
m=1
a
t t k

[Escribir el nombre de la compañía] | ¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA? 2


Operaciones con Señales.
Operación SEÑALES SECUENCIAS

Suma z (t ) = x (t ) + y (t )
{zk } = {xk } + {yk }

Resta z (t ) = x (t ) − y (t )
{zk } = {xk } − {yk }

Producto z (t ) = x (t )· y (t ) {zk } = {xk }{yk }
·

z (t ) = x(t ) {z k } = {x k }{y }
División
y (t ) k

Producto por un
escalar
z (t ) = C · x (t ) {zk } = C·{xk }

Desplazamiento
temporal
z(t ) = x(t − t0 ) {z k } = {xk −k }
0

+∞ +∞

Convolución
z (t ) = ∫ x (ζ )· y (t − {zk } = ∑ xn · yk −n
−∞ n=−∞

Tipos de Sistemas.

Sistemas continuos Con señales de entrada y salida contínuas.

T

I Sistemas discretos Con señales de entrada y salida discretas.

P

O - Con señales de entrada continua y de salida discreta.

S Sistemas híbridos

- Con señales de entrada discreta y de salida continua.


Ejemplo: Sistema de control de un Horno.

- Comportamiento deseado: Mantener a una cierta
temperatura el interior del horno.
¿Cumple la definición?

- Acción a calcular: Tensión a aplicar a la resistencia.

Bucle ABIERTO Obtener la tensión a aplicar en función de ecuaciones o

bien mediante experimentación.
Diferencias entre tipos de bucle

- Si es menor que la deseada,
aplicamos menor tensión.

Bucle CERRADO Se mide continuamente

la temperatura y

-Si es mayor que la deseada,
aplicamos mayor tensión.

Representación gráfica:

CÁLCULOS HORNO

Control en BUCLE ABIERTO

Temperatura
COMPARACIÓN
HORNO

Realimentación

Control en BUCLE CERRADO

Problemas: ¿Si se deteriora el aislamiento del horno y se pierde calor, que ocurriría?

ABIERTO Aplicaría igual tensión Bajaría la temperatura MAL funcionamiento.

CERRADO Aplicaría más tensión Mantendría la temperatura BUEN funcionamiento.


¿Cuáles son las propiedades de los sistemas continuos?
Linealidad o no linealidad: Un sistema será lineal si el cumple el principio de
superposición:

x1 (t ) y1 (t )
SA
α · x1 (t ) + β ·x2 (t ) α · x1 (t ) + β · x2 (t )
x2 (t ) y2 (t ) SA
SA

Varianza o invarianza en el tiempo: Se dice que un sistema es invariante en el tiempo si su
comportamiento no depende del instante:

x (t ) y (t ) x(t − t0 ) y (t − t0 )
SA SA

Un desplazamiento temporal en la señal de entrada
ocasiona el mismo desplazamiento en la señal de salida

Causalidad: Decimos que un sistema es causal si su salida en un instante, depende de
valores futuros de la entrada:

x1 (t ) y1 (t ) Si es causal se tiene que:
SA

Si x1 (t ) = x1 (t ) ∀t < t0 ⇒ y1 (t ) = y1 (t ) ∀t < t0
x2 (t ) y2 (t )
SA
Nota:

A los sistemas NO Causales se les nombra
FÍSICAMENTE IRREALIZABLES.



¿Cuáles son las propiedades de los sistemas discretos?
Linealidad o no linealidad: Un sistema será lineal si el cumple el principio de
superposición:

{xk }1 {yk }1
SA
α ·{xk }1 + β ·{xk }2 α ·{y k }1 + β ·{y k }2
{xk }2 {yk }2 SA
SA

Varianza o invarianza en el tiempo:

Se dice que un sistema es invariante en el k si su comportamiento no depende del
instante:

{x k } {y k } {xk−n} {yk−n}
SA SA

Un desplazamiento temporal en la señal de entrada
ocasiona el mismo desplazamiento en la señal de salida

Causalidad: Decimos que un sistema es causal si su salida en un instante k, dependa de
valores futuros de la entrada:

{xk }1 {yk }1 Si es causal se tiene que:
SA

Si {xk }1 = {xk }2 ∀n < k ⇒ {y k }1 = {y k }2 ∀n < k
{xk }2 {yk }2
SA
Nota:

A los sistemas NO Causales se les nombra
FÍSICAMENTE IRREALIZABLES.



¿Cuáles son las formas de representación de los Sistemas Lineales e
Invariantes?
Tipo de sistema Forma de representación
Ecuación diferencial
d y (t )
n
d y (t )
n −1
d n x(t )
n
+ a n −1 n −1
+ L + a 0 y (t ) = bm +L+ b
dy dy dy n

Salida ante entrada δ (t),
llamada g (t) o Respuesta Impulsional

x 1 (t) y 1 (t) δ (t) g (t)
x1 (t) y1 (t)
SA
SA

Ecuación en diferencias
y k − n + + a n −1 y k − ( n −1) + L + a 0 y k = bm x k − m + L + b0 x k

δ (t) g (t)
{x k} {y k}
x1 (t) y1 (t)
SA SA

¿Cómo determinar si un sistema es estable?
Sistema estable: Es aquel que ante cualquier entrada acotada responde con una salida
acotada.

x (t ) y (t ) = x (t ) * g (t ) = ∫− ∞ g (τ )x (t − τ )dτ
+∞

g (t)
x(t ) ≤ C ∫ g(τ ) dτ < ∞ ⇒ Es un sistemaestable
+∞
Si y −∞

+∞
{x k } {y k } = {x k }* {g k } = ∑ g k x k − n
n = −∞

{g k} +∞
Si {xk } ≤ C y ∑g k < ∞ ⇒ Es un sistema estable
n = −∞

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Transformadas

- ω Transformada de Fourier.

Cambio temporal Se pasa del dominio temporal al - S Transformada de Laplace.

- Z Transformada Z.

1. Transformada de Fourier.

F[x(t )] = X (ϖ ) = ∫ x(t )e − jϖt dt .
+∞
- Señales continuas
−∞

Transformada para

+∞
- Señales discretas F[{xk }] = X(ϖ ) = ∑x e k
− jϖkT
.
n = −∞

X (ϖ ) X (ϖ )

ϖ ϖ

Fluctuaciones lentas componentes Fluctuaciones rápidas componentes de
de frecuencias bajas frecuencias elevadas

¿Cuál es el problema de la Transformada de Fourier al aplicarla en Teoría de
Sistemas?

x(t ) ∫ x(t ) dt < ∞ .
+∞
- Condición de existencia de
−∞

Problemas

+∞
- Condición de existencia de {xk } ∑x k < ∞.
n = −∞

[Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 8


2. Transformada de Laplace.

Ésta aparece en Teoría de Sistemas con el objetivo de dar solución al problema de la
existencia para funciones como rampa, escalón, parábola,… ϖ = a + jb

L [x(t )] = X (ϖ ) = ∫0 x(t )e −ϖt dt .
+∞

Transformada para

+∞
- Señales discretas L [{xk }] = X (ϖ ) = ∑ xk e −ϖkT .
n =0

2.1. ¿Cuál es el problema que resuelve la Transformada de Laplace respecto de la
Transformada de Fourier al aplicarla en Teoría de Sistemas?
x(t ) x(t )e −ϖt dt < ∞ ⇒ ∃∫ x(t )e −ϖt dt .
+∞ +∞
- Condición de existencia de Si ∫
−∞ 0

Soluciones

+∞ +∞
- Condición de existencia de {xk } Si ∑ xk e −ϖkT < ∞ ⇒ ∃∑ xk e −ϖkT .
k =0 k =0

- Señales Continuas La Transformada de Laplace ofrece una reducción de
complejidad ya que las transformadas son cocientes de polinomios.

Recursos

- Señales Discretas La Transformada de Laplace no ofrece una reducción de
complejidad ya que las transformadas son funciones periódicas de difícil
utilización.

- Señales Continuas Transformada de Laplace.

Conclusión

- Señales Discretas Transformada Z.



2.2. ¿Cuáles son las principales propiedades de la Transformada de Laplace?
i) Linealidad.
L [x1 (t )] = X 1 (ϖ ) 
Si  ⇒ L [α ·x1 (t ) + β · x2 (t )] = α · X 1 (ϖ ) + β · X 2 (ϖ )
L [x2 (t )] = X 2 (ϖ )

ii) Desplazamiento en el tiempo.
Si L [x(t )] = X (ϖ ) ⇒ L [x(t − t 0 )] = e − t ϖ X (ϖ )
0

iii) Diferenciación en el dominio temporal.
 dx(t ) 
Si L [x(t )] = X (ϖ ) ⇒ L  = ϖ · X (ϖ )
 dt  
(todas las condiciones iniciales son nulas)

iv) Integración en el dominio temporal.
t  X (ϖ )
Si L [x(t )] = X (ϖ ) ⇒ L  ∫ x(τ )dτ  =
0  ϖ

v) Diferenciación en el dominio de Laplace.
 dX (ϖ ) 
Si L -1 [ X (ϖ )] = x(t ) ⇒ L -1  = −t ·x(t )
 dϖ  
vi) Teorema del valor inicial.
Si L [x (t )] = X (ϖ ) ⇒ lim x (t ) = lim ϖ · X (ϖ )
+
t →0 t → +∞

vii) Teorema del valor final.
Si L [x(t )] = X (ϖ ) ⇒ lim x(t ) = lim ϖ · X (ϖ )
t →+∞ t →0

viii) Teorema de Convolución.
L [x1 (t )] = X 1 (ϖ ) 
Si  ⇒ L [x1 (t ) * x 2 (t )] = X 1 (ϖ )· X 2 (ϖ )
L [x2 (t )] = X 2 (ϖ )

Aplicada sobre la Respuesta Impulsional si nos dan ésta como dato:

y (t ) = x (t ) * g (t ) ⇒ L [ y (t )] = L [x(t ) * g (t )] ⇒ L [ y (t )] = L [x(t )]· L [g (t )]
x (t )

g (t)

Y (ϖ ) := L [ y (t )] 
 
X (ϖ ) := L [x(t )]  
 ⇒ Y (ϖ ) = X (ϖ )·G(ϖ )
G (ϖ ) := L [g (t )] 

x (t ) y (t ) L [ y (t )] = L [x (t ) * g (t )]

g (t)


Aplicada sobre la Ecuación diferencial si nos dan ésta como dato:
Supongamos la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

d n y (t ) d n −1 y (t ) dy(t ) d n x(t ) d n −1 x(t ) dx(t )
n
+ a n−1 n −1
+ L + a1 + a0 y (t ) = bm n
+ bm−1 n −1
+ L + b1 + b0 x(t )
dt dt dt dt dt dt

Aplicamos la Transformada de Laplace:

 d n y (t ) d n −1 y (t )   d n x(t ) d n −1 x(t ) 
L n
+ an −1 n −1
+ L + a0 y(t ) = L bm n
+ bm−1 n −1
+ L + b0 x(t )
 dt dt   dt dt 
 d y (t )
n
 d y (t )
n −1
 d n x(t )   d n −1 x(t ) 
L n 
+ L an −1 n −1 
+ L + L [a0 y (t )] = L bm  + L bm −1  + L + L [b0 x(t )]
 dt   dt   d tn   d t n −1 
 d n y(t )  d n −1 y (t )  d n x(t )  d n −1 x(t )
L n 
+ an −1 L  n −1 
+ L + a0 L [ y (t )] = bm L  n 
+ bm−1 L  n −1 
+ L + b0 L [x(t )]
 dt   dt   dt   dt 
ϖ nY (ϖ ) + a n−1ϖ n−1Y (ϖ ) + L + a0Y (ϖ ) = bmϖ m X (ϖ ) + ϖ m−1bm−1 X (ϖ ) + L + b0 X (ϖ )
( ) (
Y (ϖ ) ϖ n + an −1ϖ n −1 + L + a0 = X (ϖ ) bmϖ m + ϖ m−1bm−1 + L + b0 )
de donde se obtiene que

bmϖ m + ϖ m−1bm−1 + L + b0
Y (ϖ ) = X (ϖ ) ⇒ Y (ϖ ) = G (ϖ )· X (ϖ )
ϖ n + an−1ϖ n−1 + L + a0
14444244443
función de transferencia G (ϖ )

Función de Transformada de Laplace de la
=
transferencia Respuesta Impulsional

2.3. ¿A partir de la señal en el dominio temporal, cómo podemos obtener las
señales bajo el dominio de la Transformada de Laplace?

Cálculos de la Transformada de Laplace de cada señal e jat − e − jat
sen(at ) =
2j
e jat + e − jat
cos(at ) =
L [x(t )] = X (ϖ ) = ∫0 x(t )e − st dt
+∞
2



Transformada de Laplace de señales utilizadas en Teoría de Sistemas
Expresión matemática Expresión matemática en ω
Señal
en t Unitaria Amplitud A
0 t<0
U (ϖ ) =
A
u (t ) =  U (ϖ ) =
1
Escalón
1 t≥0 ϖ ϖ
0 t<0
ℜ(ϖ ) =
A
r (t ) =  ℜ(ϖ ) =
1
Rampa
t t≥0 ϖ2 ϖ2
0 t < 0 P (ϖ ) = A
2
p (t ) =  2 P(ϖ ) =
2
Parábola
ϖ3 ϖ3
t t ≥ 0
0 t < 0 P.G.(ϖ ) = A
n!
p.g.(t ) =  n P.G.(ϖ ) =
Potencia n!
ϖ n+1 ϖ n +1
t t ≥ 0
genérica

0 t ≠ 0
Impulso δ (t ) =  ∆(ϖ ) = 1
∞ t = 0
0 t < 0 E 0 (ϖ ) =
A
e0 (t ) =  −at E0 (ϖ ) =
1
Exponencial
t≥0 ϖ +a ϖ +a
e
0 t < 0 1 E1 (ϖ ) =
A
Exponencial
e1 (t ) =  −at E1 (ϖ ) =
por t
te t≥0 (ϖ + a )2 (ϖ + a )2
0 t < 0 2 E 2 (ϖ ) = A
2
Exponencial
e2 (t ) =  2 −at E 2 (ϖ ) =
por t2
t e t≥0 (ϖ + a )3 (ϖ + a )3
0 t < 0 n! E n (ϖ ) = A
n!
Exponencial
en (t ) =  n − at E n (ϖ ) =
genérica
t e t≥0 (ϖ + a )n+1 (ϖ + a )n+1
0 t < 0
s(t ) =  S (ϖ ) =
a
S (ϖ ) = A
a
Senoidal
sen(at ) t ≥ 0 ϖ + a2 ϖ + a2
2 2

0 t < 0 ϖ ϖ
Cosenoidal c(t ) =  C (ϖ ) = C (ϖ ) = A
cos(at ) t ≥ 0 ϖ +a ϖ + a2
2 2 2

Seno por 0 t < 0 a aA
una s.e.(t ) =  −bt S .E.(ϖ ) = S .E.(ϖ ) =
exponencial e sen(at ) t ≥ 0 (ϖ + b )2 + a 2 (ϖ + b )2 + a 2
Coseno por 0 t < 0
C.E.(ϖ ) =
ϖ +b
C.E.(ϖ ) =
(ϖ + b )A
una c.e.(t ) =  −bt
exponencial e cos(at ) t ≥ 0 (ϖ + b )2 + a 2 (ϖ + b )2 + a 2



2.4. ¿A partir de la señal bajo el dominio de la Transformada de Laplace, cómo
podemos obtener las señales en el dominio temporal?

L − 1 [X (ϖ )] = x(t ) =
1 + j∞
∫− j∞ X (ϖ )e dt
−ϖt

2πj
Definición de Antitransformada de Laplace

Para averiguar la Antitransformada de Laplace emplearemos el método de resolución
mediante fracciones simples que se aplicará de la siguiente manera:

N (ϖ )
X (ϖ ) =
Si D (ϖ )

¿Qué pasos he de seguir para realizar un Modelado de Sistemas Continuos?
Los pasos que seguiremos para la obtención de la función de transferencia en sistemas
continuos son:

⇒ Partimos de la ecuación diferencial.
⇒ Obtendremos el punto de equilibrio o de funcionamiento (derivadas = 0).
⇒ Linealizaremos y expresaremos en variables incrementales las ecuaciones.
⇒ Transformaremos al dominio de Laplace.
⇒ Obtendremos la función de transferencia (despejando o con diagramas de bloques).

3. Transformada Z.

Z [x(t )] = X ( z ) = ∫ x(t )z − Kt dt .
+∞
−∞

Transformada para

+∞
- Señales discretas Z [{xk }] = X ( z ) = ∑x z k
−k
.
k = −∞

No obstante, en Teoría de Sistemas emplearemos la siguiente expresión puesto que
para instantes inferiores al cero supondremos que todas las señales con las que trabajamos
son nulas:

+∞
Z [{xk }] = X ( z ) = ∑ xk z −k
k =0



3.1. ¿Cuáles son las propiedades de la Transformada Z?
i) Linealidad.
Z [{xk }] = X ( z )
Si  ⇒ Z [α ·{xk }+ β ·{yk }] = α · X ( z ) + β ·Y ( z )
Z [{yk }] = Y ( z ) 

ii) Desplazamiento en el dominio de la variable k.
Si Z [{x k }] = X ( z ) ⇒ Z [{xk −n }] = Z − n X ( z )

iii) Diferenciación en el dominio Z.
Si Z [{xk }] = X ( z ) ⇒ Z [{k · xk }] = − z X (z )
d
dz

iv) Multiplicación por una exponencial.
[{ }]
Si Z [{xk }] = X ( z ) ⇒ Z a k · xk = X a −1 · z ( )
v) Teorema del valor inicial.
Si Z [{xk }] = X ( z ) ⇒ lim+ xk = lim X ( z )
k →0 z →+∞

vi) Teorema del valor final.
Si Z [{xk }] = X (z ) ⇒ lim xk = lim 1 − z −1 · X (z )
k →+∞ z →1
( )
vii) Teorema de Convolución.
Z [{xk ,1 }] = X 1 (z ) 
 ⇒ L [{x k ,1 }* {xk , 2 }] = X 1 (z )· X 2 (z )
Z [{xk , 2 }] = X 2 (z )
Si

3.2. ¿Cómo podemos sacarle partido a la Transformada Z en Teoría de Sistemas?

Aplicada sobre la Secuencia de Ponderación:

{xk } {yk } = {xk }* {g k } ⇒ Z [{yk }] = Z [{xk }* {g k }] ⇒ Z [{yk }] = Z [{xk }]·Z [{g k }]

{gk}

Y ( z ) := Z [{yk }] 
 
X ( z ) := Z [{xk }]  
G ( z ) := Z [{g k }]
⇒ Y ( z ) = X ( z )·G(z )
 
Z [{yk }] = Z [{xk }* {g k }]




Aplicada sobre la ecuación en diferencias:
Supongamos la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

y k + a1 y k −1 + a2 yk −2 + L + an−1 yk −(n−1) + an y k −n = b0 xk + b1 xk −1 + b2 xk −2 + L + bm−1 xk −(m −1) + bm xk −m

Aplicamos la Transformada Z:

[ ] [
Z y k + a1 y k −1 + a 2 y k − 2 + L + a n−1 y k −(n−1) + a n y k − n = Z b0 x k + b1 x k −1 + b2 x k −2 + L + bm−1 x k −(m −1) + bm x k −m ]
[ ] [
Z [ y k ] + Z [a1 y k −1 ] + Z [a 2 y k − 2 ] + L + Z a n−1 y k −(n−1) + Z [a n y k −n ] = Z [b0 x k ] + Z [b1 x k −1 ] + Z [b2 x k −2 ] + L + Z bm−1 x k −(m −1 ) ] + Z [b x
m ] k −m

[
Z [ y k ] + a1Z [ y k −1 ] + a 2Z [ y k − 2 ] + L + a n−1Z y k −(n−1 ) ]+ a Z [y
n ] = b Z [x ] + b Z [x ] + b Z [x ] + L + b Z [x
k −n 0 k 1 k −1 2 k −2 m −1 k −( m −1 ) ] + b Z [x
m ] k −m

Y ( z ) + a1 z Y ( z ) + a 2 z Y ( z ) + L + a n−1 z
−1 −2
Y ( z ) + a n z Y ( z ) = b0 X ( z ) + b1 z X ( z ) + b2 z X ( z ) + L + bm −1 z
−( n −1) −n −1 −2 −( m −1)
X ( z ) + bm z −m X ( z )
( ) (
Y ( z ) 1 + a1 z −1 + a 2 z −2 + L + n−1 z −(n−1) + a n z − n = X ( z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + L + bm −1 z −(m−1) + bm z −m )
De donde se obtiene que

b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + L + bm−1 z −(m−1) + bm z − m
Y (z ) = X ( z ) ⇒ Y ( z ) = G ( z )· X ( z )
1 + a1 z −1 + a2 z −2 + L + n−1 z −(n−1) + an z −n
14444444 244444444 4 3
función de transferencia G ( z )

Función de Transformada Z de la Secuencia de
=
transferencia ponderación



3.3. ¿A partir da la señal en el dominio k, cómo podemos obtener las señales bajo
el dominio de la Transformada Z?

Transformada Z de señales generalmente utilizadas en Teoría de Sistemas
Seña Expresión matemática en el dominio Expresión matemática en z
Cociente de polinomios en Cociente de polinomios
l temporal potencias negativas de z en potencias negativas de z

Escalón {uk } = {1,1,1,...} U (z ) =
1
U (z ) =
z
1 − z −1 z −1
z −1 R (z ) =
z
{rk } = {0,1,2,3,...} = {k } R (z ) =
Rampa
(1 − z ) −1 2 (z − 1)2
1 + z −1 z2
{pk } = {0,1,4,9,...} = {k 2
} P (z ) = z −1
P (z ) =
(1 − z )
Parábola
−1 3 (z − 1)3
Potencia
genérica
{pg k } = {0 p ,1 p ,2 p ,...} = {k p } NO TIENE FORMA GENERAL SENCILLA

Impulso {δ k } = {1,0,0,...} ∆(z ) = 1

Exponencial { e } = {a , a , a ,...} = {a }
0
k
0 1 2 k
U (z ) =
1
1 − az −1
U ( z ) = −1
a −1 z
a z −1
az −1 a −1 z
Exponencial
{ e } = {0a ,1·a ,2·a
1 0 1 2
} { }
,3·a 3 ,... = ka k R (z ) = R (z ) =
por k k
(1 − az ) −1 2
(a −1 z − 1)2
Exponencial
{ e } = {0a ,1·a ,4·a ,9·a ,...} = {k a }
2 0 1 2 3 2 k
P (z ) =
1 + az −1
az −1
P (z ) =
(a z ) −1 2

por k2 k
(1 − az ) −1 3
(a −1
z −1 )
3

Exponencial
genérica
{ e } = {0
p
k
p
} {
a 0 ,1 p a1 ,2 p a 2 ,... = k p a k } NO TIENE FORMA GENERAL SENCILLA

Senoidal {senk } = {1,−1,1,−1,...} = {(− 1)k } U (z ) =
1
U (z ) =
z
1 + z −1 z +1
Cosenoidal {cosk } = {− 1,1,−1,1,...}(− 1)k +1 }
{ U (z ) =
−1
U (z ) =
−z
1 + z −1 z +1
Seno por
una {esenk } = {a 0 ,−a1 , a 2 ,−a 3 ,...} = {(− a )k } U (z ) =
1
U (z ) =
a −1 z
exponencial 1 + az −1 a −1 z + 1
Coseno por
una {ecosk } = {− a 0 , a1 ,−a 2 , a 3 ,...}{(− a )k +1 } U (z ) =
−1
U (z ) =
− a −1 z
exponencial 1 + az −1 a −1 z + 1

Cálculos de la Transformada Z de cada señal

+∞
Z [{xk }] = X (z ) = ∑x z k
−k

k = −∞



3.4. ¿A partir de la señal bajo el dominio de la Transformada Z, cómo podemos
obtener las señales en el dominio k?

Z −1
[X (z )] = x (t ) = 1
∫ X (z )dz
2π j
Definición de Antitransformada Z

3.5. ¿Cómo puedo realizar un Modelado de Sistemas Físicos Reales? ¿Qué pasos
he de seguir para realizar un Modelado de Sistemas Continuos?

Los pasos que seguiremos para la obtención de la función de transferencia en sistemas
continuos son:

⇒ Partimos de la ecuación en diferencias.
⇒ Obtendremos el punto de equilibrio o de funcionamiento (las señales toman valor
constante).
⇒ Linealizaremos y expresaremos en variables incrementales las ecuaciones.
⇒ Transformaremos al dominio Z.
⇒ Obtendremos la función de transferencia (despejando o con diagramas de bloques).

3.6. ¿Cómo obtener un sistema continuo a partir de uno discreto? ¿Y viceversa?

Mediante el muestreo y reconstrucción de señales, se estudia la combinación de
señales continuas discretas. Será una mezcla de señales continuas y discretas de modo que,
por ejemplo, seamos capaces de utilizar un control por computador para inspeccionar un
sistema físico. Añadiremos a nuestros conocimientos dos conceptos nuevos:

Muestreador Capaz de convertir una señal continua en otra discreta.

Bloqueador Capaz de convertir una señal discreta en una continua.

i) El muestreador.
Por definición, un muestreador es capaz de convertir señales analógicas continuas en
señales secuenciales tal y como se muestra en la siguiente figura:

Su ecuación de comportamiento es : xk = x (kT).

x (t ) {xk }
T



Con respecto al período de muestreo, podemos decir que éste es un aspecto muy
importante en el momento de su elección puesto que dependiendo del tamaño de éste, la
señal podrá estar bien determinada o no cuando ésta se convierta. Por ejemplo, si la señal
tiene muchas oscilaciones, hemos de elegir un período de muestreo corto para evitar que se
degrade demasiado la señal.

{xk }

x (t )

⇒ k
{xk }

t

k

Cada señal necesitará un período de muestreo adecuado a los requerimientos que
necesite cada señal, por ejemplo, un señal de sonido no necesita el mismo período de
muestreo que una de temperatura.



1. CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE CORRIENTE
CONTINUA
Puede observarse en la figura siguiente el esquema de un motor CC:

1.1. Subsistema magnético
El devanado de inducido del motor consiste en un arrollamiento de varias espiras que
puede girar en un campo magnético constante. Dicho campo magnético puede ser generado
por un imán permanente o por un devanado de excitación debido a una bobina por la que
circula una corriente de excitación if(t), que supondremos constante. Al circular una
corriente ia(t)por el devanado de inducido, como resultado de la interacción con el campo
magnético se ejerce sobre él un par T(t) que es directamente proporcional al campo magnético
y a la propia corriente de inducido ia(t):

T(t) = Kt.ia(t)
El giro de las espiras del devanado de inducido en presencia del campo magnético,
produce en bornas del mismo una caída de tensión o fuerza contraelectromotriz, e(t),
proporcional a su velocidad de giro:

1.2. Subsistema eléctrico
Por otro lado, el devanado de inducido es una resistencia Ra y una inductancia La, sobre
el que hay que considerar la fuerza contraelectromotriz como una fuente de tensión
dependiente de la velocidad de giro. La ecuación en la malla de inducido será, por tanto:

1.3. Subsistema mecánico
El par mecánico T(t) desarrollado por el motor se emplea para imprimir aceleración
angular a la carga y en vencer la fuerza de fricción :

[Escribir el nombre de la compañía] | CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE
19
CORRIENTE CONTINUA


Aplicando la transformada de Laplace y teniendo en cuenta que la velocidad
angular Ωm(s) = sΘm(s) se tiene:

Va(s) = (Ra + sLa)Ia(s) + KesΘm(s)

1.4. Función de transferencia
Agrupando términos, la función de transferencia que relaciona la tensión de inducido
con la posición angular y con la velocidad angular son

A continuación procedemos a introducir los datos correspondientes del sistema en el
programa MatLab:

>> Jm=0.01;

>> La=0.5;

>> Ra=1;

>> b=0.1;

>> Ke=0.01;

>> Kt=0.01;

>> NUM_motor=[Kt];

>> DEN_motor=[Jm*La (Jm*Ra+La*b) (Ra*b+Ke*Kt)];

>> SISTEMA=tf(NUM_motor,DEN_motor)

Transfer function:

0.01

---------------------------

0.005 s^2 + 0.06 s + 0.1001

Como puede observarse en la última línea de código implementada, el sistema es de
segundo orden.

20
CORRIENTE CONTINUA


Empleando la función roots() en el denominador obtenemos como resultado que los
polos del sistema (las raíces del polinomio del denominador) son -9.9975 y -2.0025. Puesto que
la parte real de los polos del sistema se encuentran ubicados en el semiplano negativo,
podemos afirmar que el sistema es estable. Para mostrar un ejemplo, implementaremos el
esquema en Simulink y exitaremos el sistema ante una entrada escalón de valor 1 V:

Kt 1 1
(Jm*La)^(-1)
s s
Step Gain2
Gain3 aceleración velocidad

Gain

Jm*Ra+La*b

Gain1

Ra*b+Ke*Kt

velocidad

To Workspace

Otra forma de representación en matLab es basándonos en el bloque de simulink
Transfer Function:

NUM_motor(s)
DEN_motor(s)
Step1 Transfer Fcn Scope2

También podríamos haber empleado el bloque LTI System de la librería Control System
Toolbox. En cualquier caso, los resultados obtenidos ante una entrada escalón de 1 V para el
valor de la velocidad angular son:

21
CORRIENTE CONTINUA


Respuesta del sistema ante entrada escalón de 1 V
0.1

0.09

0.08
e c a n u r a /s)
V lo id da g la (R d

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TIEMPO (s)

El sistema se comporta de forma estable ante una entrada acotada puesto que su
salida también es acotada. Si probáramos de forma infinita con un número indeterminado de
señales de entrada, conseguiríamos demostrar que el sistema es estable puesto que para
cualquier entrada acotada, el sistema obtiene una salida acotada. Esto se demuestra puesto
que los polos tienen su parte real en el semiplano negativo. Como podemos observar, ante una
entrada escalón de, la salida del sistema es de 0.1. Si deseásemos que la salida fuera igual que
la entrada, en principio, bastaría con añadir un bloque controlador que multiplicara por diez el
sistema, es decir,

Kt 10 1 1
(Jm*La)^(-1)
s s
Step2 Gain7 Gain9
Gain8 aceleración velocidad1 ángulo1

Gain5

Jm*Ra+La*b

Gain6

Ra*b+Ke*Kt

angulo1

To Workspace1

22
CORRIENTE CONTINUA


1

0.9

0.8
Velocidad angular (Rad/s)

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TIEMPO (s)

Obviamente, hemos obtenido una salida que se ajusta a nuestras especificaciones. Sin
embargo, esta solución puede resultar engañosa puesto que sólo será válida si el sistema se
mantiene sin sufrir deterioro para la eternidad. Obviamente, esto no es así porque con el
tiempo, las variables del sistema: los valores de resistencias, inductancias, viscosidad,… se ven
modificadas a lo largo de la vida del motor.

Por ello, está solución sólo resuelve momentáneamente el problema por lo que hemos
de intentar controlar el sistema de una forma más fiable. Para ello, empezaremos cerrando el
bucle. De este modo, la información de salida nos sirve para realimentar el sistema y que la
nueva salida tenga como información la entrada actual y la salida en el instante anterior. No
obstante, sólo con cerrar el lazo no es suficiente:

0.1

0.09

0.08
V l cd d n u r( a / )
e i a a g l Rds

0.07
a

0.06

0.05

0.04
o

0.03

0.02

0.01

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TIEMPO (s)

23
CORRIENTE CONTINUA


SISTEMA

Step5 Scope3
LTI System3

angulo

To Workspace1

El sistema sigue siendo estable pero la ganancia del mismo ha bajado. Por tanto,
necesitaremos modificar el sistema.

Para ello, recordaremos la aplicación de dos métodos para controlar un sistema:

• Controladores PID.
• Lugar de las raíces.

Partimos nuestra pequeña odisea en el control del motor eléctrico exponiendo las
diferentes especificaciones para el comportamiento de nuestro sistema:

• Sobreoscilación: Mp ≤ 5 %
• Error en régimen permanente: ep ≤ 1 %
• Tiempo de establecimiento: ts ≤ 2 s

2. CONTROLADORES PID.

[Escribir el nombre de la compañía] | CONTROLADORES PID. 24


Efectos de las acciones de los Reguladores PID:

• Regulador P: Aumenta la ganancia de la cadena directa del sistema. Reduce los
errores en régimen permanente. Modifica el transitorio y puede tender a desestabilizar el
sistema en muchos casos si K aumenta demasiado.

• Regulador I: Aumenta el tipo de la cadena directa del sistema. Mejora los errores en
régimen permanente. Anula el efecto sobre el régimen permanente del sistema, de las
perturbaciones que afectan al sistema entre el regulador y la salida.

• Regulador PI: Aumenta la ganancia y el tipo de la cadena directa del sistema,
combinando los efectos de los dos reguladores anteriores. Si el cero se encuentra muy
próximo al origen con respecto a los polos dominantes del sistema, apenas modifica el
transitorio del sistema comparado con un regulador P con la misma ganancia K.

• Regulador PD: Su ganancia, polo y cero permiten modificar la situación final de los
polos dominantes del sistema en bucle cerrado. Permite definir el comportamiento transitorio
del sistema. Por lo general estabiliza el sistema si se utiliza un valor de ganancia K moderado.
Es muy sensible a perturbaciones de alta frecuencia.

• Regulador PID: Es un compendio de los efectos de los reguladores anteriores.

Básicamente el regulador que hemos añadido se trata de un bloque donde van
incluidas las tres acciones del PID:

• Proporcional.
• Integral.
• Derivativa.

40 angulo

P To Workspace

1
Step4 50 SISTEMA
s
Acción integral I Scope1
LTI System2

du/dt 0

Acción derivativa D



La forma de la ecuación de un control por PID es como se muestra a continuación:

u

Que aplicando la transformada de Laplace:

U 1
⇔

Mp ts ep
↓ hasta
KP ↑ crece ≈
cierto límite
Elimina el
KI ↑ decrece ↑ empeora
error
KD ↓ crece ↓ disminuye ≈

Basándonos en la tabla anterior empezaremos a iterar en busca de un controlador que
satisfaga las condiciones impuestas.

Empleando una acción proporcional de 40 y una integral de 50 se consigue controlar el
sistema bajo las especificaciones exigidas. La acción proporcional nos permite mejorar la
ganancia del sistema, subiendo la magnitud de la salida. No obstante sólo con una acción
proporcional era imposible eliminar el error en régimen permanente. Para ello, introducíamos
una acción integral de 50 que nos permite eliminar el error. El resultado se muestra a
continuación.

Tal y como se observa en la gráfica, el tiempo de establecimiento es de
aproximadamente 0,3 s (por lo que es inferior a los 2 s solicitados). Con respecto a la
sobreoscilación, podemos decir que se encuentra entre 2-4 % por lo que es inferior al 5 % de la
sobreoscilación solicitada. Como puede observarse, el error en régimen permanente es
prácticamente nulo por lo que es inferior a un 1 %.



1.4

1.2
Velocidad angular (Rad/s)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TIEMPO (s)

Tal y como se observa en la gráfica, el tiempo de establecimiento es de
aproximadamente 0,3 s (por lo que es inferior a los 2 s solicitados). Con respecto a la
sobreoscilación, podemos decir que se encuentra entre 2-4 % por lo que es inferior al 5 % de la
sobreoscilación solicitada. Como puede observarse, el error en régimen permanente es
prácticamente nulo por lo que es inferior a un 1 %.

El lagoritmo para obtener un controlador PID son los siguientes:

1. Obtener la respuesta en bucle abierto y determinar que no se cumplen los
requerimientos.
2. Usar una acción proporcional P para mejorar el error y el tiempo de
establecimiento.
3. Usar una acción Proporcional-Derivativa para mejorar la sobreoscilación.
4. Añadir una acción integral para eliminar el error en régimen permanente.
5. Ajustar las 3 acciones hasta obtener la respuesta deseada.

Desarrollando la expresión del controlador PID:

U / U

! " #


Esto nos indica que el controlador es físicamente irrealizable puesto que el orden del
numerador es superior al del denominador. Por ello, debemos buscar una solución mejor al
problema por lo que emplearemos el método del lugar de las raíces y que pueda resolverse de
forma más mecánica.

3. MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES.
Durante la 3ª sesión de la asignatura (la segunda de ramón P. Ñeco) se procedió al
repaso del método del lugar de las raíces. Con este método logramos representar los polos en
bucle abierto en función de los polos en bucle cerrado. Además, nos permite caracterizar el
sistema dinámicamente.

• Respuesta Transitoria Adecuada:
– Transitorio suficientemente rápido.
– Amortiguamiento adecuado.
El lugar de raíces de una función de transferencia H(s) (en lazo abierto) es un diagrama
de los lugares de todos los polos a lazo cerrado posibles con ganancia proporcional k y
realimentación unitaria donde los polos del sistema a lazo cerrado son valores de s tales que 1
+ K H(s) = 0.
Sin importar el valor de k que elijamos, el sistema a lazo cerrado debe tener siempre n
polos, donde n es la cantidad de polos de H(s). El lugar de raíces debe tener n ramas, cada
rama empieza en un polo de H(s) y termina en un cero de H(s). Si H(s) tiene más polos que
ceros (el caso normal), m < n y decimos que H(s) tiene ceros en el infinito. En este caso, el
límite de H(s) cuando s -> infinito es cero. El número de ceros en el infinito es n-m, la cantidad
de polos menos la cantidad de ceros, y es la cantidad de ramas del lugar de raíces que van al
infinito (asíntotas).

Como el lugar de raíces son realmente los lugares de todos los polos posibles a lazo
cerrado, del lugar de raíces podemos elegir una ganancia tal que nuestro sistema a lazo
cerrado haga lo que queramos. Si cualquiera de los polos elegidos está en el semiplano
derecho, el sistema a lazo cerrado será inestable. Los polos más cercanos al eje imaginario son
los que mayor influencia tienen en la respuesta a lazo cerrado, de modo que a pesar que el
sistema tenga tres o cuatro polos, el mismo puede actuar como un sistema de segundo o aún
de primer orden, dependiendo de la ubicación del/los polo/s dominante/s.

La mejor manera de entender el método del lugar geométrico de las raíces es
practicando. Por ello, empezaremos por intentar controlar el motor aplicando este método. A
continuación obtendremos el lugar de las raíces del motor.

A continuación, dibujaremos las restricciones que representan la sobreoscilación y el

12
tiempo de establecimiento:

&'
$ % () * → , % -./ 0 ≅ 46,36°
34 $

[Escribir el nombre de la compañía] | MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. 30


2 2
% 2 → ; = ≅ 1,57
; 2
Estas especificaciones se traducen en dos áreas geométricas en el plano imaginario. La
primera supone un plano angular inferior a 46,36 grados mientras que la segunda supone el
semiplano con parte real inferior a 1,57.

Primero dibujaremos el lugar geométrico de las raíces del sistema:
Root Locus Editor f or Open Loop 1 (OL1)
4
0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2

3
0.96

2

0.99

1
mg xs
I a Ai

10 8 6 4 2
0

-1

0.99

-2

0.96
-3

0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2
-4
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Real A xis

A continuación, dibujaremos las especificaciones junto con el lugar geométrico de las
raíces:
4
0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2

3
0.96

2

0.99

1
Im gA is
a x

10 8 6 4 2
0

-1

0.99

-2

0.96
-3

0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2
-4
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Real Axis

La zona en blanco es la permitida donde se cumplen las especificaciones.

Si vamos variando el valor de K (modificando los polos del sistema en bucle cerrado) buscando
que se cumpla las especificaciones obtenemos que:



0.8

System: Closed Loop r to y
I/O: r to y
Settling Time (sec): 0.495
0.7 I/O: r to y
Final Value: 0.735

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Para un valor de la ganancia de 27,8 se obtiene una sobreoscilación de un 5%, un
tiempo de establecimiento por debajo de 0,5 segundos y un error superior al 1%. Se cumplen
dos de las tres especificaciones. Ya nos encontramos en el límite de la región por lo que ya no
podemos mejorar la respuesta del sistema. Por ello, proponemos soluciones más drásticas
como por ejemplo tratar de deformar el lugar de las raíces haciendo que la mayor parte de
este, o incluso íntegramente, se encuentre dentro de las regiones permitidas.

Para saber cómo colocar el par de polo y cero realizaremos lo siguiente. Calcularemos

1
el error del sistema deseado que debe ser inferior a 1%:

%1→ → = 99
1

lim F G
donde aplicando el teorema del valor final,

D→E

lim
(
D→E HI J HI F J K F K (

= 99
(
F K
(
K es el valor de la ganancia que hemos obtenido anteriormente, de 27,8. Ke tiene un
valor de 0.01. El valor del cero z lo tomaremos como la 2,4 parte de polo deseado que lo
seleccionamos como la vertical del lugar de las raíces. Empleando la función roots() obtenemos



que los polos del sistema abierto son: -9.9975 y -2.0025. El punto medio entre ambos se
encuentra en -6, por lo que el valor de z será 6/2,4 = 2,5 (parte real negativa). Despejando

2,5 0,01
obtenemos:

27,8 = 99 → 0,070
0,1001
El lugar de las raíces ahora es:

Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)
30
0.28 0.19 0.135 0.095 0.06 0.03

25

0.4

20
20

15

10
10 0.7

5
I m a g A x is

0

5

-10 0.7
10

15

-20
20

0.4

25

0.28 0.19 0.135 0.095 0.06 0.03
-30
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 30 0
Real Axis

Para una K de 1112, la respuesta del sistema es:



1.4

1.2

I/O: r to y
Peak amplitude: 1.03
Overshoot (%): 3.72
At time (sec): 1.19 System: Closed Loop r to y
I/O: r to y
System: Closed Loop r to y Final Value: 0.991
1 I/O: r to y

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Las especificaciones técnicas se cumplen y son:

• Sobreoscilación: Mp = 3,72 ≤ 5 %
• Error en régimen permanente: ep =0,9 ≤ 1 %
• Tiempo de establecimiento: ts = 0,734 ≤ 2 s



Ejercicio optativo 1.

5
El sistema es:

G
3 2
Las especificaciones técnicas se cumplen y son:

• Sobreoscilación: Mp ≤ 20,8 %
• Error en régimen permanente: ep ≤ 20 %
• Tiempo de establecimiento: ts ≤ 1,57 s

Se emplea el siguiente código de MatLab:

>> NUM_1=[5];

>> DEN_1=conv([1 3],[1 2]);

>> SISTEMA1=tf(NUM_1,DEN_1)

Transfer function:

5

-------------

s^2 + 5 s + 6

A continuación, dibujaremos las restricciones que representan la sobreoscilación y el

12
tiempo de establecimiento:

&'
$ % () * → , % -./ 0 ≅ 63,44°
34 $

2 2
% 1,57 → ; = ≅ 2,00
; 1,57
Estas especificaciones se traducen en dos áreas geométricas en el plano imaginario. La
primera supone un plano angular inferior a 63,44 grados mientras que la segunda supone el
semiplano con parte real inferior a 2,00.



Primero dibujaremos el lugar geométrico de las raíces del sistema:

Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)
5

4

3

2

1
Imag Axis

0

-1

-2

-3

-4

-5
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
Real Axis

A continuación, dibujaremos las especificaciones junto con el lugar geométrico de las
raíces:

5

4

3

2

1
Imag Axis

0

-1

-2

-3

-4

-5
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
Real Axis



La zona en blanco es la permitida donde se cumplen las especificaciones.

Si vamos variando el valor de K (modificando los polos del sistema en bucle cerrado) buscando
que se cumpla las especificaciones obtenemos que:

Step Response
1

I/O: r to y
Peak amplitude: 0.973
0.9 System: Closed Loop r to y
Overshoot (%): 20.6
I/O: r to y
At time (sec): 0.636 System: Closed Loop r to y
I/O: r to y
Final Value: 0.806

0.8

0.7

0.6
Amplitude

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Time (sec)

Para un valor de la ganancia de 5 se obtiene una sobreoscilación de un 20,6 %, un tiempo de
establecimiento por debajo de 1 segundos y un error inferior al 20%. Se cumplen las tres
especificaciones.


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